2025年高考数学一轮复习讲义（新高考版） 第4章　§4.8　正弦定理、余弦定理

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知识梳理
1．正弦定理、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
2．三角形解的判断
3．三角形中常用的面积公式
(1)S＝eq \f(1,2)aha(ha表示边a上的高)；
(2)S＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(1,2)bcsin A；
(3)S＝eq \f(1,2)r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．
常用结论
在△ABC中，常有以下结论：
(1)∠A＋∠B＋∠C＝π.
(2)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
(3)a>b⇔A>B⇔sin A>sin B，cs A(4)sin(A＋B)＝sin C；cs(A＋B)＝－cs C；tan(A＋B)＝－tan C；sin eq \f(A＋B,2)＝cs eq \f(C,2)；cs eq \f(A＋B,2)＝sin eq \f(C,2).
(5)三角形中的射影定理
在△ABC中，a＝bcs C＋ccs B；b＝acs C＋ccs A；c＝bcs A＋acs B.
(6)三角形中的面积S＝eq \r(pp－ap－bp－c)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(p＝\f(1,2)a＋b＋c)).
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．( × )
(2)在△ABC中，若sin A>sin B，则A>B.( √ )
(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．( × )
(4)当b2＋c2－a2>0时，△ABC为锐角三角形．( × )
教材改编题
1．在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC等于( )
A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,3) C.eq \f(2π,3) D.eq \f(5π,6)
答案 C
解析 在△ABC中，
设AB＝c＝5，AC＝b＝3，BC＝a＝7，
由余弦定理得cs∠BAC＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(9＋25－49,30)＝－eq \f(1,2)，
因为∠BAC为△ABC的内角，
所以∠BAC＝eq \f(2π,3).
2．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为4，a＝2，B＝30°，则c等于( )
A．8B．4
C．eq \f(8\r(3),3)D．eq \f(4\r(3),3)
答案 A
解析 由S△ABC＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(1,2)×2c×eq \f(1,2)＝4，得c＝8.
3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B＝30°，b＝eq \r(2)，c＝2，则C＝ .
答案 45°或135°
解析 由正弦定理得sin C＝eq \f(csin B,b)＝eq \f(2sin 30°,\r(2))＝eq \f(\r(2),2)，
因为c>b，B＝30°，
所以C＝45°或C＝135°.
题型一 利用正弦定理、余弦定理解三角形
例1 (12分)(2022·新高考全国Ⅰ)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知eq \f(cs A,1＋sin A)＝eq \f(sin 2B,1＋cs 2B).
(1)若C＝eq \f(2π,3)，求B；[切入点：二倍角公式化简]
(2)求eq \f(a2＋b2,c2)的最小值．[关键点：找到角B与角C，A的关系]
思维升华 解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式，则考虑用正弦定理，以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．
跟踪训练1 (2022·全国乙卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin Csin(A－B)＝sin Bsin(C－A)．
(1)证明：2a2＝b2＋c2；
(2)若a＝5，cs A＝eq \f(25,31)，求△ABC的周长．
(1)证明 方法一
由sin Csin(A－B)＝sin Bsin(C－A)，
可得sin Csin Acs B－sin Ccs Asin B
＝sin Bsin Ccs A－sin Bcs Csin A，
结合正弦定理eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)，
可得accs B－bccs A＝bccs A－abcs C，
即accs B＋abcs C＝2bccs A(*)．
由余弦定理可得
accs B＝eq \f(a2＋c2－b2,2)，
abcs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2)，
2bccs A＝b2＋c2－a2，
将上述三式代入(*)式整理，
得2a2＝b2＋c2.
方法二 因为A＋B＋C＝π，
所以sin Csin(A－B)＝sin(A＋B)sin(A－B)
＝sin2Acs2B－cs2Asin2B
＝sin2A(1－sin2B)－(1－sin2A)sin2B
＝sin2A－sin2B，
同理有sin Bsin(C－A)＝sin(C＋A)sin(C－A)＝sin2C－sin2A.
又sin Csin(A－B)＝sin Bsin(C－A)，
所以sin2A－sin2B＝sin2C－sin2A，
即2sin2A＝sin2B＋sin2C，
故由正弦定理可得2a2＝b2＋c2.
(2)解 由(1)及a2＝b2＋c2－2bccs A得，a2＝2bccs A，所以2bc＝31.
