湖南省邵阳市2024届高三第二次联考 数学试题（含解析）

这是一份湖南省邵阳市2024届高三第二次联考 数学试题（含解析），共19页。试卷主要包含了保持答题卡的整洁，02；69；等内容，欢迎下载使用。

数学
本试卷共4页，19个小题.满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､班级､考号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡上“条形码粘贴区”.
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.
4.保持答题卡的整洁.考试结束后，只交答题卡，试题卷自行保存.
一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．一组数据：的第30百分位数为（ ）
A．30B．31C．25D．20
2．若集合，集合，则的真子集个数为（ ）
A．14B．15C．16D．31
3．已知为锐角，若，则（ ）
A．B．C．D．
4．某市举行乡村振兴汇报会，六个获奖单位的负责人甲､乙､丙等六人分别上台发言，其中负责人甲､乙发言顺序必须相邻，丙不能在第一个与最后一个发言，则不同的安排方法共有（ ）
A．240种B．120种C．156种D．144种
5．“四叶回旋镖”可看作是由四个相同的直角梯形围成的图形，如图所示，.点在线段与线段上运动，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
6．已知三棱锥中，平面，，则此三棱锥外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
7．已知直线与椭圆相交于两点.若弦被直线平分，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数的定义域为为的导函数.若，且在上恒成立，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
二､多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．已知函数，则下列结论正确的有（ ）
A．的最小正周期为B．关于点对称
C．关于直线对称D．在区间上单调递减
10．已知复数满足：(其中为虚数单位)，则下列说法正确的有( )
A．B．
C．的最小值为D．的最大值为
11．已知函数在上可导，且的导函数为.若为奇函数，则下列说法正确的有（ ）
A．B．
C．D．
三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12．已知等差数列的前项和为.若，，则 .
13．在中，边上的高为，则 .
14．已知，若恒成立，则实数的取值范围是 .
四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）
15．如图所示，在四棱台中，底面是菱形，平面.
(1)证明：；
(2)若，棱上是否存在一点，使得平面与平面的夹角余弦值为.若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由.
16．为了选拔创新型人才，某大学对高三年级学生的数学学科和物理学科进行了检测（检测分为初试和复试），共有4万名学生参加初试.组织者随机抽取了200名学生的初试成绩，绘制了频率分布直方图，如图所示.
(1)根据频率分布直方图，求的值及样本平均数的估计值；
(2)若所有学生的初试成绩近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，.规定初试成绩不低于90分的学生才能参加复试，试估计能参加复试的人数；
(3)复试笔试试题包括两道数学题和一道物理题，已知小明进入了复试，且在复试笔试中答对每一道数学题的概率均为，答对物理题的概率为.若小明全部答对的概率为，答对两道题的概率为，求概率的最小值.
附：若随机变量服从正态分布，则，.
17．设函数.
(1)求的极值；
(2)若对任意，有恒成立，求的最大值.
18．已知双曲线的左焦点为，点在双曲线上，直线与双曲线交于两点.
(1)若经过点，且，求；
(2)若经过点，且两点在双曲线的左支上，则在轴上是否存在定点，使得为定值.若存在，请求出面积的最小值；若不存在，请说明理由.
19．给定整数，由元实数集合定义其随影数集.若，则称集合为一个元理想数集，并定义的理数为其中所有元素的绝对值之和.
(1)分别判断集合是不是理想数集；（结论不要求说明理由）
(2)任取一个5元理想数集，求证：；
(3)当取遍所有2024元理想数集时，求理数的最小值.
注：由个实数组成的集合叫做元实数集合，分别表示数集中的最大数与最小数.
1．C
【分析】
从小到大排列后，由第百分位数的定义求解即可.
【详解】将这组数据从小到大排列为，
因为，
所以第30百分位数为第三个数，即为，
故选：C.
2．B
【分析】
先化简集合A,B，再求交集从而确定真子集个数.
【详解】由,得，故；
由，得，故，
则，故的真子集个数为.
故选：B.
3．A
【分析】
由平方关系以及半角公式（二倍角公式）运算即可求解.
【详解】已知为锐角，若，则，
所以.
故选：A.
4．D
【分析】
将甲乙捆绑，并确定丙的位置，排序即可.
