新高考数学解答题核心考点分解训练与突破01利用导数求解函数单调性问题含解析答案

这是一份新高考数学解答题核心考点分解训练与突破01利用导数求解函数单调性问题含解析答案，共25页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。

一、解答题
1．已知函数，讨论的单调性.
2．已知函数，讨论的单调性．
3．已知函数，求的单调区间.
4．已知函数，讨论的单调性．
5．已知函数，求的单调区间.
6．已知函数，求的单调区间.
7．已知函数，求的单调区间．
8．已知函数， 求 的单调区间.
9．若函数，求 的单调区间.
10．已知函数，求的单调区间.
11．已知函数，求函数的单调区间.
12．若，讨论函数的单调性．
13．设函数.若函数在上递增，在上递减，求实数的值.
14．已知函数.讨论的单调性.
15．已知函数，，求的单调区间.
16．已知函数和，设函数在上是单调函数，求实数的取值范围．
17．已知，求的单调区间.
18．设函数，若，求函数的单调区间.
19．已知函数，讨论的单调性；
20．已知函数，讨论函数的单调性．
21．设函数，讨论在上的单调性.
22．已知函数，，其中，，讨论的单调性.
23．已知函数，讨论函数在区间上的单调性.
24．设函数，且在区间内单调递增，求实数a的取值范围.
25．已知函数在上单调递增，求的取值范围.
26．已知函数，若在上是增函数，求的取值范围.
27．已知函数，若在其定义域上单调递增，求的取值范围．
28．已知函数，若在上单调递增，求的取值范围.
29．已知函数，，若在上不单调，求a的取值范围.
30．已知函数，如果在区间上是增函数，求实数的取值范围．
31．已知函数在区间上单调递增，求实数的取值范围．
32．若函数在区间上单调递增，求的取值范围.
33．已知函数，，若函数在上单调递减，求a的取值范围：
34．已知函数，若函数在上为增函数，求实数k的取值范围．
35．已知函数在上单调递增，求实数的取值范围.
36．已知函数，在区间上存在减区间，求的取值范围；
37．已知函数，求函数的单调区间．
38．已知函数，求的单调区间.
39．已知函数，求的单调区间．
40．已知函数，设函数，求的单调区间．
41．函数，求在上的单调区间．
42．已知函数．讨论函数的单调性；
43．已知函数，求的单调区间.
44．已知函数，当时，讨论函数的单调性.
45．若函数在上单调递减，求实数a的取值范围．
46．已知函数在上单调递增，求实数a的取值范围.
47．已知函数.若函数为增函数，求的取值范围.
48．已知函数在上单调递增，求实数a的取值范围．
49．已知函数在区间上为增函数，求的取值范围.
50．已知函数（且）在区间上为单调函数，求的取值范围.
参考答案：
1．减区间为，增区间为.
【分析】根据题意，求得，结合导数的符号，即可求得函数的单调区间.
【详解】由函数，可得，
当时，；当时，，
故的减区间为，增区间为.
2．的递增区间为，递减区间为．
【分析】求导，分析导函数正负，即得解
【详解】由题意，函数的定义域为，又，
当时，，当时，，
故的递增区间为，递减区间为．
3．函数的递增区间是，无递减区间.
【分析】先求定义域，再求导数，利用导数的符号可得答案.
【详解】函数的定义域为，
求导得，
因为时，，所以，
所以函数的递增区间是，无递减区间.
4．在上单调递增，在上单调递减.
【分析】求出的定义域与导数，由的导数，得到在上单调递减，再由，得到的单调区间.
【详解】由题意，定义域为，
则，
设，
则，
所以在上单调递减，即在上单调递减，
又，即，
所以当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减.
5．递减区间为，递增区间为，．
【分析】对原函数求导，由，直接解，求单调区间即可.
【详解】，
因为，所以，令，即，解得，
令，即，解得，
所以递减区间为，递增区间为，．
6．增区间为，减区间为.
【分析】根据题意，求得，分别求得和的解集，进而得到函数的单调区间.
【详解】由函数，可得，
令，得或，
令，可得或；令，可得，
所以的增区间为，减区间为.
7．单调递减区间为，单调递增区间为.
【分析】求出函数的定义域与导函数，再解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间.
【详解】函数定义域为，，
令可得，故当时，单调递减；
当时，单调递增；
所以单调递减区间为，单调递增区间为.
8． 的单调递增区间为，单调递减区间为.
【分析】求导后，分析导数正负，得到的取值范围，可得单调区间.