因为b2＋c2＝2a2＝50，
所以(b＋c)2＝b2＋c2＋2bc＝81，
得b＋c＝9，
所以△ABC的周长l＝a＋b＋c＝14.
题型二 正弦定理、余弦定理的简单应用
命题点1 三角形的形状判断
例2 (1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c－acs B＝(2a－b)cs A，则△ABC的形状为( )
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
答案 D
解析 因为c－acs B＝(2a－b)cs A，
C＝π－(A＋B)，
所以由正弦定理得sin C－sin Acs B
＝2sin Acs A－sin Bcs A，
所以sin Acs B＋cs Asin B－sin Acs B
＝2sin Acs A－sin Bcs A，
所以cs A(sin B－sin A)＝0，
所以cs A＝0或sin B＝sin A，
所以A＝eq \f(π,2)或B＝A或B＝π－A(舍去)，
所以△ABC为等腰三角形或直角三角形．
(2)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，eq \f(c－a,2c)＝sin2eq \f(B,2)，则△ABC的形状为( )
A．直角三角形
B．等边三角形
C．等腰三角形或直角三角形
D．等腰直角三角形
答案 A
解析 由cs B＝1－2sin2eq \f(B,2)，
得sin2eq \f(B,2)＝eq \f(1－cs B,2)，所以eq \f(c－a,2c)＝eq \f(1－cs B,2)，
即cs B＝eq \f(a,c).
方法一 由余弦定理得eq \f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq \f(a,c)，
即a2＋c2－b2＝2a2，
所以a2＋b2＝c2.
所以△ABC为直角三角形，但无法判断两直角边是否相等．
方法二 由正弦定理得cs B＝eq \f(sin A,sin C)，
又sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcs C＋cs Bsin C，
所以cs Bsin C＝sin Bcs C＋cs Bsin C，
即sin Bcs C＝0，又sin B≠0，
所以cs C＝0，又角C为△ABC的内角，
所以C＝eq \f(π,2)，所以△ABC为直角三角形，但无法判断两直角边是否相等．
延伸探究 将本例(2)中的条件“eq \f(c－a,2c)＝sin2eq \f(B,2)”改为“eq \f(sin A,sin B)＝eq \f(a,c)，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc”，试判断△ABC的形状．
解 因为eq \f(sin A,sin B)＝eq \f(a,c)，所以由正弦定理得eq \f(a,b)＝eq \f(a,c)，所以b＝c.
又(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，
所以b2＋c2－a2＝bc，
所以由余弦定理得cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(bc,2bc)＝eq \f(1,2).
因为A∈(0，π)，所以A＝eq \f(π,3)，
所以△ABC是等边三角形．
思维升华 判断三角形形状的两种思路
(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．
(2)化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．
命题点2 三角形的面积
例3 (2022·浙江)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.
已知4a＝eq \r(5)c，cs C＝eq \f(3,5).
(1)求sin A的值；
(2)若b＝11，求△ABC的面积．
解 (1)由正弦定理eq \f(a,sin A)＝eq \f(c,sin C)，
得sin A＝eq \f(a·sin C,c).
因为cs C＝eq \f(3,5)，所以sin C＝eq \f(4,5)，
又eq \f(a,c)＝eq \f(\r(5),4)，所以sin A＝eq \f(\r(5)sin C,4)＝eq \f(\r(5),5).
(2)由(1)知sin A＝eq \f(\r(5),5)，
因为a＝eq \f(\r(5)c,4)所以cs A＝eq \f(2\r(5),5)，
所以sin B＝sin(A＋C)＝sin Acs C＋sin Ccs A＝eq \f(\r(5),5)×eq \f(3,5)＋eq \f(4,5)×eq \f(2\r(5),5)＝eq \f(11\r(5),25).
因为eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)，即eq \f(11,\f(11\r(5),25))＝eq \f(c,\f(4,5))，
所以c＝4eq \r(5)，
所以S△ABC＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(1,2)×11×4eq \r(5)×eq \f(\r(5),5)＝22.
思维升华 三角形面积公式的应用原则
(1)对于面积公式S＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(1,2)bcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．
(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．
命题点3 与平面几何有关的问题
例4 (2023·厦门模拟)如图，已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，b(1＋cs C)＝eq \r(3)csin∠ABC且△ABC的外接圆面积为eq \f(49π,3).
(1)求边c的长；
(2)若a＝5，延长CB至M，使得cs∠AMC＝eq \f(\r(21),7)，求BM.
