专题08 奇偶性、对称性与周期性-2025年高考数学一轮复习讲义（知识梳理+真题自测+考点突破+分层检测）（新高考专用）

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【知识梳理】2
【真题自测】3
【考点突破】12
【考点1】函数的奇偶性12
【考点2】函数的周期性及应用16
【考点3】函数的对称性22
【考点4】函数性质的综合应用28
【分层检测】33
【基础篇】33
【能力篇】40
【培优篇】42
考试要求：
1.理解函数奇偶性的含义.
2.了解函数的最小正周期的含义.
3.会利用函数的奇偶性、单调性、对称性、周期性解决函数性质的综合问题.
知识梳理
1.函数的奇偶性
2.函数的周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
1.函数周期性的常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0).
(2)若f(x＋a)＝eq \f(1,f（x）)，则T＝2a(a>0).
(3)若f(x＋a)＝－eq \f(1,f（x）)，则T＝2a(a>0).
2.对称性的四个常用结论
(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.
(2)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称.
(3)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝eq \f(a＋b,2)对称；特别地，当a＝b时，即f(a＋x)＝f(a－x)或f(x)＝f(2a－x)时，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.
(4)若函数y＝f(x)满足f(x)＋f(2a－x)＝2b，则y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称.特别地，当b＝0时，即f(a＋x)＋f(a－x)＝0或f(x)＋f(2a－x)＝0时，则y＝f(x)的图象关于点(a，0)对称.
真题自测
一、单选题
1．（2023·全国·高考真题）已知是偶函数，则（ ）
A．B．C．1D．2
2．（2023·全国·高考真题）若为偶函数，则（ ）．
A．B．0C．D．1
3．（2022·全国·高考真题）已知函数的定义域为R，且，则（ ）
A．B．C．0D．1
4．（2022·全国·高考真题）已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2021·全国·高考真题）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（ ）
A．B．C．D．
6．（2021·全国·高考真题）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
7．（2023·全国·高考真题）已知函数的定义域为，，则（ ）．
A．B．
C．是偶函数D．为的极小值点
8．（2022·全国·高考真题）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
9．（2023·全国·高考真题）若为偶函数，则 ．
10．（2021·全国·高考真题）写出一个同时具有下列性质①②③的函数 ．
①；②当时，；③是奇函数．
11．（2021·全国·高考真题）已知函数是偶函数，则 .
参考答案：
1．D
【分析】
根据偶函数的定义运算求解.
【详解】
因为为偶函数，则，
又因为不恒为0，可得，即，
则，即，解得.
故选：D.
2．B
【分析】根据偶函数性质，利用特殊值法求出值，再检验即可.
【详解】因为 为偶函数，则 ，解得，
当时，，，解得或，
则其定义域为或，关于原点对称.
，
故此时为偶函数.
故选：B.
3．A
【分析】法一：根据题意赋值即可知函数的一个周期为，求出函数一个周期中的的值，即可解出．
【详解】[方法一]：赋值加性质
因为，令可得，，所以，令可得，，即，所以函数为偶函数，令得，，即有，从而可知，，故，即，所以函数的一个周期为．因为，，，，，所以
一个周期内的．由于22除以6余4，
所以．故选：A．
[方法二]：【最优解】构造特殊函数
由，联想到余弦函数和差化积公式
，可设，则由方法一中知，解得，取，
所以，则
，所以符合条件，因此的周期，，且，所以，
由于22除以6余4，
所以．故选：A．
【整体点评】法一：利用赋值法求出函数的周期，即可解出，是该题的通性通法；
法二：作为选择题，利用熟悉的函数使抽象问题具体化，简化推理过程，直接使用具体函数的性质解题，简单明了，是该题的最优解.
4．D
【分析】根据对称性和已知条件得到，从而得到，，然后根据条件得到的值，再由题意得到从而得到的值即可求解.
【详解】因为的图像关于直线对称，
所以，
因为，所以，即，
因为，所以，
代入得，即，
所以，
.
因为，所以，即，所以.
因为，所以，又因为，
联立得，，
所以的图像关于点中心对称，因为函数的定义域为R，
所以
因为，所以.
所以.
故选：D
【点睛】含有对称轴或对称中心的问题往往条件比较隐蔽，考生需要根据已知条件进行恰当的转化，然后得到所需的一些数值或关系式从而解题.
5．B
【分析】推导出函数是以为周期的周期函数，由已知条件得出，结合已知条件可得出结论.