【详解】将将甲乙捆绑看做一个元素，由丙不能在第一个与最后一个发言，
则丙的位置有3个，将剩余4个元素再排序有种方法，
故不同的安排方法共有种.
故选：D.
5．C
【分析】
建立平面直角坐标系，标出，，，四个点的坐标，写出向量，的坐标，即可表示出，进而可求得其范围．
【详解】
如图，以为原点建立平面直角坐标系，
易知，，，
当在线段上运动，设，其中，
所以，，
则，
因为，所以，
当在线段上运动，设，则，且,
则，故，，
则，
因为，所以，综上，的取值范围为.
故选：C.
6．B
【分析】
根据题意，利用正弦定理求得的外接圆的半径，再由球的截面的性质，求得外接球的半径，结合球的表面积公式，即可求解.
【详解】因为三棱锥中，平面，，
设底面的外接圆的半径为，三棱锥外接球的半径为，
由正弦定理得，可得
所以，
则外接球的表面为.
故选：B.

7．C
【分析】
由点差法解出，再由结合椭圆的性质和离心率的定义解出即可.
【详解】设，因为弦被直线平分，设中点坐标，
所以，①
因为点在直线上，代入可得
，两式相减可得，②
又点在椭圆上，代入可得，两式相减可得，
代入①②可得，又椭圆中，
所以离心率，
故选：C
8．D
【分析】
设，利用导数求得在上单调递减，把不等式转化为，即可求解.
【详解】
设函数，可得，
所以函数在上单调递减，
由，可得，即，
可得，所以，即不等式的解集为.
故选：D.
9．ACD
【分析】
由辅助角公式化简求出函数的解析式，再周期，对称性及单调性逐项判断各选项．
【详解】,
对于A, 的最小正周期为,故A正确；
对于B, ,故B错误；
对于C, 为函数最大值，故C正确；
对于D, ,则故在区间上单调递减，故D正确.
故选：ACD.
10．BC
【分析】
设，，根据已知条件求出两个复数对应点的轨迹，从而依次计算可得正确答案．
【详解】
设，则，即，
它表示以原点为圆心，半径为1的圆；
设，则由，得，
即，它表示一条直线；
对于选项A：，故选项A错误；
对于选项B：，故选项B正确；
对于选项C和D：表示圆上点与直线上点的连线段的长度，
该距离最小为圆心到直线距离减去圆的半径，即为；该距离无最大值（直线上的点可离圆上的点无穷远）；
故选：BC．
11．ACD
【分析】
根据已知条件可得的周期，由为奇函数可得的对称性，利用导数公式及函数的周期性、对称性可判断各选项.
【详解】对于D，由，所以，即，
所以的周期为4，
且，
所以，故D正确；
对于A，由为奇函数知关于对称，所以，
由得0，即，
故的周期为4且，可得，故A正确；
对于BC，由上知的周期为4且关于对称，所以关于对称，
则有，即，所以，
令，得，故，所以关于对称，
又，所以，故B错误；
又，所以，故C正确.
故选：ACD.
【点睛】
本题关键是利用函数的周期性和对称性，结合函数的导数即可判断各选项.
12．9
【分析】
根据等差数列求和公式及下标和性质求出，，再由计算可得.
【详解】因为等差数列的前项和为且，，
所以，，
所以，，
所以.
故答案为：
13．##
【分析】
作出图形，利用真假三角形边角关系求出，再利用诱导公式及和角的余弦公式计算得出结果.
【详解】令的内角所对边为c，过作于则，

在直角中，，，则，从而，
在直角中，，
从而，，
在中，，
所以.
故答案为：.
14．
【分析】
根据题意，将原不等式分离参数，然后换元，由函数的单调性可得最值，即可得到结果.
【详解】
原不等式等价于，
令.
令，且，
则在上单调递减，
.
故的范围是.
故答案为：
15．(1)证明见解析
(2)存在，或.
【分析】（1）利用线面垂直证线线垂直.
（2）根据已知条件建立空间直角坐标系，利用空间向量求平面与平面所成角，构造方程求解即可.
【详解】（1）
证明：连接，因为底面是菱形，所以，
又平面，平面，所以；
又，所以平面.
