2022-2023学年江苏省淮安市淮阴区八年级下学期期中数学试题及答案

这是一份2022-2023学年江苏省淮安市淮阴区八年级下学期期中数学试题及答案，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）（2023春•淮阴区期中）下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）（2023春•淮阴区期中）下列调查中，适合进行普查的是（ ）
A．调查一批新型节能灯泡的使用寿命
B．调查长江流域的水污染情况
C．《新闻联播》电视栏目的收视率
D．一个班级学生的体重
3．（3分）（2021•淮安）下列事件是必然事件的是（ ）
A．没有水分，种子发芽
B．如果a、b都是实数，那么a+b＝b+a
C．打开电视，正在播广告
D．抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上
4．（3分）（2023春•淮阴区期中）小明统计了他家今年5月份打电话的次数及通话时间，并列出了频数分布表：则通话时间不超过15min的频率是（ ）
A．0.1B．0.4C．0.5D．0.9
5．（3分）（2023春•淮阴区期中）在平行四边形ABCD中，若∠A＝38°，则∠C等于（ ）
A．142°B．132°C．25°D．38°
6．（3分）（2023春•淮阴区期中）如图，在菱形ABCD中，点E、F分别是CD、BD的中点，EF＝6，则AD的长是​（ ）
A．3B．6C．12D．24
7．（3分）（2023春•淮阴区期中）如图，在平行四边形ABCD中，∠ODA＝90°，AC＝10，BD＝6，则AD的长为（ ）
A．4B．5C．6D．8
8．（3分）（2012•本溪）在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB＝5，AC＝6，过点D作AC的平行线交BC的延长线于点E，则△BDE的面积为（ ）
A．22B．24C．48D．44
二、填空题（每小题3分，共24分）
9．（3分）（2023春•淮阴区期中）从﹣1、0、π、3、中随机任取一个数，取到无理数的概率是 ．
10．（3分）（2023春•淮阴区期中）某市启动城市绿化工程，林业部门要考察某种树苗在一定条件下的移植成活率，在同样条件下，对这种树苗进行大量移植，并统计成活情况，数据如表所示：
估计树苗移植成活的概率是 （精确到0.1）．
11．（3分）（2023春•淮阴区期中）在一个不透明的布袋中装有红色、白色玻璃球共40个，除颜色外其他安全相同，小明通过多次摸球试验后发现，其中摸到红色球的频率稳定在0.15左右，则口袋中红色球可能有 个．
12．（3分）（2008•恩施州）已知菱形的两对角线长分别为6cm和8cm，则菱形的面积为 cm2．
13．（3分）（2023春•淮阴区期中）在平行四边形ABCD中，∠A：∠B＝7：2，∠C＝ ．
14．（3分）（2022秋•毕节市期末）如图，菱形ABCD的周长是16，∠ABC＝60°，则对角线AC的长是 ．
15．（3分）（2015•黄冈）如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E．若∠CBF＝20°，则∠AED等于 度．
16．（3分）（2023春•农安县期末）如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且AE＝3，点Q为对角线AC上的动点，则△BEQ周长的最小值为 ．
三、解答题（共72分）
17．（8分）（2023春•淮阴区期中）一只不透明的箱子里共有3个球，其中2个白球，1个红球，它们除颜色外均相同．
（1）从箱子中随机摸出一个球，摸到哪种颜色的球的可能性最大？
（2）从箱子中随机摸出一个球是白球的概率是多少？
18．（8分）（2023春•淮阴区期中）某校数学兴趣小组就“最想去的淮安市旅游景点”随机调查了本校部分同学，要求每位同学都要选择且只能选择一个最想去的景点．下面是根据调查结果进行数据整理后绘制出的不完整的统计图：
​请回答下列问题：
（1）本次调查人数共 人；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）在扇形统计图中，求“最想去景点D”的扇形圆心角的度数；
（4）若该校共有3000名学生，请估计“最想去景点B”的人数？
19．（10分）（2023春•淮阴区期中）如图，E、F分别是平行四边形ABCD的边AD、BC上的点，且BF＝DE．求证：AF＝CE．
20．（10分）（2023春•淮阴区期中）在矩形ABCD中，点E是BC上一点，AE＝AD，DF⊥AE，垂足为F．
（1）求证：DF＝DC．
（2）若AB＝3，AF＝4，求四边形CDFE的面积．
21．（10分）（2023春•淮阴区期中）如图，在△ABD中．
（1）作出点A关于BD的对称点C（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若∠ABD＝∠ADB，在（1）所作的图中，连接BC、DC、AC，AC与BD交于点O．
①求证：四边形ABCD是菱形；
②取BC的中点E，连接OE，若，BD＝10，求点E到AD的距离．