【详解】因为函数为偶函数，则，可得，
因为函数为奇函数，则，所以，，
所以，，即，
故函数是以为周期的周期函数，
因为函数为奇函数，则，
故，其它三个选项未知.
故选：B.
6．D
【分析】通过是奇函数和是偶函数条件，可以确定出函数解析式，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案．
【详解】[方法一]：
因为是奇函数，所以①；
因为是偶函数，所以②．
令，由①得：，由②得：，
因为，所以，
令，由①得：，所以．
思路一：从定义入手．
所以．
[方法二]：
因为是奇函数，所以①；
因为是偶函数，所以②．
令，由①得：，由②得：，
因为，所以，
令，由①得：，所以．
思路二：从周期性入手
由两个对称性可知，函数的周期．
所以．
故选：D．
【点睛】在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计算的效果．
7．ABC
【分析】方法一：利用赋值法，结合函数奇偶性的判断方法可判断选项ABC，举反例即可排除选项D.
方法二：选项ABC的判断与方法一同，对于D，可构造特殊函数进行判断即可.
【详解】方法一：
因为，
对于A，令，，故正确.
对于B，令，，则，故B正确.
对于C，令，，则，
令，
又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确，
对于D，不妨令，显然符合题设条件，此时无极值，故错误.
方法二：
因为，
对于A，令，，故正确.
对于B，令，，则，故B正确.
对于C，令，，则，
令，
又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确，
对于D，当时，对两边同时除以，得到，
故可以设，则，
当肘，，则，
令，得；令，得；
故在上单调递减，在上单调递增，
因为为偶函数，所以在上单调递增，在上单调递减，

显然，此时是的极大值，故D错误.
故选：.
8．BC
【分析】方法一：转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项判断即可得解.
【详解】[方法一]：对称性和周期性的关系研究
对于，因为为偶函数，所以即①，所以，所以关于对称，则，故C正确；
对于，因为为偶函数，，，所以关于对称，由①求导，和，得，所以，所以关于对称，因为其定义域为R，所以，结合关于对称，从而周期，所以，，故B正确，D错误；
若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误.
故选：BC.
[方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法.
由方法一知周期为2，关于对称，故可设，则，显然A，D错误，选BC.
故选：BC.
[方法三]：
因为，均为偶函数，
所以即，，
所以，，则，故C正确；
函数，的图象分别关于直线对称，
又，且函数可导，
所以，
所以，所以，
所以，，故B正确，D错误；
若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误.
故选：BC.
【点评】方法一：根据题意赋值变换得到函数的性质，即可判断各选项的真假，转化难度较高，是该题的通性通法；
方法二：根据题意得出的性质构造特殊函数，再验证选项，简单明了，是该题的最优解．
9．2
【分析】利用偶函数的性质得到，从而求得，再检验即可得解.
【详解】因为为偶函数，定义域为，
所以，即，
则，故，
此时，
所以，
又定义域为，故为偶函数，
所以.
故答案为：2.
10．（答案不唯一，均满足）
【分析】根据幂函数的性质可得所求的.
【详解】取，则，满足①，
，时有，满足②，
的定义域为，
又，故是奇函数，满足③.
故答案为：（答案不唯一，均满足）
11．1
【分析】利用偶函数的定义可求参数的值.
【详解】因为，故，
因为为偶函数，故，
时，整理得到，
故，
故答案为：1
考点突破
【考点1】函数的奇偶性
一、单选题
1．（2024·重庆·三模）设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2024·广东佛山·一模）已知为奇函数，则在处的切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
3．（2024·全国·模拟预测）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若均为奇函数，则下列说法中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2024·湖南邵阳·模拟预测）已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，且对任意的，，都有，则（ ）
A．是奇函数B．
C．的图象关于对称D．
三、填空题
5．（2024·河南三门峡·模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则的值为 .
6．（2024·广东佛山·二模）已知定义在上的偶函数在上单调递减，且，则满足的实数x的取值范围为 .
参考答案：
1．A
【分析】首先推导出，即函数的对称中心为，再根据函数的平移只需将函数向右平移个单位，向上平移个单位，得到函数，则该函数关于对称，即可判断.
【详解】因为定义域为，
则，所以函数的对称中心为，
所以将函数向右平移个单位，向上平移个单位，得到函数，
该函数的对称中心为，故函数为奇函数.
故选：A.
