河北省沧州市东光县三校联考2023-2024学年八年级下学期5月期中考试数学试卷(含解析)

这是一份河北省沧州市东光县三校联考2023-2024学年八年级下学期5月期中考试数学试卷(含解析)，共20页。试卷主要包含了选择题．，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题．（本大题共16个小题，其中1-10每小题3分，11-16每小题2分共42分，在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求）
1．华为麒麟990芯片采用了最新的0.000000007米的工艺制程，数0.000000007用科学记数法表示为（ ）
A．7×10﹣9B．7×10﹣8C．0.7×10﹣9D．0.7×10﹣8
2．根据以下程序，若输入x＝，则输出的结果为（ ）
A．﹣1B．1C．4D．11
3．如果不等式（a+1）x＞a+1的解集为x＜1，则a必须满足（ ）
A．a＜0B．a≤1C．a＞﹣1D．a＜﹣1
4．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．3x+2＝0B．x+y2＝﹣2
C．ax2+2x﹣1＝0D．x2＝7x
5．下列选项中y不是x的函数的是（ ）
A．|y|＝xB．y＝﹣x﹣6
C．D．
6．一次函数y＝3x+b过点（0，2），则b的值为（ ）
A．2B．﹣2C．3D．﹣3
7．用反证法证明“已知：△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＜90°．”时，第一步应假设（ ）
A．∠B≠90°B．AB≠ACC．∠B＞90°D．∠B≥90°
8．下列命题中，真命题的个数有（ ）
①对角线相等的四边形是矩形；
②两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
③一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；
④一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形．
A．1B．2C．3D．4
9．双曲线l1：y＝﹣和l2：y＝（k≠0）的图象如图所示，点A是l1上一点，分别过点A作AB⊥x轴，AC⊥y轴，垂足分别为点B，点C，AB与l2交于点D，若△AOD的面积为2，则k的值（ ）
A．4B．﹣4C．2D．﹣2
10．已知点A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）都在二次函数y＝ax2﹣2ax+5（a＞0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系用“＜”表示为（ ）
A．y2＜y3＜y1B．y1＜y2＜y3C．y2＜y1＜y3D．y3＜y2＜y1
11．关于x的方程x2﹣2mx+m2﹣4＝0的两个根x1，x2满足x1＝2x2+3，且x1＞x2，则m的值为（ ）
A．﹣3B．1C．3D．9
12．如图，抛物线y＝ax2﹣x+4与直线y＝x+b经过点A（2，0），且相交于另一点B；抛物线与y轴交于点C，与x轴交于另一点E；点N在线段AB上，过点N的直线交抛物线于点M，且MN∥y轴，连接AM、BM、BC、AC；当点N在线段AB上移动时（不与A、B重合），下列结论中正确的是（ ）
A．MN+BN＜AB
B．∠BAC＝∠BAE
C．∠ACB﹣∠ANM＝∠ABC
D．四边形ACBM的最大面积为13
13．如图，已知菱形ABCD的边长为6，点M是对角线AC上的一动点，且∠ABC＝120°，则MA+MB+MD的最小值是（ ）
A．B．3+3C．6+D．
14．如图，在▱ABCD中，BC＝2AB＝8，连接BD，分别以点B，D为圆心，大于BD长为半径作弧，两弧交于点E和点F，作直线EF交AD于点I，交BC于点H，点H恰为BC的中点，连接AH，则AH的长为（ ）