22．（12分）（2023春•淮阴区期中）如图，四边形ABCD是正方形，BE⊥BF，BE＝BF，EF与BC交于点G．
（1）求证：AE＝CF；
（2）若∠ABE＝65°，求∠EGC的大小．
23．（14分）（2023春•淮阴区期中）在数学兴趣小组活动中，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．
【初步思考】
（1）操作一：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；
操作二：在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接PM，BM．
根据以上操作，当点M在EF上时，图1中等于30°的角有： .（写一个即可）
【迁移探究】
（2）小明将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：
将正方形纸片ABCD按照（1）中的方式操作，并延长PM交CD于点Q，连接BQ．
①如图2，当点M在EF上时，∠CBQ＝ °；
②若点P是AD上的一个动点（点P不与点A、D重合），如图3，猜想∠MBQ与∠CBQ的数量关系，并说明理由．
【拓展应用】
（3）在（2）的探究中，已知正方形纸片ABCD的边长为8cm，当FQ＝1cm时，直接写出AP的长．
​
2022-2023学年江苏省淮安市淮阴区八年级（下）期中数学试卷
（参考答案）
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．（3分）（2023春•淮阴区期中）下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，由此即可判断．
【解答】解：选项A、C、D中的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故A、C、D不符合题意；
选项B中的图形是中心对称图形，故B符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查中心对称图形，关键是掌握中心对称图形的定义．
2．（3分）（2023春•淮阴区期中）下列调查中，适合进行普查的是（ ）
A．调查一批新型节能灯泡的使用寿命
B．调查长江流域的水污染情况
C．《新闻联播》电视栏目的收视率
D．一个班级学生的体重
【答案】D
【分析】根据全面调查与抽样调查的特点，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、调查一批新型节能灯泡的使用寿命，适合进行抽样调查，故A不符合题意；
B、调查长江流域的水污染情况，适合进行抽样调查，故B不符合题意；
C、《新闻联播》电视栏目的收视率，适合进行抽样调查，故C不符合题意；
D、一个班级学生的体重，适合进行全面调查，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了全面调查与抽样调查，熟练掌握全面调查与抽样调查的特点是解题的关键．
3．（3分）（2021•淮安）下列事件是必然事件的是（ ）
A．没有水分，种子发芽
B．如果a、b都是实数，那么a+b＝b+a
C．打开电视，正在播广告
D．抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上
【答案】B
【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．
【解答】解：A、没有水分，种子发芽，是不可能事件，本选项不符合题意；
B、如果a、b都是实数，那么a+b＝b+a，是必然事件，本选项符合题意；
C、打开电视，正在播广告，是随机事件，本选项不符合题意；
D、抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上，是随机事件，本选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
4．（3分）（2023春•淮阴区期中）小明统计了他家今年5月份打电话的次数及通话时间，并列出了频数分布表：则通话时间不超过15min的频率是（ ）
A．0.1B．0.4C．0.5D．0.9
【答案】D
【分析】不超过15min的通话时间除以所有的通话时间即可求得通话时间不超过15min的频率．
【解答】解：不超过15分钟的通话次数为20+16+9＝45（次），
通话总次数为20+16+9+5＝50（次），
∴通话时间不超过15min的频率为：0.9；
故选：D．
【点评】本题考查了频数分布表的知识，解题的关键是了解频率＝频数÷样本容量，难度不大．
5．（3分）（2023春•淮阴区期中）在平行四边形ABCD中，若∠A＝38°，则∠C等于（ ）
A．142°B．132°C．25°D．38°
【答案】D
【分析】利用四边形ABCD是平行四边形，可知∠A＝∠C，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C（平行四边形对角相等），
∵∠A＝38°，
∴∠C＝38°．