解 (1)设△ABC的外接圆半径为R，由题意πR2＝eq \f(49π,3)，解得R＝eq \f(7\r(3),3).
由题意及正弦定理可得sin∠ABC(1＋cs C)
＝eq \r(3)sin Csin∠ABC，
因为sin∠ABC≠0，所以1＋cs C＝eq \r(3)sin C，
即2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(C－\f(π,6)))＝1，
因为0故c＝2Rsin C＝2×eq \f(7\r(3),3)×eq \f(\r(3),2)＝7.
(2)因为a＝5，c＝7，C＝eq \f(π,3)，故cs C＝eq \f(1,2)＝eq \f(25＋b2－49,2×5×b)，得b2－5b－24＝0，
解得b＝8(b＝－3舍去)．
在△ABC中，由余弦定理可得cs∠ABC＝eq \f(52＋72－82,2×5×7)＝eq \f(1,7)，
所以sin∠ABC＝eq \f(4\r(3),7).
由cs∠AMC＝eq \f(\r(21),7)得sin∠AMC＝eq \f(2\r(7),7).
故sin∠BAM＝sin(∠ABC－∠AMC)
＝sin∠ABCcs∠AMC－cs∠ABCsin∠AMC＝eq \f(10\r(7),49)，
在△ABM中，由正弦定理可得eq \f(BM,sin∠BAM)＝eq \f(AB,sin∠AMB)，则BM＝eq \f(7,\f(2\r(7),7))×eq \f(10\r(7),49)＝5.
思维升华 在平面几何图形中研究或求与角有关的长度、角度、面积的最值、优化设计等问题时，通常是转化到三角形中，利用正、余弦定理通过运算的方法加以解决．在解决某些具体问题时，常先引入变量，如边长、角度等，然后把要解三角形的边或角用所设变量表示出来，再利用正、余弦定理列出方程，再解方程即可．若研究最值，常使用函数思想．
跟踪训练2 (1)(多选)(2023·合肥模拟)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列四个命题中正确的是( )
A．若acs A＝bcs B，则△ABC一定是等腰三角形
B．若bcs C＋ccs B＝b，则△ABC是等腰三角形
C．若eq \f(a,cs A)＝eq \f(b,cs B)＝eq \f(c,cs C)，则△ABC一定是等边三角形
D．若B＝60°，b2＝ac，则△ABC是直角三角形
答案 BC
解析 对于A，若acs A＝bcs B，则由正弦定理得sin Acs A＝sin Bcs B，
∴sin 2A＝sin 2B，则2A＝2B或2A＋2B＝180°，即A＝B或A＋B＝90°，则△ABC为等腰三角形或直角三角形，故A错误；
对于B，若bcs C＋ccs B＝b，则由正弦定理得sin Bcs C＋sin Ccs B＝sin(B＋C)＝sin A＝sin B，即A＝B，则△ABC是等腰三角形，故B正确；
对于C，若eq \f(a,cs A)＝eq \f(b,cs B)＝eq \f(c,cs C)，则由正弦定理得eq \f(sin A,cs A)＝eq \f(sin B,cs B)＝eq \f(sin C,cs C)，则tan A＝tan B＝tan C，即A＝B＝C，即△ABC是等边三角形，故C正确；
对于D，由于B＝60°，b2＝ac，由余弦定理可得b2＝ac＝a2＋c2－ac，可得(a－c)2＝0，解得a＝c，可得A＝C＝B，故△ABC是等边三角形，故D错误．
(2)在①b2＋eq \r(2)ac＝a2＋c2；②cs B＝bcs A；③sin B＋cs B＝eq \r(2)这三个条件中任选一个填在下面的横线中，并解决该问题．
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， ，A＝eq \f(π,3)，b＝eq \r(2)，求△ABC的面积．
解 若选①，则由b2＋eq \r(2)ac＝a2＋c2，
得eq \r(2)ac＝a2＋c2－b2.
由余弦定理得cs B＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq \f(\r(2)ac,2ac)＝eq \f(\r(2),2).
因为B∈(0，π)，
所以B＝eq \f(π,4).
由正弦定理得eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，
即eq \f(a,sin \f(π,3))＝eq \f(\r(2),sin \f(π,4))，解得a＝eq \r(3).