A．4B．6C．7D．4
15．将一些完全相同的棋子按如图所示的规律摆放，第①个图中有4颗棋子，第②个图中有7颗棋子，第③个图中有12颗棋子，…，按此规律，则第⑨个图中棋子的颗数是（ ）
A．52B．67C．84D．101
16．已知两点A（a，5），B（﹣1，b）且直线AB∥x轴，则（ ）
A．a可取任意实数，b＝5B．a＝﹣1，b可取任意实数
C．a≠﹣1，b＝5D．a＝﹣1，b≠5
二、填空题（本大题共4个小题，17题2分，18、19题每小题3分，20题每空2分，共12分，把答案写在题中横线上）
17．已知a，b满足，则ab＝ ．
18．方程＝1的解为 ．
19．如果点A（1，m）、点B（2，n）在直线上，那么m n（填“＞”、“＜”）．
20．如图，∠ACB＝90°，∠A＝20°，点D是AB的中点，则∠DCB的度数是 ．
三．计算题（21题6分，22题6分，23题4分）
21．因式分解：
（1）﹣3a3+6a2b﹣3ab2；
（2）x2（m﹣n）+4y2（n﹣m）．
22．计算：
（1）；
（2）．
23．解不等式组，并写出它的整数解．
四．解答题
24．（5分）洛阳到淅川的高速公路全长200千米，比原来的国道的长度减少了20千米，高速公路通车后，洛阳到淅川的长途汽车的行驶速度提高了45千米/小时，从洛阳到淅川的行驶时间缩短了一半，求洛阳到淅川的长途汽车在原来国道上行驶的速度。
25．（8分）在平面直角坐标系xOy中，（﹣1，m），（2，n）是抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）上的两点．
（1）若m＝c，求该抛物线的对称轴；
（2）若点（﹣2，y1），（1，y2），（4，y3）在抛物线上，且m＜n＜c，请比较y1，y2，y3的大小，并说明理由．
26．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，点A，B，C的坐标分别为A（2，0），B（6，2），C（6，6）．反比例函数的函数图象经过点D，点P是反比例函数上一动点，直线PC的解析式为：y＝ax+b（a≠0）．
（1）（3分）求反比例函数的解析式；
（2）（4分）如果PC把四边形ABCD的面积分成1：3两部分，直接写出直线PC的解析式；
（3）（5分）对于一次函数y＝ax+b（a≠0），当y随x的增大而增大时，直接写出点P的横坐标x的取值范围．
27．（10分）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，且BE＝DF，连接AE，AF，CE，CF．
（1）求证：△AOE≌△COF．
（2）当OA＝OE时，四边形AECF是什么特殊四边形？请说明理由．
28．如图1，在菱形ABCD中，E是边BC上的点，△AEF是等腰三角形，AE＝EF，∠AEF＝∠ABC＝α（α≥90°）．
（1）如图2，当α＝90°时，连接BD交AF于点P，
①（4分）直接写出∠DCF的度数；
②（5分）求证：．
（2）（8分）如图1，当∠DCF＝135°时，若，求的值．
答案
一．选择题（共16小题）
1．解：数0.00 000 0007用科学记数法表示为7×10﹣9．
故选：A．
2．解：x＝时，x2﹣5＝﹣5＝2﹣5＝﹣3，﹣3＜1，
x＝﹣3时，x2﹣5＝（﹣3）2﹣5＝9﹣5＝4，4＞1，
∴若输入x＝，则输出的结果为4．
故选：C．
3．解：∵不等式（a+1）x＞（a+1）的解为x＜1，
∴a+1＜0，
解得：a＜﹣1．
故选：D．
4．解：3x+2＝0是一元一次方程，故不符合题意；
x+y2＝﹣2是二元二次方程，故不符合题意；
ax2+2x﹣1＝0是二元三次方程，故不符合题意；
x2＝7x是一元二次方程，符合题意．
故选：D．
