2025年高考数学一轮复习（基础版）课时精讲第2章　§2.3　函数的奇偶性、周期性（2份打包，原卷版+含解析）

这是一份2025年高考数学一轮复习（基础版）课时精讲第2章　§2.3　函数的奇偶性、周期性（2份打包，原卷版+含解析），文件包含2025年高考数学一轮复习基础版课时精讲第2章§23函数的奇偶性周期性原卷版doc、2025年高考数学一轮复习基础版课时精讲第2章§23函数的奇偶性周期性含解析doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共16页， 欢迎下载使用。
1.了解函数奇偶性的含义，了解函数的周期性及其几何意义.
2.会依据函数的性质进行简单的应用．
知识梳理
1．函数的奇偶性
2.函数的周期性
(1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数y＝f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
常用结论
1．函数奇偶性常用结论
奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性．
2．函数周期性常用结论
对f(x)定义域内任一自变量x的值：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．
(2)若f(x＋a)＝eq \f(1,fx)，则T＝2a(a>0)．
自主诊断
1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若函数f(x)为奇函数，则f(0)＝0.( × )
(2)不存在既是奇函数，又是偶函数的函数．( × )
(3)对于函数y＝f(x)，若f(－2)＝－f(2)，则函数y＝f(x)是奇函数．( × )
(4)若T是函数f(x)的一个周期，则kT(k∈N*)也是函数f(x)的一个周期．( √ )
2．若函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－6x，则f(－1)等于( )
A．－7 B．－5 C．5 D．7
答案 C
解析 因为f(x)为奇函数，所以f(－1)＝－f(1)＝5.
3．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，当x∈[－1,1]时，f(x)＝x2＋1，则f(2 024.5)等于( )
A.eq \f(17,16) B.eq \f(5,4) C．2 D．1
答案 B
解析 由f(x＋2)＝f(x)可知，函数f(x)的周期为2，当x∈[－1,1]时，f(x)＝x2＋1，
∴f(2 024.5)＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2 024＋\f(1,2)))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝eq \f(1,4)＋1＝eq \f(5,4).
4.已知f(x)是定义在R上的奇函数，其在[0，＋∞)上的图象如图所示．则不等式xf(x)>0的解集为________．
答案 (－2,0)∪(0,2)
解析 根据奇函数的图象关于原点对称，可得f(x)的图象如图所示．
xf(x)>0即图象上点的横坐标与纵坐标同号，且均不为0.结合图象可知，xf(x)>0的解集是(－2,0)∪(0,2)．
题型一 函数奇偶性的判断
例1 (1)(多选)下列函数是奇函数的是( )
A．f(x)＝tan x B．f(x)＝x2＋x C．f(x)＝eq \f(ex－e－x,2) D．f(x)＝ln|1＋x|
答案 AC
解析 对于A，函数的定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z))))，关于原点对称，且f(－x)＝tan(－x)＝－tan x＝－f(x)，故函数为奇函数；
对于B，函数的定义域为R，关于原点对称，且f(－x)＝x2－x≠±f(x)，故函数为非奇非偶函数；
对于C，函数的定义域为R，关于原点对称，且f(－x)＝eq \f(e－x－ex,2)＝－f(x)，故函数为奇函数；
对于D，函数的定义域为{x|x≠－1}，不关于原点对称，故函数为非奇非偶函数．
(2)已知函数f(x)对任意x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2，则函数f(x)＋2为________函数．(填“奇”“偶”或“非奇非偶”)
答案 奇
解析 由题意得函数f(x)的定义域为R，定义域关于原点对称，令x＝y＝0，则f(0)＝f(0)＋f(0)＋2，故f(0)＝－2.令y＝－x，则f(0)＝f(x)＋f(－x)＋2，故f(x)＋2＝－f(－x)－2＝－[f(－x)＋2]．故f(x)＋2为奇函数．
思维升华
