专题13 函数与方程-2025年高考数学一轮复习讲义（知识梳理+真题自测+考点突破+分层检测）（新高考专用）解析版

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【知识梳理】2
【真题自测】2
【考点突破】3
【考点1】函数零点所在区间的判断3
【考点2】函数零点个数的判定4
【考点3】函数零点的应用5
【分层检测】7
【基础篇】7
【能力篇】9
【培优篇】10
考试要求：
1.理解函数的零点与方程的解的联系.
2.理解函数零点存在定理，并能简单应用.
3.了解用二分法求方程的近似解.
知识梳理
1.函数的零点
(1)概念：对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点.
(2)函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系：
2.函数零点存在定理
(1)条件：①函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线；②f(a)·f(b)<0.
(2)结论：函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解.
1.若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点.函数的零点不是一个“点”，而是方程f(x)＝0的实根.
2.由函数y＝f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0，如图所示，所以f(a)·f(b)<0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件.
3.周期函数如果有零点，则必有无穷多个零点.
真题自测
一、单选题
1．（2021·天津·高考真题）设，函数，若在区间内恰有6个零点，则a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
2．（2023·全国·高考真题）若函数既有极大值也有极小值，则（ ）．
A．B．C．D．
三、填空题
3．（2023·全国·高考真题）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是 ．
4．（2023·天津·高考真题）设,函数,若恰有两个零点，则的取值范围为 ．
5．（2022·北京·高考真题）若函数的一个零点为，则 ； ．
6．（2022·天津·高考真题）设，对任意实数x，记．若至少有3个零点，则实数的取值范围为 .
考点突破
【考点1】函数零点所在区间的判断
一、单选题
1．（2024·贵州贵阳·模拟预测）设方程的两根为，，则（ ）
A．，B．
C．D．
2．（2023·宁夏银川·三模）函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
3．（2022·广东广州·三模）已知函数，则（ ）
A．当时，函数在上单调递增
B．函数的图象关于直线对称
C．函数的最小正周期为
D．若函数在上存在零点，则的取值范围是
4．（2023·安徽马鞍山·三模）已知函数的零点为，下列判断正确的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
5．（2021·四川成都·三模）已知函数，若，且，则的最大值为 ．
6．（2023·浙江绍兴·二模）已知函数，若在区间上有零点，则的最大值为 .
反思提升：
确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法：
(1)利用函数零点存在性定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点.
(2)数形结合法：若一个函数(或方程)由两个初等函数的和(或差)构成，则可考虑用图象法求解，如f(x)＝g(x)－h(x)，作出y＝g(x)和y＝h(x)的图象，其交点的横坐标即为函数f(x)的零点.
【考点2】函数零点个数的判定
一、单选题
1．（2024·山东潍坊·二模）已知函数则图象上关于原点对称的点有（ ）
A．1对B．2对C．3对D．4对
2．（2024·陕西安康·模拟预测）将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上有5个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
3．（2024·江苏扬州·模拟预测）设函数，则下列结论正确的是（ ）
A．在上单调递增
B．若且，则
C．若在上有且仅有2个不同的解，则的取值范围为
D．存在，使得的图象向左平移个单位长度后得到的函数为奇函数
4．（2024·全国·模拟预测）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．是偶函数B．的最大值为
C．在上单调递增D．在上有2个零点
三、填空题
5．（2024·青海西宁·二模）记是不小于的最小整数,例如,则函数的零点个数为 .
6．（2024·山东济南·二模）已知函数，若方程有三个不相等的实数解，则实数a的取值范围为 .
反思提升：
函数零点个数的判定有下列几种方法
(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，那么有几个解就有几个零点.
(2)零点存在定理：利用该定理不仅要求函数在[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点.
(3)画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.
