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湖南省邵阳市2024届高三第一次联考数学试题（学生版）
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这是一份湖南省邵阳市2024届高三第一次联考数学试题（学生版），共6页。试卷主要包含了保持答题卡的整洁， 设，则的大小关系为， 下列说法正确的有等内容，欢迎下载使用。
本试卷共4页，22个小题.满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､班级､考号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡上“条形码粘贴区”.
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.
4.保持答题卡的整洁.考试结束后，只交答题卡，试题卷自行保存.
一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合，则集合的元素个数为（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 1
2. 下列各式的运算结果不是纯虚数的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 命题“”的否定为（ ）
A. B.
C. D.
4. 若抛物线上一点到焦点的距离是，则的值为（ ）
A. B. C. D.
5. 如图所示，四边形是正方形，分别，的中点，若，则的值为（ ）
A B. C. D.
6. 苗族四月八日“姑娘节”是流传于湖南省绥宁县的民俗活动，国家级非物质文化遗产之一.假设在即将举办的“姑娘节”活动中，组委会原排定有8个“歌舞”节目，现计划增加2个“对唱”节目.若保持原来8个节目的相对顺序不变，则不同的排法种数为（ ）
A. 56B. 90C. 110D. 132
7. 已知函数在上单调递增，在上单调递减，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
8. 设，则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
二､多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9. 设点为圆上一点，已知点，则下列结论正确的有（ ）
A. 的最大值为
B. 的最小值为8
C. 存在点使
D. 过A点作圆的切线，则切线长为
10. 下列说法正确的有（ ）
A. 将总体划分为2层，通过分层随机抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为，和，且，则总体方差
B. 在研究成对数据的相关关系时，相关关系越强，相关系数越接近于1
C. 已知随机变量，若，则
D. 已知一组数据为，则这组数据的第40百分位数为39
11. 如图所示，已知正四棱柱中，为的中点，则（ ）
A 平面
B. 平面
C. 为棱上任一点，则三棱锥的体积为定值
D. 平面截此四棱柱的外接球得到的截面面积为
12. 已知函数与其导函数的定义域均为，且和都是奇函数，且，则下列说法正确的有（ ）
A. 关于对称B. 关于对称
C. 是周期函数D.
三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 的展开式中的系数为__________.
14. 已知数列首项为，则__________.
15 已知，则__________.
16. 已知椭圆和双曲线有相同的焦点，它们的离心率分别为，点为它们的一个交点，且.当取最小值时，的值为__________.
四､解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）
17. 现有两台车床加工同一型号的零件.第1台车床的正品率为，第2台车床的正品率为，将加工出来的零件混放在一起.已知第1，2台车床加工的零件数分别为总数的.
（1）从混放的零件中任取1件，如果该零件是次品，求它是第2台车床加工出来的概率；
（2）从混放的零件中可放回抽取10次，每次抽取1件，且每次抽取均相互独立.用表示这10次抽取的零件是次品的总件数，试估计的数学期望.
18. 在中，内角满足.
（1）求角的大小；
（2）若，求的最大值.
19. 如图所示，圆台的上､下底面圆半径分别为和为圆台的两条不同的母线.分别为圆台的上､下底面圆的圆心，且为等边三角形.
（1）求证：；
（2）截面与下底面所成的夹角大小为，求异面直线与所成角的余弦值.
20. 设数列满足：.等比数列的首项，公比为2.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
21. 已知椭圆的短轴长为，右顶点到右焦点的距离为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）如图所示，设点是椭圆右顶点.过点的直线与椭圆相交于不同的两点，且都在轴的上方.在轴上是否存在点，使，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
22. 已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）设，求证：当时，恰有两个零点.
本试卷共4页，22个小题.满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､班级､考号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡上“条形码粘贴区”.
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.
4.保持答题卡的整洁.考试结束后，只交答题卡，试题卷自行保存.
一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合，则集合的元素个数为（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 1
2. 下列各式的运算结果不是纯虚数的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 命题“”的否定为（ ）
A. B.
C. D.
4. 若抛物线上一点到焦点的距离是，则的值为（ ）
A. B. C. D.
5. 如图所示，四边形是正方形，分别，的中点，若，则的值为（ ）
A B. C. D.
6. 苗族四月八日“姑娘节”是流传于湖南省绥宁县的民俗活动，国家级非物质文化遗产之一.假设在即将举办的“姑娘节”活动中，组委会原排定有8个“歌舞”节目，现计划增加2个“对唱”节目.若保持原来8个节目的相对顺序不变，则不同的排法种数为（ ）
A. 56B. 90C. 110D. 132
7. 已知函数在上单调递增，在上单调递减，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
8. 设，则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
二､多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9. 设点为圆上一点，已知点，则下列结论正确的有（ ）
A. 的最大值为
B. 的最小值为8
C. 存在点使
D. 过A点作圆的切线，则切线长为
10. 下列说法正确的有（ ）
A. 将总体划分为2层，通过分层随机抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为，和，且，则总体方差
B. 在研究成对数据的相关关系时，相关关系越强，相关系数越接近于1
C. 已知随机变量，若，则
D. 已知一组数据为，则这组数据的第40百分位数为39
11. 如图所示，已知正四棱柱中，为的中点，则（ ）
A 平面
B. 平面
C. 为棱上任一点，则三棱锥的体积为定值
D. 平面截此四棱柱的外接球得到的截面面积为
12. 已知函数与其导函数的定义域均为，且和都是奇函数，且，则下列说法正确的有（ ）
A. 关于对称B. 关于对称
C. 是周期函数D.
三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 的展开式中的系数为__________.
14. 已知数列首项为，则__________.
15 已知，则__________.
16. 已知椭圆和双曲线有相同的焦点，它们的离心率分别为，点为它们的一个交点，且.当取最小值时，的值为__________.
四､解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）
17. 现有两台车床加工同一型号的零件.第1台车床的正品率为，第2台车床的正品率为，将加工出来的零件混放在一起.已知第1，2台车床加工的零件数分别为总数的.
（1）从混放的零件中任取1件，如果该零件是次品，求它是第2台车床加工出来的概率；
（2）从混放的零件中可放回抽取10次，每次抽取1件，且每次抽取均相互独立.用表示这10次抽取的零件是次品的总件数，试估计的数学期望.
18. 在中，内角满足.
（1）求角的大小；
（2）若，求的最大值.
19. 如图所示，圆台的上､下底面圆半径分别为和为圆台的两条不同的母线.分别为圆台的上､下底面圆的圆心，且为等边三角形.
（1）求证：；
（2）截面与下底面所成的夹角大小为，求异面直线与所成角的余弦值.
20. 设数列满足：.等比数列的首项，公比为2.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
21. 已知椭圆的短轴长为，右顶点到右焦点的距离为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）如图所示，设点是椭圆右顶点.过点的直线与椭圆相交于不同的两点，且都在轴的上方.在轴上是否存在点，使，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
22. 已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）设，求证：当时，恰有两个零点.
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