因为C＝π－A－B＝π－eq \f(π,3)－eq \f(π,4)＝eq \f(5π,12)，
所以sin C＝sin eq \f(5π,12)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋\f(π,4)))
＝sin eq \f(π,6)cs eq \f(π,4)＋cs eq \f(π,6)sin eq \f(π,4)＝eq \f(\r(6)＋\r(2),4)，
所以S△ABC＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)×eq \r(3)×eq \r(2)×eq \f(\r(6)＋\r(2),4)＝eq \f(3＋\r(3),4).
若选②，因为cs B＝bcs A，A＝eq \f(π,3)，b＝eq \r(2)，
所以cs B＝bcs A＝eq \r(2)cs eq \f(π,3)＝eq \f(\r(2),2).
因为B∈(0，π)，
所以B＝eq \f(π,4).
由正弦定理得eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，
即eq \f(a,sin \f(π,3))＝eq \f(\r(2),sin \f(π,4))，解得a＝eq \r(3).
因为C＝π－A－B＝π－eq \f(π,3)－eq \f(π,4)＝eq \f(5π,12)，
所以sin C＝sin eq \f(5π,12)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋\f(π,4)))
＝sin eq \f(π,6)cs eq \f(π,4)＋cs eq \f(π,6)sin eq \f(π,4)＝eq \f(\r(6)＋\r(2),4)，
所以S△ABC＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)×eq \r(3)×eq \r(2)×eq \f(\r(6)＋\r(2),4)＝eq \f(3＋\r(3),4).
若选③，则由sin B＋cs B＝eq \r(2)，
得eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B＋\f(π,4)))＝eq \r(2)，
所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B＋\f(π,4)))＝1.
因为B∈(0，π)，
所以B＋eq \f(π,4)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(5π,4)))，
所以B＋eq \f(π,4)＝eq \f(π,2)，所以B＝eq \f(π,4).
由正弦定理得eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，
即eq \f(a,sin \f(π,3))＝eq \f(\r(2),sin \f(π,4))，解得a＝eq \r(3).
因为C＝π－A－B＝π－eq \f(π,3)－eq \f(π,4)＝eq \f(5π,12)，
所以sin C＝sin eq \f(5π,12)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋\f(π,4)))
＝sin eq \f(π,6)cs eq \f(π,4)＋cs eq \f(π,6)sin eq \f(π,4)＝eq \f(\r(6)＋\r(2),4)，
所以S△ABC＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)×eq \r(3)×eq \r(2)×eq \f(\r(6)＋\r(2),4)＝eq \f(3＋\r(3),4).
(3)(2022·重庆八中模拟)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，在①c(sin A－sin C)＝(a－b)(sin A＋sin B)；②2bcs A＋a＝2c；③eq \f(2\r(3),3)acsin B＝a2＋c2－b2三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．
①若 ，求角B的大小；
②求sin A＋sin C的取值范围；
③如图所示，当sin A＋sin C取得最大值时，若在△ABC所在平面内取一点D(D与B在AC两侧)，使得线段DC＝2，DA＝1，求△BCD面积的最大值．
解 ①若选①，
因为c(sin A－sin C)＝(a－b)(sin A＋sin B)，
由正弦定理得c(a－c)＝(a－b)(a＋b)，
整理得a2＋c2－b2＝ac，
所以cs B＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq \f(ac,2ac)＝eq \f(1,2)，
又0若选②，
因为2bcs A＋a＝2c，
由余弦定理得2b·eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＋a＝2c，
化简得，a2＋c2－b2＝ac，
所以cs B＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq \f(ac,2ac)＝eq \f(1,2)，
又0若选③，
因为eq \f(2\r(3),3)acsin B＝a2＋c2－b2，
由余弦定理得eq \f(2\r(3),3)acsin B＝2accs B，
化简得tan B＝eq \r(3)，
又0②由①得，A＋C＝eq \f(2π,3)，
则0sin A＋sin C＝sin A＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－A))＝eq \f(3,2)sin A＋eq \f(\r(3),2)cs A＝eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A＋\f(π,6)))，
又eq \f(π,6)所以eq \f(1,2)则sin A＋sin C的取值范围是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，\r(3))).
③当sin A＋sin C取得最大值时，A＋eq \f(π,6)＝eq \f(π,2)，
解得A＝eq \f(π,3)，
又B＝eq \f(π,3)，所以△ABC为等边三角形，
令∠ACD＝θ，∠ADC＝α，AB＝AC＝BC＝a，
则由正弦定理可得eq \f(a,sin α)＝eq \f(1,sin θ)，
所以sin α＝asin θ.
