[数学][期末]江苏省南通市2023-2024学年高一下学期期末考试试题(解析版)

这是一份[数学][期末]江苏省南通市2023-2024学年高一下学期期末考试试题(解析版)，共13页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 若复数是纯虚数，则实数a的值为（ ）
A. 0B. 1C. -1D.
【答案】A
【解析】根据题意，复数是纯虚数，所以且，解得.
故选：A.
2. 下列特征数中，刻画一组数据离散程度的是（ ）
A. 平均数B. 中位数C. 众数D. 方差
【答案】D
【解析】平均数、中位数、众数是描述一组数据的集中趋势的量，
方差是衡量一组数据偏离其平均数的大小的量，即刻画一组数据离散程度.
故选：D.
3. 已知圆锥的底面半径和高均为1，则该圆锥的侧面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根据题意圆锥的母线长，
代入即可求得．
故选：B.
4. 已知向量，，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为，所以，即，
所以，所以，所以.
故选：B.
5. 一个水果盘子里有2个苹果和3个桃子，从盘中任选2个，则选中水果品种相同的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据题意，设个苹果分别记为：和，个桃子编号为，
从盘中任选两个，
可得，共种情况；
选中的水果品种相同的选法有：，，有种，
所以选中的水果品种相同概率为：．
故选：C.
6. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】令，，则，
令，则，
所以.
故选：B.
7. 某数学兴趣小组测量学校旗杆的高度，在旗杆底部O的正东方向A处，测得旗杆顶端P的仰角为，在A的南偏西方向上的B处，测得P的仰角为（O，A，B在同一水平面内），A，B两点间的距离为20m，则旗杆的高度OP约为（，）（ ）
A. 10mB. 14mC. 17mD. 20m
【答案】C
【解析】如图，设米，则米，米，
在中，由题意可得，，
由余弦定理可得，解得米.
故选：C.
8. 在锐角三角形ABC中，，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为，
所以，
所以，又三角形ABC为锐角三角形，所以，
所以
又因为三角形ABC为锐角三角形，所以，
所以，所以.
故选：A.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．下列命题为真命题的是（ ）
A. 若，则为直角三角形
B. 若，则为等腰三角形
C. 若，则为等腰三角形
D. 若，则为等腰直角三角形
【答案】ABD
【解析】对于A，若，由正弦定理得，所以，
所以为直角三角形，故A正确；
对于B，若，由正弦定理得，所以，
所以为等腰三角形，故B正确；
对于C，若，由正弦定理得，
即，所以或，即或，
则是等腰或直角三角形，故C错误；
对于D，若，由正弦定理得，
所以，即，所以为等腰直角三角形，
故D正确.
故选：ABD.
10. 已知a，b，c为三条直线，，，为三个平面．下列命题为真命题的是（ ）
A. 若，，则B. 若，，，则
C. 若，，则D. 若，，，则
【答案】BCD
【解析】对于A选项，令，，若，则一定有，，
而在同一平面的a，b两条直线可以平行，也可以相交，故A错误；
对于B选项，这是线面平行的性质定理，故B正确；
对于C选项，这是面面垂直的判定定理，故C正确；
对于D项，设，，过平面内一点A，分别作，，
如图所示，
因为，，，，所以，
又因为，所以，同理：，
又因为，、，所以，故D项正确.
故选：BCD.
11. 一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个白色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球．设事件“两个球颜色不同”，“两个球标号的和为奇数”，“两个球标号都不小于2”，则（ ）
A. A与B互斥B. A与C相互独立
C. D.
【答案】BC
【解析】根据题意，从袋中不放回地依次随机摸出2个球，则
，
，
，
所以有，
，
对于A，，事件A、B可以同时发生，则A、B不互斥，A错误；
对于B，，A、C相互独立，B正确；
对于C，，C正确；
对于D，，D错误．
故选：BC．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 样本数据7，8，10，11，12，13，15，17的第40百分位数为________．
【答案】11
【解析】首先对数据从小到大进行排序：7，8，10，11，12，13，15，17，共有8个数据，
，所以这个样本数据的第40百分位数为第四位，即11.
故答案为：11.
13. 已知向量，满足，向量在上的投影向量为，则___________．
【答案】2
【解析】由已知向量在上的投影向量为，则，
又因为即，所以，
所以.
