新高考数学解答题核心考点分解训练与突破专题03：三角形中的最值和值域问题含解析答案

这是一份新高考数学解答题核心考点分解训练与突破专题03：三角形中的最值和值域问题含解析答案，共46页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．在中，，，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2．已知△ABC是钝角三角形，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝3，b＝4，则最大的边c的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，则面积的最大值是（ ）
A．B．C．D．
4．在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，．若，则面积的最大值为（ ）
A．B．C．16D．
5．已知三个内角，，及其对边，，，其中，角为锐角，且， 则面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
6．在中，角所对的边分别为，且的面积.若，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
7．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
8．设的内角，，所对的边分别为，，，已知，且，则的面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
9．在中，若是边上的高，，则的最大值为（ ）
A．B．C．1D．
10．在中，内角，，的对边分别是，，，若满足，，则三角形周长的取值范围为
A．B．C．D．
11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c， ，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD＝1，则 的最小值为（ ）
A．8B．9C．10D．7
12．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
13．在中，角所对的边分别为，面积为，且.当取得最大值时，的值为（ ）
A．B．C．D．
14．已知为锐角三角形，，，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
15．在中，内角的对边分别为，若，且，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
16．锐角中，已知，则取值范围是（ ）
A．B．C．D．
17．在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
18．在锐角△中，角所对的边分别为，若，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
19．在中，已知，，，满足此条件的三角形只有一个，则满足（ ）
A．B．
C．D．
20．锐角三角形ABC中，a、b、c分别是三内角A、B、C的对边，如果B＝2A，则的取值范围是( )
A．(－2,2)B．(0,2)C．(，)D．(，2)
21．锐角中，内角，，所对的边分别为，，，，且，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
22．在锐角中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.若，且，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
23．已知中，角对应的边分别为，是上的三等分点（靠近点）且，，则的最大值是（ ）
A．B．C．2D．4
24．锐角中,，若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
25．已知锐角三角形边长分别为1，2， x，则x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．不确定
26．在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则c的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
27．在中，角、、所对的边分别为、、，已知，，则面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
28．在中，角的对边分别为，若，，则面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
29．在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，则面积的最大值为( )
A．1B．3C．2D．4
30．已知中角、、对边分别为、、，若，，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．以上都不对
31．记的内角 ，，的对边分别为，，.已知，，则周长的最大值为（ ）
A．B．C．3D．
32．在中，，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
33．在中，，为边上一点，，且，则的面积可能是（ ）
A．B．C．D．
34．三角形的三边所对的角为，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．若面积为，则周长的最小值为12
C．当，时，D．若，，则面积为
35．已知锐角三角形三个内角的对应边分别为，且，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．的取值范围为
C．的周长最小值为6D．的取值范围为
36．在锐角中，角的对边分别为，外接圆半径为，若，，则（ ）
A．B．
C．的取值范围为D．周长的最大值为
37．在锐角中，角，，所对边分别为，，，外接圆半径为，若，，则（ ）
A．B．
C．的最大值为3D．的取值范围为
38．在中，，，则下列判断正确的是（ ）
A．的周长有最大值为21
B．的平分线长的最大值为
C．若，则边上的中线长为
D．若，则该三角形有两解
39．中，是角的对边，，则（ ）
A．若，则
B．若，则的面积为
C．若，则角的角平分线
D．若为锐角三角形，，则边长
40．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，若角A的内角平分线的长为3，则的可能取值有（ ）
A．21B．24C．27D．36
三、填空题
41．已知锐角三角形的边长分别为1，3，，则的取值范围是 ．
42．在中，三内角对应的边分别为，且，则面积的最大值为 ．
43．在中，，，的对边分别为，，，且满足，，则面积的最大值为 ．
44．在中，，且，则面积的最大值为 .
45．中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则面积的最大值为 .
46．在中，，点D在边BC上，，若的面积为，则AD的最大值为 .
47．在中，三个内角所对的边分别为， ， ，则的取值范围为 ．
48．已知的内角、、的对边分别为、、，若且，则的周长的取值范围为 .
49．中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为，，，三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，则此三角形面积的最大值为 ．
50．已知分别为三个内角的对边，，且，则周长的取值范围为 ．
51．在三角形中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则该三角形周长的最大值为 .