又由余弦定理得，a2＝22＋12－2×2×1×cs α，
所以a2cs2θ＝a2－a2sin2θ＝cs2α－4cs α＋4，
所以acs θ＝2－cs α.
S△BCD＝eq \f(1,2)×a×2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋θ))
＝eq \f(\r(3),2)acs θ＋eq \f(1,2)asin θ
＝eq \f(\r(3),2)(2－cs α)＋eq \f(1,2)sin α
＝eq \r(3)＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,3)))≤eq \r(3)＋1，
当且仅当α＝∠ADC＝eq \f(5π,6)时等号成立，
所以△BCD面积的最大值为eq \r(3)＋1.
课时精练
1．在△ABC中，C＝60°，a＋2b＝8，sin A＝6sin B，则c等于( )
A.eq \r(35) B.eq \r(31) C．6 D．5
答案 B
解析 因为sin A＝6sin B，
则由正弦定理得a＝6b，
又a＋2b＝8，所以a＝6，b＝1，
因为C＝60°，
所以由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcs C，
即c2＝62＋12－2×6×1×eq \f(1,2)，
解得c＝eq \r(31).
2．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(a＋b)(sin A－sin B)＝(b＋c)sin C，a＝7，则△ABC外接圆的直径为( )
A．14 B．7 C.eq \f(7\r(3),3) D.eq \f(14\r(3),3)
答案 D
解析 已知(a＋b)(sin A－sin B)＝(b＋c)sin C，
由正弦定理可得(a＋b)(a－b)＝(b＋c)c，化简得b2＋c2－a2＝－bc，
所以cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(－bc,2bc)＝－eq \f(1,2)，
又因为A∈(0，π)，所以A＝eq \f(2π,3)，
所以sin A＝sin eq \f(2π,3)＝eq \f(\r(3),2)，设△ABC外接圆的半径为R，
由正弦定理可得2R＝eq \f(a,sin A)＝eq \f(7,\f(\r(3),2))＝eq \f(14\r(3),3)，
所以△ABC外接圆的直径为eq \f(14\r(3),3).
3．(2022·北京模拟)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若eq \r(3)asin B＝bcs A，且b＝2eq \r(3)，c＝2，则a的值为( )
A．2eq \r(7) B．2
C．2eq \r(3)－2 D．1
答案 B
解析 由已知及正弦定理得，eq \r(3)sin Asin B＝sin Bcs A且sin B≠0，可得tan A＝eq \f(\r(3),3)，又0所以A＝eq \f(π,6)，又b＝2eq \r(3)，c＝2，
所以由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccs A＝16－12＝4，解得a＝2.
4．(2023·枣庄模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A＝60°，b＝1，S△ABC＝eq \r(3)，则eq \f(a＋b＋c,sin A＋sin B＋sin C)等于( )
A.eq \f(2\r(39),3) B.eq \f(26\r(3),3) C.eq \f(8\r(3),3) D．2eq \r(3)
答案 A
解析 由三角形的面积公式可得S△ABC＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(\r(3),4)c＝eq \r(3)，解得c＝4，
由余弦定理可得a＝eq \r(b2＋c2－2bccs A)＝eq \r(13)，
设△ABC的外接圆半径为r，由正弦定理得eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝2r，
所以eq \f(a＋b＋c,sin A＋sin B＋sin C)＝eq \f(2rsin A＋sin B＋sin C,sin A＋sin B＋sin C)＝2r＝eq \f(a,sin A)＝eq \f(\r(13),\f(\r(3),2))＝eq \f(2\r(39),3).
5．(2023·马鞍山模拟)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设(sin B＋sin C)2＝sin2A＋(2－eq \r(2))sin Bsin C，eq \r(2)sin A－2sin B＝0，则sin C等于 ( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(3),2)
C.eq \f(\r(6)－\r(2),4) D.eq \f(\r(6)＋\r(2),4)
答案 C
解析 在△ABC中，由(sin B＋sin C)2＝sin2A＋(2－eq \r(2))sin Bsin C及正弦定理得(b＋c)2＝a2＋(2－eq \r(2))bc，
即b2＋c2－a2＝－eq \r(2)bc，由余弦定理得cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝－eq \f(\r(2),2)，而0°由eq \r(2)sin A－2sin B＝0得sin B＝eq \f(\r(2),2)sin A＝eq \f(1,2)，显然0°所以sin C＝sin(60°－45°)＝sin 60°cs 45°－cs 60°sin 45°＝eq \f(\r(6)－\r(2),4).
