[数学][期末]江苏省宿迁市2023-2024学年高一下学期期末考试试题(解析版)

这是一份[数学][期末]江苏省宿迁市2023-2024学年高一下学期期末考试试题(解析版)，共16页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 计算的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
.
故选：B.
2. 已知复数满足（为虚数单位），则的共轭复数对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】B
【解析】由题意可知，，所以，
所以共轭复数对应的点为，在第二象限.
故选：B.
3. 从两个班级各随机抽取5名学生测量身高（单位：），甲班的数据为169，162，150，160，159，乙班的数据为180，160，150，150，165.据此估计甲、乙两班学生的平均身高，及方差，的关系为（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】D
【解析】，
所以，
，
所以，.
故选：D.
4. 已知向量，向量，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因为向量，向量，则，，
所以向量在向量上的投影向量是：.
故选：C.
5. 《史记》中讲述了田忌与齐王赛马的故事：“田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马”.若双方各自拥有上、中、下等马各1匹，从中随机选1匹进行1场比赛，则齐王的马获胜的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】依题意，记田忌的上等马、中等马、下等马分别为，，，
齐王的上等马、中等马、下等马分别为，，，
由题意可知，可能的比赛为，，，，，，，，，共9种，
其中田忌可以获胜的事件为，，，共3种，则齐王的马获胜的概率.
故选：A.
6. 已知点，，，下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. 点到直线的距离为D.
【答案】C
【解析】A：，所以，故A错误；
B：由选项A知，，，
所以，由得，
故B错误；
C：，得，即，
所以点到的距离为，故C正确；
D：由选项C知，，所以，故D错误.
故选：C.
7. 已知，，表示三条不同的直线，，表示不同的平面，则（ ）
A. 若，，则
B. 若，，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，，则
【答案】C
【解析】A：若，则或，故A错误；
B：若，则或，故B错误；
C：若，则，故C正确；
D：若，且，则，故D错误.
故选：C.
8. 已知正四棱台的上、下底面边长分别为2和4，若该正四棱台的侧面积为，则侧棱与底面所成的角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】在正四棱台中，，
令分别是正方形的中心，
连接，显然四边形是直角梯形，
且是侧棱与底面所成的角，
由正四棱台的侧面积为，得等腰梯形的面积为，
过作于，则，解得，而，
因此，而，，，
所以侧棱与底面所成的角为.
故选：B.
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9. 一只不透明的口袋内装有9张卡片，上面分别标有数字1，2，3，…，9.从袋中任意抽取1张卡片，记“抽出的卡片号为1，4，7”为事件A，“抽出的卡片号小于7”为事件，“抽出的卡片号大于7”记为事件.下列说法正确的是（ ）
A. 事件A与事件是互斥事件B. 事件A与事件是互斥事件
C. 事件A与事件相互独立D. 事件与事件是对立事件
【答案】AC
【解析】由题意可知：
样本空间，
则，可得，
对于选项A：因为，所以事件A与事件是互斥事件，故A正确；
对于选项B：因为，所以事件A与事件不是互斥事件，故B错误；
对于选项C：由选项B可知，则，
可知，所以事件A与事件相互独立，故C正确；
对于选项D：因为，
所以事件与事件不是对立事件，故D错误.
故选：AC.
10. 已知，且复平面内对应的点为，则下面说法正确的有（ ）
A.
B. 若，则，中至少有个是
C. 满足点形成的图形的面积为
D. 若，则的最小值为
【答案】BD
【解析】设复数，
对于A，，则，
所以，
而，故A错误；
对于B，若，
则，即，则或，
则或，则，中至少有个是，故B正确；
对于C，，
所以，所以点形成的图形面积为，故C错误；
对于D，因为，所以，且，
所以
，且，
所以，所以最小值为，故D正确.
故选：BD.
11. 如图，在正方体中，若为棱的中点，点在侧面（包括边界）上运动，且∥平面，下面结论正确的是（ ）
A. 点的运动轨迹为一条线段
B. 直线与所成角可以为
C. 三棱锥的体积是定值
D. 若正方体的棱长为1，则平面与正方体的截面的面积为
【答案】ACD
【解析】不妨设正方体的棱长为1，
对于选项A：取的中点，连接，
由题意可知：∥，且，
可知为平行四边形，则∥，
又因为分别为的中点，则∥，可得∥，
且平面，平面，可得∥平面，
因为分别为的中点，则∥，且，
又因为∥，且，可得∥，且，
可知为平行四边形，则∥，
且平面，平面，可得∥平面，
由，平面，可得平面∥平面，
若∥平面，可知平面，
且侧面，侧面平面，可知，
所以点的运动轨迹为一条线段，故A正确；
对于选项B：因为点的运动轨迹为线段，
则直线与所成角为，
因为侧面，侧面，则，
在中，，
又因为，则有：
当为线段的中点时，取到最小值；
当为线段的端点时，取到最大值；
则，即，可知，故B错误；
对于选项C：由选项A可知：平面∥平面，且平面，
则∥平面，
且，可知点到平面的距离为定值，
即三棱锥的高为定值，且的面积为定值，
所以三棱锥的体积是定值，故C正确；
对于选项D：取的中点，连接，
因为分别为的中点，则∥，
由选项A可知：∥，则∥，
所以平面与正方体的截面为四边形，
由题意可知：，
则等腰梯形的高，
所以截面的面积为，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 如图，用，，这3类不同的元件连接成系统，每个元件是否正常工作不受其它元件的影响，当元件正常工作且，中至少有一个正常工作时，系统正常工作.已知元件，，正常工作的概率分别为0.8，0.7，0.9，则系统正常工作的概率是______.