52．在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且∠BAC的平分线交BC于D，若，则的最小值为 ．
53．若一个三角形的三边长分别为a，b，c，设，则该三角形的面积，这就是著名的“海伦-秦九韶公式”若△ABC的周长为8，，则该三角形面积的最大值为 .
54．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，角B的平分线交AC于点D，且，则周长的最小值为 ．
55．在锐角中，，，则的取值范围为 .
56．在中，若，则面积的最大值为 ．
57．若，且是锐角三角形，则周长的取值范围 ．
58．在锐角中，角的对边分别为，若，则的取值范围是 ．
59．已知，，分别为锐角三个内角，，的对边，，，则周长范围为 .
60．已知钝角三角形的三边a=k，b=k+2，c=k+4，则k的取值范围是 .
61．在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝2，，则b的取值范围为 ．
62．在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．若的外接圆的面积为，则三角形面积的取值范围是 ．
63．在锐角中，，，分别表示角所对边的长，，且，则的取值范围是 .
64．在中，三边a，b，c互不相等，且a为最长边，若，则A的取值范围是 .
65．已知△ABC是钝角三角形，角A，B，C的对边依次是a，b，c，且，，则边c的取值范围是 ．
66．在中，，D为BC边上一点，且，则的最小值为 .
67．设锐角的三个内角，，的对边分别为，，，且，，则周长的取值范围为
参考答案：
1．A
【分析】由三角形的三边关系可得的范围，根据余弦定理求，由基本不等式及余弦函数的性质即可求解.
【详解】因为，，,
所以.
由余弦定理可得,
当且仅当时等号成立,
因为，所以.
故选:A.
2．B
【分析】根据余弦定理，结合三角形两边和大于第三边求解即可
【详解】由题意，，故，故，又三角形两边和大于第三边，故，故
故选：B
3．C
【解析】用正弦定理化边为角，求出，，，再用余弦定理求出的关系，由基本不等式得的最大值，从而可得三角形面积的最大值．
【详解】因为，所以，
所以，即，，.
由余弦定理可得，即，则，
故的面积.
故选：C．
【点睛】关键点点睛：本题考查求三角形面积的最值，应用的知识较多：正弦定理进行边角转换，同角间的三角函数关系，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式等．要求掌握所有的知识点才能正确求解，本题属于中档题．
4．B
【分析】根据诱导公式，结合二倍角公式与正弦定理与余弦定理化简可得，再根据基本不等式结合面积公式求解最值即可
【详解】由，，
所以，即，
所以，因为，所以．
因为，所以，所以，当且仅当时等号成立，所以．
故选：B．
5．A
【解析】由余弦定理求得，且，再由三角形的面积公式和基本不等式可得选项.
【详解】由得，所以，即，而，所以，
所以，又因为，
所以，所以，，
故选：A.
【点睛】本题考查运用余弦定理解三角形，三角形的面积公式，以及运用基本不等式求最值，属于中档题.
6．D
【分析】由三角形面积公式，余弦定理结合基本不等式求解即可
【详解】因为，
所以，
因为，
所以，
由余弦定理，即，
当且仅当时，等号成立，
所以.
故选：D
7．B
【分析】中，由正弦定理可得，利用余弦定理可得：．再利用余弦定理及其基本不等式的性质可得的最小值，可得的最大值，即可得出三角形面积的最大值．
【详解】由正弦定理得：
由余弦定理得：，即

当且仅当时，即，，时取等号，
,
则，所以面积的最大值.
故选：B
8．B
【分析】根据，利用正弦定理化角为边，结合余弦定理求得角，再根据，利用余弦定理化角为边求得边，再利用余弦定理结合基本不等式求得的最大值，再根据三角形的面积公式即可得出答案.
【详解】因为，由正弦定理得得，
所以，又，所以，
因为，所以，所以，
由，得，
所以，当且仅当时，取等号，
则，
所以的面积的最大值为.
故选：B.
9．B
【分析】利用余弦定理求得角，再利用基本不等式可求得的最大值，再根据，即可得出答案.
【详解】解：因为，
所以，
又，所以，
则，
所以，当且仅当时取等号，
又是边上的高，
则，
所以，
所以的最大值为.
故选：B.