6．(2023·衡阳模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2cs B(acs C＋ccs A)＝b，lg sin C＝eq \f(1,2)lg 3－lg 2，则△ABC的形状为( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
答案 C
解析 ∵2cs B(acs C＋ccs A)＝b，
∴根据正弦定理得，
2cs B(sin Acs C＋cs Asin C)＝sin B，
∴2cs Bsin(A＋C)＝sin B，
∴2cs Bsin(π－B)＝sin B，
即2cs Bsin B＝sin B，
∵B∈(0，π)，∴sin B≠0，
∴cs B＝eq \f(1,2)，∴B＝eq \f(π,3).
∵lg sin C＝eq \f(1,2)lg 3－lg 2，
∴lg sin C＝lg eq \f(\r(3),2)，∴sin C＝eq \f(\r(3),2)，
∵C∈(0，π)，∴C＝eq \f(π,3)或eq \f(2π,3)，
∵B＝eq \f(π,3)，∴C≠eq \f(2π,3)，∴C＝eq \f(π,3)，
∴A＝B＝C＝eq \f(π,3)，即△ABC为等边三角形．
7．(2022·全国甲卷)已知△ABC中，点D在边BC上，∠ADB＝120°，AD＝2，CD＝2BD.当eq \f(AC,AB)取得最小值时，BD＝ .
答案 eq \r(3)－1
解析 设BD＝k(k>0)，则CD＝2k.
根据题意作出大致图形，如图．
在△ABD中，由余弦定理得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcs∠ADB＝22＋k2－2×2k·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝k2＋2k＋4.
在△ACD中，由余弦定理得AC2＝AD2＋CD2－2AD·CDcs∠ADC＝22＋(2k)2－2×2×2k·eq \f(1,2)＝4k2－4k＋4，
则eq \f(AC2,AB2)＝eq \f(4k2－4k＋4,k2＋2k＋4)
＝eq \f(4k2＋2k＋4－12k－12,k2＋2k＋4)
＝4－eq \f(12k＋1,k2＋2k＋4)＝4－eq \f(12k＋1,k＋12＋3)
＝4－eq \f(12,k＋1＋\f(3,k＋1)).
∵k＋1＋eq \f(3,k＋1)≥2eq \r(3)(当且仅当k＋1＝eq \f(3,k＋1)，
即k＝eq \r(3)－1时等号成立)，
∴eq \f(AC2,AB2)≥4－eq \f(12,2\r(3))＝4－2eq \r(3)＝(eq \r(3)－1)2，
∴当eq \f(AC,AB)取得最小值eq \r(3)－1时，BD＝k＝eq \r(3)－1.
8．(2023·宜春模拟)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bsin C＋csin B＝4asin Bsin C，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为 ．
答案 eq \f(2\r(3),3)
解析 ∵bsin C＋csin B＝4asin Bsin C，sin Bsin C>0，
结合正弦定理可得sin Bsin C＋sin Csin B＝4sin Asin Bsin C，
∴sin A＝eq \f(1,2)，∵b2＋c2－a2＝8，
结合余弦定理a2＝b2＋c2－2bccs A，
可得2bccs A＝8，
∴A为锐角，且cs A＝eq \f(\r(3),2)，从而求得bc＝eq \f(8\r(3),3)，
∴△ABC的面积为S＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(1,2)×eq \f(8\r(3),3)×eq \f(1,2)＝eq \f(2\r(3),3).
9．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcs C＝(2a－c)cs B.
(1)求B；
(2)若b＝3，sin C＝2sin A，求△ABC的面积．
解 (1)由正弦定理，得sin Bcs C＝2sin Acs B－cs Bsin C，
即sin Bcs C＋cs Bsin C＝2sin Acs B，
∴sin(B＋C)＝2sin Acs B，
∴sin A＝2sin Acs B，
又∵sin A≠0，∴cs B＝eq \f(1,2)，
∵B为三角形内角，∴B＝eq \f(π,3).
