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    2022-2023学年北京市怀柔区高一上学期期末考试数学试题(解析版)

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    这是一份2022-2023学年北京市怀柔区高一上学期期末考试数学试题(解析版),共14页。试卷主要包含了单选题,填空题,双空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    2022-2023学年北京市怀柔区高一上学期期末考试数学试题

     

    一、单选题

    1.已知集合,集合,则图中阴影部分表示的集合为(    

    A B C D

    【答案】C

    【分析】题中阴影部分表示的集合为,求解即可.

    【详解】因为集合,集合

    而题中阴影部分表示的集合为

    .

    故选:C.

    2.若命题P,则为(    

    A B

    C D

    【答案】D

    【分析】利用存在量词命题的否定,直接写出作答.

    【详解】命题P是存在量词命题,其否定是全称量词命题,

    所以为:.

    故选:D

    3.下列函数既是奇函数又在区间上单调递增的是(    

    A B C D

    【答案】C

    【分析】利用奇函数的定义、由解析式直接判断单调性,逐项分析判断作答.

    【详解】对于A,函数定义域为R,且在R上单调递减,A不是;

    对于B,函数定义域为,定义域关于数0不对称,即不是奇函数,B不是;

    对于C,函数定义域为R,且,即函数是奇函数,

    而函数R上单调递增,因此C是;

    对于D,函数定义域为R,而,即函数不是奇函数,D不是.

    故选:C

    4.已知,且,则下列不等式一定成立的是(    

    A B C D

    【答案】B

    【分析】根据给定条件,举例说明判断ACD;利用不等式的性质判断B作答.

    【详解】,且

    ,则有,选项AC都不正确;

    由不等式性质知,不等式一定成立,B正确;

    ,则D不正确.

    故选:B

    5.设,则的大小关系是(    

    A B C D

    【答案】D

    【分析】根据给定条件,利用指数函数、对数函数性质,再结合媒介数比较大小作答.

    【详解】,即

    因此,即D正确.

    故选:D

    6.已知函数是定义在R上的偶函数,且当时,,则的值是(    

    A2 B C D

    【答案】A

    【分析】根据给定条件,利用偶函数的性质结合对数运算作答.

    【详解】因为函数是定义在R上的偶函数,且当时,

    所以.

    故选:A

    7.某直播间从参与购物的人群中随机选出 200 ,并将这200人按年龄分组,得到的频率分布直方图如图所示,则在这200人中年龄在的人数及直方图中值是(    

    A, B, C, D,

    【答案】C

    【分析】求出频率直方图中年龄在的频率,根据频率即可求出人数,根据频率分布直方图中,小矩形面积和为1,列出等式解出即可.

    【详解】:由图知,年龄在的小矩形的面积为:

    ,

    即年龄在的频率为,

    所以年龄在的人数,

    由频率分布直方图的小矩形面积和为1可得:

    ,

    解得:.

    故选:C

    8.已知:方程有实数解,,则的(    

    A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

    C.充分必要条件 D.既不充分不必要条件

    【答案】B

    【分析】求出命题p为真的a的取值范围,再利用充分条件、必要条件的定义判断作答.

    【详解】因为方程有实数解,则有,解得,因此p

    显然,即有命题q成立,命题p必成立,而命题p成立,命题q未必成立,

    所以的必要而不充分条件.

    故选:B

    9.溶液酸碱度是通过计量的.的计算公式为,其中表示溶液中氢离子的浓度,单位是摩尔/升.已知某品牌苏打水中氢离子的浓度为摩尔/升,计算这种苏打水的值.(精确到 0.001)(参考数据:)(    

    A8.699 B8.301 C7.699 D6.602

    【答案】B

    【分析】直接利用所给公式计算求解即可.

    【详解】由题意得苏打水的

    故选:B

    10.已知是偶函数,函数对任意,且,都有成立,且,则的解集是(    

    A B C D

    【答案】D

    【分析】由已知条件得到的图象关于对称,从而可知上为增函数,

    上为减函数,且,再画出折线图表示出函数的单调性,即可得到答案.

    【详解】因为是偶函数,即的图象关于对称.

    所以的图象关于对称.

    因为函数对任意,且,都有成立,

    所以上为增函数.

    又因为的图象关于对称,

    所以为减函数,且.

    用折线图表示函数的单调性,如图所示:

    由图知:.

    故选:D.

     

    二、填空题

    11.函数的定义域为_________.