【详解】由题意 ，，
令则，解得或（舍），
当时，当时，
所以 的单调递增区间为，单调递减区间为.
9．减区间为，增区间为.
【分析】根据题意，求得，结合和的解集，即可求得函数的单调区间.
【详解】由函数，可得其定义域为，
且，
令，可得，
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增．
综上，的单调递减区间为，单调递增区间为.
10．减区间为，增区间为.
【分析】对原函数求导，结果分解因式，构造函数，通过导数研究的单调性，并解出，进而通过的符号研究的单调性.
【详解】由题意，
则，
设，则恒成立，又，
所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以的减区间为，增区间为.
11．单调递增区间为，单调递减区间为.
【分析】先求定义域，再求导，利用导数的符号确定函数单调区间.
【详解】函数的定义域为，，
令，则，
因为，
当时，，故在单调递减，
所以当时，，，
所以在单调递增，
当时，，，
所以在单调递减，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为.
12．函数在上单调递增，在上单调递减．
【分析】求导后，利用辅助角公式得到，解不等式和得到函数单调性.
【详解】由题意，所以．
令，得，所以，
解得，
所以函数的单调递增区间为；
令，得，所以，解得，
所以函数的单调递减区间为．
综上，函数在上单调递增，在上单调递减．
13．.
【分析】求导可得，由，可求，检验可得的值.
【详解】由，可得的定义域为，，
由，解得，此时，
则在区间上单调递增；
在区间上单调递减，符合题意.
所以的值为.
14．答案见解析
【分析】求导得，分别讨论a取不同范围时，对应的导数与0的关系，从而判断原函数的单调区间.
【详解】由函数的解析式可得：，
①当时，若，则单调递减，
若，则单调递增；
②当时，若，则单调递增，
若，则单调递减，
若，则单调递增；
③当时，在上单调递增；
④当时，若，则单调递增，
若，则单调递减，
若，则单调递增.
15．单调递减区间为，单调递增区间为.
【分析】先求出函数定义域，再求导解不等式，最后写出单调区间即可.
【详解】由题意的定义域为，.
当时，解得，所以的单调递减区间为.
当时，解得，所以的单调递增区间为.
16．.
【分析】利用导数结合函数的单调性将问题转化为函数的最值问题，利用基本不等式，即可求得.
【详解】由题意，函数，
则，
因为函数在上是单调函数，所以或，
即，或恒成立，
所以或对恒成立，
令，则或，
因为时，则恒有，且，
当且仅当时取等号，所以，因此或，
所以实数的取值范围.
17．在上单调递减，在上单调递增.
【分析】先求的定义域，再对求导，因为，利用导数正负与函数单调性的关系，即可得到结果.
【详解】由题意，的定义域为，
因为，所以，所以当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增.
综上，在上单调递减，在上单调递增.
18．函数的单调增区间为，函数的单调减区间为
【分析】先求导数，由导数大于零得增区间，由导数小于零得减区间.
【详解】由，得，
又，令，得，或，令，得，
故若时，函数的单调增区间为，函数的单调减区间为.
19．答案见解析
【分析】先求导，再分类讨论与两种情况，结合导数与函数单调性的关系即可得解.
【详解】∵，定义域为，∴，
当时，由于，则，故恒成立，
∴在上单调递减；
当时，令，解得，
当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增；
综上：当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
20．答案见解析
【分析】求定义域，求导，分和两种情况，得到函数单调性.
【详解】由题意可得：函数的定义域为，.
当时，，此时函数在定义域上单调递减；
当时，令，解得；令，解得，
此时函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.
综上可得：当时，函数在定义域上单调递减；
当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.
21．答案见解析
【分析】求导，分，，且三种情况下，得到函数的单调性.
【详解】∵，∴，
①当时，，在上单调递增.
②当，即或时，，
∴在上单调递减.
③当且时，由得.
令得；令得.
∴在上单调递增，在上单调递减.
综上，当时，在上递增；
当或时，在上递减；
当且时，在上单调递增，在上单调递减.
22．答案见解析
【分析】求导后，令导数的判别式大于，小于，等于零进而得到参数的范围，分别求出方程的根，再进行求解即可.
【详解】因为，，，
所以，定义域为，
则，
当，即时，所以在上单调递减，
当，即时，令，
解得，，
所以当时，
当或时，
所以在上单调递增，在，上单调递减，
综上可得，当时在上单调递减；
当时在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减.
