青岛版初中八年级数学上册专项素养综合练(三)分类讨论思想在等腰三角形中的应用课件

这是一份青岛版初中八年级数学上册专项素养综合练(三)分类讨论思想在等腰三角形中的应用课件，共36页。

专项素养综合全练(三)分类讨论思想在等腰三角形中的应用类型一　针对腰长和底边长进行分类讨论1.(2023山东聊城冠县期中)若一个等腰三角形的两边长分别为5和12,则该三角形的周长是 (　　)A.5　     B.5或12 C.22或29　    D.29D解析　等腰三角形的两边长分别为5和12,分两种情况讨论:①当底边长为12时,三角形的三边长分别为5,5,12,5+5<12,不能构成三角形,舍去;②当底边长为5时,三角形的三边长分别为12,12,5,满足三角形的三边关系,故三角形的周长为 12+12+5=29,故选D.2.(2023北京海淀建华实验学校期中)已知△ABC是等边三角形,点D是AB边上的一个动点,点E是AC边上的一个动点,且BD=CE,BE与CD交于点F.若△BFD是等腰三角形,则∠FBD的度数是 (　　)A.30°或60°　    B.20°或40°C.15°或30°　    D.20°或30°B解析　因为△ABC是等边三角形,所以∠A=∠ABC=∠ACB=60°.在△BCD和△CBE中, 所以△BCD≌△CBE(SAS),所以∠BCD=∠CBE,设∠BCD=∠CBE=x,则∠DBF=60°-x.如图,若△BFD是等腰三角形,分三种情况: ①若FD=FB,则∠FBD=∠FDB>∠A,即∠FBD=∠FDB>60°,因为∠FBD<∠ABC,即∠FBD<60°,所以FD=FB的情况不存在.②若DB=DF,则∠FBD=∠BFD.因为∠BFD=2x,∠FBD=60°-x,所以60°-x=2x,解得x=20°,所以∠FBD=40°.③若BD=BF,则∠BDF=∠BFD=2x,在△BDF中,因为∠DBF+∠BDF+∠BFD=180°,所以60°-x+2x+2x=180°,解得x=40°,所以∠FBD=20°.综上所述,∠FBD的度数是20°或40°,故选B.3.(2024山东聊城高唐期中)等腰三角形的周长为18,其中一条边的长为8,则底边长是　　　    .2或8解析　分两种情况讨论,①当8为腰长时,底边长为18-8×2=2,满足三角形的三边关系,能构成三角形;②当8为底边长时,腰长为(18-8)÷2=5,满足三角形的三边关系,能构成三角形.综上,底边长是2或8.4.(动点问题)(2023山东日照五莲期中)在△ABC中,AB=20 cm,BC=16 cm,点D为线段AB的中点,动点P以2 cm/s的速度从点B出发在射线BC上运动,同时点Q以a cm/s(a>0且a≠2)的速度从点C出发在线段CA上运动,设运动时间为x s.(1)若AB=AC,P在线段BC上,当a为何值时,能够使△BPD和△CQP全等?(2)当∠C=70°,△CPQ为等腰三角形时,求∠CPQ的度数.解析　(1)因为AB=AC,所以∠B=∠C,因为AB=20 cm,D是AB的中点,所以BD=10 cm,因为点Q的速度与点P的速度不同,所以BP≠CQ,要使△BPD和△CQP全等,则BP=CP=8 cm,CQ=BD=10 cm,所以x= =4,所以a= = .(2)当点P在边BC上时,△CPQ为等腰三角形,有三种情况:①当PQ=CQ时,∠CPQ=∠C=70°;②当PQ=PC时,∠PQC=∠C=70°,所以∠CPQ=180°-2×70°=40°;③当PC=CQ时,因为∠C=70°,所以∠CPQ=∠CQP= =55°.当点P在边BC的延长线上时,因为∠ACB=70°,所以∠ACP=110°,若△CPQ为等腰三角形,则PC=CQ,所以∠CPQ=∠CQP= =35°.综上所述,当△CPQ为等腰三角形时,∠CPQ的度数为35°或40°或55°或70°.类型二　针对顶角和底角进行分类讨论5.(2023浙江杭州十三中期中)等腰三角形的一个外角的度数为100°,则这个等腰三角形的底角的度数为 (　　)A.100°　    B.80° C.50°　    D.50°或80°D解析　分两种情况考虑:①若度数为100°的外角是等腰三角形的顶角的邻补角,则顶角的度数为180°-100°=80°,所以底角的度数为(180°-80°)÷2=50°;②若度数为100°的外角是等腰三角形的底角的邻补角,则底角的度数为180°-100°=80°.综上,这个等腰三角形的底角的度数为50°或80°,故选D.6.在等腰三角形ABC中,∠A比∠B的2倍少50°,则∠B=　　          .56°或57.5°或50°解析　设∠B=α,则∠A=2α-50°,分三种情况考虑问题:①若∠B为顶角,则2∠A+∠B=180°,所以2(2α-50°)+α=180°,解得α=56°;②若∠B为底角,∠A为顶角,则∠A+2∠B=180°,所以2α-50°+2α=180°,解得α=57.5°;③若∠A,∠B都是底角,则∠A=∠B,所以2α-50°=α,解得α=50°.综上,∠B=56°或57.5°或50°.7.