河南省三门峡市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题（解析版）

这是一份河南省三门峡市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题（解析版），共24页。
2．答题时，同学们一定要按要求把答案写在答题卡上，答案写在试题卷上无效．
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的．
1. 若二次根式有意义，则x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件：被开方数是非负数．掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数列出不等式，然后解不等式即可得出答案．
解：根据题意，得：，
解得：．
故选：B．
2. 2024年2月26日，中国航天科技集团有限公司发布的《中国航天科技活动蓝皮书（2023年）》指出：2024年中国航天全年预计实施100次左右发射任务．有望创造新的纪录．小美上网查阅了解到2017-2023年中国航天年发射次数依次是：18，39，34，39，55，64，67，这组数据的众数和中位数分别是（）
A. 34和34B. 39和39C. 39和55D. 18和67
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是中位数与众数的含义，直接根据中位数与众数的定义求解即可；
解：18，39，34，39，55，64，67，出现次数最多的数据是39；
∴这组数据的众数是39；
把数据排序为：18， 34，39，39，55，64，67，
∴中位数为39；
故选B
3. 下列计算正确的是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的四则运算，掌握相关运算法则是解题关键．根据二次根式的加、减、除、乘运算法则逐一计算即可．
解：A、和不是同类项，不能合并，原计算错误；
B、，原计算错误；
C、，原计算错误；
D、，原计算正确；
故选：D．
4. 如图，在平行四边形中，，则的度数为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查平行四边形的性质，平行四边形的对角相等，邻角互补，据此即可求解．
解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
5. 一次函数的图象不经过的象限是（）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一次函数，解题关键是掌握一次函数的图象和性质：①当，y随x的增大而增大，若，则图象经过第一、二、三象限；若，则图象经过第一、三、四象限；②当时，y随x的增大而减小，若，则图象经过第一、二、四象限；若，则图象经过第二、三、四象限．据此求解即可．
解：在一次函数中，，，
即图象经过第一、二、四象限，
图象不经过的象限是第三象限，
故选：C．
6. 如图，甲乙两人以相同路线前往离学校12千米的地方参加植树活动，图中，分别表示甲乙两人前往目的地所行驶的路程与时间的关系．根据图象判断下列说法错误的是（）
A. 甲比乙早出发
B. 甲行驶的路程s与时间t的函数关系式为
C. 甲的速度是，乙的速度是
D. 乙出发后两人相遇，这时他们离学校
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了从函数图象获取信息，求一次函数解析式，利用数形结合的思想解决问题是关键．根据函数图象可判断A、D 选项；利用待定系数法可判断B选项；利用速度路程时间，可判断C选项．
解：A、甲比乙早出发，说法正确，不符合题意；
B、设甲行驶的路程s与时间t的函数关系式为，则，解得：，
即甲行驶的路程s与时间t的函数关系式为，说法正确，不符合题意；
C、甲的速度是，乙的速度是，说法正确，不符合题意；
D、乙出发后两人相遇，这时他们离出发地，说法错误，符合题意；
故选：D．
7. 已知和是直线上的两点，当时，则k满足的条件为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，掌握当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小是解题关键．由题意可知，随的增大而减小，从而得到，即可得到k满足的条件．
解：当时，
即随的增大而减小，
，
，
