2022-2023学年北京市怀柔区高一上学期期末考试数学试题(解析版)
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一、单选题
1.已知集合,集合,则图中阴影部分表示的集合为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】题中阴影部分表示的集合为,求解即可.
【详解】因为集合,集合,
而题中阴影部分表示的集合为,
则.
故选:C.
2.若命题P:“,”,则为( )
A., B.,
C., D.,
【答案】D
【分析】利用存在量词命题的否定,直接写出作答.
【详解】命题P:“,”是存在量词命题,其否定是全称量词命题,
所以为:,.
故选:D
3.下列函数既是奇函数又在区间上单调递增的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】利用奇函数的定义、由解析式直接判断单调性,逐项分析判断作答.
【详解】对于A,函数定义域为R,且在R上单调递减,A不是;
对于B,函数定义域为,定义域关于数0不对称,即不是奇函数,B不是;
对于C,函数定义域为R,且,即函数是奇函数,
而函数在R上单调递增,因此C是;
对于D,函数定义域为R,而,即函数不是奇函数,D不是.
故选:C
4.已知,,,且,则下列不等式一定成立的是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】根据给定条件,举例说明判断A,C,D;利用不等式的性质判断B作答.
【详解】,,,且,
取,则有,,选项A,C都不正确;
由不等式性质知,不等式一定成立,B正确;
取,则,D不正确.
故选:B
5.设,,,则,,的大小关系是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】根据给定条件,利用指数函数、对数函数性质,再结合“媒介”数比较大小作答.
【详解】,,即,,
因此,即D正确.
故选:D
6.已知函数是定义在R上的偶函数,且当时,,则的值是( )
A.2 B. C. D.
【答案】A
【分析】根据给定条件,利用偶函数的性质结合对数运算作答.
【详解】因为函数是定义在R上的偶函数,且当时,,
所以.
故选:A
7.某直播间从参与购物的人群中随机选出 200 人,并将这200人按年龄分组,得到的频率分布直方图如图所示,则在这200人中年龄在的人数及直方图中值是( )
A., B., C., D.,
【答案】C
【分析】求出频率直方图中年龄在的频率,根据频率即可求出人数,根据频率分布直方图中,小矩形面积和为1,列出等式解出即可.
【详解】解:由图知,年龄在的小矩形的面积为:
,
即年龄在的频率为,
所以年龄在的人数,
由频率分布直方图的小矩形面积和为1可得:
,
解得:.
故选:C
8.已知,:方程有实数解,:,则是的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分不必要条件
【答案】B
【分析】求出命题p为真的a的取值范围,再利用充分条件、必要条件的定义判断作答.
【详解】因为方程有实数解,则有,解得或,因此p:或,
显然,即有命题q成立,命题p必成立,而命题p成立,命题q未必成立,
所以是的必要而不充分条件.
故选:B
9.溶液酸碱度是通过计量的.的计算公式为,其中表示溶液中氢离子的浓度,单位是摩尔/升.已知某品牌苏打水中氢离子的浓度为摩尔/升,计算这种苏打水的值.(精确到 0.001)(参考数据:)( )
A.8.699 B.8.301 C.7.699 D.6.602
【答案】B
【分析】直接利用所给公式计算求解即可.
【详解】由题意得苏打水的为
.
故选:B
10.已知是偶函数,函数对任意,且,都有成立,且,则的解集是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】由已知条件得到的图象关于对称,从而可知在上为增函数,
在上为减函数,且,再画出折线图表示出函数的单调性,即可得到答案.
【详解】因为是偶函数,即的图象关于对称.
所以的图象关于对称.
因为函数对任意,且,都有成立,
所以在上为增函数.
又因为的图象关于对称,,
所以在为减函数,且.
用折线图表示函数的单调性,如图所示:
由图知:.
故选:D.
二、填空题
11.函数的定义域为_________.
【答案】
【分析】根据对数函数的真数大于0,列出不等式求解集即可.
【详解】对数函数f(x)=log2(x﹣1)中,
x﹣1>0,
解得x>1;
∴f(x)的定义域为(1,+∞).
故答案为(1,+∞).
【点睛】本题考查了求对数函数的定义域问题,是基础题.
12.某学校高一有280名学生,高二有200名学生,高三有120名学生,用分层抽样的方法从中抽取60名学生对课后辅导的满意度进行调查,则从高一学生中应抽取______人.
