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2025年高考数学一轮复习-第四章-第四节 二倍角的正弦、余弦和正切公式-课时作业【含解析】
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这是一份2025年高考数学一轮复习-第四章-第四节 二倍角的正弦、余弦和正切公式-课时作业【含解析】，共8页。
1.已知α是第三象限角，cs α＝－513，则sin 2α等于（ ）
A.－1213B.1213C.－120169D.120169
2.已知x∈－π2，0，cs x＝45，则tan 2x等于（ ）
A.724B.－724C.247D.－247
3.已知sin α＝23，则cs（π－2α）＝（ ）
A.－53B.－19C.19D.53
4.已知角α的顶点在坐标原点，始边在x轴非负半轴上，且角α的终边上一点 P（1，2），则sin 2α＝（ ）
A.－45B.45
C.255D.－255
5.化简cs25°－sin25°sin40°cs40°＝（ ）
A.1B.2C.12D.－1
6.设sin α＝13，2π＜α＜3π，则sinα2＋csα2＝（ ）
A.－233B.233C.43D.－33
7.（多选）下列各式中，值为32的是（ ）
A.2sin 15°cs 15°B.1－2sin215°
C.sin215°＋cs215°D.3tan15°1－tan215°
8.（多选）（2024·湖南长沙）若sin α2＝33，α∈（0，π），则（ ）
A.cs α＝13
B.sin α＝23
C.sinα2＋π4＝6+236
D.sinα2－π4＝23－66
9.已知sin 2α＝23，则cs2α＋π4＝ .
10.化简：2sin2α1+cs2α·cs2αcs2α＝ .
11.若csπ4－α＝35，则sin 2α的值为 .
12.等腰三角形一个底角的余弦值为23，则这个三角形顶角的正弦值为 .
[B组 能力提升练]
13.若sinπ6－α＝13，则cs2π3+2α等于（ ）
A.－79B.－13C.13D.79
14.已知tanπ4＋α＝－2，则1－sin2αcs2α＝（ ）
A.2B.12C.－2D.－12
15. 魏晋南北朝时期，祖冲之利用割圆术以正24 576边形，求出圆周率π约等于355113，和真正的值相比，其误差小于八亿分之一，这个纪录在一千年后才被打破.若已知π的近似值还可以表示成4sin 52°，则1－2cs27°π16－π2的值为（ ）
A.－18B.－8C.8D.18
16.（2024·福建宁德）已知α是第一象限角，cs α＝255，则cs 2α－csαsinα＝（ ）
A.－135B.－75
C.135D.110
17.（多选）已知函数f（x）＝（2cs2x－1）sin 2x＋12cs 4x，若α∈（0，π），且f（α）＝22，则α的值为（ ）
A.π16B.11π16C.9π16D.7π16
18.4cs 50°－tan 40°的值为 .
19.（2024·江苏南京）若sinα－5π12＝13，则cs2α＋π6的值为 .
2025年高考数学一轮复习-第四章-第四节 二倍角的正弦、余弦和正切公式-课时作业(解析版）
[A组 基础保分练]
1.已知α是第三象限角，cs α＝－513，则sin 2α等于（ ）
A.－1213B.1213C.－120169D.120169
答案：D
解析：因为α是第三象限角，且cs α＝－513，所以sin α＝－1213.所以sin 2α＝2sin αcs α＝2×－1213×－513＝120169.
2.已知x∈－π2，0，cs x＝45，则tan 2x等于（ ）
A.724B.－724C.247D.－247
答案：D
解析：因为cs x＝45，x∈－π2，0，所以sin x＝－35，所以tan x＝－34，所以tan 2x＝2tanx1－tan2x＝2×－341－－342＝－247.
3.已知sin α＝23，则cs（π－2α）＝（ ）
A.－53B.－19C.19D.53
答案：B
解析：cs（π－2α）＝－cs 2α＝－（1－2sin2α）＝－1＋2sin2α＝－1＋2×49＝－19.