2．A
【分析】
根据奇函数定义求出函数表达式，再结合导数和切线相关知识求解切线方程即可.
【详解】因为
，
所以，
因为为奇函数，所以对恒成立，
所以，代入函数表达式得，
所以，则，
所以在处的切线方程为，即.
故选：A
3．BC
【分析】利用是定义域为的奇函数，进而可得，求导可得，结合为奇函数，计算可判断B；进可可得函数的周期为4，计算可判断C；的图象关于点成中心对称，取可判断AD.
【详解】因为是定义域为的奇函数，
所以，
即，
所以，
即，
所以．
又因为为奇函数，
所以，
当时，，
即，所以选项B正确．
又因为，
所以，
即函数的周期为4，所以．
因为，所以，
所以选项C正确．
由为奇函数可知，
即的图象关于点成中心对称，
不妨取，
则满足周期为4，关于成中心对称的条件，
因为，可知选项A，D错误．
故选：BC．
【点睛】方法点睛：抽象函数的考查，注意合理运用题中的条件，如本题中，由函数为奇函数，可得函数的对称中心，判断结论不成立，可举反例，是一种有效的方法.
4．BC
【分析】根据函数的奇偶性和题设条件，推得是周期为4的周期函数，结合周期函数的性质求值，利用单调性比较大小，逐项判定即可求解.
【详解】因为为奇函数，所以
,即函数关于对称，C正确;
由函数关于对称可知,
又因为为偶函数，所以
，即函数关于对称，
则,
所以,即,
所以,所以是周期为4的周期函数，
所以,又,
所以,所以,所以,B正确;
是偶函数，A错误;
对任意的,且,都有,不妨设,
则,由单调性的定义可得函数在上单调递增，
又由函数关于对称，所以在上单调递增
又,,
所以,得，D错误.
故选：BC
【点睛】关键点点睛：本题考查抽象函数，解题关键是合理利用抽象函数的单调性，奇偶性周期性分析题意，然后逐个选项分析即可．
5．4
【分析】由奇函数性质可求得的值，结合计算即可.
【详解】由题得，解得，
所以当时，，
所以.
故答案为：4.
6．
【分析】结合偶函数的性质可得，再结合单调性计算即可得.
【详解】由为偶函数且在上单调递减，故在上单调递增，
又，故当，可得，
又，故等价于，
故x的取值范围为.
故答案为：.
反思提升：
1.判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：
(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；
(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立.
2.利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值.
3.画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题.
【考点2】函数的周期性及应用
一、单选题
1．（2024·陕西渭南·模拟预测）已知定义在R上的函数满足，为奇函数，则（ ）
A．B．0C．1D．2
2．（21-22高三上·四川攀枝花·阶段练习）定义在R上的函数满足，且，则下列说法正确的是（ ）
A．的值域为
B．图象的对称轴为直线
C．当时，
D．方程恰有5个实数解
二、多选题
3．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）已知函数，及其导函数，的定义域均为，若的图象关于直线对称，，，且，则（ ）
A．为偶函数B．的图象关于点对称
C．D．
4．（2024·广西·二模）已知定义在上的函数满足.若的图象关于点对称，且，则（ ）
A．的图象关于点对称
B．函数的图象关于直线对称
C．函数的周期为2
D．
三、填空题
5．（2024·山东枣庄·一模）已知为偶函数，且，则 ．
6．（2024·宁夏银川·一模）若定义在上的函数满足是奇函数，，，则 ．
参考答案：
1．C
【分析】先根据得出函数的周期；再根据为奇函数得出，利用赋值法求出；最后利用的周期即可求解.
【详解】因为，
所以，
所以的周期为6.
又因为为奇函数，
所以，即，即，
令，则，即
所以，
故选：C.
2．C
【分析】由给定条件可得的周期为4，并探讨函数的奇偶性，举例说明判断A；由是对称轴判断B；求出时的解析式判断C；画出函数的部分图象判断D作答.
【详解】因，则的值域为不正确，A不正确；
R上的函数满足，即，又，
则函数是最小正周期为4的周期函数，，当时，，有，
当时，，且，，
于是有，，即函数在上是偶函数，又周期为4，则是R上的偶函数，
由知，直线是函数的图象对称轴，不满足，B不正确；
当时，，则，C正确；
，在同一坐标系作出函数的部分图象与直线，如图，
观察图象知，直线与函数的图象有4个公共点，即方程有4个实根，D不正确.
