福建省仙游县山立学校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷

这是一份福建省仙游县山立学校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷，共13页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上，已知向量，若，则实数，函数在时有极小值0，则，已知函数，则下列结论正确的是等内容，欢迎下载使用。
命题人：杨晶晶 审核：张春贵
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题
1．已知，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
2．已知向量，，若，则（ ）
A．B．5C．4D．
3．已知小明射箭命中靶心的概率为，且每次射击互不影响，则小明在射击4次后，恰好命中两次的概率是（ ）
A．B．C．D．
4．已知向量，若，则实数（ ）
A．B．C．D．
5．如图，在空间四边形中，，分别是，的中点，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知函数，曲线在点处的切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
7．已知随机变量的分布列如下表所示，且满足，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
8．函数在时有极小值0，则（ ）
A．4B．6C．11D．4或11
二、多选题
9．已知点是所在平面外一点，若，，，下列结论正确的有（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．有两个极值点B．的极小值为
C．在上单调递减D．函数无零点
11．在一次满分为150分的数学测试中，某校共有800名学生参加，学生的成绩X服从正态分布N（110，100），其中90分为及格线，120分为优秀线，则下列说法正确的有（参考数据：随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ－σ＜ξ＜μ＋σ）≈0.682 7，P（μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ）≈0.954 5，P（μ－3σ＜ξ＜μ＋3σ）≈0.997 3）（ ）
A．该校学生数学成绩的期望为110B．该校学生数学成绩的标准差为100
C．该校数学成绩达优秀线的人数超过120D．该校数学成绩及格率超过0.98
第II卷（非选择题）
三、填空题
12．设随机变量的方差，则的值为 .
13．设函数，则 .
14．已知，则 .
四、解答题
15．已知函数．
(1)求函数的极值；
(2)求在区间上的最大值与最小值．
16．如图，直三棱柱中，，是的中点，是的中点．
(1)证明：直线直线;
(2)求直线与平面所成的角的大小．
17．已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论函数的单调性.
18．如图，四棱锥的底面是矩形，平面，为的中点，且，，．
(1)求点到平面的距离；
(2)求二面角的余弦值．
19．某商场为了回馈广大顾客，设计了一个抽奖活动，在抽奖箱中放10个大小相同的小球，其中5个为红色，5个为白色.抽奖方式为：每名顾客进行两次抽奖，每次抽奖从抽奖箱中一次性摸出两个小球.如果每次抽奖摸出的两个小球颜色相同即为中奖，两个小球颜色不同即为不中奖.
(1)若规定第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，求中奖次数的分布列和数学期望.
(2)若规定第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，求中奖次数的分布列和数学期望.
(3)如果你是商场老板，如何在上述问两种抽奖方式中进行选择？请写出你的选择及简要理由.
参考答案：
1．C
【分析】先求导，再令即可得解.
【详解】，所以.
故选：C.
2．B
【分析】借助向量垂直的性质及数量积的坐标运算即可得.
【详解】由，故，即有，解得.
故选：B.
3．D
【分析】利用二项分布的概率即可得解．
【详解】由已知命中的概率为，不命中的概率为，射击4次，命中两次，
故概率.
故选：D.
4．A
【分析】利用向量平行的坐标表示可得答案.
【详解】，，
因为，所以，解得.
故选：A.
5．A
【分析】借助向量线性运算法则计算即可得.
【详解】.
故选：A.
6．A
【分析】根据导数的几何意义计算即可求解.
【详解】由题意知，，
所以，所以曲线在处的切线方程为
，即.
故选：A
7．A
【分析】根据均值的计算公式以及概率和为列式，联立求解得，，再根据求出即可.
【详解】，又，
所以，，
所以，
故选：A.
8．C
【分析】求导后，由已知得到，解出，再代入导数得到单调性检验，最后得出结果.
【详解】，
因为在时有极小值0，
所以，
解得或，
当时，恒成立，
所以在上单调递增，没有极值，舍去；
当时，，
令，解得或，
所以当时，为单调递减函数；
当或时，为单调递增函数；
所以在处取得极小值，满足题意，
所以，
故选：C.
9．AC
【分析】根据平面向量的定义，平行，垂直，模长的定义可以对每一个选项进行逐一判断，进而得出答案.
【详解】对于：∵，所以正确；
对于：，
∴，所以不垂直，
所以不正确；
对于：，
，
所以正确；
对于：，，
而，
∴不平行于；所以不正确.