4.已知角α的顶点在坐标原点，始边在x轴非负半轴上，且角α的终边上一点 P（1，2），则sin 2α＝（ ）
A.－45B.45
C.255D.－255
答案：B
解析：由题意可得x＝1，y＝2，r＝12＋22＝5，
∴sin α＝yr＝25，cs α＝xr＝15，
∴sin 2α＝2sin αcs α＝2×25×15＝45.
5.化简cs25°－sin25°sin40°cs40°＝（ ）
A.1B.2C.12D.－1
答案：B
解析：cs25°－sin25°sin40°cs40°＝cs10°12sin80°＝cs10°12cs10°＝2.
6.设sin α＝13，2π＜α＜3π，则sinα2＋csα2＝（ ）
A.－233B.233C.43D.－33
答案：A
解析：∵sin α＝13，
∴sinα2＋csα22＝1＋sin α＝43.又2π＜α＜3π，
∴π＜α2＜3π2，∴sinα2＋csα2＝－233.
7.（多选）下列各式中，值为32的是（ ）
A.2sin 15°cs 15°B.1－2sin215°
C.sin215°＋cs215°D.3tan15°1－tan215°
答案：BD
解析：A不符合，2sin 15°cs 15°＝sin 30°＝12；B符合，1－2sin215°＝cs 30°＝32；C不符合，sin215°＋cs215°＝1；D符合，3tan15°1－tan215°＝32·2tan15°1－tan215°＝32·tan 30°＝32.
8.（多选）（2024·湖南长沙）若sin α2＝33，α∈（0，π），则（ ）
A.cs α＝13
B.sin α＝23
C.sinα2＋π4＝6+236
D.sinα2－π4＝23－66
答案：AC
解析：∵sin α2＝33，α∈（0，π），
∴α2∈0，π2，cs α2＝1－sin2α2＝63.
∴cs α＝1－2sin2α2＝1－2×332＝13；
sin α＝2sin α2cs α2＝2×33×63＝223，故A正确、B错误；
又sinα2＋π4＝sin α2cs π4＋cs α2sin π4
＝33×22＋63×22＝6+236，
sinα2－π4＝sin α2cs π4－cs α2sin π4
＝33×22－63×22＝6－236，故C正确、D错误.
9.已知sin 2α＝23，则cs2α＋π4＝ .
答案：16
解析：cs2α＋π4＝1+cs2α＋π22＝1－sin2α2＝1－232＝16.
10.化简：2sin2α1+cs2α·cs2αcs2α＝ .
答案：tan 2α
解析：原式＝2sin2α2cs2α·cs2αcs2α＝tan 2α.
11.若csπ4－α＝35，则sin 2α的值为 .
答案：－725
解析：因为sin 2α＝csπ2－2α＝2cs2π4－α－1，
又csπ4－α＝35，所以sin 2α＝2×925－1＝－725.
12.等腰三角形一个底角的余弦值为23，则这个三角形顶角的正弦值为 .
答案：459
解析：设A是等腰△ABC的顶角，则cs B＝23，
sin B＝1－cs2B＝1－232＝53，
所以sin A＝
sin（180°－2B）＝sin 2B＝2sin Bcs B
＝2×53×23＝459.
[B组 能力提升练]
13.若sinπ6－α＝13，则cs2π3+2α等于（ ）
A.－79B.－13C.13D.79
答案：A
解析：因为sinπ6－α＝sinπ2－π3＋α＝13，
所以csπ3＋α＝13，
所以cs2π3+2α＝cs2π3＋α＝
2cs2π3＋α－1＝－79.
14.已知tanπ4＋α＝－2，则1－sin2αcs2α＝（ ）
A.2B.12C.－2D.－12
答案：D
解析：已知tanπ4＋α＝－2＝tanα+11－tanα，∴tan α＝3，
则1－sin2αcs2α＝sin2α＋cs2α－2sinαcsαcs2α－sin2α＝tan2α+1－2tanα1－tan2α＝－12.