【考点3】函数零点的应用
一、单选题
1．（2024·浙江丽水·二模）已知正实数满足，，，则的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2024·福建泉州·模拟预测）已知函数，满足，，若恰有个零点，则这个零点之和为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
3．（2024·广东佛山·二模）已知函数与，记，其中，且．下列说法正确的是（ ）
A．一定为周期函数
B．若，则在上总有零点
C．可能为偶函数
D．在区间上的图象过3个定点
4．（2023·山东菏泽·二模）已知，分别是函数和的零点，则（ ）
A．B．C．
D．
三、填空题
5．（2024·全国·模拟预测）已知函数的图像经过四个象限，则实数的取值范围是 ．
6．（2024·北京丰台·二模）设函数给出下列四个结论：
①当时，函数在上单调递减；
②若函数有且仅有两个零点，则；
③当时，若存在实数，使得，则的取值范围为；
④已知点，函数的图象上存在两点，关于坐标原点的对称点也在函数的图象上．若，则．
其中所有正确结论的序号是 ．
反思提升：
(1)已知函数的零点求参数，主要方法有：①直接求方程的根，构建方程(不等式)求参数；②数形结合；③分离参数，转化为求函数的最值.
(2)已知函数零点的个数求参数范围，常利用数形结合法将其转化为两个函数的图象的交点问题，需准确画出两个函数的图象，利用图象写出满足条件的参数范围.
(3)函数零点问题一般可以转化为两个函数图象的交点问题，通过画图分析图象的特征、图象间的关系解决问题，提升直观想象核心素养.
分层检测
【基础篇】
一、单选题
1．（2024·江苏·一模）函数在区间内的零点个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
2．（2023·四川绵阳·模拟预测）记函数的最小正周期为T，若，为的零点，则的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
3．（2024·广东湛江·二模）已知函数，，则（ ）
A．当有2个零点时，只有1个零点
B．当有3个零点时，有2个零点
C．当有2个零点时，有2个零点
D．当有2个零点时，有4个零点
4．（2024·广东梅州·二模）三个函数，，的零点分别为，则之间的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
5．（23-24高一上·云南玉溪·期末）已知函数的所有零点从小到大依次记为，则（ ）
A．B．
C．D．
6．（2021·全国·模拟预测）已知奇函数的定义域为，且在上单调递减，若，则下列命题中正确的是（ ）
A．有两个零点B．
C．D．
7．（2022·重庆九龙坡·模拟预测）下列选项中说法正确的是（ ）
A．若幂函数过点，则
B．用二分法求方程在内的近似解的过程中得到，，f(1.25)<0，则方程的根落在区间上
C．某校一次高三年级数学检测，经抽样分析，成绩近似服从正态分布，且，若该校学生参加此次检测，估计该校此次检测成绩不低于分的学生人数为
D．位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有种
三、填空题
8．（22-23高一下·河北石家庄·开学考试）已知函数在区间上有零点，则实数m的取值范围是 ．
9．（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数在内恰有3个零点，则的取值范围是 ．
10．（2022·安徽合肥·模拟预测）已知关于x的方程在区间上有实根，那么的最小值为 ．
四、解答题
11．（2024·广东·一模）已知，函数.
(1)求的单调区间.
(2)讨论方程的根的个数.
12．（2023·北京西城·二模）已知函数，其中．再从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知，使存在，并完成下列两个问题．
(1)求的值；
(2)当时，若曲线与直线恰有一个公共点，求的取值范围．
条件①：；
条件②：是的一个零点；
条件③：．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【能力篇】
一、单选题
1．（2024·北京海淀·一模）已知，函数的零点个数为，过点与曲线相切的直线的条数为，则的值分别为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
2．（2023·安徽·模拟预测）已知为上的奇函数，且在上单调递增，，则下列命题中一定正确的是（ ）
A．B．有3个零点
C．D．
三、填空题
3．（2024·陕西咸阳·三模）已知函数为偶函数，满足，且时，，若关于的方程有两解，则的值为 .
四、解答题
4．（2024·湖南长沙·模拟预测）设n次多项式，若其满足，则称这些多项式为切比雪夫多项式.例如：由可得切比雪夫多项式，由可得切比雪夫多项式.
(1)若切比雪夫多项式，求实数a，b，c，d的值；
(2)对于正整数时，是否有成立？
(3)已知函数在区间上有3个不同的零点，分别记为，证明：.
【培优篇】
一、单选题
1．（2024·浙江宁波·二模）已知集合且，若中的点均在直线的同一侧，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
2．（2024·重庆·三模）已知函数，.下列选项正确的是（ ）
A．
B．，使得
C．对任意，都有
D．对任意，都有
三、填空题
3．（2024·全国·模拟预测）若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是 ．