故选：B．
8. 如图，“赵爽弦图”是吴国的赵爽创制的．以直角三角形的斜边为边长得到一个正方形，该正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的小正方形组成．在一次数学实践活动中，某数学小组制作了“赵爽弦图”，其中，阴影部分的面积是49，，则大正方形的边长是（）
A. 10B. 11C. 12D. 13
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的性质，勾股定理，理解“赵爽弦图”是解题关键．由题意可知，，由阴影部分的面积，可知阴影部分的周长为7，进而得出，再利用勾股定理，求出，即可求解．
解：由题意可知，，
阴影部分的面积是49，
阴影部分的边长为7，
，
,
即大正方形的边长是13，
故选：D．
9. 如图．菱形的顶点A在x轴上，于点D，将菱形沿所在直线折叠，点B的对应点为．若，点的横坐标为4，则点B的坐标为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】令与的交点为，根据菱形和折叠的性质，得到，进而得出，再由勾股定理求出，即可得到点B的坐标．
解：如图，令与的交点为，
四边形是菱形，，
，，，
，菱形沿所在直线折叠，点B的对应点为
，
，即，
，
点的横坐标为4，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
点B的坐标为，
故选：A．
【点睛】本题考查了坐标与图形，菱形的性质，折叠的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，利用数形结合的思想解决问题是关键．
10. 如图，直线与x轴、y轴分别交于点A、B，点C为直线l上一点，且纵坐标为3，点D为的中点，点P为上一动点，当最小时，点P的坐标是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了坐标与图形，一次函数的图象和性质，轴对称的性质等知识，利用数形结合的思想解决问题是关键．作点关于原点的对称点，连接、，由轴对称的性质得出，即当点、、三点共线时，最小，此时与轴交点为点，根据一次函数解析式求出点的坐标，进而得出点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，即可得到点P的坐标．
解：如图，作点关于原点的对称点，连接、，
，
，
当点、、三点共线时，最小，此时与轴交点为点，
直线与y轴交于点B，
当时，，
，
点D为的中点，
，
，
点C为直线l上一点，且纵坐标为3，
，解得：，
，
设直线的解析式为，
则，解得：，
直线解析式为，
当时，，解得：，
点P的坐标是，
故选：C
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 计算：______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的除法运算，解题的关键是熟练掌握运算法则进行化简．
解：．
故答案为：．
12. 将一次函数的图象沿y轴向下平移3个单位长度，所得到的图象对应的函数表达式是______．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了一次函数图象与几何变换．根据一次函数的平移规律：“上加下减，左加右减”解题即可．
解：由一次函数的图象沿y轴向下平移3个单位长度后，得到的图象对应的函数关系式为，
化简得：，
故答案为：．
13. 如图，在矩形中，对角线，相交于点，若，的长为，则的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查矩形对角线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，掌握相关知识是解题关键．由矩形对角线互相平分的性质，得到是等腰三角形，根据等腰三角形的对边对等角的性质解出的度数，最后根据勾股定理即可求解．
解：在矩形中，,
∴,，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得
，
故答案为：．
14. 如图，在中，，边在数轴上，且，，若以点B为圆心，以的长为半径画弧，交数轴于点P，则点P表示的数为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，实数与数轴的关系，正确运用勾股定理求出的长是解题的关键，要理解数轴上的点与实数的对应关系．根据题意运用勾股定理求出的长，即可得到答案．