【答案】28
【分析】由分层抽样的定义计算即可.
【详解】由分层抽样的定义,高一学生中应抽取人数为.
故答案为:28
13.已知,则的最小值为___________.
【答案】
【分析】由可得,将整理为,再利用基本不等式即可求解.
【详解】因为,所以,
所以,
当且仅当,即时取等号,
所以的最小值为,
故答案为:
【点睛】易错点睛:利用基本不等式求最值时,要注意其必须满足的三个条件:
(1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数;
(2)“二定”就是要求和的最小值,必须把构成和的二项之积转化成定值;要求积的最大值,则必须把构成积的因式的和转化成定值;
(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时,必须验证等号成立的条件,若不能取等号则这个定值就不是所求的最值,这也是最容易发生错误的地方.
14.已知函数,则下列命题正确的有______.(写出所有正确命题的编号)
①对于任意,,都有成立;
②对于任意,,且,都有成立
③对于任意,,且,都有成立;
④存在实数,使得对于任意实数,都有成立.
【答案】②③
【分析】利用指数的运算性质,容易判断①不正确,结合指数函数的图像和性质,可判断②正确,④错误,利用基本不等式易证③成立.
【详解】,①不正确.
单调递增,②正确.
,,所以③正确.
若对于任意实数,都有成立,则关于对称,显然④不正确.
故答案为:②③
三、双空题
15.已知函数,当时,则______;若函数有三个零点,则实数的取值范围是______.
【答案】
【分析】根据得此时,根据解析式先求得值,再求解的值即可;函数有三个零点,即有三个根,结合函数解析式初步判断可得,画出函数图象,结合图象分析列不等式即可得实数的取值范围.
【详解】解:当时,,所以,则;
若函数有三个零点,即有三个根,又,
则在上有两个根,所以,在上有一个根,如下图得此时的大致图象:
则根据有三个根可得:,解得,则实数的取值范围是.
故答案为:;.
【点睛】关键点睛:本题考查分段函数求值与分段函数零点问题,属于压轴题.解决本题中零点问题的关键是分析分段函数两段函数性质,由于,是一次函数与二次函数分段问题,要求有三个根,结合二次函数在上的性质可初步判断,避免对进行符号讨论,即可得出分段函数的大致图象,结合图象列不等式可求得参数范围.
四、解答题
16.已知集合,.
(1)当时,求,,;
(2)若,求实数的取值范围.
【答案】(1),,;
(2).
【分析】(1)化简集合A,把代入,再利用补集、交集、并集的定义求解作答.
(2)利用(1)中信息,结合给定的交集结果,列式求解作答.
【详解】(1)解一元二次不等式得:,即,
当时,,
所以,,.
(2)由得:,由得:,而,于是得,
所以实数的取值范围.
17.为了庆祝神舟十四号成功返航,学校开展“航天知识”竞赛活动,甲乙两个班级的代表队同时回答一道有关航天知识的问题,甲队答对此题的概率是,乙队答对此题的概率是,假设每队答题正确与否是相互独立的.
(1)求甲乙两队都答对此题的概率;
(2)求甲乙两队至少有一队答对此题的概率.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)设甲、乙队答对此题分别为事件,则,结合相互独立事件同时发生的概率公式,即可求甲乙两队都答对此题的概率;
(2)依据题意,结合对立事件与相互独立事件同时发生的概率公式,即可求得甲乙两队至少有一队答对此题的概率.
【详解】(1)解:设甲、乙队答对此题分别为事件,则,
记事件“甲乙两队都答对此题”,由于每队答题正确与否是相互独立的,
所以,故甲乙两队都答对此题的概率为;
(2)解:记事件“甲乙两队至少有一队答对此题”,由于每队答题正确与否是相互独立的,
故.
故甲乙两队至少有一队答对此题的概率为.
18.已知函数
(1)若不等式的解集为,求的最小值;
(2)若且,求方程两实根之差的绝对值.
【答案】(1);
(2).
【分析】(1)根据给定一元二次不等式解集,求出函数的解析式,再求出二次函数最小值作答.
(2)根据给定条件,求出函数的解析式,再求出方程的二根即可作答.
【详解】(1)不等式,即的解集为,
于是得是方程的二根,即有,且,解得,
因此,当且仅当时,,
所以函数的最小值是.