判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件
(1)定义域关于原点对称，否则即为非奇非偶函数．
(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立．
跟踪训练1 下列函数中不具有奇偶性的是( )
A．f(x)＝x＋sin x B．f(x)＝(x－1)eq \r(\f(x＋1,x－1))
C．f(x)＝ln(eq \r(x2＋1)－x) D．f(x)＝2x＋eq \f(1,2x)
答案 B
解析 A项，f(x)的定义域为R，由f(－x)＝－x＋sin(－x)＝－f(x)知，f(x)为奇函数；
B项，令eq \f(x＋1,x－1)≥0，解得x≤－1或x>1，即函数f(x)的定义域为(－∞，－1]∪(1，＋∞)，不关于原点对称，即f(x)为非奇非偶函数；
C项，因为x2＋1>x2，所以eq \r(x2＋1)－x>0恒成立，即f(x)的定义域为R，又f(－x)＋f(x)＝ln(eq \r(x2＋1)＋x)＋ln(eq \r(x2＋1)－x)＝0，故f(x)为奇函数；
D项，f(x)的定义域为R，由f(－x)＝f(x)知，f(x)为偶函数．
题型二 函数奇偶性的应用
命题点1 利用奇偶性求值(解析式)
例2 (1)设函数f(x)＝x5＋2x3＋3x＋1在区间[－2 025,2 025]上的最大值是M，最小值为m，则M＋m等于( )
A．0 B．2 C．1 D．3
答案 B
解析 由题意知，函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，令g(x)＝f(x)－1＝x5＋2x3＋3x，则函数g(x)为奇函数，∴g(x)在区间[－2 025,2 025]上的最大值与最小值之和为0，即M－1＋m－1＝0，∴M＋m＝2.
(2)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，－x－2，可得f(2x)>f(x－3)＋f(－4)，所以f(2x)>f(x－3－4)＝f(x－7)，
所以2x>x－7，得到x>－7，所以f(2x)－f(x－3)>－2的解集为(－7，＋∞)，故C错误；
对于D，因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＋f(x)＝0，
所以f(－2 024)＋f(2 024)＝f(－2 023)＋f(2 023)＝…＝f(－1)＋f(1)＝0，
又f(0)＝0，故f(－2 024)＋f(－2 023)＋…＋f(0)＋…＋f(2 023)＋f(2 024)＝0，故D错误．
思维升华
(1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值．
(2)利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题．
跟踪训练2 (1)已知函数f(x)为R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝ex＋x＋m，则f(－1)等于( )
A．e B．－e C．e＋1 D．－e－1
答案 B
解析 因为函数f(x)为R上的奇函数，则f(0)＝e0＋0＋m＝0，解得m＝－1，f(－1)＝－f(1)＝－(e＋1－1)＝－e.
(2)若f(x)＝sin x＋x3＋x，则不等式f(x＋1)＋f(2x)>0的解集是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，＋∞)) B．(1，＋∞) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，＋∞)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,3)))
答案 C
解析 f(x)的定义域为R，f(－x)＝sin(－x)－x3－x＝－sin x－x3－x＝－f(x)，所以f(x)是奇函数，
f′(x)＝cs x＋3x2＋1>0，所以f(x)在R上是增函数，由f(x＋1)＋f(2x)>0，得f(x＋1)>－f(2x)＝f(－2x)，
所以x＋1>－2x，解得x>－eq \f(1,3)，所以不等式f(x＋1)＋f(2x)>0的解集是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，＋∞)).
(3)若f(x)＝(x＋a)ln eq \f(2x－1,2x＋1)为偶函数，则a等于( )
A．－1 B．0 C.eq \f(1,2) D．1
答案 B
解析 方法一 因为f(x)为偶函数，则 f(1)＝f(－1)，即(1＋a)ln eq \f(1,3)＝(－1＋a)ln 3，解得a＝0.
当a＝0时，f(x)＝xln eq \f(2x－1,2x＋1).由(2x－1)(2x＋1)>0，解得x>eq \f(1,2)或x\f(1,2)或x