[数学][期中]浙江省北斗联盟2023-2024学年高二下学期期中联考试题(解析版)

这是一份[数学][期中]浙江省北斗联盟2023-2024学年高二下学期期中联考试题(解析版)，共13页。试卷主要包含了考试结束后，只需上交答题纸.等内容，欢迎下载使用。

考生须知：
1．本卷共四页满分150分，考试时间120分钟；
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.
3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效：
4．考试结束后，只需上交答题纸.
一、单选题（每小题5分共40分）
1. 集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为，所以，
则，故B正确.
故选：B
2. 已知空间两条不同直线，两个不同平面，下列命题正确的是（ ）
①，则
②，则
③，则
④，则
A. ①③B. ②④C. ①③④D. ①④
【答案】C
【解析】若，由线面垂直的性质，垂直同一个平面的两条直线平行，
则，故①正确；
若，则或与相交或异面，故②错误；
若，由垂直同一条直线的两个平面平行，则，故③正确；
若，由线面垂直和线面平行的性质可得，故④正确.
故选：C.
3. 已知非零向量，，则“两向量，数量积大于0”是“两向量，夹角是锐角”的（ ）条件
A. 必要B. 充分
C. 充要D. 既不充分也不必要
【答案】A
【解析】因为非零向量，，
所以当两向量，数量积大于0时，两向量，夹角是锐角或是零度的角，
而当两向量，夹角是锐角时，两向量，数量积大于0，
所以“两向量，数量积大于0”是“两向量，夹角是锐角”的必要不充分条件.
故选：A
4. 东阳市一米阳光公益组织主要进行“敬老”和“助学”两项公益项目，某周六，组织了七名大学生开展了“筑梦前行，阳光助学”活动后，大家合影留念，其中米一同学想与佳艳､刘西排一起，且要排在她们中间，则全部排法有（ ）种.
A. 120B. 240C. 480D. 720
【答案】B
【解析】因为米一同学想与佳艳､刘西排一起，
所以捆绑在一起，与剩余4个同学作为5个元素全排列有种 ，
又因为米一同学想与佳艳､刘西排一起，且在他们中间，则佳艳､刘西全排列有种，
所以全部排法有：种，
故选：B
5. 已知等差数列，前项和为是方程两根，则（ ）
A. 2020B. 2022C. 2023D. 2024
【答案】D
【解析】因为是方程两根，
所以，
所以，
所以.故选：D
6. 空间点，则点到直线的距离（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意得，
所以，
所以，
所以点A到直线BC的距离.
故选：D.
7 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为，，所以是第四象限角，
所以，而，故，化简得，
而，代入得，
解得(正根舍去)，故B正确.故选：B
8. 三棱锥中，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】中，，
由余弦定理得；
设底面的外心为，外接圆的半径为；
由正弦定理，则；
连结，此时的外接球的球心在上，
利用直角可得：，
设的外接球的半径为；
此时，在直角中，，
即，解得；
所以，三棱锥的外接球的表面积.
故选：.
二、多选题（每小题6分，共18分，多选．错选0分少选则根据比例得分）
9. 已知直线和直线，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则表示与轴平行或重合的直线
B. 直线可以表示任意一条直线
C. 若，则
D. 若，则
【答案】ABD
【解析】对于A，当时，斜率为0，与轴平行或重合，故A正确；
对于B，当时，斜率不存在，当时，斜率存在，能表示任意直线，故B正确；
对于C，若，且或，则，故C错误；
对于D，若，则由可得斜率之积为-1，故，若，可得，此时满足，此时两条直线一条斜率为0，一条斜率不存在，故，故D正确.
故选：ABD.
10. 已知正项等比数列的公比为，前项积为，且满足，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D. 存在最大值
【答案】ACD