    【答案】

    【分析】根据对数函数的真数大于0,列出不等式求解集即可.

    【详解】对数函数fx)=log2x﹣1)中,

    x﹣10

    解得x1

    fx)的定义域为(1+∞).

    故答案为(1+∞).

    【点睛】本题考查了求对数函数的定义域问题,是基础题.

    12.某学校高一有280名学生,高二有200名学生,高三有120名学生,用分层抽样的方法从中抽取60名学生对课后辅导的满意度进行调查,则从高一学生中应抽取______人.

    【答案】28

    【分析】由分层抽样的定义计算即可.

    【详解】由分层抽样的定义,高一学生中应抽取人数为.

    故答案为:28

    13.已知,则的最小值为___________.

    【答案】

    【分析】可得,将整理为,再利用基本不等式即可求解.

    【详解】因为,所以

    所以

    当且仅当,即时取等号,

    所以的最小值为

    故答案为:

    【点睛】易错点睛:利用基本不等式求最值时,要注意其必须满足的三个条件:

    1一正二定三相等”“一正就是各项必须为正数;

    2二定就是要求和的最小值,必须把构成和的二项之积转化成定值;要求积的最大值,则必须把构成积的因式的和转化成定值;

    3三相等是利用基本不等式求最值时,必须验证等号成立的条件,若不能取等号则这个定值就不是所求的最值,这也是最容易发生错误的地方.

    14.已知函数,则下列命题正确的有______.(写出所有正确命题的编号)

    对于任意,都有成立;

    对于任意,且,都有成立

    对于任意,且,都有成立;

    存在实数,使得对于任意实数,都有成立.

    【答案】②③

    【分析】利用指数的运算性质,容易判断不正确,结合指数函数的图像和性质,可判断正确,错误,利用基本不等式易证成立.

    【详解】不正确.

    单调递增,正确.

    ,所以正确.

    若对于任意实数,都有成立,则关于对称,显然不正确.

    故答案为:②③

     

    三、双空题

    15.已知函数,当时,则______;若函数有三个零点,则实数的取值范围是______

    【答案】         

    【分析】根据得此时,根据解析式先求得值,再求解的值即可;函数有三个零点,即有三个根,结合函数解析式初步判断可得,画出函数图象,结合图象分析列不等式即可得实数的取值范围.

    【详解】解:当时,,所以,则

    若函数有三个零点,即有三个根,又

    上有两个根,所以上有一个根,如下图得此时的大致图象:

    则根据有三个根可得:,解得,则实数的取值范围是.

    故答案为:.

    【点睛】关键点睛:本题考查分段函数求值与分段函数零点问题,属于压轴题.解决本题中零点问题的关键是分析分段函数两段函数性质,由于,是一次函数与二次函数分段问题,要求有三个根,结合二次函数上的性质可初步判断,避免对进行符号讨论,即可得出分段函数的大致图象,结合图象列不等式可求得参数范围.

     

    四、解答题

    16.已知集合

    (1)时,求

    (2),求实数的取值范围.

    【答案】(1)

    (2).

     

    【分析】1)化简集合A,把代入,再利用补集、交集、并集的定义求解作答.

    2)利用(1)中信息,结合给定的交集结果,列式求解作答.

    【详解】1)解一元二次不等式得:,即

    时,

    所以.

    2)由得:,由得:,而,于是得

    所以实数的取值范围.

    17.为了庆祝神舟十四号成功返航,学校开展航天知识竞赛活动,甲乙两个班级的代表队同时回答一道有关航天知识的问题,甲队答对此题的概率是,乙队答对此题的概率是,假设每队答题正确与否是相互独立的.

    (1)求甲乙两队都答对此题的概率;

    (2)求甲乙两队至少有一队答对此题的概率.

    【答案】(1)

    (2)

     

    【分析】1)设甲、乙队答对此题分别为事件,则,结合相互独立事件同时发生的概率公式,即可求甲乙两队都答对此题的概率;

    2)依据题意,结合对立事件与相互独立事件同时发生的概率公式,即可求得甲乙两队至少有一队答对此题的概率.

    【详解】1)解:设甲、乙队答对此题分别为事件,则

    记事件甲乙两队都答对此题,由于每队答题正确与否是相互独立的,

    所以,故甲乙两队都答对此题的概率为

    2)解:记事件甲乙两队至少有一队答对此题,由于每队答题正确与否是相互独立的,

    .

    故甲乙两队至少有一队答对此题的概率为.