5．解：自变量x在一定的范围内取一个值，因变量y有唯一确定的值与之对应，则y叫x的函数，
B、C、D均满足取一个x的值，有唯一确定的y值和它对应，y是x的函数，
而A中，对一个x的值，与之对应的有两个y的值，故y不是x的函数，
故选：A．
6．解：∵一次函数y＝3x+b过点（0，2），
∴b＝2，
故选：A．
7．解：用反证法证明：“已知在△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＜90°．”时，
第一步应假设：∠B≥90°，
故选：D．
8．解：①对角线相等的平行四边形是矩形，故本小题命题是假命题；
②两组对角分别相等的四边形是平行四边形，是真命题；
③一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形或等腰梯形，故本小题命题是假命题；
④一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，是真命题；
故选：B．
9．解：∵点A在反比例函数y＝﹣的图象上，
∴S△ABO＝＝3，
∵S△AOD＝2，
∴S△BOD＝S△ABO﹣S△ADO＝3﹣2＝1，
∵点D在l2上，
∴丨k丨＝2S△BOD＝2，
∵反比例函数图象在第二象限，
∴k＝﹣2．
故选：D．
10．解：二次函数y＝ax2﹣2ax+5（a＞0）的对称轴为x＝＝1，
∴C（2，y3）的对称点为C′（0，y3），
∵a＞0，
∴x≤1时y随x的增大而减小，
∵点A（﹣2，y1），B（1，y2），C′（0，y3）都在二次函数y＝ax2﹣2ax+5（a＞0）的图象上，
∴A（﹣2，y1），B（1，y2），C′（0，y3）位于对称轴的左侧且﹣2＜0＜1，
∴y1＞y3＞y2．
故选：A．
11．解：∵x2﹣2mx+m2﹣4＝0，
∴（x﹣m+2）（x﹣m﹣2）＝0，
∴x﹣m+2＝0或x﹣m﹣2＝0，
∵x1＞x2，
∴x1＝m+2，x2＝m﹣2，
∵x1＝2x2+3，
∴m+2＝2（m﹣2）+3，
解得m＝3．
故选：C．
12．解：将点A（2，0）代入抛物线y＝ax2﹣x+4与直线y＝x+b
解得：a＝，b＝﹣，
设：M点横坐标为m，则M（m，m2﹣m+4）、N（m，m﹣），
其它点坐标为A（2，0）、B（5，4）、C（0，4），
则AB＝BC＝5，则∠CAB＝∠ACB，
∴△ABC是等腰三角形．
A、当MN过对称轴的直线时，此时点M、N的坐标分别为（，﹣）、（，），
由勾股定理得：BN＝，而MN＝，
BN+MN＝5＝AB，
故本选项错误；
B、∵BC∥x轴（B、C两点y坐标相同），
∴∠BAE＝∠CBA，而△ABC是等腰三角形不是等边三角形，
∠CBA≠∠BCA，
∴∠BAC＝∠BAE不成立，
故本选项错误；
C、如图，过点A作AD⊥BC、BF⊥AC，
∵△ABC是等腰三角形，
∴BF是∠ABC的平分线，
易证：∠CAD＝∠ABF＝ABC，
而∠ACB﹣∠ANM＝∠CAD＝ABC，
故本选项正确；
D、S四边形ACBM＝S△ABC+S△ABM，
S△ABC＝10，
S△ABM＝MN•（xB﹣xA）＝﹣m2+7m﹣10，其最大值为，
故S四边形ACBM的最大值为10+＝12.25，
故本选项错误．
故选：C．
13．解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，连接BD，
∵菱形ABCD中，∠ABC＝120°，
∴∠DAB＝60°，AD＝AB＝DC＝BC，
∴△ADB是等边三角形，
∴∠MAE＝30°，
∴AM＝2ME，
∵MD＝MB，
∴MA+MB+MD＝2ME+2DM＝2DE，
根据垂线段最短，此时DE最短，即MA+MB+MD最小，
∵菱形ABCD的边长为6，
∴DE＝＝＝3，
∴2DE＝6．
∴MA+MB+MD的最小值是6．
故选：D．
14．解：如图，连接DH，
根据作图过程可知：EF是线段BD的垂直平分线，
