新高考数学二轮复习常考题分类讲练第2讲 函数的对称性与周期性（2份，原卷版+解析版）

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1.函数的对称性、周期性是高考命题热点，近两年新高考都考了一道选择题，分值5分，知识点比较灵活，需要全面掌握常见对称性，周期性的结论
考点一：函数常见对称性结论
①若函数对于任意的均满足，则函数关于直线对称．
②若函数对于任意的均满足则关于点对称．
考点二：函数常见周期性结论
若函数对于任意的都满足，则为的一个周期，且
几个常见周期性结论
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①若函数满足，则．
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②若函数满足，则．
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③若函数满足，则．
④若函数满足，则．
⑤若函数的图象关于直线，都对称，则为周期函数且是它的一个周期．
⑥函数的图象关于两点、都对称，则函数是以为周
⑦函数的图象关于和直线都对称，则函数是以为周期的周期函数．
⑧若函数满足，则函数是以为周期的周期函数．
【题型目录】
题型一：利用周期性求函数值
题型二：利用周期性求函数解析式
题型三：根据函数的对称性、周期性、奇偶性写函数
题型四：根据函数的对称性、奇偶性、周期性综合运用
【典型例题】
题型一：利用周期性求函数值
【例1】设是定义在上周期为2的函数，当时，，其中．若，则的值是 ．
【例2】设为定义在上的奇函数，，当时，，则__________
【例3】定义在上的函数对任意，都有，则等于
A. B. C. D.
【例4】（重庆南开高一上期中）已知定义在上的奇函数满足,且,则的值为( )
A. B. C. D.
【例5】（2022·云南昭通·高一期末）已知函数是定义在上的周期函数，且周期为2，当时，，则（ ）
A． B． C． D．
【题型专练】
1.（2021·山东·临沂市兰山区教学研究室高三开学考试）已知是R上的奇函数，且，当时，，则（ ）
A．3B．C．255D．
2.（2023·全国·高三专题练习）已知是定义在上的偶函数，且，若当时，，则（ ）
A．0 B．1 C．6 D．216
3.（重庆南开高一上期末）函数的定义域为，且，.若对任意实数，都有，则（ ）
A B. -1 C. 0 D. 1
4．（2022·云南红河·高一期末）已知是定义在R上的奇函数，，都有，若当时，，则（ ）
A．B．0C．1D．2
5．（2022·黑龙江·大庆中学高二期末）是定义在上的奇函数，且满足，又当时，，则______．
题型二：利用周期性求函数解析式
【例1】已知定义在实数集R上的函数满足：（1）；（2）；（3）当时解析式为，当时，求函数的解析式。
【例2】（2022·全国·高一专题练习）已知是定义在上周期为的函数，当时，，那么当时， ______.
【例3】（2021·山东师范大学附中高三期中）设是定义在上的奇函数，且对任意实数，恒有.当时，.
(1)当时，求的解析式；
(2)计算.
【题型专练】
1.（2021·上海南汇中学高三期中）设是定义在R上以2为周期的奇函数，当时，，则函数在上的解析式___________．
2.（2021·吉林·梅河口市第五中学高三阶段练习（文））函数满足是，且，当时，，则当时，的最小值为___________.
3.（2021·江苏·高一专题练习）设是定义在上以2为周期的奇函数，当时，，则函数在[4，6]上的解析式是__________
4.（2021·北京市十一学校高一期中）若定义在R上的奇函数满足，且时，则：
（1）__________；
（2）当时，_________.
题型三：根据函数的对称性、周期性、奇偶性写函数
【例1】（2023·全国·高三专题练习）写出一个最小正周期为3的偶函数___________.
【例2】（2022·江苏·金陵中学高三学业考试）写出一个满足以下三个条件的函数：______．
①定义域为R；②不是周期函数；③是周期为的函数．
【例3】（2022·全国·高三专题练习）写出一个同时满足下列性质①②③的函数：__________.①定义域为；②为偶函数；③为奇函数.
【题型专练】
1（2022·广东茂名·二模）请写出一个函数_______，使之同时具有以下性质：①图象关于y轴对称；②，．
2.（2022·北京通州·高三期末）最小正周期为2的函数的解析式可以是______．（写出一个即可）
3.（2022·全国·高三专题练习（理））函数满足以下条件：①的定义域为，其图像是一条连续不断的曲线；②，；③当且，；④恰有两个零点，请写出函数的一个解析式________
题型四：根据函数的对称性、奇偶性、周期性综合运用
【例1】（2022·贵州铜仁·高二期末（理））已知函数的定义域为，且满足：，又为偶函数，当时，，则的值为（ ）
A．4B．C．0D．2
【例2】（2022·陕西·长安一中高一期末）已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，则函数的周期是（ ）
A．B．C．D．
【例3】（2022·湖南·长沙一中高三开学考试）已知是定义在R上的奇函数，为偶函数，且当时，，则（ ）
A．B．0C．D．1
【例4】（2022·山东日照·高二期末）已知是定义域为的奇函数，是定义域为的偶函数，且与的图像关于y轴对称，则（ ）
A．是奇函数B．是偶函数
C．2是一个周期D．关于直线对称
【例5】已知定义在上的函数满足条件，且函数为奇函数，下列有关命题的说法错误的是（ ）
A．函数是周期函数
B．函数为上的偶函数
C．的图象关于点对称函数
D．为上的单调函数
【例6】（2021新高考2卷8）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
【例7】若函数的定义域为R，且，则（ ）
A. B. C. 0D. 1
【题型专练】
1.（2022·四川雅安·高二期末（文））已知函数是上的偶函数，且，当时，，则的值为（ ）
A．1B．2C．D．0
2．（2022·河南新乡·高二期末（理））已知是定义在R上的奇函数，且满足，当时，，若，则（ ）
A．－8B．－4C．0D．4
3．（2022·湖南·高二期末）已知定义域是R的函数满足：，，为偶函数，，则（ ）
A．1B．-1C．2D．-3
4.函数的定义域为，若与都是奇函数，则（ ）
A. 是偶函数 B. 是奇函数
C. D. 是奇函数
5.（2021全国卷甲卷理科12）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，若，则（ ）

6.已知是定义在上的函数，且对任意都有，若函数的图象关于点对称，且，则
7.（2020•岳麓区校级模拟）若对任意的，都有，且，，则的值为 ．
8.（2022·河北深州市中学高三阶段练习多选）已知函数对，都有，且，则（ ）
A．的图像关于直线对称 B．的图像关于点中心对称
C． D．
9.（2022·黑龙江齐齐哈尔·高二期末多选）已知是定义在上的奇函数，且函数为偶函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的图象关于直线对称
B．当时，的零点有6个
C．
D．若，则
10．（2022·山西省长治市第二中学校高二期末多选）已知定义在上的函数满足条件，且函数为奇函数，下列有关命题的说法正确的是（ ）
A．为周期函数B．为上的偶函数
C．为上的单调函数D．的图象关于点对称
11.（2022·辽宁·瓦房店市高级中学高二期末多选）已知定义在上的函数满足，且当时，，则下列说法正确的是（ ）
A．是偶函数B．是周期函数
C．D．时，