(2)∵sin C＝2sin A，∴由正弦定理得c＝2a，
∴由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accs B＝a2＋4a2－2a2＝9，即3a2＝9，
∴a＝eq \r(3)，c＝2eq \r(3)，
∴△ABC的面积为S＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(1,2)×eq \r(3)×2eq \r(3)×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(3\r(3),2).
10．(2023·湖州模拟)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知eq \r(3)bsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋A))＝asin B.
(1)求角A的大小；
(2)若b，a，c成等比数列，判断△ABC的形状．
解 (1)∵eq \r(3)bsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋A))＝asin B，由诱导公式得eq \r(3)bcs A＝asin B，
由正弦定理得eq \r(3)sin Bcs A＝sin Asin B，
∵sin B≠0，∴eq \r(3)cs A＝sin A，即tan A＝eq \r(3)，
∵A∈(0，π)，∴A＝eq \f(π,3).
(2)∵b，a，c成等比数列，∴a2＝bc，
由余弦定理得cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)
＝eq \f(b2＋c2－bc,2bc)＝eq \f(1,2)，
即b2＋c2－bc＝bc，
∴(b－c)2＝0，∴b＝c，
又由(1)知A＝eq \f(π,3)，
∴△ABC为等边三角形．
11．(多选)对于△ABC，有如下判断，其中正确的是( )
A．若cs A＝cs B，则△ABC为等腰三角形
B．若A>B，则sin A>sin B
C．若a＝8，c＝10，B＝60°，则符合条件的△ABC有两个
D．若sin2A＋sin2B答案 ABD
解析 对于A，若cs A＝cs B，则A＝B，所以△ABC为等腰三角形，故A正确；
对于B，若A>B，则a>b，由正弦定理eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝2R，得2Rsin A>2Rsin B，即sin A>sin B成立，故B正确；
对于C，由余弦定理可得b＝eq \r(82＋102－2×8×10×\f(1,2))＝eq \r(84)，只有一解，故C错误；
对于D，若sin2A＋sin2B12．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin Asin Bsin C＝eq \f(1,8)，△ABC的面积为2，则下列选项错误的是( )
A．abc＝16eq \r(2)
B．若a＝eq \r(2)，则A＝eq \f(π,3)
C．△ABC外接圆的半径R＝2eq \r(2)
D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,sin A)＋\f(1,sin B)))2≥32sin C
答案 B
解析 由题可得eq \f(1,2)absin C＝2，则sin C＝eq \f(4,ab)，
代入sin Asin Bsin C＝eq \f(1,8)，
得eq \f(4sin Asin B,ab)＝eq \f(1,8)，
即R2＝8，即R＝2eq \r(2)，C正确；
abc＝8R3sin Asin Bsin C＝128eq \r(2)×eq \f(1,8)＝16eq \r(2)，A正确；
若a＝eq \r(2)，则sin A＝eq \f(a,2R)＝eq \f(\r(2),4\r(2))＝eq \f(1,4)，此时A≠eq \f(π,3)，B错误；
因为sin A>0，sin B>0，
所以(sin A＋sin B)2≥4sin Asin B，
所以eq \f(sin A＋sin B2,sin Asin B2)≥eq \f(4,sin Asin B)，
由sin Asin Bsin C＝eq \f(1,8)，得eq \f(4,sin Asin B)＝32sin C，
所以eq \f(sin A＋sin B2,sin Asin B2)≥32sin C，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,sin A)＋\f(1,sin B)))2≥32sin C，D正确．
13．(2023·嘉兴模拟)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知csin A＝eq \r(3)acs C，c＝2eq \r(3)，ab＝8，则a＋b的值是 ．
答案 6
解析 ∵csin A＝eq \r(3)acs C，根据正弦定理得sin Csin A＝eq \r(3)sin Acs C，
∵sin A≠0，故tan C＝eq \r(3)，∵C∈(0，π)，∴C＝eq \f(π,3)，
再由余弦定理得cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq \f(a＋b2－2ab－c2,2ab)＝eq \f(1,2)，
代入c＝2eq \r(3)，ab＝8，得a＋b＝6.
14．在△ABC中，已知AB＝4，AC＝7，BC边的中线AD＝eq \f(7,2)，那么BC＝ .