10．C
【分析】首先通过三角形内角和以及两角和的余弦公式可得，利用余弦定理以及基本不等式可求出，再由三角形任意两边之和大于第三边求得，由此求得的周长的取值范围.
【详解】∵，∴，
即，
又∵A，B，C为三角形内角，，∴，即，
在中，由余弦定理可得，化简得，
∵，∴，
解得（当且仅当，取等号），∴，
再由任意两边之和大于第三边可得，故有，
则的周长的取值范围是，故选C．
【点睛】本题主要考查了余弦定理，以及基本不等式的运用，熟练掌握余弦定理是解本题的关键，属于中档题.
11．B
【分析】根据三角形面积可得到，将变为，展开后利用基本不等式，即可求得答案.
【详解】由题意得 ，
即 ，得，
得 ，
当且仅当，即时，取等号，
故选：B．
12．A
【分析】由正弦定理化边为角，然后由两角和的正弦公式、诱导公式变形后可求得，再利用正弦定理把表示出的三角函数，由三角恒等变换，结合正弦函数性质可得取值范围．
【详解】因为
由正弦定理可得，即，
所以，因为，所以，
所以，
因为，所以，所以，即，
故选：A．
13．A
【分析】根据面积公式以及正弦定理得，进而根据不等式求解的最值，即可得，，进而根据余弦定理即可求解.
【详解】由得,由正弦定理得，
因此，当且仅当时取等号，
故当时，取到最大值3，此时，，
故，
故选：A
14．C
【分析】根据锐角三角形得出角的范围，再利用正弦定理及三角函数的性质即可求解.
【详解】因为为锐角三角形，所以,解得,
所以.
在中，由正弦定理，得，即,
由，得，即.
所以的取值范围为.
故选：C.
15．C
【分析】由正弦定理和余弦定理求出，从而得到，由正弦定理化边为角，，结合，利用正弦函数图象，求出，得到答案.
【详解】因为，
所以，整理得，
所以，
又，所以，
又，所以，解得，
所以
又，则，
所以，
即的取值范围为.
故选：C.
16．D
【分析】由余弦定理得：，再由正弦定理得：，则，利用三角形内角和定理和三角函数的恒等变换，转化为求三角函数的值域，求出范围即可得到结果.
【详解】，由余弦定理得：，即，
由正弦定理得：，，
，
又由得：，，
，
.
故选：D
【点睛】本题主要考查了正余弦定理的应用，三角函数的性质，解题的关键是将边化角转化为三角函数的值域求解.
17．C
【分析】由正弦定理边化角得到，由锐角三角形求出，然后将的取值范围转化为函数的值域问题求解即可.
【详解】因为，所以由正弦定理得：,
即，所以，即，又，所以.
因为锐角三角形ABC，所以，即，解得.
.
令，因为，所以，
则在单调递减，
所以.
故选：C.
18．A
【分析】由正弦边角关系、三角恒等变换及三角形内角性质可得，进而有，再把化为并确定的范围，应用余弦函数性质求范围即可.
【详解】由，则，
所以，
则，
所以或（舍），故，
综上，，且
所以，
，
由锐角△，则，可得，则，
所以，故.
故选：A
【点睛】关键点点睛：将条件由边化角求角的关系，即，再把目标式，由边化角得求范围.
19．D
【分析】结合正弦定理得，满足条件的三角形只有一个，即有唯一的角与其对应，即可确定B的范围，求得结果.
【详解】由正弦定理得，则有，.
∵满足条件的三角形只有一个，即有唯一的角与其对应，则，故.
故选：D
20．C
【详解】解：因为B＝2A，故sinB=sin2A,
故所求的范围是选C
21．B
【分析】由正弦定理边化角可得，由为锐角三角形可得，运用二倍角的正弦公式以及辅助角公式将已知式化为，再由三角函数的性质求解即可.
【详解】因为在锐角中，，且，
所以，则，
所以，则或（舍去），所以，
，
因为为锐角三角形，，
所以，
所以，所以，
，
故选：B.
22．B
【分析】先由二倍角的余弦公式化简，可得，再根据条件，利用正弦定理边化角，可得，进而将利用正弦定理边化角可得，进而可得取值范围.
【详解】，，
，即，
因为为锐角三角形，所以，则.