    18.已知函数

    (1)若不等式的解集为,求的最小值;

    (2),求方程两实根之差的绝对值.

    【答案】(1)

    (2).

     

    【分析】1)根据给定一元二次不等式解集,求出函数的解析式,再求出二次函数最小值作答.

    2)根据给定条件,求出函数的解析式,再求出方程的二根即可作答.

    【详解】1)不等式,即的解集为

    于是得是方程的二根,即有,且,解得

    因此,当且仅当时,

    所以函数的最小值是.

    2)因为,则有

    解得

    因此,方程,即的二根为

    所以程两实根之差的绝对值为.

    19.已知函数,若

    (1)值;

    (2)判断函数的奇偶性,并用定义给出证明;

    (3)用定义证明在区间上单调递增.

    【答案】(1)

    (2)奇函数,理由见解析;

    (3)证明见解析.

     

    【分析】1)将给定自变量及对应函数值代入计算即可.

    2)利用奇偶函数的定义直接判断作答.

    3)利用函数单调性定义,按步骤推理作答.

    【详解】1)函数中,因为,则有,解得

    所以.

    2)由(1)知,函数是奇函数,

    函数定义域为

    所以函数是奇函数.

    3,且

    因为,则,即有,因此

    所以在区间上单调递增.

    20.为了庆祝神舟十四号成功返航,学校开展了航天知识讲座,为了解讲座效果,从高一甲乙两班的学生中各随机抽取5名学生的测试成绩,这10名学生的测试成绩(百分制)的茎叶图如图所示.

    (1)分别为甲、乙两班抽取的成绩的平均分,分别为甲、乙两班抽取的成绩的方差,则____________.(填“>”“<”

    (2)若成绩在85分(含85分)以上为优秀,

    )从甲班所抽取的5名学生中任取2名学生,则恰有1人成绩优秀的概率;

    )从甲、乙两班所抽取的成绩优秀学生中各取1人,则甲班选取的学生成绩不低于乙班选取的学生成绩的概率.

    【答案】(1)<>

    (2);(.

     

    【分析】1)利用给定的茎叶图,结合平均数、方差的意义计算判断作答.

    2)()()利用列举法,结合古典概率求解作答.

    【详解】1)由茎叶图知,

    所以<

    所以>.

    2)()抽取的两名学生成绩分别为,把他们记为

    从甲班所抽取的5名学生中任取2名学生,他们的成绩组成的不同结果:

    ,共10个,

    恰有1人成绩优秀的事件有:,共6个,

    所以恰有1人成绩优秀的概率.

    )依题意,甲班成绩优秀学生有2人,成绩分别为,乙班成绩优秀学生有4人,成绩分别为

    从甲、乙两班所抽取的成绩优秀学生中各取1人,按甲班的在前、乙班的在后写在括号内,不同结果有:

    ,共8个,

    甲班选取的学生成绩不低于乙班选取的学生成绩的事件有:

    ,共5个,

    所以甲班选取的学生成绩不低于乙班选取的学生成绩的概率.

    21.已知函数是定义域为的奇函数,且

    (1)求实数的值;并判断上单调性;(不用写出单调性证明过程)

    (2)若关于的不等式恒成立,求实数的取值范围;

    (3)对于任意的,存在,使成立,求实数的取值范围.

    【答案】(1)上单调递增

    (2)

    (3)

     

    【分析】1)根据奇函数和即可求出的值,有定义法即可得出上单调性.

    2)根据奇函数和单调递增求出,分类讨论前的系数是否为0,即可求出实数的取值范围

    3)根据函数的单调递增,得出等价条件,分类讨论的单调性即可求出实数的取值范围.

    【详解】1)由题意

    中,函数是定义域为的奇函数,

    解得,此时满足题意,

    ,

    中,函数单调递增,

    上单调递增

    2)由题意及(1)得

    中,函数是奇函数,

    恒成立

    恒成立

    函数单调递增

    恒成立

    时,

    ,解得:

    不恒成立,舍去.

    时,恒成立

    中,若则需开口向上,

    解得

    综上,实数的取值范围为

    3)由题意及(1)(2)得

    中,函数单调递增

    对于任意的,存在,使成立,

    函数在单调递增

    则存在,使成立,

    时,在定义域内单调递减,

    满足题意

    时,在定义域内单调递增

    解得:

    综上,实数的取值范围为.

    【点睛】本题考查待定系数法求参数,定义法证单调性,考查分类讨论的思想,具有很强的综合性.

     

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