【解析】由已知，又，，
所以，，A正确，B错误；
，
，所以，C正确；
因为且，所以等比数列递减数列，
于是，则的最大值为，D正确.
故选：ACD
11. 已知定义域为R的函数不恒为零，满足等式，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 在定义域上单调递增
C. 是偶函数D. 函数有两个极值点
【答案】AD
【解析】对于A，令得，即，A正确；
对于B，若在定义域上单调递增，当时，，
令，得，
即，与在定义域上单调递增矛盾，故B错误；
对于C，若偶函数，则，且，
因为，所以，
所以，即，得或，
又，所以恒成立，矛盾，故C错误；
对于D，当时，，
记，
则
所以，
令解得或，
因为不恒为零，所以在两边异号，
所以为的极值点，所以函数有两个极值点，D正确.
故选：AD
三、填空题（每小题5分共15分）
12. 复数，则的虚部为______．
【答案】1
【解析】因为，所以，
，故的虚部为1.
故答案为：1
13. 一学校对高二女生身高情况进行采样调查，抽取了10个同学的身高：161，160，152，155，170，157，178，175，172，162，则估计这些女生的上四分位数是______
【答案】172
【解析】10个数据从小到大排列为：，
，
上四分位数是第8个数据，即172.故答案为：172.
14. 在中，，，，为边上一点，，，，则的最小值为______
【答案】
【解析】因为为边上一点，过作交于，
则，当在之间时，无法构成，此时如图所示，
所以在的延长线上，可得，所以，，
因为，所以，，
而在中，，，可得，
，
在中，由正弦定理得，
即，可得，
，所以，
，
，
当且仅当时取等，此时解得，
所以的最小值为.
故答案为：.
四、解答题（共77分）
15. 函数，求的最大值和最小值
解：，
又
时递减，
时递增，
且，
，
，
16. 如图多面体，底面为菱形，，，，平面平面.
（1）求证：；
（2）求平面与平面所成锐角的余弦值.
解：（1）在中，，
由，，所以，
由余弦定理可得
，
所以，所以，
即，又，，
又平面平面，且平面平面，
平面，
平面，又平面，，
在菱形中，
又，平面，
平面，平面，.
（2）菱形中，
所以为等边三角形，取中点，连接，
所以，又，所以，又平面，
以分别为轴，建立空间直角坐标系，则，，，，
所以，，，，
设，则，又，
所以，所以，即，
所以，
设平面的一个法向量为，则，
取
设平面的一个法向量，则，
取，
设平面与平面的夹角为，则，
所以平面与平面所成锐角的余弦值为.
17. （1）求圆和圆的公切线
（2）若与抛物线相交，求弦长
解：（1）当斜率存在时，设公切线为，
因为与两圆相切，
所以，解得.
切线
当斜率不存在时，也符合题意，
综上：公切线为：或；
（2）当切线和时经检验无交点，
当切线为时，求得弦长为1，
当切线为时，代入，
得：，
由韦达定理得，
所以由弦长公式得：，
，
综上：弦长为1或
18. 在高等数学中对于二阶线性递推式求数列通项，有一个特殊的方法特征根法：我们把递推数列的特征方程写为①，若①有两个不同实数根，则可令；若①有两个相同的实根，则可令，再根据求出，代入即可求出数列的通项.
（1）斐波那契数列（Fibnacci sequence），又称黄金分割数列，因出自于意大利数学家斐波那契的一道兔子繁殖问题而得名.斐波那契数列指的是形如的数列，这个数列的前两项为1，从第三项开始，每一项都等于前两项之和，请求出斐波那契数列的通项公式；
（2）已知数列中，数列满足，数列满足，求数列的前项和.
解：（1）易知斐波那契数列对应的特征方程为，
解得两个实根分别为，
令，代入可得，解得，
所以斐波那契数列的通项公式为
（2）易知数列对应的特征方程为，解得，
所以令，
代入，解得，所以，
所以，所以是公差为1的等差数列，，
所以，
所以
19. 已知点为焦点在轴上的等轴双曲线上的一点.
（1）求双曲线的方程；
（2）已知直线且交双曲线右支于两点，直线分别交该双曲线斜率为正的渐近线于两点，设四边形和三角形的面积分别为和，求的取值范围.
解：（1）设等轴双曲线方程为，代入点可得，所以，
所以双曲线方程为.
（2）因为，所以，
又，所以，

设直线，
联立，可得，
因为是双曲线右支的两点，所以，解得.
又因为双曲线斜率为正的渐近线为，
直线，
可得，同理可得，
而
，
所以，即，所以.