故选：C
【点睛】方法点睛：图象法判断函数零点个数，作出函数f(x)的图象，观察与x轴公共点个数或者将函数变形为易于作图的两个函数，作出这两个函数的图象，观察它们的公共点个数.
3．BC
【分析】首先根据抽象函数的对称性，判断函数的对称性，以及周期，并结合条件转化，判断函数的对称性，利用抽象函数的导数公式，以及周期性，求，最后利用函数与的关系求和.
【详解】由的图象关于直线对称，可得的图象关于直线对称，
即的图象关于直线对称，则
由，可得，又，
所以，所以的图象关于点对称，即为奇函数，
所以，即，即函数的周期为4，
由，可得，因为的周期为4，
所以，
则，即，
所以的图象关于点对称，故B正确；
因为的图象关于直线对称，则，
所以，所以，
因为的周期为4，所以的周期也为4.由，
可得，所以，故C正确；
由，可得，所以，
即
，故D错误.
故选：BC
【点睛】关键点点睛：本题考查抽象函数的性质，以及导数运算问题，本题的关键是以条件等式为桥梁，发现函数与的性质关系，以及解析式的关系.
4．ABD
【分析】对A，根据函数图象的变换性质判断即可；对B，由题意计算即可判断；对C，由A可得，由B可得，进而可判断C；对D，由结合与的对称性可得，进而，结合C中的周期为4求得，进而可得.
【详解】对A，因为的图象关于点对称，则的图象关于点对称，
故的图象关于点对称，故A正确；
对B，，
，
又，故.
即，故的图象关于直线对称，故B正确；
对C，由A，，且，
又因为，故，
即，故，即.
由B，，故，故的周期为4，故C错误；
对D，由，的图象关于点对称，且定义域为R，则，，
又，代入可得，则，
又，故，，，，又的周期为4，.
则
.
即，
则，故D正确.
故选：ABD
【点睛】关键点点睛：判断D选项的关键是得出，结合周期性以及的定义即可顺利得解.
5．
【分析】由条件结合偶函数定义可得，由结合周期函数定义证明为周期函数，利用周期性及赋值法求结论.
【详解】因为为偶函数，
所以，又，
所以，
因为，所以，
所以，
所以函数为周期函数，周期为，
所以，
由，可得，
由，可得，
所以，
所以，
故答案为：.
6．
【分析】由是奇函数，可得，由可得，进而得到，从而得出函数的周期为，根据条件赋值可求得，从而得解.
【详解】因为是奇函数，所以，
用替换上式中的，可得，
在中，用替换，可得，
所以，用替换该式中的，可得，
所以，所以函数的周期为，
在中，令，得，
在中，令，得，
在中，令，得，
所以，
所以.
故答案为：.
【点睛】结论点睛：解决抽象函数的求值、性质判断等问题，常见结论：
（1）关于对称：若函数关于直线轴对称，则，若函数关于点中心对称，则，反之也成立；
（2）关于周期：若，或，或，可知函数的周期为.
反思提升：
1.若f(x＋a)＝－f(x)(a是常数，且a≠0)，则2a为函数f(x)的一个周期.
2.利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题.
【考点3】函数的对称性
一、单选题
1．（2024·内蒙古呼伦贝尔·二模）已知定义在R上的函数满足．若的图象关于点对称，且，则（ ）
A．0B．50C．2509D．2499
2．（22-23高三上·辽宁营口·期末）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
3．（2020·山东淄博·一模）已知函数是R上的奇函数，对于任意，都有成立，当时，，给出下列结论，其中正确的是（ ）
A．
B．点是函数的图象的一个对称中心
C．函数在上单调递增
D．函数在上有3个零点
4．（2024·全国·模拟预测）已知函数下列结论中正确的是（ ）
A．若，则是的极值点
B．，使得
C．若是的极小值点，则在区间上单调递减
D．函数的图象是中心对称图形
三、填空题
5．（23-24高三下·河南濮阳·开学考试）已知函数的定义域为，且的图象关于点中心对称，若，则 .
6．（2024·宁夏固原·一模）已知定义在R上的函数满足对任意实数都有，成立，若，则 ．
参考答案：
1．D
【分析】由图象的对称中心得图象的对称中心，由，构造函数，求出图象的对称性和周期，由求值即可.