故答案为：2.
14. 以棱长为2的正方体的六个面为底面，分别向外作形状相同的正四棱锥，得到一个多面体，已知正四棱锥的侧面与底面所成的角为．该多面体的体积为________，其面数为________．
【答案】
【解析】根据题意，如图，
以棱长为2正方体的一个面为底面的正四棱锥，
取底面中心，中点，
因为平面，平面，所以，
又，平面，
所以平面，则，所以，
从而该多面体的体积为，
考虑到四棱锥的侧面夹角为，其面数为.
故答案为： .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，．
（1）求B；
（2）若，求．
解：（1），
故，
因，所以.
（2）设，代入中，
，故，解得，
由余弦定理得，
则，
故.
16. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，分别是棱的中点．
（1）证明：；
（2）证明：平面．
解：（1）连接交于点，由四边形是菱形得，
因为平面，平面，所以，
因为，，，平面，
所以平面，又平面，所以．
（2）连接，因为四边形是菱形，所以点为中点，
又分别是棱的中点，所以，
因为平面，平面，
所以平面，同理可得平面，
因为平面，且，
所以平面平面，又平面,
所以平面．
17. 某班学生日睡眠时间（单位：h）的频率分布表如下：
（1）计算该班学生的平均日睡眠时间（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（2）用比例分配的分层随机抽样方法，从该班日睡眠时间在和的学生中抽取5人．再从抽取的5人中随机抽取2人，求2人中至少有1人的日睡眠时间在[7，7.5）的概率．
解：（1）因为容量，
所以，
所以该班学生的平均日睡眠时间为
.
（2）由（1）知，该班日睡眠时间在和频率比为，
由比例分配的分层随机抽样方法，分别从和两组的学生中抽取2人，3人，
记中抽取的2人为，中抽取的3人为，
设“2人中至少有1人的睡眠时间在”为事件，
则，
，
所以发生的概率，
所以2人中至少有1人的日睡眠时间在[7，7.5）的概率为.
18. 已知面积为9，点D在BC边上，．
（1）若，，
①证明：；
②求AC；
（2）若，求AD的最小值．
解：（1）①因为，，所以，
在中，由正弦定理可得，
所以.
②设，则，
因为，所以，
设，因为，所以，
在中，，
由①知，所以，
所以，
整理得，
又因为，，
所以，
因为，所以，
在中，因为，，
所以，所以，
则，
所以.
（2）记的内角为，所对边为，
因为，所以，
所以，
在中，因为，
所以由余弦定理可得，
整理得，
因为，所以，
所以，
所以
，
当且仅当时取等号，
所以AD的最小值为4.
19. 如图，等腰梯形ABCD为圆台的轴截面，E，F分别为上下底面圆周上的点，且B，E，D，F四点共面．
（1）证明：；
（2）已知，，四棱锥C-BEDF的体积为3．
①求三棱锥B-ADE的体积；
②当母线与下底面所成的角最小时，求二面角C-BF-D的正弦值．
解：（1）证明：在圆台中，平面平面，
因为平面平面，平面平面，
所以.
（2）①将圆台的母线延长交于一点，连接，延长交底面于点，
连接，，在圆台中，平面平面，
因为平面平面，平面平面，所以，
又由（1）可知，所以，
又，，，，，平面，
所以，所以四边形为平行四边形，所以，
在圆台中，，，
所以，所以，
所以，所以，
连接，交于点，所以，
所以，到平面的距离之比，
所以.
②在等腰梯形中，过点作边的垂线，垂足为，
在平面内过点作的平行线交于点，连接，
易得，因为平面，所以平面，
所以为母线与下底面所成角，
因为，，所以，所以，
要使最小，只要最小即可，
因为，所以，所以，
设，因为为圆的直径，所以，
所以，，所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为，
因为，，所以，
因为平面，平面，所以，
因为，，平面，所以平面，
所以，因此为二面角的平面角，
在中，因为，所以，
因为平面，平面，所以，
在中，由勾股定理得，所以，
所以二面角的正弦值为．分组
[7，7.5）
[7.5，8）
[8，8.5）
[8.5，9]
频数
4
x
20
y
频率
a
b
0.4
0.12