数学课上,张老师给出了下面的例题:例1　等腰三角形ABC中,∠A=110°,求∠B的度数.(答案:35°)例2　等腰三角形ABC中,∠A=40°,求∠B的度数.(答案:40°或70°或100°)张老师启发同学们进行变式,小敏编了一道题,如下:变式　等腰三角形ABC中,∠A=80°,求∠B的度数.(1)请你解答上面的变式题.(2)小敏发现,∠A的度数不同,得到∠B的度数的个数也可能不同,在等腰三角形ABC中,设∠A=x°,当∠B有三个不同的度数时,请你探索x的取值范围.解析　(1)若∠A为顶角,则∠B= =50°;若∠A为底角,∠B为顶角,则∠B=180°-2×80°=20°;若∠A为底角,∠B为底角,则∠B=80°.综上,∠B的度数为50°或20°或80°.(2)分两种情况:①当90≤x<180时,∠A只能为顶角,所以∠B的度数只有一个;②当090°,如图2所示,∠ABD=48°,因为BD⊥AC,所以∠ADB=90°,因为∠BAC=∠ABD+∠ADB=138°,因为AB=AC,所以∠ABC=∠C= (180°-∠BAC)=21°;③若∠BAC=90°,易知此种情况不符合题意.综上所述,该等腰三角形底角的度数为69°或21°.类型四　当腰的垂直平分线与另一腰所在的直线的交点位置不确定时,分类讨论10.在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为50°,则底角∠B的度数为　　　    .70°或20°解析　分两种情况考虑:①当∠BAC为锐角,AB的垂直平分线与线段AC相交时,如图1,则∠BAC=180°-∠AED-∠ADE=180°-90°-50°=40°,所以∠B=∠C= =70°;图1 图2②当∠BAC为钝角,AB的垂直平分线与CA的延长线相交时,如图2,则∠BAC=∠CDE+∠AED=50°+90°=140°,所以∠B=∠C=  =20°.综上,底角∠B的度数是70°或20°.11.(2023浙江杭州下城期中改编)已知△ABC中有一个内角是30°,AB=AC,AB边的中垂线交直线BC于点D,连接AD,求∠DAC的度数.解析　分两种情况考虑:①底角∠B=30°,如图1, 图1因为AB=AC,所以∠C=∠B=30°,因为AB边的中垂线交直线BC于点D,所以DA=DB,所以∠BAD=∠B=30°,所以∠ADC=∠BAD+∠B=30°+30°=60°,所以∠DAC=180°-30°-60°=90°.②顶角∠BAC=30°,如图2, 图2因为AB=AC,∠BAC=30°,所以∠B=∠ACB=(180°-30°)÷2=75°,因为AB边的中垂线交直线BC于点D,所以DA=DB,所以∠DAB=∠B=75°,所以∠DAC=∠DAB-∠BAC=75°-30°=45°.综上,∠DAC=90°或45°.类型五　腰上的中线引起的分类讨论12. 已知等腰三角形的底边长为5 cm,一腰上的中线把其周长分成差为3 cm的两部分,求这个等腰三角形的周长.解析　在△ABC中,AB=AC,BC=5 cm,CD是AB边上的中线(图略),设腰长是2x cm,分两种情况考虑:①当AD+AC与BC+BD的差是3 cm时,(2x+x)-(x+5)=3,解得x=4,所以2x=8,此时三角形的三边长分别为8 cm,8 cm,5 cm,符合三角形的三边关系,所以△ABC的周长为8+8+5=21(cm);②当BC+BD与AD+AC的差是3 cm时,(x+5)-(2x+x)=3,解得x=1,所以2x=2,此时三角形的三边长分别为2 cm,2 cm,5 cm,不符合三角形的三边关系.综上,这个等腰三角形的周长为21cm.类型六　等腰三角形存在性问题中,因点的位置不确定引起分类讨论13.如图,在平面直角坐标系中,点A(2,3),点P在x轴上,若以P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形,则满足条件的三角形共有 (　　)A.2个　    B.3个 C.4个　    D.5个C解析　如图,以点O为圆心,OA的长为半径画弧,交x轴于点P1和P2,此时△AOP1,△AOP2是等腰三角形;以点A为圆心,OA的长为半径画弧,交x轴于点P3(O除外),此时△AOP3是等腰三角形;作线段OA的垂直平分线,交x轴于点P4,此时△AOP4是等腰三角形.综上,满足条件的三角形共有4个,故选C.14.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=2BC,在直线BC或AC上取一点P,使得△PAB为等腰三角形,这样的点P共有　　　    个.6解析　如图,①作AB的垂直平分线,交AC于点P1,交直线BC于点P2,此时三角形为等腰三角形;②以A为圆心,AB的长为半径画弧,交直线AC于P3,P4两点,交直线BC于点P2(B除外),此时三角形为等腰三角形;③以B为圆心,BA的长为半径画弧,交直线BC于P5,P2两点,交直线AC于点P6(A除外),此时三角形为等腰三角形.所以符合条件的点P有6个.