【详解】因为的图象关于点对称，所以，
即，从而，
则的图象关于点对称．
由，可得．
令，得，则的图象关于直线对称．
，
则的图象关于点对称，则有，
所以，，
两式相减得，故是以4为周期的函数．
因为，，，，
所以．
故选：D.
【点睛】方法点睛：
关于函数图象对称性的几个结论：
1、函数满足(T为常数)的充要条件是的图象关于直线对称.
2、函数满足(T为常数)的充要条件是的图象关于直线对称.
3、函数满足的充要条件是图象关于直线对称.
4、若满足，则的图象关于原点对称.
5、若满足，则的图象关于点对称.
6、若满足，则的图象关于点对称.
2．B
【分析】根据为奇函数，为偶函数，可得函数的周期，且为偶函数，根据时，，求的值得此时解析式，即可求得的值.
【详解】为奇函数，，所以关于对称，所以①，且，
又为偶函数，，则关于对称，所以②，
由①②可得，即，所以，
于是可得，所以的周期，
则，所以为偶函数
则，所以，所以
所以，解得，所以当时，
所以.
故选：B.
3．AB
【分析】由，赋值，可得，故A正确；进而可得是对称中心，故B正确；作出函数图象，可得CD不正确.
【详解】在中，令，得，又函数是R上的奇函数，所以，，故是一个周期为4的奇函数，因是的对称中心，所以也是函数的图象的一个对称中心，故A、B正确；
作出函数的部分图象如图所示，易知函数在上不具单调性，故C不正确；
函数在上有7个零点，故D不正确.
故选：AB
【点睛】本题考查了函数的性质，考查了逻辑推理能力，属于基础题目.
4．BD
【分析】求出函数的导数，当时，有两解，列表表示出导数值的正负以及函数的单调情况，当时，，即可判断A，B，C；证明等式成立即可判断D.
【详解】A：因为，所以，
当时，，则在R上单调递增，不是极值点，故A错误；
B：由选项A的分析知，函数的值域为，所以，使得，故B正确；
C：由选项A的分析知，当时，在上单调单调递增，在上单调递减，
所以若为的极小值点时，在上先递增再递减，故C错误；
D：，
而，
则，
所以点为的对称中心，即函数的图象是中心对称图形，故D正确.
故选：BD．
5．
【分析】先根据条件证明，然后由证明，再由此证明，最后由得到结果.
【详解】对任意，由于，且函数的定义域为，
故点在曲线上，且曲线关于点中心对称，
故点也在曲线上，从而，
从而对任意有.
从而对任意，由知，即.
根据条件又有，即.
现在对任意的整数，我们有：
，
所以，从而有：
.
故有：
.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是对函数方程的处理，通过其中取值的任意性，代入合适的值得到关键条件.
6．
【分析】由可得函数的对称性，再对中的进行赋值，依次得到，，，，即可求出.
【详解】由可得函数图象关于直线对称，
因，故，在中，令，代入可得，
再令，代入可得，再令，代入可得，，
故令，代入可得，故.
故答案为：.
反思提升：
对称性的三个常用结论
(1)若函数f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝eq \f(a＋b,2)对称.
(2)若函数f(x)满足f(a＋x)＝－f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)，0))对称.
(3)若函数f(x)满足f(a＋x)＋f(b－x)＝c，则函数f(x)的图象关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)，\f(c,2)))对称.
【考点4】函数性质的综合应用
一、单选题
1．（2024·辽宁抚顺·一模）函数满足：当时，，是奇函数．记关于的方程的根为，若，则的值可以为（ ）
A．B．C．D．1
2．（2024·安徽合肥·一模）已知函数的定义域为，且，记，则（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
3．（2024·河南开封·三模）已知函数的定义域为，且，，则（ ）
A．B．
C．是周期函数D．的解析式可能为
4．（2024·全国·模拟预测）已知，，则（ ）
A．B．恒成立
C．D．满足条件的不止一个
三、填空题
5．（2024·陕西西安·二模）已知函数满足，.则 .
6．（2023·全国·模拟预测）已知定义在上的函数满足，且当时，，则方程的所有解的和为 .
参考答案：
1．C
【分析】首先判断函数关于点对称，再画出函数和的图象，结合函数的对称性，判断交点的个数，利用数形结合，即可求解.