解：∵在中，，，，
∴，
∴，
∴点P表示的数为：．
故答案为：．
15. 综合与实践活动课上，老师让同学们以“折纸做、、的角”为主题开展数学活动．如图，某小组准备了一张正方形纸片，将其对折，使对折的两部分完全重合，得到折痕，展开后再沿折叠，使点A正好落在上，延长，与交于点M，连接．这个小组得到以下结论：①；②；③；④；⑤．你认为正确有______．
【答案】①②④⑤
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的特征等知识，熟练掌握正方形和折叠的性质是解题关键．过点作于点，根据正方形和折叠的性质，证明四边形是矩形，进而证明，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半和等边对等角的额性质，得到，可判断①③结论；再根据平行线的性质和三角形内角和定理，可判断②⑤结论；证明，可判断④结论．
解：如图，过点作于点，
四边形是正方形，将其对折，使对折的两部分完全重合，得到折痕，
，，，
，
，
四边形是矩形，
，
在和中，
，
，
，
由折叠的性质可知，，，，
在中，为中点，
，
，
，
，
，
，
，①结论正确；
，③结论错误；
，
，
，
，②结论正确；
，⑤结论正确；
在和中，
，
，
，④结论正确；
故答案为：①②④⑤．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16. 下面是小美同学进行二次根式运算的过程，请认真阅读，完成相应的任务．
………第一步
………第二步
………第三步
任务：
（1）原式中的二次根式、、、、中，是最简二次根式的是______；
（2）第______步开始出错，错误的原因是______；
（3）第一步中，去括号的依据是______；
（4）请写出正确的计算过程．
【答案】（1）、
（2）一，去括号时，括号前是负号，没有改变括号内符号；
（3）乘法分配律（4）见解析
【解析】
【分析】本题考查了最简二次根式的定义、去括号法则，二次根式的混合运算，掌握相关运算法则是解题关键．
（1）根据最简二次根式的定义逐一判断即可；
（2）根据去括号法则分析即可；
（3）根据去括号依据解答即可；
（4）先计算二次根式乘法、去括号，再合并同类项即可．
【小问1】
解：，不是最简二次根式；
，不是最简二次根式；
，不是最简二次根式；
、是最简二次根式，
故答案为：、
【小问2】
解：第一步开始出错，错误的原因是：去括号时，括号前是负号，没有改变括号内符号；
故答案为：一，去括号时，括号前是负号，没有改变括号内符号；
【小问3】
解：第一步中，去括号的依据是乘法分配律，
故答案为：乘法分配律；
【小问4】
解：
．
17. 2024年5月29日，国务院印发的《2024-2025年节能降碳行动方案》提到加快淘汰老旧机动车，提高营运车辆能耗限值准入标准，逐步取消各地新能源汽车购买限制，并落实便利新能源汽车通行等支持政策，随着绿色出行、节能减排、低碳环保的理念不断深入人心，新能源汽车也越来越受到人们的青睐．小美家计划购买一辆新能源汽车，通过初步了解，看中了售价一样的A、B两款汽车．为了选出更理想的汽车，小美一家三口分工进行了相关数据收集．
a．信息一：小美的爸爸根据汽车鉴定机构发布的数据对这两款车的续航里程、百公里加速、智能化水平三项性能进行了评分（满分100分），如下表：
续航里程、百公里加速、智能化水平三项比例为，按此权重计算两款汽车的综合得分．
b．信息二：小美的妈妈收集了10位网友对这两款车的评价得分（满分10分），数据由小美负责整理、描述、分析如下：
*网友评价得分：
A款：5 5 6 6 6 7 8 9 9 10
B款：4 6 6 7 7 7 8 8 9 9
*网友评价得分统计表：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）根据“信息一”提供的信息，分别计算A、B两款汽车的综合得分；
（2）表格中______；
（3）你认为小美家会选择购买哪一款汽车，说说你的理由（说出一条理由即可）．
【答案】（1）A、B两款汽车的综合得分分别分、分；
（2）
（3）小美家会选择购买款汽车，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了加权平均数、中位数，以及利用中位数和方差的意义作决策，熟练掌握相关定义是解题关键．
（1）根据加权平均数计算公式求解即可；
（2）根据中位数的定义求解即可；
（3）根据中位数和方差的意义分析即可．
