新高考数学二轮复习易错点09 不等式（2份打包，原卷版+含解析）

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利用同向相加求变量或式子的取值范围,是最常用的方法,但如果多次使用不等式的可加性,变量或式子中的等号可能不会同时取到,会导致范围扩大.
易错题【02】解分数不等式忽略分母不为零
解含有分数的不等式,在去分母时要注意分母不为零的限制条件,防止出现增解,如 SKIPIF 1 < 0 .
易错题【03】连续使用均值不等式忽略等号能否同时成立
连续使用均值不等式求最值或范围,要注意判断每个等号成立的条件,检验等号能否同时成立.
易错题【04】混淆单变量与双变量
(1) SKIPIF 1 < 0 恒成立 SKIPIF 1 < 0 的最小值大于零；
(2) SKIPIF 1 < 0 恒成立 SKIPIF 1 < 0 ；
(3) SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 成立 SKIPIF 1 < 0 的最大值大于零；
(4) SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 恒成立 SKIPIF 1 < 0 ；
易错题【05】解含有参数的不等式分类不当致误
(1)解含有参数的不等式要注意判断是否需要对参数进行分类讨论,分类要满足互斥、无漏、最简.
(2)解形如 SKIPIF 1 < 0 的不等式,首先要对 SKIPIF 1 < 0 的符号进行讨论,当a的符号确定后再根据判别式的符号或两根的大小进行讨论.
01
设f(x)＝ax2＋bx,若1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4,则f(－2)的取值范围是________．
【警示】本题常见的错误解法是：由已知得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1≤a－b≤2， ①,2≤a＋b≤4，②))
①＋②得3≤2a≤6,∴6≤4a≤12,又由①可得－2≤－a＋b≤－1,③
②＋③得0≤2b≤3,∴－3≤－2b≤0,又f(－2)＝4a－2b,∴3≤4a－2b≤12,
∴f(－2)的取值范围是[3,12]．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【问诊】正确解法是：由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0
∴f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1)．
又∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4,∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10,故5≤f(－2)≤10.
【叮嘱】在求式子的范围时,如果多次使用不等式的可加性,式子中的等号不能同时取到,会导致范围扩大.
1. 已知实数x,y满足 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,则( )
A．1≤x≤3B． SKIPIF 1 < 0 2≤y≤1C．2≤4x+y≤15D． SKIPIF 1 < 0 x SKIPIF 1 < 0 y SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】∵ SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,∴两式相加,得 SKIPIF 1 < 0 ,即1≤x≤4,故A错误；
∵ SKIPIF 1 < 0 ,∴ SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 ,故B错误；∵ SKIPIF 1 < 0 ,又 SKIPIF 1 < 0 ,∴ SKIPIF 1 < 0 ,故C正确；
∵ SKIPIF 1 < 0 ,又 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ,
∴ SKIPIF 1 < 0 ,故D错误.故选C.
2.已知 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】 SKIPIF 1 < 0 .设 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,解得： SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
因为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,
因为 SKIPIF 1 < 0 单调递增,所以 SKIPIF 1 < 0 .故选C.
02
解不等式 SKIPIF 1 < 0 .
【警示】本题易错之处是误以为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
【问诊】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 的解集为 SKIPIF 1 < 0 .
【叮嘱】 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 .
1．设集合 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】集合 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ,故选D.
2. 设 SKIPIF 1 < 0 ,那么“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由不等式 SKIPIF 1 < 0 ,可得 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 ,当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 不一定成立,即充分性不成立；当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 成立,即必要性成立,所以“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的必要不充分条件.故选B.
03
已知x>0,y>0,且eq \f(1,x)＋eq \f(2,y)＝1,则x＋y的最小值是________．
【警示】本题错误解法是：∵x>0,y>0,∴1＝eq \f(1,x)＋eq \f(2,y)≥2eq \r(\f(2,xy)),∴eq \r(xy)≥2eq \r(2),∴x＋y≥2eq \r(xy)＝4eq \r(2),
∴x＋y的最小值为4eq \r(2).
【答案】3＋2eq \r(2)
【问诊】eq \f(1,x)＋eq \f(2,y)≥2eq \r(\f(2,xy))取等号的条件是 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,x＋y≥2eq \r(xy)取等号的条件是 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 矛盾.正确解法为：∵x>0,y>0,∴x＋y＝(x＋y)(eq \f(1,x)＋eq \f(2,y))
＝3＋eq \f(y,x)＋eq \f(2x,y)≥3＋2eq \r(2)(当且仅当y＝eq \r(2)x时取等号),
∴当x＝eq \r(2)＋1,y＝2＋eq \r(2)时,(x＋y)min＝3＋2eq \r(2).