【详解】若函数是奇函数，则，
即，则函数关于点对称，所以
而也关于点对称，恒过点，
方程根，即为函数与交点的横坐标，
因为两个函数都关于点对称，所以交点也关于点对称，且其中一个交点是，
如图画出两个函数的图象，
若，根据对称性可知，轴左侧和右侧各有3个交点，如图，
当直线过点时，轴右侧有2个交点，此时，
当直线过点时，轴右侧有3个交点，此时，
所以满足条件的的取值范围是，选项中满足条件的只有.
故选：C
【点睛】关键点点睛：本题的关键是正确分析出函数的图象，尤其是，并且会利用数形结合，分析临界直线，即可求解.
2．A
【分析】根据函数满足的表达式以及，利用赋值法即可计算出的大小.
【详解】由可得，
令，代入可得，即，
令，代入可得，即，
令，代入可得，即；
由可得，
显然可得.
故选：A
【点睛】方法点睛：研究抽象函数性质时，可根据满足的关系式利用赋值法合理选取自变量的取值，由函数值或范围得出函数单调性等性质，进而实现问题求解.
3．ABC
【分析】利用赋值法求判断A；赋值法可得函数奇偶性即可判断D；利用赋值法求得，化简得，即可判断C,由周期性和奇偶性即可求解B.
【详解】由，
令，，有，可得,故A正确；
令，则，则，
函数是偶函数， 而为奇函数，故D错误，
，令，
则，
所以，
则，
，
所以，则周期为6，C正确．
由于为偶函数且周期为6，故，B正确，
故选：ABC
4．ABC
【分析】令即可判断A；令即可判断B；令即可判断C；令即可判断D.
【详解】A：令，得．又，所以，故A正确．
B：令，得，即，所以，
令，得，即函数，所以，故B正确，D错误；
C：令，得，代入，
可得，则，故C正确；
故选：ABC．
5．.
【分析】根据题意，取，求得，再令，得到，结合，利用等差数列的求和公式，即可求解.
【详解】由函数满足，
取，可得，
令，可得，
即
则

.
故答案为：.
6．
【分析】由函数在上的解析式可知在上单调递减，在上单调递增，求出最值，并利用求出其他区间内函数的表达式为，又可得出时关于的方程，利用韦达定理即可求得所有解的和.
【详解】当时，，
易知在上的图象可由函数的图象先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度得到，且函数在上单调递减，在上单调递增，
∴在上单调递减，在上单调递增，
∴，又，且，
∴.
∵，
∴当时，，，∴，，
∴，，
此时的最小值为，最大值为..
易知，∴当时，，，
∴，
整理得，
函数在上单调递减，在上单调递增，且在上的最小值为，最大值为，，，∴方程必有2个解；
由韦达定理可知方程的所有解的和为.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据函数在上的解析式判断出其单调性求出最值，再结合求出其他区间内函数的表达式，即可构造关于的方程，即可实现问题求解.
反思提升：
1.比较函数值的大小问题，可以利用奇偶性，把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，再利用函数的单调性比较大小；
2.对于抽象函数不等式的求解，应变形为f(x1)>f(x2)的形式，再结合单调性，脱去“f”变成常规不等式，转化为x1x2)求解.
3.周期性与奇偶性结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行转换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.
4.函数f(x)满足的关系f(a＋x)＝f(b－x)表明的是函数图象的对称性，函数f(x)满足的关系f(a＋x)＝f(b＋x)(a≠b)表明的是函数的周期性，在使用这两个关系时不要混淆.
分层检测
【基础篇】
一、单选题
1．（2023·福建福州·模拟预测）函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023高三上·江苏徐州·学业考试）已知函数为偶函数，且在上单调递增，，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
3．（2024·广东茂名·一模）函数和均为上的奇函数，若，则（ ）
A．B．C．0D．2
4．（2024·全国·模拟预测）函数，则（ ）
A．2024B．C．eD．
二、多选题
5．（2021·江苏连云港·模拟预测）函数的定义域为，且与都为奇函数，则（ ）
A．为奇函数B．为周期函数
C．为奇函数D．为偶函数
6．（23-24高一上·云南昆明·期中）函数，则下列结论正确的是（ ）
A．B．的值域为
C．是偶函数D．，
7．（2024·全国·模拟预测）已知，，则（ ）
A．将的图象向左平移个单位长度可以得到的图象
B．将的图象向右平移个单位长度可以得到的图象
C．的图象与的图象关于直线对称
D．的图象与的图象关于直线对称
三、填空题
8．（23-24高一下·内蒙古·期中）已知，函数是奇函数，则 ， ．
9．（2024·陕西西安·二模）已知定义域为的函数满足，且当时，，则 .