故选：D．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，熟悉并正确运用平行四边形的性质是解决问题的关键．
6．（3分）（2023春•淮阴区期中）如图，在菱形ABCD中，点E、F分别是CD、BD的中点，EF＝6，则AD的长是​（ ）
A．3B．6C．12D．24
【答案】C
【分析】由三角形中位线定理可求BC＝2EF＝12，由菱形的性质可得AD＝BC＝12，此题得解．
【解答】解：由题意可知，EF是△ABC的中位线，有EFBC．
∴BC＝2EF＝12，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝BC＝12．
故选：C．
【点评】本题考查了菱形的性质，三角形的中位线定理，掌握三角形的中位线等于第三边的一半是解题的关键．
7．（3分）（2023春•淮阴区期中）如图，在平行四边形ABCD中，∠ODA＝90°，AC＝10，BD＝6，则AD的长为（ ）
A．4B．5C．6D．8
【答案】A
【分析】根据平行四边形的性质可知AO＝OC，OD＝OB，据此求出AO、DO的长，利用勾股定理求出AD的长即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝10，BD＝6，
∴OA＝OCAC＝5，OB＝ODBD＝3，
∵∠ODA＝90°，
∴AD4．
故选：A．
【点评】此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分，解题时还要注意勾股定理的应用．
8．（3分）（2012•本溪）在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB＝5，AC＝6，过点D作AC的平行线交BC的延长线于点E，则△BDE的面积为（ ）
A．22B．24C．48D．44
【答案】B
【分析】先判断出四边形ACED是平行四边形，从而得出DE的长度，根据菱形的性质求出BD的长度，利用勾股定理的逆定理可得出△BDE是直角三角形，计算出面积即可．
【解答】解：∵AD∥BE，AC∥DE，
∴四边形ACED是平行四边形，
∴AC＝DE＝6，
在RT△BCO中，BO4，即可得BD＝8，
又∵BE＝BC+CE＝BC+AD＝10，
∴△BDE是直角三角形，
∴S△BDEDE•BD＝24．
故选：B．
【点评】此题考查了菱形的性质、勾股定理的逆定理及三角形的面积，属于基础题，求出BD的长度，判断△BDE是直角三角形，是解答本题的关键．
二、填空题（每小题3分，共24分）
9．（3分）（2023春•淮阴区期中）从﹣1、0、π、3、中随机任取一个数，取到无理数的概率是 ．
【答案】．
【分析】用无理数的个数除以数据的总数即可求得概率．
【解答】解：数据﹣1、0、π、3、中无理数为π、，共2个，
所以任取一个数是无理数的概率是．
故答案为：．
【点评】此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
10．（3分）（2023春•淮阴区期中）某市启动城市绿化工程，林业部门要考察某种树苗在一定条件下的移植成活率，在同样条件下，对这种树苗进行大量移植，并统计成活情况，数据如表所示：
估计树苗移植成活的概率是 0.9 （精确到0.1）．
【答案】0.9．
【分析】根据表格中的数据和概率的含义，可以估计出树苗成活的概率．
【解答】解：由表格中的数据可得，树苗成活的概率是0.9，
故答案为：0.9．
【点评】本题考查利用频率估计概率、频数分布表，解答本题的关键是明确题意，求出相应的概率．
11．（3分）（2023春•淮阴区期中）在一个不透明的布袋中装有红色、白色玻璃球共40个，除颜色外其他安全相同，小明通过多次摸球试验后发现，其中摸到红色球的频率稳定在0.15左右，则口袋中红色球可能有 6 个．
【答案】见试题解答内容
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，根据红球的频率，乘以总球数求解．
【解答】解：40×0.15＝6（个）．
故答案为：6．
【点评】此题考查利用频率估计概率，解答此题的关键是根据口袋中红色球所占的比例，计算其个数．
12．（3分）（2008•恩施州）已知菱形的两对角线长分别为6cm和8cm，则菱形的面积为 24 cm2．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半求得其面积即可．
【解答】解：由已知得，菱形的面积等于两对角线乘积的一半
即：6×8÷2＝24cm2．
故答案为：24．
【点评】此题主要考查菱形的面积等于两条对角线的积的一半．
13．（3分）（2023春•淮阴区期中）在平行四边形ABCD中，∠A：∠B＝7：2，∠C＝ 140° ．
【答案】见试题解答内容
【分析】由在▱ABCD中，∠A：∠B＝7：2，根据平行四边形的对角相等，邻角互补，即可求得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠A＝∠C，
∴∠A+∠B＝180°，
∵∠A：∠B＝7：2，
∴∠C＝∠A180°＝140°．
故答案为：140°．
【点评】此题考查了平行四边形的性质．注意掌握平行四边形的对角相等，邻角互补定理的应用是解此题的关键．