【叮嘱】多次使用基本不等式要验证等号成立的条件.
1.(2022届辽宁省东北育才学校高三上学期模拟)圆 SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称,则 SKIPIF 1 < 0 的最小值是( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】由圆 SKIPIF 1 < 0 可得标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ,因为圆 SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称, SKIPIF 1 < 0 该直线经过圆心 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 时取等号,故选C.
2.(2022届河南省名校大联考高三上学期期中)已知正实数 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ,则当 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 同时取得最大值时, SKIPIF 1 < 0 ( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 ,可得 SKIPIF 1 < 0 ,
则 SKIPIF 1 < 0 ,
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立；又由 SKIPIF 1 < 0 ,
当 SKIPIF 1 < 0 时,等号成立,所以当 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 同时取得最大值时,则有 SKIPIF 1 < 0 ,
解得 SKIPIF 1 < 0 ,此时 SKIPIF 1 < 0 .故选B.
04
已知 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ,
(1)若对任意 SKIPIF 1 < 0 ,恒有 SKIPIF 1 < 0 ,求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
(2)若对任意 SKIPIF 1 < 0 ,恒有 SKIPIF 1 < 0 ,求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
【警示】本题易混淆单变量与双变量
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2) SKIPIF 1 < 0
【问诊】(1)设 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ,因为 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 >0,所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是增函数,由此可求得 SKIPIF 1 < 0 的值域是[0, SKIPIF 1 < 0 ],所以实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是[0, SKIPIF 1 < 0 ].对任意 SKIPIF 1 < 0 ,恒有 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 恒成立,即 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ,由⑵可知 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 0.
(2)由题中条件可得 SKIPIF 1 < 0 的值域 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 的值域 SKIPIF 1 < 0 ,若对任意 SKIPIF 1 < 0 ,恒有 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 .
【叮嘱】①若 SKIPIF 1 < 0 值域为 SKIPIF 1 < 0 ,则不等式 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 恒成立 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ；不等式 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 有解 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ；
②若 SKIPIF 1 < 0 值域为 SKIPIF 1 < 0 ,则不等式 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 恒成立 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ；若 SKIPIF 1 < 0 值域为 SKIPIF 1 < 0 则不等式 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 恒成立 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
= 3 \* GB3 ③设 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ,对任意 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 的条件 SKIPIF 1 < 0 ,于是问题转化为存在 SKIPIF 1 < 0 ,使得 SKIPIF 1 < 0 ,因此只需 SKIPIF 1 < 0 的最小值大于 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 .
1．已知 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ,在区间 SKIPIF 1 < 0 上存在三个不同的实数 SKIPIF 1 < 0 ,使得以 SKIPIF 1 < 0 为边长的三角形是直角三角形,则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】因 SKIPIF 1 < 0 ,故当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 ,函数 SKIPIF 1 < 0 单调递减；当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 ,函数 SKIPIF 1 < 0 单调递增,故 SKIPIF 1 < 0 ,又 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,由题设可得 SKIPIF 1 < 0 ,解之得 SKIPIF 1 < 0 ,又由于 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,故选D．
2.已知函数 SKIPIF 1 < 0 是定义域上的奇函数,且 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求函数 SKIPIF 1 < 0 的解析式,判断函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的单调性并证明；
(2)令 SKIPIF 1 < 0 ,若对任意 SKIPIF 1 < 0 都有 SKIPIF 1 < 0 ,求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【解析】(1)根据题意得到 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,从而得到 SKIPIF 1 < 0 ,再解方程组即可；
(2)根据题意得到 SKIPIF 1 < 0 ,设 SKIPIF 1 < 0 ,得到 SKIPIF 1 < 0 ,根据 SKIPIF 1 < 0 ,再利用二次函数的性质得到 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,从而得到 SKIPIF 1 < 0 ,解不等式即可.
(1)
SKIPIF 1 < 0 ,又 SKIPIF 1 < 0 是奇函数,
SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 , 解得 SKIPIF 1 < 0 ,
此时,经检验 SKIPIF 1 < 0 满足题意,
SKIPIF 1 < 0
(2)由题意知 SKIPIF 1 < 0 ,令 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
由可知函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减,在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增, SKIPIF 1 < 0 ,
函数 SKIPIF 1 < 0 的对称轴方程为 SKIPIF 1 < 0 ,函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增,
当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 ；
即 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
又对 SKIPIF 1 < 0 ,都有 SKIPIF 1 < 0 恒成立,
SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0
解得, SKIPIF 1 < 0 又 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
05
解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1