故选：.
10．BD
【分析】由题得出，求得，令得出极值点，极值，单调区间即可得出判断．
【详解】定义域为，
，令，得或（舍去），
当时，，所以在上单调递减，
当时，，所以在上单调递增，
所以是的极小值点，极小值为，故B正确，A错误，C错误；
，即函数无零点，故D正确；
故选：BD．
11．AC
【分析】利用学生的成绩服从正态分布，可得数学期望与标准差可判断AB；利用，可求得该校数学成绩达优秀线的概率判断C；利用可求得该校数学成绩的及格率判断D.
【详解】因为学生的成绩服从正态分布，则该校学生数学成绩的期望为，故A正确；
该校学生数学成绩的标准差为，故B错误；
该校数学成绩达优秀线的概率，
所以该校数学成绩达优秀线的人数为，故C正确；
该校数学成绩及格率为，故D错误．
故选：AC.
12．12
【分析】根据公式求解.
【详解】
故答案为：12
13．
【分析】由复合函数的导数公式即可求得答案.
【详解】因为，所以，
故答案为：.
14．
【分析】根据空间向量夹角的余弦公式求出答案.
【详解】向量，
,
，
∴，
与的夹角为.
故答案为：
15．(1)极大值为17，极小值为
(2)最大值为，最小值为
【分析】（1）计算，求出函数的单调区间，即可求出函数的极值；
（2）根据函数的单调性以及极值，结合，的值，即可求出函数的最值．
【详解】（1），令得，或，
当时，，在单调递增，
当时，，在单调递减，
当时，，在单调递增，
所以的极大值为，极小值为．
（2）由（1）得，在和上单调递增，在上单调递减，
因为，所以在区间上的最大值为；
因为，所以在区间上的最小值为．
16．(1)证明见解析
(2)
【分析】
（1）建立空间直角坐标系，利用向量证明垂直；
（2）求出平面的法向量，利用线面角的公式可求答案.
【详解】（1）不妨设，以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图，
,.
,因为，所以.
（2），,
易知平面的一个法向量为,
设直线与平面所成的角为，则，
所以，即直线与平面所成的角的大小为.
17．(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再利用点斜式求出切线方程；
（2）求出函数的导函数，分、两种情况讨论，分别求出函数的单调区间.
【详解】（1）当时，
则，所以，
因为，即切点为，
所以切线方程为，即.
（2）函数的定义域为，
又，
当时，恒成立，函数在上单调递增；
当时，则当时，当时，
所以函数在上单调递增，在上单调递减；
综上可得：当时在上单调递增；
当时在上单调递增，在上单调递减.
18．(1)；
(2).
【分析】（1）利用等体积法，，结合棱锥体积的计算公式，求解即可；
（2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面的法向量，利用向量法即可求得结果.
【详解】（1）连接，设点到平面的距离为，
因为，又因为平面，所以；
因为，底面是矩形，；
又面，故，所以，
又,，所以，故，
则；
所以，即，即得.
（2）平面，面，故，又底面为矩形，
故以为坐标原点，以所在直线为轴，轴，轴,建系如下：
则，
平面一个法向量为，设平面的法向量为，
，
可得，即，取，可得，所以.
设二面角的平面角为.
，故二面角的余弦值为.
19．(1)分布列答案见解析，数学期望：
(2)分布列答案见解析，数学期望：
(3)答案见解析
【分析】（1）根据古典概型的运算公式，结合二项分布的性质进行求解即可；
（2）根据古典概型的运算公式，结合数学期望公式进行求解即可；
（3）根据数学期望的性质，结合商场老板希望进行判断即可.
【详解】（1）若第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，则每次中奖的概率为，
因为两次抽奖相互独立，所以中奖次数服从二项分布，即，
所以的所有可能取值为，则
，
所以的分布列为
所以的数学期望为.
（2）若第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，中奖次数的所有可能取值为，
则，
，
，
所以的分布列为
所以的数学期望为.
（3）因为（1）（2）两问的数学期望相等，第（1）问中两次奖的概率比第（2）问的小，
即，第（1）不中奖的概率比第问小，即，
回答一：若商场老板希望中两次奖的顾客多，产生宣传效应，则选择按第（2）问方式进行抽.
回答二：若商场老板希望中奖的顾客多，则选择按第（1）问方式进行抽奖.
0
1
2
0
1
2