23．答案见解析
【分析】求得，得到的单调区间，分和，两种情况讨论，即可求解.
【详解】由函数，可得，
当时，，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，当时，在区间 上单调递减；
当时，在区间上单调递减，在上单调递增.
24．.
【分析】求导可得在恒成立，可得，利用基本不等式求得的最大值即可.
【详解】因为，所以，
又在区间内单调递增，所以在恒成立，
即在恒成立，所以，
而，
当且仅当且时，即时，取等号，
所以实数a的取值范围为.
25．
【分析】求导得，令，求导可判断在上是增函数，进而可得在递减，在递增，可得，求解即可.
【详解】由，得，
设，则，
显然当时，，在上是增函数，即在上是增函数，
由，得，
当时，，在递减，
当时，，在递增，
要使函数在上单调递增，则，所以.
所以的取值范围为.
26．.
【分析】先求导数，根据增函数得出导数可求答案.
【详解】因为，所以，
因为在上是增函数，所以在上恒成立，
即在上恒成立，
因为的对称轴为，
当时，，则在上单调递增；
当时，在上单调递增；
当时，开口向下；
要使得在上恒成立，
只需，解得，则此时，
综上，的取值范围为.
27．
【分析】根据题意，转化为在上恒成立，结合基本不等式，即可求解.
【详解】由函数，可得其定义域为，且，
因为函数在其定义域上单调递增，则在上恒成立，
即在上恒成立，
即在上恒成立，
当时，，
当且仅当时，即时取等号，所以，解得，
当时，，在上递增，
所以的取值范围是
28．.
【分析】方法一：求导后分离参数，构造函数，再求导分析单调性，求最值即可；方法二求导后分参数的正负讨论，再时，构造函数分析单调性，讨论极值可求出参数范围.
【详解】法一：因为在上单调递增，所以时，即，
设，则，
所以时单调递减，时单调递增，
所以，所以，即的取值范围是；
法二：因为，所以，
若，则在上单调递增；
若，令，则，
时单调递减；时单调递增，
所以是的极小值点，所以，
所以当，即时，在上单调递增.
综上，的取值范围是.
29．
【分析】求出函数的导数，利用函数在上存在变号零点求解即得.
【详解】函数，求导得，
由在上不单调，得函数在上存在变号零点，
而函数在上单调递增，，，
因此，又，解得，
所以a的取值范围为．
30．．
【分析】根据题意，求得，转化为 恒成立，结合函数的单调性，即可求解.
【详解】由题意得，函数在区间上是增函数，
可得在恒成立，即在恒成立，
因为函数在上为增函数，则在上为增函数，
可得，所以，所以实数的取值范围是．
31．.
【分析】根据题意，转化为在上恒成立，则，令，利用导数求得函数的单调性和最小值，即可求解.
【详解】由函数的定义域为，且，
因为函数在区间上单调递增，所以在恒成立，
即在上恒成立，即在上恒成立，则，
令，
又由，可得在上单调递增，
所以，经检验知，当时，函数不是常函数，
所以的取值范围是.
32．.
【分析】先分离参数，再构造函数，借助导数判断函数的单调性，求最值，即可求解.
【详解】因为，则，
依题意在上恒成立，所以在上恒成立，
令，，则，所以在上单调递减，
所以，所以，即的取值范围为.
33．
【分析】，可得，求得的最小值即可.
【详解】记，在上单调递减，
对恒成立，所以，
而，
当且仅当即时，等号成立，所以当时，取得最小值为.
所以，所以a的取值范围为.
34．
【分析】求出的定义域，求出函数的导数，问题转化为在区间上恒成立，通过利用基本不等式求函数的最值，即可得到k的取值范围.
【详解】函数的定义域为，要使函数在定义域内为增函数，
只需在区间上恒成立，
即在区间上恒成立，
即在区间上恒成立，
令， ，则，
当且仅当时等号成立，
所以，即实数的取值范围为.
35．．
【分析】先对原函数求导，化成分式形式，由分母恒正，进而研究分子，分离参数求出参数取值范围即可.
【详解】由题意，得，
因为函数在上单调递增，所以在上恒成立，
即在上恒成立，
令，即在上恒成立，
所以在上恒成立，
因为当时，（当且仅当时，等号成立），
所以，解得．所以的取值范围为.
36．．
【分析】函数在区间上存在减区间，转化为，使得成立，求参数的取值范围即可.