∴DH＝BH，
∵点H为BC的中点，
∴BH＝CH，BC＝2CH，
∴DH＝CH，
在▱ABCD中，AB＝DC，
∵AD＝BC＝2AB＝8，
∴DH＝CH＝CD＝4，
∴△DHC是等边三角形，
∴∠C＝∠CDH＝∠DHC＝60°，
在▱ABCD中，∠BAD＝∠C＝60°，AD∥BC，
∴∠DAH＝∠BHA，
∵AB＝BH，
∴∠BAH＝∠BHA，
∴∠BAH＝∠DAH＝30°，
∴∠AHD＝90°，
∴AH＝＝＝4．
故选：A．
15．解：第①个图形中，棋子数量为4＝2×2+02；
第②个图形中，棋子数量为7＝2×3+12；
第③个图形中，棋子数量为12＝2×4+22；
以此类推，
第n个图形中，棋子数量为2（n+1）+（n﹣1）2＝n2+3；
∴第⑨个图形中共有棋子的颗数是2×10+82＝84，
故选：C．
16．解：∵AB∥x轴，
∴b＝5，a≠﹣1，
故选：C．
二．填空题
17．解：由题可知，
，
解得a＝2，
将a＝2代入，
解得b＝4，
则ab＝2×4＝8．
故答案为：8．
18．解：原方程去分母得：1﹣x＝x+3，
解得：x＝﹣1，
检验：当x＝﹣1时，x+3＝﹣1+3＝2≠0，
故原方程的解为x＝﹣1，
故答案为：x＝﹣1．
19．解：∵，
∴y随x的增大而减小，
又∵点A（1，m），点B（2，n）都在直线上，且1＜2，
∴m＞n．
故答案为：＞．
20．解：∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，
∴CD＝AB＝AD，
∴∠ACD＝∠A＝20°，
∴∠DCB＝90°﹣20°＝70°，
故答案为：70．
三．计算题
21．解：（1）原式＝﹣3a（a2﹣2ab+b2）
＝﹣3a（a﹣b）2；
（2）原式＝x2（m﹣n）﹣4y2（m﹣n）
＝（m﹣n）（x2﹣4y2）
＝（m﹣n）（x+2y）（x﹣2y）．
22．解：（1）
＝+2﹣
＝+；
（2）
＝20﹣2+3
＝21．
四．解答题
23．解：，
解不等式①得x≥﹣2，
解不等式②得x＜1，
所以不等式组的解集为：﹣2≤x＜1，
所以不等式组的所有整数解为：﹣2，﹣1，0．
24．解：设洛阳到淅川的长途汽车在原来国道上行驶的速度是x千米/时，则在高速上行驶的速度是（x+45）千米/时，
根据题意得：＝×2，
解得：x＝55，
经检验，x＝55是所列方程的解，且符合题意．
答：洛阳到淅川的长途汽车在原来国道上行驶的速度是55千米/时．
25．解：（1）由题意，当x＝0时，y＝c．
又m＝c，
∴当x＝﹣1时，y＝c．
∴抛物线的对称轴是直线x＝＝﹣，即对称轴是直线x＝﹣．
（2）由题意，设抛物线的对称轴是直线x＝t，
∵抛物线过（﹣1，m），（0，c），（2，n），且m＜n＜c，
又抛物线a＜0，即开口向下，
∴|t|＜|t﹣2|＜|t+1|．
下面对t进行分类讨论．
①当t＜﹣1时，
﹣t＜2﹣t＜﹣t﹣1．
∴此时无解．
②当﹣1≤t＜0时，
∴﹣t＜2﹣t＜t+1．
∴t＞，不合题意，无解．
③当0≤t≤2时，
∴t＜2﹣t＜t+1．
∴＜t＜1．
④当t＞2时，
∴t＜t﹣2＜t+1．
∴无解．
综上，＜t＜1．
又点（﹣2，y1），（1，y2），（4，y3）在抛物线上，
∴以上三点到对称轴直线x＝t的距离分别为|t+2|，|t﹣1|，|t﹣4|．
∵＜t＜1，
∴＜t+2＜3，﹣＜t﹣1＜0，﹣＜t﹣4＜﹣3．
∴＜|t+2|＜3，0＜|t﹣1|＜，3＜|t﹣4|＜．
∴|t﹣1|＜|t+2|＜|t﹣4|．
又抛物线开口向下，当点离对称轴越近函数值越大，
∴y2＞y1＞y3．
26．解：（1）∵B（6，2），C（6，6），
∴BC∥/y轴，BC＝6﹣2＝4，
又∵四边形ABCD是平行四边形，A（2，0），
∴．D（2，4），
又∵点D在反比例函数 的图象上，
∴k＝2×4＝8，
∴反比例函数的关系式为 ；
（2）①当PC经过线段AD的中点时，PC把四边形ABCD的面积分成1：3两部分，