因为四棱台中，、延长线交于一点，
所以四点共面，所以.
（2）由（1）知，建立如图所示空间直角坐标系，
则，
若存在点满足题意，则设.
易知平面的一个法向量
设平面的法向量.
.
则则
令，则.
，解之得.
故在棱上存在点满足题意，此时或.
16．(1)0.02；69；
(2)910（人）
(3).
【分析】
（1）由矩形面积和为1求出，再由平均数公式计算;
（2）由正态分布求解，即可确定人数；
（3）由题意有，计算出答对两道题的概率为，利用换元思想得到关于x的函数，求导判断函数单调性求出最值
【详解】（1），
.
样本平均数的估计值为.
（2）.
.
能参加复试的人数约为（人）.
（3）由题意有.
答对两道题的概率.
而.
令，则，
当时，在内单调递减；
时，在内单调递增.
当时，.故概率的最小值为.
17．(1)极小值，无极大值；
(2).
【分析】
（1）求导，判断函数单调性即可确定极值;
（2）分离参数并构造新函数，求导，判断函数单调性求出最小值即可求解.
【详解】（1）.
令，得，令，得.
故在单调递减，在单调递增.
在处取得极小值，无极大值.
（2）对恒成立，即对恒成立.
令，则只需即可.
.
易知均在上单调递增，
故在上单调递增且.
当时，单调递减；
当时，单调递增.
.故，故的最大值为.
18．(1)；
(2)存在，.
【分析】
（1）先利用点在双曲线上和双曲线的性质求出双曲线方程，然后分直线的斜率存在与否讨论，存在时，设出直线方程，利用韦达定理法表示出，再代入直线方程表示出，最后利用向量的数量积为零求出斜率，再代入弦长公式求出弦长；
（2）假设存在，设直线方程，利用韦达定理法表示出，要使为定值，则，解出后得到点的坐标，再用弦长公式表示出三角形的面积，最后利用换元法和分离常数法结合复合函数的单调性求出面积的最小值.
【详解】（1）
把代入得：
，又.
又，解得.
双曲线方程为.
若直线的斜率不存在时，，此时不妨设.
，舍去.
若的斜率存在，设方程为，代入，化简得，，
设，则，
.
，得，即.则.
.
（2）
假设存在，使得为定值.
设方程为，代入，化简得.
由题意.
.
由题意.
要使为定值，则，解之得.
存在，使得为定值.
此时
令，
.
.
由复合函数的单调性可知在递减，
在时取得最大值1.
的最小值为.
【点睛】关键点点睛：
（1）求弦长时，可用弦长公式，韦达定理表示出两根之和和两根之积；
（2）对于直线过定点问题时，可采用向量垂直数量积为零，求出关于参数的方程，再讨论定点问题；
（3）求圆锥曲线中三角形的面积最值问题时，可用弦长公式表示出面积，再结合换元法或基本不等式或函数的单调性求出面积的最值.
19．(1)集合是理想数集，集合不是理想数集
(2)证明见解析
(3)1024144
【分析】（1）由理想数集的定义即可判断；
（2）为了方便说明，假定元素间一个有序关系为，从而分三种情况，，，讨论即可得证；
（3）首先通过分类讨论证明，对元理想数集，有.从而有，即，通过放缩与等差数列求和即可得解.
【详解】（1）设的随影数集分别为，
则，
所以集合是理想数集，集合不是理想数集.
（2）不妨设集合且，即.
为理想数集，，则，且，使得.
当时，.
当且仅当且时，等号成立；
当时，.
当且仅当且时，等号成立；
当时，.
当且仅当时，等号成立.
综上所述：.
（3）设.
为理想数集.
，且，使得.
对于，同样有.
下先证对元理想数集，有.
不妨设集合中的元素满足.即.
为理想数集，
，且，使得.
当时，，
当且仅当且时，等号成立；
当时，，当且仅当且时，等号成立；
当时，.
当且仅当时，等号成立.
.
.当且仅当时，等号成立.
.
理数.
当且仅当或时，等号成立.
理数的最小值为.
【点睛】关键点点睛：关键是通过分类讨论证明，对元理想数集，有，由此即可顺利得解.