由正弦定理得：
所以，
所以.
因为为锐角三角形，所以，
，
所以，
所以.
故选：B.
23．A
【分析】先利用正弦定理的边角变换与余弦定理可求得，再设，利用正弦定理与正弦函数的和差角公式得到，从而得解.
【详解】因为，
由正弦定理得，则，即，
所以，，则，

设，则，且，
在中，，则，
在中，，则，
又，即，
又由正弦定理知（为的外接圆半径），
所以，
则，即，
又，故当，时，.
故选：A
24．D
【分析】先利用正弦定理化角为边可得,则利用余弦定理可得,再由正弦定理可得,根据的范围即可求解.
【详解】由题,由正弦定理可得,整理可得,
所以,即,
又,
所以
,
因为锐角三角形,所以,所以,
则,所以,
所以,
故选：D.
25．C
【分析】根据三角形三边关系和余弦定理即可求出第三边的取值范围.
【详解】由题意，设三角形为，
由三角形的几何性质，
∴，
∵三角形是锐角三角形，，
∴只需要为锐角，
∵，即，
，即，
联立解得：，
故选：C.
26．C
【分析】根据锐角可确定角B的范围，结合正弦定理表示出c，结合正弦函数性质即可求得答案.
【详解】在锐角中， ，,
故，则，则
由正弦定理可得，
故选：C
【点睛】关键点睛：本题难度并不大，解答的关键是根据三角形为锐角三角形要确定角B的范围，结合正弦定理表示出c，即可求得答案.
27．B
【分析】利用余弦定理结合基本不等式可求得的最大值，再利用三角形的面积公式可求得面积的最大值.
【详解】由余弦定理可得，即，
当且仅当时，等号成立，故.
因此，面积的最大值为.
故选：B.
28．B
【分析】利用正弦定理边化角可化简已知等式求得，进而得到；利用余弦定理和基本不等式可求得，代入三角形面积公式即可求得结果.
【详解】由正弦定理得：，
，
，，，，，
，解得：；
由余弦定理得：，
（当且仅当时取等号），，
.
故选：B.
29．C
【分析】根据利用三角恒等变换和正余弦定理得到，再根据余弦定理和基本不等式可得csB的范围，由此得B的范围，从而得到sinB的最大值，从而根据可求△ABC面积的最大值．
【详解】，
，
即，
即，
则，
整理得，
∴，
当且仅当a2=3c2⇔c=83,a=83时取等号，
，
则．
故选：C．
30．C
【分析】利用余弦定理结合基本不等式可求得的最大值.
【详解】由余弦定理可得
，
所以，，即，
当且仅当时，等号成立，故的最大值为.
故选：C.
31．C
【分析】利用正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式化简可得，求出角B，利用余弦定理结合基本不等式求出的最大值，即可求得答案.
【详解】由,可得,
即，即，
因为，故，
而，故，
故，即，
解得，当且仅当时取等号，
故周长的最大值为，
故选：C
32．A
【分析】利用正弦定理边角化及三角形的内角和定理，结合两角的正弦公式及两角和的余弦公式，再利用余弦函数的性质即可求解.
【详解】由及正弦定理，得，
，
又,
,
.
又，
，
，
,
的取值范围为.
故选：A.
33．BCD
【分析】利用建立方程，利用基本不等式求出面积的最小值，逐项判断即可.
【详解】设AB=m，AC=n．由，
得，所以，
又，所以，即，当且仅当时，等号成立，
所以，
故面积的最小值是，结合选项，符合题意.
故选：BCD
34．ABD
【分析】由题意可得，选项A：利用正弦定理边角互化结合余弦定理即可求角的大小；选项B：由三角形面积和角可得，利用均值不等式求周长最小值即可；选项C：利用边角互化后得到的解即可；选项D：利用正弦定理求，然后后面积公式求解即可.
【详解】因为，
由题意可得，
整理得，
由正弦定理边角互化得，
又由余弦定理得，所以，A正确；
当时，，所以，当且仅当时等号成立，
所以，即，
所以，B正确；
由当，时，，解得，C错误；
由，得，由正弦定理得解得，
又因为，
所以，D正确；
故选：ABD.
35．AD
【分析】根据已知，利用三角形的性质、正弦定理以及三角函数的性质进行计算求解.