由（1）可知AD中点坐标为（2，2），
设PC解析式为y＝kx+b，
∴，解得，
∴PC解析式为：y＝x，
②当PC经过线段AB的中点时，PC把四边形ABCD的面积分成1：3两部分，
线段AB的中点坐标为（4，1），设PC解析式为y＝mx+n，
∴，解得，
∴直线PC的解析式为：y＝．
综上分析，直线PC的解析式为：y＝x 或 ．
（3）如图，过C作x轴、y轴的平行线，交双曲线于点 P1、P2，
∵C（6，6），
∴当x＝6时，，当 y＝6 时，，
∴P1（6，），，
当点P在 P1、P2 之间的双曲线上时，直线PC，即直线 y＝ax+b（a≠0），y随x的增大而增大，
∴点P的横坐标x的取值范围为 ．
27．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵BE＝DF，
∴OB﹣BE＝OD﹣DF，
即OE＝OF．
在△AOE与△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（SAS）；
（2）四边形AECF是矩形．理由如下：
∵△AOE≌△COF，
∴∠EAO＝∠FCO，AE＝CF，
∴AG∥CH，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴四边形AGCH是平行四边形，
∵AD∥BC，
∴∠HAC＝∠ACB，
∵AC平分∠HAG，
∴∠HAC＝∠GAC，
∵∠GAC＝∠ACB，
∴GA＝GC，
∴平行四边形AGCH是菱形．
28．解：（1）①∠DCF的度数是45°，
理由：如图2，作FN⊥CD于点N，FM⊥BC交BC的延长线于点M，则∠M＝90°，
∵四边形ABCD是菱形，∠AEF＝∠ABC＝α＝90°，
∴四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCD＝90°，
∴∠ABE＝∠M，∠BAE＝∠MEF＝90°﹣∠AEB，∠MCN＝90°，
在△ABE和△EMF中，
，
∴△ABE≌△EMF（AAS），
∴AB＝EM＝BC，BE＝MF，
∵BE＝BC﹣CE＝EM﹣CE＝CM，
∴CM＝MF，
∴∠MCF＝∠MFC＝45°，
∴∠DCF＝90°﹣∠MCF＝45°，
∴∠DCF的度数是45°．
②证明：如图2，连接AC交BD于点Q，连接CP，则AQ＝CQ，DQ＝BQ，
∵BD垂直平分AC，
∴AP＝CP，
∴∠PCA＝∠PAC，
∵AD＝CD，∠ADC＝90°，
∴∠DCA＝∠DAC＝45°，
∴∠ACF＝∠DCA+∠DCF＝90°，
∴∠PCF＝90°﹣∠PCA＝90°﹣∠PAC＝∠PFC，
∴FP＝CP，
∴AP＝FP，
∴CF＝2QP，
∴CF+2DP＝2QP+2DP＝2DQ＝BD，
∵BC＝CD，∠BCD＝90°，
∴BD＝＝＝BC，
∴CF+2DP＝BC．
（2）如图1，作FL⊥BC交BC的延长线于点L，在CL上取一点H，使CH＝BE，连接FH，
∵四边形ABCD是菱形，∠AEF＝∠ABC＝α，
∴AB＝BC＝BE+CE＝CH+CE＝EH，∠BAE＝∠HEF＝180°﹣α﹣∠AEB，
在△ABE和△EHF中，
，
∴△ABE≌△EHF（SAS），
∴BE＝HF，∠B＝∠EHF，
∴CH＝HF，
∴∠HCF＝∠HFC，
∴∠FHL＝∠HCF+∠HFC＝2∠HCF，
∵AB∥CD，∠DCF＝135°，
∴∠B＝∠DCH，
∴∠EHF＝∠DCH＝135°+∠HCF，
∴135°+∠HCF+2∠HCF＝180°，
∴∠HCF＝15°，
∴∠FHL＝30°，
设FL＝m，
∵∠L＝90°，
∴CH＝HF＝2FL＝2m，
∴HL＝＝m，
∴CF2＝（2m+m）2＝（7+4）m2，
∵＝＝，
∴EC＝CH＝×2m＝3m，
∴CD＝BC＝EH＝3m+2m＝5m，
∴CD2＝（5m）2＝25m2，
∴＝＝＝，
∴的值为．