[数学][期末]北京市怀柔区2022-2023学年高二下学期期末考试试题(解析版)

这是一份[数学][期末]北京市怀柔区2022-2023学年高二下学期期末考试试题(解析版)，共13页。试卷主要包含了 若、、成等差数列，则， 函数在处的切线斜率为， 已知函数为的导函数，则， 在数列中，若，，则， 若是等差数列的前项和，，则等内容，欢迎下载使用。

一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 若、、成等差数列，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为、、成等差数列，则.
故选：A.
2. 函数在处的切线斜率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为，则，所以，.
因此，函数在处的切线斜率为.
故选：B.
3. 已知函数为的导函数，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由可得，，
故选：C
4. 一个袋中装有大小相同的3个白球和2个红球，现在不放回的取2次球，每次取出一个球，记“第1次拿出的是白球”为事件，“第2次拿出的是白球”为事件，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由已知条件得
由条件概率公式可得
.
故选：D.
5. 已知函数的导函数的图像如图所示，则（ ）

A. 有极小值，但无极大值B. 既有极小值，也有极大值
C. 有极大值，但无极小值D. 既无极小值，也无极大值
【答案】A
【解析】由导函数图像可知：
导函数在上小于0，于是原函数在上单调递减，
在上大于等于0，于是原函数在上单调递增，
所以原函数在处取得极小值，无极大值，
故选：A.
6. 将一枚均匀硬币随机抛掷4次，记“正面向上出现的次数”为，则随机变量的期望（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】在一次抛硬币的实验中，正面朝上的概率为，
由题意可知服从二项分布，所以，所以，
故选：B
7. 在数列中，若，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为，，
所以，，
，，
所以数列是以3为周期的周期数列，
所以，
故选：A
8. 若是等差数列的前项和，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】，
故选：B.
9. 数列的通项公式为，若是递增数列，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为数列通项公式为，且是递增数列，
所以对于都成立，
所以对于都成立，
即对于都成立，
所以对于都成立，
所以，即的取值范围是，
故选：D
10. 已知函数,则下面对函数的描述正确的是
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为，
所以，导函数在上是增函数，
又，，
所以在上有唯一的实根，设为，
且，则为的最小值点，且，
即，
故，
因为，
由对勾函数可知，.
故选B.
点睛：该题考查的是有关函数最值的范围，首先应用导数的符号确定函数的单调区间，而此时导数的零点是无法求出确切值的，应用零点存在性定理，将导数的零点限定在某个范围内，再根据不等式的传递性求得结果.
第二部分（非选择题共110 分）
二､填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 设函数，则__________.
【答案】0
【解析】,所以，
故答案为：0
12. 已知随机变量的分布列如下，且：
则__________；__________.
【答案】① ②
【解析】由分布列的性质，可得，解得①，
因为，所以，即②，
联立①②解得，，
故答案为：.
13. 已知是公比为的等比数列，其前项和为.若，则__________.
【答案】2
【解析】因为，所以，即，
所以.
故答案为：
14. 若曲线在处的切线方程为，则__________；__________.
【答案】① ②
【解析】，由于曲线在处的切线方程是，
所以，
由切点在切线上，切点为，
得
所以，得.
故答案为：-1,0.
15. 设随机变量的分布列如下：
给出下列四个结论：
①当为等差数列时，；
②当为等差数列时，公差；
③当数列满足时，；
④当数列满足时，时，.
其中所有正确结论的序号是__________.
【答案】①③④
【解析】由题意可得：，且,，，2，，10，
对①：当为等差数列时，则，
可得，故，①正确；
对②：当为等差数列时,由①知，所以，
由于,，所以，解得：，故②错误；
对③：当数列满足，2，时，满足，，，2，，10，
则，
可得,，③正确；
对④：当数列满足，2，时，则，
可得，,3，时,
所以，