【详解】因为在中，，，设的外接圆的半径为，则，
对于A选项，由正弦定理有：,
又，所以，故A正确；
对于B，由正弦定理有：，
因为锐角三角形，且，则，解得，
则，故，即，故B错误；
对于C，的周长
，
又，所以，故，
则，故C错误；
对于D，
，
又，所以，故,即，故D正确.
故选：AD.
36．ACD
【分析】根据正弦定理即可得外接圆半径，即可判断A；由锐角得角的范围，从而得的范围，由正弦定理得，即可得的范围，即可判断B；根据数量积的定义将，再由，结合三角恒定变换将其转换为正弦型函数，利用正弦型函数的性质即可得的取值范围为从而判断C；同样由正弦定理得，将三角形周长边化角之后，结合三角恒定变换将其转换为正弦型函数，利用正弦型函数的性质即可得周长的最大值，即可判断D.
【详解】由正弦定理得，则，故A正确；
在锐角中，，则，所以，得，则，
由正弦定理得，则，故B不正确；
又
由于，所以，则，于是有，
即的取值范围为，故C正确；
由正弦定理得，则，所以周长为：
由于，所以，则，于是有，
故周长的最大值为，故D正确.
故选：ACD.
37．AC
【分析】根据正弦定理即可得外接圆半径，即可判断A；由锐角得角的范围，从而得的范围，由正弦定理得，即可得的范围，即可判断B；由余弦定理及基本不等式求的最大值，注意取最大的条件从而判断C；同样由正弦定理得，将边化角之后，结合三角恒定变换将其转换为正弦型函数，利用正弦型函数的性质即可得的取值范围，即可判断D.
【详解】对于A，由正弦定理可得：，所以，故A正确；
对于B，由正弦定理可得：，
所以，因为为锐角三角形，
所以，
所以，故B不正确；
对于C，，则，
当且仅当时等号成立，所以的最大值为3，C正确；
对于D，由正弦定理得，则，
所以，
由于，所以，则，于是有，
故的取值范围为，故D不正确.
故选：AC.
38．ABD
【分析】A选项，由余弦定理和基本不等式求出，从而得到周长的最大值；B选项，作出辅助线，表达出，由基本不等式求出的最值；C选项，由三角恒等变换求出，由正弦定理求出，再在中，由余弦定理求出答案；D选项，判断出，得到三角形解的个数.
【详解】A选项，，故，
变形得到，解得，
当且仅当时，等号成立，
故的周长有最大值为，A正确；
B选项，如图，为三角形的角平分线，故，
过点作⊥于点，⊥于点，
则，设，则，
，
又，
所以，解得，
由A选项可知，又，故，，
当且仅当时，等号成立，
所以，则，
故的平分线长的最大值为，B正确；
C选项，若，则，
故，
在中，由正弦定理得，即，解得，
在中，由余弦定理得，
解得，故边上的中线长为，C错误；
D选项，若，则，
而，则该三角形有两解，D正确.
故选：ABD
39．ABD
【分析】根据题意并结合余弦定理可得，由正弦定理以及三角恒等变换可得，即可判断AB正确；由等面积可知，即C错误；根据三角形形状可得，即可确定，可解得，所以D正确.
【详解】根据题意由，结合余弦定理可得，
，又因为，所以；
利用正弦定理可得，
再由可得，，
即，所以；
又因为，所以，即；
对于A，若，则，故A正确；
对于B，若，则，由可得，
所以的面积为，即B正确；
对于C，如下图所示：

由等面积可知，
由选项B可得，所以，
即，解得，所以C错误；
对于D，若为锐角三角形，，则可得，
且，即，解得，所以
又，所以，因此，即D正确.
故选：ABD
40．CD
【分析】由正弦定理和余弦定理得到，结合三角形面积列出方程，得到，再由基本不等式求出最值，验证后得到答案.
【详解】在中，，
由正弦定理得，即，
由余弦定理得，而，则，
角A的内角平分线的长为3，由得,
，
即，因此，
则，
当且仅当，即时取等号，
所以当时，取得最小值27．
若，又，联立得到，
因为，结合韦达定理，得到两根之和，两根之积均大于0，
故方程有正根，故满足要求.