答案 9
解析 在△ABD中，结合余弦定理得cs∠ADB＝eq \f(BD2＋AD2－AB2,2BD·AD)，
在△ACD中，结合余弦定理得cs∠ADC＝eq \f(CD2＋AD2－AC2,2CD·AD)，
由题意知BD＝CD，∠ADB＋∠ADC＝π，
所以cs∠ADB＋cs∠ADC＝0，
所以eq \f(BD2＋AD2－AB2,2BD·AD)＋eq \f(CD2＋AD2－AC2,2CD·AD)＝0，
即eq \f(CD2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,2)))2－42,2×\f(7,2)CD)＋eq \f(CD2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,2)))2－72,2×\f(7,2)CD)＝0，解得CD＝eq \f(9,2)，
所以BC＝9.
15．(多选)(2023·珠海模拟)已知△ABC满足sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶eq \r(7)，且△ABC的面积S△ABC＝eq \f(3\r(3),2)，则下列命题正确的是( )
A．△ABC的周长为5＋eq \r(7)
B．△ABC的三个内角A，B，C满足关系A＋B＝2C
C．△ABC的外接圆半径为eq \f(2\r(21),3)
D．△ABC的中线CD的长为eq \f(\r(19),2)
答案 ABD
解析 因为△ABC满足sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶eq \r(7)，
所以a∶b∶c＝2∶3∶eq \r(7)，
设a＝2t，b＝3t，c＝eq \r(7)t，t>0，
利用余弦定理cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq \f(4t2＋9t2－7t2,12t2)＝eq \f(1,2)，
由于C∈(0，π)，所以C＝eq \f(π,3).
对于A，因为S△ABC＝eq \f(3\r(3),2)，
所以eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)·2t·3t·eq \f(\r(3),2)＝eq \f(3\r(3),2)，解得t＝1.
所以a＝2，b＝3，c＝eq \r(7)，
所以△ABC的周长为5＋eq \r(7)，故A正确；
对于B，因为C＝eq \f(π,3)，所以A＋B＝eq \f(2π,3)，故A＋B＝2C，故B正确；
对于C，利用正弦定理 eq \f(c,sin C)＝eq \f(\r(7),\f(\r(3),2))＝eq \f(2\r(21),3)＝2R，解得R＝eq \f(\r(21),3)，所以△ABC的外接圆半径为eq \f(\r(21),3)，故C错误；
对于D，如图所示，
在△ABC中，利用正弦定理eq \f(\r(7),\f(\r(3),2))＝eq \f(2,sin A)，解得sin A＝eq \f(\r(21),7)，
又a在△ACD中，利用余弦定理CD2＝AC2＋AD2－2AC·AD·cs A＝9＋eq \f(7,4)－2×3×eq \f(\r(7),2)×eq \f(2\r(7),7)＝eq \f(19,4)，
解得CD＝eq \f(\r(19),2)，故D正确．
16.如图，△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c.已知a2＋c2＝b2＋ac，则B＝ .若线段AC的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，且BC＝4，DE＝eq \r(6).则△BCE的面积为 ．
答案 eq \f(π,3) 2eq \r(3)
解析 在△ABC中，由余弦定理知cs B＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)，而a2＋c2＝b2＋ac，
∴cs B＝eq \f(1,2)，又0在△BCE中，设∠CEB＝θ，则eq \f(CE,sin \f(π,3))＝eq \f(BC,sin θ)，可得CE＝eq \f(2\r(3),sin θ)，
又AC的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，则∠ECA＝∠EAC＝eq \f(θ,2)，
∴sin eq \f(θ,2)＝eq \f(DE,CE)＝eq \f(\r(2)sin θ,2)，可得cs eq \f(θ,2)＝eq \f(\r(2),2)，而0<θ<π，故eq \f(θ,2)＝eq \f(π,4)，即θ＝eq \f(π,2).
∴CE＝2eq \r(3)，BE＝2，故△BCE的面积为eq \f(1,2)·CE·BE＝2eq \r(3).定理
正弦定理
余弦定理
内容
eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝2R
a2＝b2＋c2－2bccs A；
b2＝c2＋a2－2cacs B；
c2＝a2＋b2－2abcs C
变形
(1)a＝2Rsin A，
b＝2Rsin B，
c＝2Rsin C；
(2)sin A＝eq \f(a,2R)，
sin B＝eq \f(b,2R)，sin C＝eq \f(c,2R)；
(3)a∶b∶c
＝sin A∶sin B∶sin C
cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)；
cs B＝eq \f(c2＋a2－b2,2ac)；
cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)
A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系式
a＝bsin A
bsin A< aa≥b
a>b
解的个数
一解
两解
一解
一解