10．（2024·四川成都·模拟预测）函数，若，则 .
四、解答题
11．（2023·陕西西安·模拟预测）已知奇函数在处取得极大值2.
(1)求的解析式；
(2)求在上的最值.
12．（2020·广东中山·模拟预测）已知函数的定义域为，当时，，且对任意满足．
（1）求的值；
（2）判断的单调性，并加以说明；
（3）当时，试比较与的大小．
参考答案：
1．A
【分析】根据函数的定义域以及奇偶性即可求得答案．
【详解】因为函数的定义域为，排除CD，
又，即为偶函数，图象关于轴对称，排除B．
故选：A．
2．D
【分析】根据是偶函数，且，得到，再根据在上单调递减求解.
【详解】因为是偶函数，且，，
所以，
又在上单调递减，
所以，即或
解得，或
故选：D
3．A
【分析】由奇函数性质推导出的周期为4，利用周期性、奇偶性求函数值.
【详解】因为为奇函数，所以关于对称，即，
又关于原点对称，则，有，
所以的周期为4，故.
故选：A
4．D
【分析】根据给定的函数解析式，利用对数运算可得，再代入计算即得.
【详解】函数中，，即函数定义域为R，
有，
于是，
所以．
故选：D
5．ABC
【分析】由题设可得，进而可得、，即可判断A、B、D的正误，又可判断C的正误.
【详解】由题意知：且，
∴，即，可得，
∴是周期为2的函数，且、为奇函数，故A、B正确，D错误；
由上知：，即为奇函数，C正确.
故选：ABC.
6．AC
【分析】根据函数解析式，结合分段函数的性质，逐项判断即可.
【详解】，，，A正确；
，则的值域为，B错误；
时，，，，所以，时，，，，，所以为偶函数，C正确；
时，取，此时，，则，D错误.
故选：AC
7．BD
【分析】根据三角函数的图像变换及对称性可判断各项.
【详解】因为的图象向左平移个单位长度得到
，所以A错误，
因为的图象向右平移个单位长度得到
，故B正确；
与的图象关于直线对称的函数为
，故C错误；
与的图象关于直线对称的函数为
，所以D正确；
故选：BD．
8．
【分析】由，可求，由，结合奇函数可求．
【详解】由，解得，所以，
又因为函数为奇函数，所以，
所以，
所以，
所以，
所以或，
所以1或，解得(舍去)．
故答案为：①-1；②1．
9．
【分析】利用函数的奇偶性与周期性计算即可.
【详解】由已知可得，所以，
所以，即是函数的一个周期，
所以.
故答案为：
10．
【分析】利用和的关系求解即可.
【详解】，
，
.
故答案为：
11．(1)
(2)最大值为52，最小值为
【分析】（1）利用函数奇偶性可得，再由在上取得极大值2可求得，可得解析式；
（2）由（1）中解析式求导可得其在上的单调性，得出极值并比较端点处的函数值即可求出其最值.
【详解】（1）易知函数的定义域为，
因为是奇函数，所以，则.
由，得.
因为在上取得极大值2，
所以解得
经经检验当时，在处取得极大值2，
故.
（2）由（1）可知，，
当时，单调递增；
当和时，单调递减；
即函数在处取得极小值，在处取得极大值；
又因为，
所以在上的最大值为52，最小值为.
12．（1）；（2）在上单调递增，证明见解析；（3）.
【分析】（1）取，利用已知条件求解即可．
（2）利用已知条件，结合函数的单调性的定义，转化求解判断即可．
（3）推出，，然后求解与，利用函数的单调性，转化求解即可．
【详解】解：（1）由题意对任意满足．
取得，．
（2）任取且，则，，
∴，
∴即，所以在上单调递增．
（3）因为，同理，
所以．
又因为，且，所以．
又由（2）知在上单调递增，所以，
即，
所以．
【点睛】本题考查抽象函数的应用，考查函数的单调性的应用，函数值的求法，考查转化思想以及计算能力．
【能力篇】
一、单选题
1．（2024·山东济南·二模）已知函数的定义域为R，若，则（ ）
A．0B．1C．2D．3
二、多选题
2．（2024·全国·模拟预测）已知函数的定义域为，且的图象关于点对称，，则下列结论正确的是（ ）
A．是偶函数
B．的图象关于直线对称
C．的最小正周期为4
D．若，则
三、填空题
3．（2024·全国·模拟预测）写出一个同时满足下列三个条件的函数的解析式 ．
①；
②；
③的导数为且．
四、解答题
4．（2024·上海徐汇·二模）已知函数，其中.