故选：CD
41．
【详解】由三角形中三边关系及余弦定理可得应满足
，解得，
∴实数的取值范围是．
答案：
点睛：
根据三角形的形状判断边满足的条件时，需要综合考虑边的限制条件，在本题中要注意锐角三角形这一条件的运用，必须要考虑到三个内角的余弦值都要大于零，并由此得到不等式，进一步得到边所要满足的范围．
42．
【分析】利用余弦定理和基本不等式可得的范围，再由三角形面积公式得解.
【详解】根据题意由余弦定理可得： ，
即，
所以（当且仅当时等号成立）
∴，（当且仅当时等号成立），
即面积最大值．
故答案为：
43．
【详解】∵A+B+C=π，
∴，
∴． ∴，.
∵，由余弦定理可得：，（当且仅当b=c=2，不等式等号成立）, ∴．∴S△ABC．
故答案为．
点睛：本题是解决解三角形问题，需用到二倍角公式，三角形的面积公式，基本不等式的运用，知识点多，计算需要细心，特别是注意边角互化的应用．
44．
【解析】由正弦定理求得，再利用余弦定理及基本不等式得解
【详解】因为，且，
由正弦定理得，所以
由余弦定理的（当且仅当时等号成立）

故答案为：
【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是能熟练运用正弦定理、余弦定理、面积公式及基本不等式，综合性较强.
45．
【分析】由正弦定理得到，结合基本不等式得到，从而求出，得到面积的最大值.
【详解】由正弦定理得，，
因为，所以，即，
由余弦定理得，
由基本不等式得，故，
故，故，
当且仅当时，等号成立，面积的最大值为
故答案为：
46．
【分析】先根据三角形的面积公式求出，再利用和的面积和为以及基本不等式求解.
【详解】
设的角，，所对的边分别为，则
在中，，的面积为，
所以，解得，
因为，所以，所以，
因为和的面积和为，
所以，解得，
因为，当且仅当，即时取等号，
所以.
故答案为：.
47．
【分析】根据已知利用余弦定理和基本不等式，可以求出的表达式，对进行化简，最后求出的取值范围．
【详解】因为，，由余弦定理得，
所以，
当且仅当时等号成立．
∴，又
∴，又因为，
所以，即取值范围为．
故答案为：
48．
【分析】由余弦定理结合基本不等式可得，再由三角形三边关系可得，可得，进一步可得周长的取值范围.
【详解】因为，所以，
由基本不等式可得，
当且仅当时，等号成立，此时，
由三角形三边关系可得，所以，
则，
所以的周长的取值范围为.
故答案为：.
49．
【分析】由海伦秦九韶公式可得关于，的式子，再利用基本不等式求出得最大值．
【详解】由，，可得，
则，
当且仅当时，取得等号，
所以此三角形面积的最大值为．
故答案为：．
50．
【分析】根据余弦定理结合基本不等式求出，再结合三角形中两边之和大于第三边得解.
【详解】因为，，
由余弦定理得，
当且仅当时等号成立．
∴，∴，
又因为，所以，
即周长取值范围为.
故答案为：.
51．
【分析】利用正弦定理化简式子，求出的值，进而求出的大小，由余弦定理结合基本不等式即可求出，即可求出三角形周长的最大值.
【详解】由正弦定理变形有：，又因为，所以，则，又因为，所以，
又因为，
所以，当且仅当 “”时取等.
则该三角形周长的最大值为.
故答案为：.
52．9
【分析】先根据三角形面积关系列等量关系，再根据基本不等式求最值.
【详解】因为AD平分∠BAC，所以，，
即，又，
整理得，故
所以，
当且仅当，，即，时等号成立，
则的最小值是9．
故答案为：.
53．
【分析】计算得到，，，根据均值不等式得到，代入计算得到答案.
【详解】，，，，，
当时等号成立.
.
故答案为：.
54．
【分析】利用正弦定理、余弦定理建立的关系式，结合基本不等式求得周长的最小值.
【详解】因为的平分线交于，，
所以，即，
因为，所以由二倍角公式可得，
即，所以，
由余弦定理有，
所以，
整理得，
所以，
整理得，所以，
当且仅当时等号成立，
所以三角形周长的最小值为.