【小问1】
解：A款汽车的综合得分（分），
B款汽车的综合得分（分）
【小问2】
解：10位网友对款车的评价得分排在第五、六位的分别是6、7，
中位数，
故答案为：；
【小问3】
解：小美家会选择购买款汽车，
理由：因为款车的综合得分高于款车，且款车的网友评价得分中位数高于款车，方差小于款车，更稳定，所以会选择购买款汽车．
18. 如图，四边形是平行四边形．
（1）若平分，与交于点E，，，则平行四边形的周长为______；
（2）在（1）的条件下，过点E作，与交于点F，试判断四边形的形状并说明理由．
【答案】（1）34（2）四边形是菱形，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，菱形的判定，熟练掌握特殊四边形的判定和性质是解题关键．
（1）由平行四边形的性质得到，结合角平分线的定义，得到，由等角对等边的性质，得到，从而得到，即可求出平行四边形的周长；
（2）先证明四边形是平行四边形，由（1）可知，，即可判断四边形的形状．
【小问1】
解：四边形是平行四边形，
，
，
平分，
,
,
,
，
，
平行四边形的周长为,
故答案为：34；
【小问2】
解：四边形是菱形，理由如下：
四边形平行四边形，
，
，
四边形是平行四边形,
由（1）可知，，
四边形是菱形．
19. 《九章算术》中记载，浮箭漏（如图①）出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间．某学校科技研究小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究．研究小组每记录一次箭尺读数（箭尺最大读数为）．通过记录实验数据得知箭尺读数和供水时间近似满足一次函数的关系，当时，；当时，．
（1）如图②，建立平面直角坐标系，横轴表示供水时间，纵轴表示箭尺读数．画出时的函数图象；
（2）求出这个函数表达式；
（3）如果本次实验的开始时间是上午．那么到下午时，箭尺读数增加了多少？
【答案】（1）见解析（2）
（3）箭尺读数增加了．
【解析】
【分析】本题考查了画一次函数图像，求一次函数关系式，求一次函数的哈数值，掌握一次函数的图象和性质是解题关键．
（1）在平面直角坐标系确定，；，，根据描点法画出函数图象即可；
（2）利用待定系数法求出函数表达式即可；
（3）由题意可知，供水时间，结合（2）所得关系式，求出函数值，再减去箭尺的初始读数，即可得到答案．
【小问1】
解：函数图象如图；
【小问2】
解：设函数表达式为，
则，解得：，
设函数表达式为；
【小问3】
解：上午到下午时，共小时，即供水时间，
当时，，
箭尺的初始读数为，
，
即箭尺读数增加了．
20. 阅读材料：
勾股定理本身就是一个关于a、b、c的方程，我们知道这个方程有无数组解，满足该方程的正整数解通常叫做勾股数组，关于勾股数组的研究我国历史上有非常辉煌的成就，根据《周髀算经》记载，在约公元前1100年，人们就已经知道“勾广三、股修四、径隅五”（古人把较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，而斜边则为弦），即知道了勾股数组．类似地，还可以得到下列勾股数组：，，，…，等等，这些数组也叫做毕达哥拉斯勾股数组，上述勾股数组的规律，可以用下面表格直观表示：
观察分析上述勾股数组，可以看出它们具有如下特点：
特点1：最小的勾股数的平方等于另两个勾股数的和；
特点2：______．
…
回答问题：
（1）请你再写出上述勾股数组的一个特点：______；
（2）如果n表示比1大的奇数，则上述勾股数组可以表示为；
（3）请你证明（2）中的三个式子是勾股数组．
【答案】（1）勾股数组的和等于最小的勾股数与比它大1的整数的乘积；（答案不唯一）
（2），；
（3）见解析
【解析】
【分析】本题考查了勾股数的概念，整式的混合运算，熟记勾股数的概念是解题关键．
（1）根据勾股数组的特点解答即可；
（2）根据已知表格，先求出勾股数组的和，进而得到勾股数组的和与最小数的差，再求出股和弦即可；
（3）根据正数的混合运算法则计算即可证明．
【小问1】
解：上述勾股数组的一个特点：勾股数组的和等于最小的勾股数与比它大1的整数的乘积；
故答案为：勾股数组的和等于最小的勾股数与比它大1的整数的乘积；
【小问2】
解：为最小的勾股数，
勾股数组的和为，
勾股数组的和与最小数的差为，
股为，弦为，
勾股数组可以表示为，
故答案为：，；
【小问3】
证明：
，
即是勾股数组．