14．（3分）（2022秋•毕节市期末）如图，菱形ABCD的周长是16，∠ABC＝60°，则对角线AC的长是 4 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】由于四边形ABCD是菱形，AC是对角线，根据∠ABC＝60°，而AB＝BC，易证△BAC是等边三角形，从而可求AC的长．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC是对角线，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，
∵菱形ABCD的周长是16，
∴AB＝BC＝AC＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定和性质．菱形的对角线平分对角，解题的关键是证明△ABC是等边三角形．
15．（3分）（2015•黄冈）如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E．若∠CBF＝20°，则∠AED等于 65 度．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据正方形的性质得出∠BAE＝∠DAE，再利用SAS证明△ABE与△ADE全等，再利用三角形的内角和解答即可．
【解答】解：∵正方形ABCD，
∴AB＝AD，∠BAE＝∠DAE，
在△ABE与△ADE中，
，
∴△ABE≌△ADE（SAS），
∴∠AEB＝∠AED，∠ABE＝∠ADE，
∵∠CBF＝20°，
∴∠ABE＝70°，
∴∠AED＝∠AEB＝180°﹣45°﹣70°＝65°，
故答案为：65
【点评】此题考查正方形的性质，关键是根据正方形的性质得出∠BAE＝∠DAE，再利用全等三角形的判定和性质解答．
16．（3分）（2023春•农安县期末）如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且AE＝3，点Q为对角线AC上的动点，则△BEQ周长的最小值为 6 ．
【答案】6．
【分析】过点E作EF⊥AC于点F，延长EF交AD于点G，连接BG交AC于点H，连接EH，由正方形的性质可得点E与点G关于AC对称，则当点Q与点H重合时，△BEQ的周长取得最小值，最小值为BE+BG的长，再结合勾股定理可得出答案．
【解答】解：过点E作EF⊥AC于点F，延长EF交AD于点G，连接BG交AC于点H，连接EH，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠DAC＝∠BAC＝45°，
∴∠AGF＝∠AEF＝45°，
∴GF＝AF＝EF，
即点E与点G关于AC对称，
∴GH＝EH，
∴当点Q与点H重合时，△BEQ的周长取得最小值，
最小值为BE+BG的长．
∵正方形ABCD的边长为4，AE＝3，
∴AB＝4，AG＝AE＝3，BE＝1，
∴5，
∴BE+BG＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查轴对称﹣最短路线问题、正方形的性质、勾股定理，熟练掌握轴对称的性质、正方形的性质以及勾股定理是解答本题的关键．
三、解答题（共72分）
17．（8分）（2023春•淮阴区期中）一只不透明的箱子里共有3个球，其中2个白球，1个红球，它们除颜色外均相同．
（1）从箱子中随机摸出一个球，摸到哪种颜色的球的可能性最大？
（2）从箱子中随机摸出一个球是白球的概率是多少？
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）利用白球的数量最多，可得出摸到白球的可能性最大；
（2）利用白球数量÷小球总数＝摸出白球的概率，进而求出．
【解答】解：（1）∵箱子里共有3个球，其中2个白球，1个红球，
∴摸到白球的可能性最大；
（2）∵共有3个球，2个白球，
∴随机摸出一个球是白球的概率为：．
【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
18．（8分）（2023春•淮阴区期中）某校数学兴趣小组就“最想去的淮安市旅游景点”随机调查了本校部分同学，要求每位同学都要选择且只能选择一个最想去的景点．下面是根据调查结果进行数据整理后绘制出的不完整的统计图：
​请回答下列问题：
（1）本次调查人数共 40 人；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）在扇形统计图中，求“最想去景点D”的扇形圆心角的度数；
（4）若该校共有3000名学生，请估计“最想去景点B”的人数？
【答案】（1）40；（2）见解答；（3）72°；（4）1050人．
【分析】（1）用最想去A景点的人数除以它所占的百分比即可得到被调查的学生总人数；
（2）先计算出最想去D景点的人数，再补全条形统计图即可；
（3）用360°乘以最想去D景点的人数所占的百分比即可得到扇形统计图中表示“最想去景点D”的扇形圆心角的度数；
（4）用3000乘以样本中最想去B景点的人数所占的百分比即可．
【解答】解：（1）调查的学生总人数为8÷20%＝40（名），
故答案为：40；