故答案为：

55．
【详解】解：在锐角△ABC中，BC=1，∠B=2∠A，∴π 2 ＜3 A＜π，且 0＜2A＜π 2 ，故 π 6 ＜A＜π 4 ，故 ＜csA＜ ． 由正弦定理可得 1： sinA =" b" ：sin2A ，∴b=2csA，∴＜b＜ ．
56．1
【分析】由三角恒等变换得出，再由正弦定理结合正弦函数的性质得出面积的最大值.
【详解】因为，即．
又因为，所以，因为，所以，
即，
所以，当时，取得最大值1．
故答案为：1
57．
【分析】由正弦定理及周长求法，应用三角恒等变换得周长，且，即可求范围.
【详解】根据正弦定理，那么，
所以三角形的周长，
整理得：，又锐角三角形，则，故，
所以，故，故周长的取值范围是．
故答案为：
58．
【分析】先利用正余弦定理将统一成边的形式化简可得，再由结合可得，然后利用正弦定理可得，化简后利用正弦函数的性质可求得结果.
【详解】因为中，，
所以根据正余弦定理得到
化简得 解得；
因为
所以，
因为，
所以，
，
解得，
因为为锐角三角形，所以，
所以，
所以，
所以，得，
由正弦定理得，
所以，
所以
因为，所以，
所以，
所以
所以的取值范围是，
故答案为：.
59．
【分析】首先根据正弦定理边角互化为，再由余弦定理得到，利用正弦定理和三角函数求周长的范围.
【详解】由已知，即
得，
由正弦定理 ，
，
三角形的周长为

，
是锐角三角形是锐角三角形，
, ,

周长的取值范围为.
故答案为：
【点睛】本题考查正余弦定理解三角形和三角函数求值域，意在考查转化与化归和计算能力.
60．
【分析】先解不等式，再结合两边之和大于第三边求解.
【详解】解：∵，且为钝角三角形，
∴为钝角，
∴，
∴，解得，
由两边之和大于第三边得，∴.
∴.
故答案为：
61．
【分析】利用正、余弦定理得，再利用正弦定理得，最后根据三角形为锐角三角形求出的范围即可得到答案.
【详解】由余弦定理得，
则，则根据正弦定理得，
又因为，，
即，
化简得，因为是锐角三角形，则，
则，则则，则，
则，解得，
根据正弦定理有，
，，
故答案为：.
62．
【分析】由正弦定理和三角恒等变换将题干中等式化简求得角B，再根据的外接圆的面积求得其直径，代入三角形面积公式中，化为三角函数求其值域即可.
【详解】由
∴
得
，
所以，
因为所以，所以，
而，所以．
又由的外接圆的面积为，所以外接圆直径，
所以，
因为为锐角三角形，所以，
的面积取值范围为．
故答案为：.
63．
【分析】根据题意利用三角恒等变换整理得，利用正弦定理边化角结合三角恒等变换整理，结合三角函数求取值范围.
【详解】因为，
，
由于，即，
整理得，
又因为，则，可得，即，
且，可得，
因为为锐角三角形，则，解得，
由正弦定理可得，即，
可得
，
因为，则，可得，
所以，
故的取值范围是.
故答案为：.
64．
【分析】利用余弦定理即可判断角的范围，从而集合a为最长边，即可得出答案.
【详解】∵，∴，
则，∴，
又∵a为最长边，∴.
所以A的取值范围是.
故答案为：
65．
【分析】根据余弦定理，结合三角形两边和大于第三边求解即可.
【详解】当角C为最大角时，由题意，，
即，解得，又三角形两边和大于第三边，故，
故；
当角C不是最大角时，则角B为最大角，由题意，，
即，解得，又三角形两边差小于第三边，故，
故；
所以边c的取值范围是.
故答案为：
66．
【分析】将用表示，再平方可求得，再由结合二次函数得性质即可得解.
【详解】由，
得，
则，
所以，
则，
当时，取等号，
所以的最小值为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：将用表示，再平方是解决本题的关键.
67．
【分析】由锐角三角形求得，由正弦定理可得，求出，关于的函数，根据余弦函数的性质，可求得范围．
【详解】∵为锐角三角形，且，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
又∵，，
∴，
由，
即，
∴，
令，则，
又∵函数在上单调递增，
∴函数值域为.
故答案为：