21. 大营麻花是河南三门峡大营村特色传统名吃，始于清朝，距今已有数百年的历史．具有“脆、酥、香”的绝佳口感，是待客、走亲访友的佳品．2024年3月26日-28日，韩国东豆川市青少年友好交流团到三门峡进行交流访问活动．小美计划买一些大营麻花作为特色食品招待来家做客的外国朋友，据市场调研了解，3根传统咸味麻花和2根巧克力麻花共11元；2根传统咸味麻花和3根巧克力麻花共11.5元．
（1）求传统咸味麻花和巧克力麻花的单价；
（2）若小美计划购买传统咸味麻花和巧克力麻花共100根，且巧克力麻花的购买数量不少于传统成昧麻花购买数量的．经过与商家沟通．传统咸味麻花可打九折．如何购买才能使花费最少？最少的费用为多少元？
【答案】（1）传统咸味麻花的单价为2元，巧克力麻花的单价为2.5元．
（2）传统成昧麻花购买根，则巧克力麻花购买根，，费用最少，最少为元．
【解析】
【分析】本题考查二元一次方程组和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组和函数关系式．
（1）设传统咸味麻花的单价为元，巧克力麻花的单价为元，根据3根传统咸味麻花和2根巧克力麻花共11元；2根传统咸味麻花和3根巧克力麻花共11.5元，列出方程组求解即可；
（2）设传统成昧麻花购买根，则巧克力麻花购买根，费用为元，列出一次函数关系式，再由一次函数性质即可得到答案．
【小问1】
设传统咸味麻花的单价为元，巧克力麻花的单价为元，
根据题意得：，
解得，，
传统咸味麻花的单价为2元，巧克力麻花的单价为2.5元；
【小问2】
设传统成昧麻花购买根，则巧克力麻花购买根，费用为元，
根据题意得：，
巧克力麻花的购买数量不少于传统成昧麻花购买数量的，
，
解得：，
，
随的增大而减小．
当时，最小，此时，
，
传统成昧麻花购买根，巧克力麻花购买根时，费用最少，最少为元．
22. 在学习矩形的性质时，对于“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这一性质的证明，聪明的小美同学想到了两种方法，如下表：
请你选择其中的一种方法，完成对这条性质的证明．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定和性质，三角形中位线定理，垂直平分线的性质，掌握特殊四边形的判定定理是解题关键．方法一：证明四边形是矩形，得出，即可证明；方法二：由三角形中位线定理，得到，从而得出垂直平分，即可证明．
证明：方法一：倍长中线法．
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
，
；
方法二：构造中位线法．
点O是边的中点，点D是的中点，
是的中位线，
，
，
，即，
垂直平分，
．
23. 如图，点C在线段上，是等边三角形，四边形是正方形．
（1）求度数；
（2）点P是线段上的一个动点，连接、．若，．求的最小值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据等边三角形和正方形的性质，得到，，再根据等边对等角的性质，即可求出的度数；
（2）作点关于的对称点，连接与交于点，连接与交于点，连接，由轴对称的性质可知，，，，先证明是等腰直角三角形，得到，进而得出，过点作于点，则是等腰直角三角形，得到，即点与点重合，然后利用勾股定理求出的长，即可得到的最小值．
【小问1】
解：是等边三角形，四边形是正方形，
，，，，
，，
；
【小问2】
解：如图，作点关于的对称点，连接与交于点，连接与交于点，连接，
由轴对称的性质可知，，，
，
即当点、、三点共线时，有最小值，为的长．
是等边三角形，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
过点作于点，则是等腰直角三角形，
，
，
即点与点重合，
，
在中，，
即的最小值为．
【点睛】本题考查了等边三角形的额性质，正方形的性质，轴对称的额性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，利用轴对称的性质求线段最值是解题关键．款型
续航里程（分）
百公里加速（分）
智能化水平（分）
A
82
90
100
B
80
100
98
款型
平均数
中位数
方差
A
7.1
m
2.89
B
7.1
7
209
勾股数组
各数组的和
和的另一表示法
和与最小数的差
股
弦
3，4，5
12
5，12，13
30
7，24，25
56
已知：如图，在中，，点O是边的中点．求证：．
方法一：倍长中线法．
证明：如图，延长至点D，使，连接、．
……
方法二：构造中位线法．
证明．如图，取的中点D，连接．
……