（2）最想去D景点的人数为40﹣8﹣14﹣4﹣6＝8（人），补全条形统计图为：
（3）扇形统计图中表示“最想去景点D”的扇形圆心角的度数为360°＝72°；
（4）30001050（人），
答：该校“最想去景点B”的学生人数约为1050人．
【点评】本题考查了条形统计图，扇形统计图，样本估计总体，掌握题意从统计图中获取信息，求出被调查的学生总人数是关键．
19．（10分）（2023春•淮阴区期中）如图，E、F分别是平行四边形ABCD的边AD、BC上的点，且BF＝DE．求证：AF＝CE．
【答案】见解答．
【分析】根据“平行四边形ABCD的对边平行且相等的性质”证得四边形AECF为平行四边形，然后由“平行四边形的对边相等”的性质证得结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC；
又∵BF＝DE，
∴AE∥CF，AE＝CF，
∴四边形AECF为平行四边形（对边平行且相等的四边形为平行四边形），
∴AF＝CE（平行四边形的对边相等）．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质．平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．
20．（10分）（2023春•淮阴区期中）在矩形ABCD中，点E是BC上一点，AE＝AD，DF⊥AE，垂足为F．
（1）求证：DF＝DC．
（2）若AB＝3，AF＝4，求四边形CDFE的面积．
【答案】（1）见解析过程；
（2）3．
【分析】（1）由“AAS”可证△ABE≌△DFA，可得DF＝AB＝CD；
（2）由勾股定理可求AE＝AD＝5，由面积和差关系可求解．
【解答】（1）证明：在矩形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝CD，
∴∠FAD＝∠BEA．
∵DF⊥AE，
∴∠DFA＝90°＝∠B．
在△ABE和△DFA中，
，
∴△ABE≌△DFA（AAS）；
∴DF＝AB，
∴DF＝CD；
（2）解：∵△ABE≌△DFA，
∴AF＝BE＝4，
∴AE5，
∴AD＝AE＝5，
∴四边形CDFE的面积＝3×5﹣23×4＝3．
【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，证明三角形全等是解题的关键．
21．（10分）（2023春•淮阴区期中）如图，在△ABD中．
（1）作出点A关于BD的对称点C（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若∠ABD＝∠ADB，在（1）所作的图中，连接BC、DC、AC，AC与BD交于点O．
①求证：四边形ABCD是菱形；
②取BC的中点E，连接OE，若，BD＝10，求点E到AD的距离．
【答案】（1）见解答；
（2）①见解答；
②．
【分析】（1）根据点关于直线的对称点的画法，过点A作BD的垂线段并延长一倍，得对称点C；
（2）①根据菱形的判定即可求解；
②过B点作BF⊥AD于F，根据菱形的性质，勾股定理得到OB＝5，OA＝12，AD＝13，再根据三角形面积公式即可求解．
【解答】解：（1）如图所示：点C即为所求；
（2）①证明：∵∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝AD，
∵C是点A关于BD的对称点，
∴CB＝AB，CD＝AD，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
∴四边形ABCD是菱形；
②过B点作BF⊥AD于F，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OBBD＝5，
∵E是BC的中点，OA＝OC，
∴BC＝2OE＝13，
∴OC12，
∴OA＝12，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝13，
∴BF12×5×2×2÷13，
故点E到AD的距离是．
【点评】此题主要考查了基本作图以及轴对称变换的作法、菱形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，三角形面积等知识，得出BC，AC的长是解题关键．
22．（12分）（2023春•淮阴区期中）如图，四边形ABCD是正方形，BE⊥BF，BE＝BF，EF与BC交于点G．
（1）求证：AE＝CF；
（2）若∠ABE＝65°，求∠EGC的大小．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）利用△AEB≌△CFB来求证AE＝CF．
（2）利用角的关系求出∠BEF和∠EBG，∠EGC＝∠EBG+∠BEF求得结果．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°，AB＝BC，
∵BE⊥BF，
∴∠FBE＝90°，
∵∠ABE+∠EBC＝90°，∠CBF+∠EBC＝90°，
∴∠ABE＝∠CBF，
在△AEB和△CFB中，
，
∴△AEB≌△CFB（SAS），
∴AE＝CF．
（2）解：∵BE⊥BF，
∴∠FBE＝90°，