【详解】由题意，若函数在区间上存在减区间，
等价于，使得成立，
可得，使得成立，构建，
可知开口向上，对称轴，所以，故，
解得，则的取值范围为．
37．增区间为，减区间为
【分析】根据题意，求得，结合导数的符号，即可求得函数的单调区间.
【详解】由题意可知：函数的定义域为，，
当时，；当时，，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为.
38．单调递增区间为，单调递减区间为
【分析】求定义域，求导，解不等式，得到单调区间.
【详解】由已知，定义域为，
，
令，得，令，得，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为；
39．减区间为，增区间为.
【分析】求得，令，根据，得到在定义域上单调递增，结合，进而求得函数的单调区间.
【详解】由函数，可得其定义域为，且，
令，则，所以在定义域上单调递增，
即在定义域上单调递增，又由，
所以，当时，；当时，，
所以的单调递减区间为，单调递增区间为.
40．单调递增区间为；单调递减区间为.
【分析】对原函数求导，将所得导函数构造成新函数，然后通过导数研究的单调性即可.
【详解】函数，求导得，
则其定义域为，求导得，
由，解得或，
由，得，
所以的单调递增区间为；
单调递减区间为.
41．的单调递增区间为，单调递减区间为和．
【分析】对函数进行求导，利用三角函数辅助角公式化简，根据导函数的正负求解即可.
【详解】，
令，得；令，得或，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为和．
42．答案见解析
【分析】先求导数，再求导函数的根，分类讨论，写出单调区间.
【详解】易知定义域为，令得或，
①当，即时，令得或，令得；
故在单调递减，在，上单调递增；
②当，即时，恒成立，故在上单调递增；
③当，即时，令得或，
令得，在上单调递减，在，上单调递增；
综上，当时，在单调递减，在，上单调递增；
当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，
在，上单调递增.
43．答案见解析
【分析】先求的定义域，求导函数及其零点，分类讨论，与时，由导数正负确定函数的增减区间即可.
【详解】函数的定义域为，
求导得，
由可得或，
①当时，由可得，由可得，
②当时，在上恒成立，
③当时，由可得，由可得.
故当时，的单调增区间为，单调减区间为；
当时，的单调增区间为，无递减区间；
当时，的单调增区间为，单调减区间为.
44．单调递减区间为，单调递增区间为.
【分析】先对原函数求导，通过导数的正负判断函数的单调性.
【详解】函数的定义域为，
又，
又，二次函数，开口向上，对称轴为，
当时，所以关于的方程存在两个异号的实数根，
解得，，
所以当时，
当时，
所以的单调递减区间为，单调递增区间为.
45．
【分析】求导，由在[1，4]上单调递减，可得在恒成立，化为，构造函数，求解最大值，求出的范围，再由，求出的范围.
【详解】因为，所以，
因为在[1，4]上单调递减，
所以当时，恒成立，即恒成立．
令，，则，而,
因为，所以，
所以（此时），所以.
又因为，则，
故实数a的取值范围是.
46．
【分析】可得对恒成立，转化为对恒成立，求出可得答案.
【详解】因为，
又在上单调递增，所以对恒成立，
即对恒成立，
可得对恒成立；
令，且在上单调递增，
所以，
所以，即的取值范围是.
47．
【分析】对求导，利用已知单调性分离参数转换成恒成立问题，再构造函数，求出最值即可.
【详解】∵，
则，
若是增函数，则，且，
可得，
故原题意等价于对恒成立，
构建，则，
令，解得；
令，解得；
则在上递增，在递减，
故，
∴的取值范围为.
48．.
【分析】根据已知条件将函数转化为不等式恒成立的问题求解即可.
【详解】由题意得，
因为在上单调递增，
所以在上恒成立，即在上恒成立，
令，则 在上恒成立，
所以，解得，
所以实数a的取值范围是 .
49．.
【分析】本题先求原函数的导函数，再利用函数的单调性将导函数转化为不等式恒成立的问题，即可求出参数的范围.
【详解】由已知得，
则．
因为在上单调递增，所以恒成立，即，
由于，当且仅当时取等号，所以，
当时，，仅在时取等号，适合题意，
故.
所以的取值范围是.
50．
【分析】分在上单调递增和单调递减两种情况，结合导函数得到不等式，分离参数后，得到答案.
【详解】函数，求导得，
因为函数在区间上是单调函数，
当函数在上单调递增时，，，
即在上恒成立，
令，，
显然函数在上单调递增，故，
因此，解得，
当函数在上单调递减时，，，
即在上恒成立，
因此，解得或，
所以的取值范围为.