2025年高考数学一轮复习-重难专攻（八）圆锥曲线中的最值（范围）问题【课件】

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　　圆锥曲线中的最值（范围）问题常用的求解方法有三种：（1） 不等关系法：根据题意建立含参数的不等式，通过解不等式求最值 （范围）；（2）基本不等式法：根据题意将式子变形为两项和或积 的形式，利用基本不等式求最值（范围）；（3）函数法：用其他变 量表示该参数，建立函数关系，利用函数单调性求最值（范围）.
利用不等关系求最值（范围）
即（ x 3－1）（ x 4－1）＋ y 3 y 4＝（ my 3＋ t －1）（ my 4＋ t －1）＋ y 3 y 4＝（ m 2＋1） y 3 y 4＋ m （ t －1）（ y 3＋ y 4）＋（ t －1）2＝（ m 2＋1）（－4 t ）＋ m （ t －1）·4 m ＋（ t －1）2 ＝0，即－4 m 2 t －4 t ＋4 m 2 t －4 m 2＋ t 2－2 t ＋1＝0，即4 m 2＝ t 2－6 t ＋1.
解题技法寻找不等关系的突破口（1）利用判别式来构造不等式，从而确定所求范围；（2）利用已知参数的取值范围，求新参数的范围，解这类问题的核 心是在两个参数之间建立相等关系；（3）利用隐含的不等关 系，从而求出所求范围；（4）利用已知不等关系构造不等式，从而求出所求范围；（5）利用函数值域的求法，确定所求范围.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线 y ＝ kx ＋ m （ k ≠0）与椭圆交于不同的两点 M ， N . 当｜ AM ｜＝｜ AN ｜时，求 m 的取值范围.
利用基本不等式求最值（范围）
解题技法巧用基本不等式求最值的关键　　利用基本不等式求最值时，关键在于将式子变形为两项和或积的 形式，然后用基本不等式求出最值.
　（2024·全国甲卷20题）设抛物线 C ： y 2＝2 px （ p ＞0）的焦点为 F ，点 D （ p ，0），过 F 的直线交 C 于 M ， N 两点.当直线 MD 垂直于 x 轴时，｜ MF ｜＝3.（1）求 C 的方程；
（2）设直线 MD ， ND 与 C 的另一个交点分别为 A ， B ，记直线 MN ， AB 的倾斜角分别为α，β.当α－β取得最大值时，求直线 AB 的方程.
利用函数性质求最值（范围）
（1）求曲线 C 的方程；
（2）若抛物线 y 2＝2 px （ p ＞0）与曲线 C 交于点 A ， B ，设 M （－ 1，0），求△ ABM 面积最大时 p 的值.
解题技法利用函数性质求最值（范围）的方法　　根据已知条件设出自变量，构造目标函数，利用二次函数或导数 等分析函数的单调性，从而确定最值（范围）.
（2）设 M 是椭圆长轴 AB 上的一点，点 M 到直线 AP 的距离等于｜ MB ｜，求椭圆上的点到点 M 的距离 d 的最小值.
2. （2024·全国乙卷21题）已知抛物线 C ： x 2＝2 py （ p ＞0）的焦点为 F ，且 F 与圆 M ： x 2＋（ y ＋4）2＝1上点的距离的最小值为4.（1）求 p ；
（2）若点 P 在 M 上， PA ， PB 是 C 的两条切线， A ， B 是切点，求 △ PAB 面积的最大值.
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1. 斜率为－1的直线过抛物线 y 2＝－2 px （ p ＞0）的焦点，与抛物线 交于两点 A ， B ， M 为抛物线上曲线段 AB 上的动点，若｜ AB ｜＝ 12.（1）求抛物线的方程；
（2）求 S △ ABM 的最大值.
（2）若双曲线 S 上存在两个点关于直线 l ： y ＝ kx ＋4对称，求实数 k 的取值范围.
（2）求｜ PA ｜·｜ PQ ｜的最大值.
（1）求抛物线 T 的方程；
（2）过 x 轴上一动点 E （ a ，0）（ a ＞0）作互相垂直的两条直 线，与抛物线 T 分别相交于点 A ， B 和 C ， D ，点 H ， K 分别 为 AB ， CD 的中点，求｜ HK ｜的最小值.
故｜ HK ｜的最小值为6.
（2）若直线 AB 与曲线 D ： x 2＋ y 2＝ b 2相切，与椭圆 C 交于 A ， B 两点，求｜ AB ｜的取值范围.