15. 魏晋南北朝时期，祖冲之利用割圆术以正24 576边形，求出圆周率π约等于355113，和真正的值相比，其误差小于八亿分之一，这个纪录在一千年后才被打破.若已知π的近似值还可以表示成4sin 52°，则1－2cs27°π16－π2的值为（ ）
A.－18B.－8C.8D.18
答案：A
解析：将π＝4sin 52°代入1－2cs27°π16－π2，
可得1－2cs27°π16－π2＝－cs14°4sin52°16－16sin252°＝－cs14°16sin52°cs52°＝－cs14°8sin104°
＝－cs14°8sin（90°+14°）＝－cs14°8cs14°＝－18.
16.（2024·福建宁德）已知α是第一象限角，cs α＝255，则cs 2α－csαsinα＝（ ）
A.－135B.－75
C.135D.110
答案：B
解析：因为α是第一象限角，cs α＝255，
所以sin α＝1－cs2α＝1－2552＝55，
所以cs 2α－csαsinα＝2cs2 α－1－csαsinα＝2×2552－1－25555＝－75.
17.（多选）已知函数f（x）＝（2cs2x－1）sin 2x＋12cs 4x，若α∈（0，π），且f（α）＝22，则α的值为（ ）
A.π16B.11π16C.9π16D.7π16
答案：AC
解析：f（x）＝（2cs2x－1）sin 2x＋12cs 4x
＝cs 2xsin 2x＋12cs 4x
＝12sin 4x＋12cs 4x＝22sin4x＋π4，
∴f（α）＝22sin4α＋π4＝22，即
sin4α＋π4＝1，
∴4α＋π4＝π2＋2kπ（k∈Z），即α＝π16＋kπ2（k∈Z）.
∵α∈（0，π），∴当k＝0时，α＝π16；当k＝1时，α＝9π16.
18.4cs 50°－tan 40°的值为 .
答案：3
解析：4cs 50°－tan 40°＝4sin40°cs40°－sin40°cs40°
＝2sin80°－sin40°cs40°＝2cs10°－sin40°cs40°
＝2cs（40°－30°)−sin40°cs40°
＝2cs40°cs30°+2sin40°sin30°－sin40°cs40°
＝3cs40°cs40°＝3.
19.（2024·江苏南京）若sinα－5π12＝13，则cs2α＋π6的值为 .
答案：－79
解析：由sinα－5π12＝13，得cs2α－5π6＝1－2sin2α－5π12＝1－2×132＝79，
所以cs2α＋π6＝cs2α＋π－5π6＝－cs2α－5π6＝－79.
1.已知α是第三象限角，cs α＝－513，则sin 2α等于（ ）
A.－1213B.1213C.－120169D.120169
2.已知x∈－π2，0，cs x＝45，则tan 2x等于（ ）
A.724B.－724C.247D.－247
3.已知sin α＝23，则cs（π－2α）＝（ ）
A.－53B.－19C.19D.53
4.已知角α的顶点在坐标原点，始边在x轴非负半轴上，且角α的终边上一点 P（1，2），则sin 2α＝（ ）
A.－45B.45
C.255D.－255
5.化简cs25°－sin25°sin40°cs40°＝（ ）
A.1B.2C.12D.－1
6.设sin α＝13，2π＜α＜3π，则sinα2＋csα2＝（ ）
A.－233B.233C.43D.－33
7.（多选）下列各式中，值为32的是（ ）
A.2sin 15°cs 15°B.1－2sin215°
C.sin215°＋cs215°D.3tan15°1－tan215°
8.（多选）（2024·湖南长沙）若sin α2＝33，α∈（0，π），则（ ）
A.cs α＝13
B.sin α＝23
C.sinα2＋π4＝6+236
D.sinα2－π4＝23－66
9.已知sin 2α＝23，则cs2α＋π4＝ .