【答案】
【解析】设元件，，正常工作分别为事件，，，
则，，，
，中至少有一个正常工作的概率为：，
则系统正常工作概率为：．
故答案为：.
13. 粽，即粽籺，俗称粽子，据考证，粽早在春秋之前就已出现，最初是用来祭祀祖先和神灵；到了晋代，粽子成为端午节的节庆食物.端午食粽的风俗，传播甚远.包粽子是端午节的一种传统风俗，同学们在劳动课上学习包粽子，将包的四角蛋黄粽近似看成一个正四面体，蛋黄近似看成一个球体，且每个粽子里仅包裹一个蛋黄，若粽子的棱长为，则其内可包裹的蛋黄的最大体积为______.
【答案】
【解析】蛋黄近似看成一个棱长为6cm的正四面体的内切球，
设正面体的内切球的球心为，球的半径为，正四面体的表面积为，体积为，
因为正四面体的棱长为6，
所以正四面体高，
正四面体表面积为，
因为，所以，解得，
所以蛋黄的体积为.
故答案为：.
14. 记的三个内角，且，，若是的外心，是角的平分线，在线段上，则______.
【答案】
【解析】是角的平分线，在线段上，且，，，
，设的高为，
由等面积法得，
，
过点作垂线分别交于，由外心性质得分别为的中点，
.
故答案为：.
四、解答题（本题共5大题，共77分.解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 如图，，，分别是的边，，上的点，且，，，，，.设，.
（1）用向量，表示；
（2）求.
解：（1）由题意可知：.
（2）由题意可知：
，
因为，，，
则，
所以.
16. 如图，在三棱锥中，，，，分别是，的中点，是上一点.
（1）若平面平面，求证：；
（2）若点在上，且满足，求证：直线，，相交于一点.
解：（1）由题意可知：，
若平面平面，且平面平面，平面，
可知平面，且平面，所以.
（2）连接，
因为，分别是，的中点，则∥，且；
又因为，则∥，且；
可得∥，且，可知四点共面，且为梯形，
则可设，则，
且平面，平面，则平面，平面，
且平面平面，可知，
所以直线，，相交于一点.
17. 已知向量，，设.
（1）求的最小正周期；
（2）若，，求的值.
解：（1）因为
，
所以函数的最小正周期.
（2），
，
，
故
.
18. 某企业准备购进新型机器以提高生产效益.根据调查得知，使用该新型机器生产产品的质量是用质量指标值来衡量的，按质量指标值划分产品等级的标准如图表1.
图表1
现从该新型机器生产的产品中随机抽取200件作为样本，检测其质量指标值，得到如图表2所示的频率分布直方图.
（1）用分层抽样的方法从样本质量指标值在区间和内的产品中随机抽取6件，再从这6件中任取2件作进一步研究，求这2件产品都取自区间的概率；
（2）根据市场调查得到该新型机器生产的产品的销量数据如图表3：
图表3
（产品各等级的销售率为等级产品销量与其对应产量的比值）
已知该企业购进新型机器的前提条件是，该机器生产的产品同时满足下列两个条件：
①质量指标值的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）不低于300.
②单件产品平均利润不低于4元.
已知该新型机器生产的产品的成本为10元/件，月产量为2000件，根据图表1、图表2、图表3信息，分析该新机器是否达到企业的购进条件.
解：（1）因为质量指标值在区间和内的频率分别为
，
可知样本中质量指标值在区间有件，设为；
质量指标值在区间内有件，设为，
则这6件中任取2件，则样本空间
，
可知，
记“这2件产品都取自区间”为事件A，
则，可知，
所以.
（2）由频率分布直方图可知，产品质量指标值的平均数为
，
故满足认购条件①；
再分析该产品的单价平均利润值：
由频率分布直方图可知，新型机器生产的产品为一､二､三等品的概率估计值分别为：
，
故2000件产品中，一､二､三等品的件数估计值为：件，
一等品的利润元，
二等品的利润元，
三等品的利润元，
则2000件产品的总利润为：元，
故2000件产品的单件平均利润的估计值为，
故不满足认购条件②，
综上，该新型机器没有达到该企业的认购条件.
19. 在锐角中，角，，的对边为，，，若，.
（1）求角的大小；
（2）若为的中点，且，求的面积；
（3）如图，过点在所在平面内作，且满足.求线段的最大值.
解：（1）因为，，
所以，即，
由余弦定理得，
又，∴．
（2）因为是的中点，所以，两边平方可得，
即，
又，所以，
面积为.
（3）令为锐角，，则，
在中由正弦定理得，即，
在中由正弦定理得，
即 ，同理可得，
所以
，
当，即时，取最大值.质量指标值
或
或
等级
一等品
二等品
三等品
产品等级
一等品
二等品
三等品
销售率
单件产品原售价
20元
15元
10元
未按原价售出的产品统一按原售价的全部售出