由于，所以，
因此，
由于，所以，
因此，
当也符合，故，④正确．故答案为：①③④
三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 已知等差数列的的前项和为，从条件①､条件②和条件③中选择两个作为已知，并完成解答：
（1）求通项公式；
（2）若是等比数列，，求数列的前项和.
①；②；③.
解：（1）选①；②
设等差数列的公差为.
由题设，得
解得.
所以.
选①；③
设等差数列的公差为.
由题设，得
解得.
所以.
选②；③
由题设，得，
，
解得.
所以.
（2）因为是等比数列，且由，得，
由，得
所以
所以.
所以
17. 已知函数.
（1）求的极值；
（2）求在区间上的最大值和最小值.
解：（1）因为，所以.
令，得或，列表如下：
所以的单调递减区间为，单调递增区间为、.
从而的极大值为，极小值为.
（2）由（1）知在区间上单调递减，在区间上单调递增，
又因为，，，
所以在区间上的最大值为，最小值为.
18. 为宣传交通安全知识，某地区中学联合开展了交通安全知识竞赛活动.现从参加该活动的学生中随机抽取了20名学生，将他们的竞赛成绩（单位：分）用茎叶图记录如下：
（1）从该地区参加该活动的男生中随机抽取1人，估计该男生的竞赛成绩在90分以上的概率；
（2）从图中90分以上的人中随机抽取4人，抽到男生的人数记为，求的分布列和期望；
（3）为便于普及交通安全知识，现从该地区某所中学参加知识竞赛活动的学生中随机选取5名男生､5名女生作为宣传志愿者，记这5名男生竞赛成绩的平均数为，这5名女生竞赛成绩的平均数为，能否认为，说明理由.
解：（1）由茎叶图数据，随机抽取的20名学生中有男生10人，从男生中随机抽取1人，
因为90分以上有4人，
所以男生的竞赛成绩在90分以上的概率估计值为.
（2）抽取的样本学生中90分以上的有7人，其中有4名男生，3名女生.
从7人中随机抽取4人，抽到男生的人数记为的值可能为：
的分布列为：
（3）不能确定是否有.
上述5名男生，5名女生竞赛成绩的数据是随机的，所以是随机的.
所以，不能确定是否有.
19. 已知某企业生产一种产品的固定成本为400万元，每生产万件，需另投入成本万元，假设该企业年内共生产该产品万件，并且全部销售完，每1件的销售收入为100元，且
（1）求出年利润（万元）关于年生产零件（万件）的函数关系式（注：年利润年销售收入年总成本）；
（2）将年产量定为多少万件时，企业所获年利润最大.
解：（1）由题意得，总售价固定为，
当产量不足60万箱时，.
当产量不小于60万箱时，.
则
（2）设，
当时，，令，得，
得在上单调递增，在上单调递减，
则；
当时，由基本不等式有
当且仅当，即时取等号；
又因为，所以当时，所获利润最大，最大值为1300万元
20. 已知函数
（1）求函数的单调区间；
（2）若对任意，恒成立，求的取值范围.
解：（1）因为，所以，所以.
当时，对任意的恒成立，
此时函数的增区间为，无增区间；
当时，令，得，
所以的增区间为，减区间为.
综上所述，当时，函数的增区间为；
当时，函数的增区间为，减区间为.
（2）法一：由（1）可知，当时，函数在上单调递增，
且，
与恒成立矛盾；
当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减.
，
令，得，得，即.
法二：若对任意，恒成立，
即对任意的恒成立，
则对任意的恒成立，
设，则，其中，
令，得.
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
所以，所以.
21. 定义：若对任意正整数，数列的前项和都是整数的完全平方数，则称数列为“完全平方数列”.
（1）若数列满足，判断为否为“完全平方数列”；
（2）若数列的前项和（是正整数），那么是否存在，使数列为“完全平方数列”？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
（3）试求出所有为“完全平方数列”的等差数列的通项公式.
解：（1）不是“完全平方数列”.
不是整数的完全平方数.
（2）数列的前项和（是正整数），
当时，，
当时，不满足上式，
所以
①当，时，，
所以数列与原数列相同，所以，
所以当时，数列为“完全平方数列”，
②当时，，不是完全平方数，
所以当时，数列不是“完全平方数列”，
综上，当时，数列为“完全平方数列”，
（3）因为为完全平方数，故，,
若，则，若对任意的，均为完全平方数，
则，否则假设为的素因数，且恰好能整除，为正整数，
若为奇数，则不是完全平方，矛盾；
若为偶数，取，则不是完全平方数，矛盾，
若，则，
若，取，则或，
当为偶数时，此时、均不是完全平方数，
故为奇数，取，则，为奇数，
故此时不是完全平方数，
故即，故，设，故，
所以即（）.0
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
极大值
极小值
1
2
3
4
极大值