又∵BE＝BF，
∴∠BEF＝∠EFB＝45°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°，
又∵∠ABE＝65°，
∴∠EBG＝90°﹣65°＝25°，
∴∠EGC＝∠EBG+∠BEF＝45°+25°＝70°．
【点评】本题主要考查了正方形，三角形全等判定和性质及等腰三角形，解题的关键是求得△AEB≌△CFB，找出相等的线段．
23．（14分）（2023春•淮阴区期中）在数学兴趣小组活动中，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．
【初步思考】
（1）操作一：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；
操作二：在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接PM，BM．
根据以上操作，当点M在EF上时，图1中等于30°的角有： ∠EMB或∠CBM或∠ABP或∠PBM（任写一个即可） .（写一个即可）
【迁移探究】
（2）小明将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：
将正方形纸片ABCD按照（1）中的方式操作，并延长PM交CD于点Q，连接BQ．
①如图2，当点M在EF上时，∠CBQ＝ 15 °；
②若点P是AD上的一个动点（点P不与点A、D重合），如图3，猜想∠MBQ与∠CBQ的数量关系，并说明理由．
【拓展应用】
（3）在（2）的探究中，已知正方形纸片ABCD的边长为8cm，当FQ＝1cm时，直接写出AP的长．
​
【答案】（1）∠EMB或∠CBM或∠ABP或∠PBM（任写一个即可）；
（2）①15；
②∠CBQ＝∠MBQ；理由见解答过程；
（3）AP的长为cm或cm．
【分析】（1）由折叠的性质可得AE＝BEAB，∠AEF＝∠BEF＝90°，AB＝BM，∠ABP＝∠PBM，由锐角三角函数可求∠EMB＝30°，即可求解；
（2）①由“HL”可证Rt△BCQ≌Rt△BMQ，可得∠CBQ＝∠MBQ＝15°；
②由“HL”可证Rt△BCQ≌Rt△BMQ，可得∠CBQ＝∠MBQ；
（3）分两种情况讨论，由折叠的性质和勾股定理可求解．
【解答】解：（1）∵对折矩形纸片ABCD，
∴AE＝BEAB，∠AEF＝∠BEF＝90°，
∵沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，
∴AB＝BM，∠ABP＝∠PBM，
∵sin∠BME，
∴∠EMB＝30°，
∴∠ABM＝60°，
∴∠CBM＝∠ABP＝∠PBM＝30°，
故答案为：∠EMB或∠CBM或∠ABP或∠PBM（任写一个即可）；
（2）①由（1）可知∠CBM＝30°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠BAD＝∠C＝90°，
由折叠可得：AB＝BM，∠BAD＝∠BMP＝90°，
∴∠BM＝BC，∠BMQ＝∠C＝90°，
又∵BQ＝BQ，
∴Rt△BCQ≌Rt△BMQ（HL），
∴∠CBQ＝∠MBQ＝15°，
故答案为：15；
②∠MBQ＝∠CBQ，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠BAD＝∠C＝90°，
由折叠可得：AB＝BM，∠BAD＝∠BMP＝90°，
∴BM＝BC，∠BMQ＝∠C＝90°，
又∵BQ＝BQ，
∴Rt△BCQ≌Rt△BMQ（HL），
∴∠CBQ＝∠MBQ；
（3）由折叠的性质可得DF＝CF＝4cm，AP＝PM，
∵Rt△BCQ≌Rt△BMQ，
∴CQ＝MQ，
当点Q在线段CF上时，∵FQ＝1cm，
∴MQ＝CQ＝3cm，DQ＝5cm，
∵PQ2＝PD2+DQ2，
∴（AP+3）2＝（8﹣AP）2+25，
∴AP，
当点Q在线段DF上时，∵FQ＝1cm，
∴MQ＝CQ＝5cm，DQ＝3cm，
∵PQ2＝PD2+DQ2，
∴（AP+5）2＝（8﹣AP）2+9，
∴AP，
综上所述：AP的长为cm或cm．
【点评】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
通话时间x/min
0＜x≤5
5＜x≤10
10＜x≤15
15＜x≤20
频数（通话次数）
20
16
9
5
移植总数
10
270
400
750
1500
3500
7000
9000
14000
成活数量
9
235
369
662
1335
3203
6335
8073
12628
成活频率
0.900
0.870
0.923
0.883
0.890
0.915
0.905
0.897
0.902
通话时间x/min
0＜x≤5
5＜x≤10
10＜x≤15
15＜x≤20
频数（通话次数）
20
16
9
5
移植总数
10
270
400
750
1500
3500
7000
9000
14000
成活数量
9
235
369
662
1335
3203
6335
8073
12628
成活频率
0.900
0.870
0.923
0.883
0.890
0.915
0.905
0.897
0.902