(1)求证：是奇函数；
(2)若关于的方程在区间上有解，求实数的取值范围.
参考答案：
1．A
【分析】利用奇偶性和对称性求得函数周期为4，然后由周期性和奇函数的性质可得.
【详解】因为，
所以，即，
又，函数的定义域为R，
所以，是定义域为R的奇函数，所以，，
所以，，故，
所以是以4为周期的周期函数，
所以.
故选：A
2．CD
【分析】根据题意，结合函数的对称性，周期性，以及函数的奇偶性，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，由的图象关于点对称，所以的图象关于点对称，
所以的图象关于点对称，则是奇函数，且，所以A不正确；
对于B中，因为是奇函数，所以，
所以的图象关于直线对称，所以B不正确；
对于C中，因为，所以，
所以，所以的最小正周期为4，所以C正确．
对于D中，因为，
所以，所以，
所以，所以D正确．
故选：CD．
3．（答案不唯一）
【分析】借助函数的周期性、对称性、奇偶性计算即可得.
【详解】由①得，所以函数图象的周期为4，
由②得的图象关于直线对称，
由③得关于对称，为常数，
则同时满足三个条件的一个函数可以为．
故答案为：（答案不唯一）.
4．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）结合奇偶性的定义以及对数函数运算法则即可得证；
（2）分离参数，将原问题等价转换为在上有解，由此转换为求函数值域问题.
【详解】（1）函数的定义域为 ，
在中任取一个实数，都有，并且.
因此，是奇函数.
（2）等价于即在上有解.
记，因为在上为严格减函数，
所以，，，
故的值域为，因此，实数的取值范围为.
【培优篇】
一、单选题
1．（2024·河南·模拟预测）已知函数的定义域为R，对于任意实数x，y满足，且 ，则下列结论错误的是（ ）
A．B．为偶函数
C．是周期函数D．
二、多选题
2．（2024·河南信阳·模拟预测）已知函数和其导函数的定义域都是，若与均为偶函数，则（ ）
A．
B．关于点对称
C．
D．
三、填空题
3．（2024·山西吕梁·二模）已知函数的图象关于点中心对称，也关于点中心对称，则的中位数为 .
参考答案：
1．C
【分析】对于A，令，结合即可判断；对于B，令结合偶函数的性质即可判断；对于C，令即可判断；对于D，得出递推关系，由此即可验算.
【详解】令，得，因为，所以，A正确;
令，则，所以，则为偶函数，B正确；
令，得，即 ，所以不是周期函数，C错误；
当x取正整数n时， ，则 ，D正确.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：判断D选项的关键是得出，由此即可顺利得解.
2．BD
【分析】用特殊值法，假设，可判断选项A；对进行变形处理，即可判断其对称性，从而判断选项B；对两边求导，可得，根据可判断的周期性和对称性，再根据特殊值关系，即可判断选项C；由特殊值关系得到，，化简，即可判断选项D.
【详解】假设，则，则，与都为偶函数，
则所设函数符合题意，此时，故A错误；
因为为偶函数，所以，即，
令，则，所以关于点对称，故B正确；
因为为偶函数，所以，
所以函数的图象关于直线对称，即，即，
因为，所以，所以，
则，故，
所以，所以，又，，
所以，所以无法确定的值，所以C错误；
又，，所以，
由，得，则，所以，
由知函数周期为4，则的周期也为4，则

，所以 D正确.
故选：BD.
【点睛】结论点睛：
对称性有关结论：
若，则关于直线对称；
若，则关于直线对称；
若，则关于点中心对称；
若，则关于点中心对称；
周期性结论：
若，则函数的周期为.
3．/
【分析】根据题意整理出，求出，；由此判断出为递增的等差数列，进而求解即可.
【详解】由的图象关于点中心对称，也关于点中心对称，
得，
两式相减得，所以，
由时，由，得；
由时，由，得；
又由，结合，，
所以成首项为，公差为的等差数列，
所以，且此等差数列为递增数列，
所以的中位数为：.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是判断出为递增的等差数列，从而得解.
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数
关于y轴对称
奇函数
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数
关于原点对称