(2)因为且,则有,
解得,
因此,方程,即的二根为,
所以程两实根之差的绝对值为.
19.已知函数,,若
(1)求值;
(2)判断函数的奇偶性,并用定义给出证明;
(3)用定义证明在区间上单调递增.
【答案】(1);
(2)奇函数,理由见解析;
(3)证明见解析.
【分析】(1)将给定自变量及对应函数值代入计算即可.
(2)利用奇偶函数的定义直接判断作答.
(3)利用函数单调性定义,按步骤推理作答.
【详解】(1)函数中,因为,则有,解得,
所以.
(2)由(1)知,函数是奇函数,
函数定义域为,,
所以函数是奇函数.
(3),且,,
因为,则,即有,因此,
所以在区间上单调递增.
20.为了庆祝神舟十四号成功返航,学校开展了“航天知识”讲座,为了解讲座效果,从高一甲乙两班的学生中各随机抽取5名学生的测试成绩,这10名学生的测试成绩(百分制)的茎叶图如图所示.
(1)若,分别为甲、乙两班抽取的成绩的平均分,,分别为甲、乙两班抽取的成绩的方差,则______,______.(填“>”或“<”)
(2)若成绩在85分(含85分)以上为优秀,
(ⅰ)从甲班所抽取的5名学生中任取2名学生,则恰有1人成绩优秀的概率;
(ⅱ)从甲、乙两班所抽取的成绩优秀学生中各取1人,则甲班选取的学生成绩不低于乙班选取的学生成绩的概率.
【答案】(1)<,>;
(2)(ⅰ);(ⅱ).
【分析】(1)利用给定的茎叶图,结合平均数、方差的意义计算判断作答.
(2)(ⅰ)(ⅱ)利用列举法,结合古典概率求解作答.
【详解】(1)由茎叶图知,,,
所以<;
,
,
所以>.
(2)(ⅰ)抽取的两名学生成绩分别为,把他们记为,
从甲班所抽取的5名学生中任取2名学生,他们的成绩组成的不同结果:
,共10个,
恰有1人成绩优秀的事件有:,共6个,
所以恰有1人成绩优秀的概率.
(ⅱ)依题意,甲班成绩优秀学生有2人,成绩分别为,乙班成绩优秀学生有4人,成绩分别为,
从甲、乙两班所抽取的成绩优秀学生中各取1人,按甲班的在前、乙班的在后写在括号内,不同结果有:
,共8个,
甲班选取的学生成绩不低于乙班选取的学生成绩的事件有:
,共5个,
所以甲班选取的学生成绩不低于乙班选取的学生成绩的概率.
21.已知函数是定义域为的奇函数,且
(1)求实数和的值;并判断在上单调性;(不用写出单调性证明过程)
(2)若关于的不等式恒成立,求实数的取值范围;
(3)对于任意的,存在,使成立,求实数的取值范围.
【答案】(1),在上单调递增
(2)
(3)
【分析】(1)根据奇函数和即可求出和的值,有定义法即可得出在上单调性.
(2)根据奇函数和单调递增求出,分类讨论前的系数是否为0,即可求出实数的取值范围
(3)根据函数的单调递增,得出等价条件,分类讨论的单调性即可求出实数的取值范围.
【详解】(1)由题意
在中,函数是定义域为的奇函数,
∴解得,此时满足题意,
∴
设,
在中,函数单调递增,
∴
∴
∴在上单调递增
(2)由题意及(1)得
在中,函数是奇函数,
恒成立
∴恒成立
∵函数单调递增
∴即恒成立
当即时,
,解得:,
不恒成立,舍去.
当即时,恒成立
在中,若则需开口向上,
∴
解得
综上,实数的取值范围为
(3)由题意及(1)(2)得
在中,函数单调递增
对于任意的,存在,使成立,
∴函数在单调递增
∴
则存在,使成立,
当时,在定义域内单调递减,
∴
满足题意
当时,在定义域内单调递增
且
解得:
综上,实数的取值范围为.
【点睛】本题考查待定系数法求参数,定义法证单调性,考查分类讨论的思想,具有很强的综合性.
2022-2023学年北京市怀柔区高二下学期期末考试数学试题含答案: 这是一份2022-2023学年北京市怀柔区高二下学期期末考试数学试题含答案,共16页。试卷主要包含了单选题,填空题,双空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
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