10.化简：2sin2α1+cs2α·cs2αcs2α＝ .
11.若csπ4－α＝35，则sin 2α的值为 .
12.等腰三角形一个底角的余弦值为23，则这个三角形顶角的正弦值为 .
[B组 能力提升练]
13.若sinπ6－α＝13，则cs2π3+2α等于（ ）
A.－79B.－13C.13D.79
14.已知tanπ4＋α＝－2，则1－sin2αcs2α＝（ ）
A.2B.12C.－2D.－12
15. 魏晋南北朝时期，祖冲之利用割圆术以正24 576边形，求出圆周率π约等于355113，和真正的值相比，其误差小于八亿分之一，这个纪录在一千年后才被打破.若已知π的近似值还可以表示成4sin 52°，则1－2cs27°π16－π2的值为（ ）
A.－18B.－8C.8D.18
16.（2024·福建宁德）已知α是第一象限角，cs α＝255，则cs 2α－csαsinα＝（ ）
A.－135B.－75
C.135D.110
17.（多选）已知函数f（x）＝（2cs2x－1）sin 2x＋12cs 4x，若α∈（0，π），且f（α）＝22，则α的值为（ ）
A.π16B.11π16C.9π16D.7π16
18.4cs 50°－tan 40°的值为 .
19.（2024·江苏南京）若sinα－5π12＝13，则cs2α＋π6的值为 .
2025年高考数学一轮复习-第四章-第四节 二倍角的正弦、余弦和正切公式-课时作业(解析版）
[A组 基础保分练]
1.已知α是第三象限角，cs α＝－513，则sin 2α等于（ ）
A.－1213B.1213C.－120169D.120169
答案：D
解析：因为α是第三象限角，且cs α＝－513，所以sin α＝－1213.所以sin 2α＝2sin αcs α＝2×－1213×－513＝120169.
2.已知x∈－π2，0，cs x＝45，则tan 2x等于（ ）
A.724B.－724C.247D.－247
答案：D
解析：因为cs x＝45，x∈－π2，0，所以sin x＝－35，所以tan x＝－34，所以tan 2x＝2tanx1－tan2x＝2×－341－－342＝－247.
3.已知sin α＝23，则cs（π－2α）＝（ ）
A.－53B.－19C.19D.53
答案：B
解析：cs（π－2α）＝－cs 2α＝－（1－2sin2α）＝－1＋2sin2α＝－1＋2×49＝－19.
4.已知角α的顶点在坐标原点，始边在x轴非负半轴上，且角α的终边上一点 P（1，2），则sin 2α＝（ ）
A.－45B.45
C.255D.－255
答案：B
解析：由题意可得x＝1，y＝2，r＝12＋22＝5，
∴sin α＝yr＝25，cs α＝xr＝15，
∴sin 2α＝2sin αcs α＝2×25×15＝45.
5.化简cs25°－sin25°sin40°cs40°＝（ ）
A.1B.2C.12D.－1
答案：B
解析：cs25°－sin25°sin40°cs40°＝cs10°12sin80°＝cs10°12cs10°＝2.
6.设sin α＝13，2π＜α＜3π，则sinα2＋csα2＝（ ）
A.－233B.233C.43D.－33
答案：A
解析：∵sin α＝13，
∴sinα2＋csα22＝1＋sin α＝43.又2π＜α＜3π，
∴π＜α2＜3π2，∴sinα2＋csα2＝－233.
7.（多选）下列各式中，值为32的是（ ）
A.2sin 15°cs 15°B.1－2sin215°
C.sin215°＋cs215°D.3tan15°1－tan215°
答案：BD
解析：A不符合，2sin 15°cs 15°＝sin 30°＝12；B符合，1－2sin215°＝cs 30°＝32；C不符合，sin215°＋cs215°＝1；D符合，3tan15°1－tan215°＝32·2tan15°1－tan215°＝32·tan 30°＝32.
8.（多选）（2024·湖南长沙）若sin α2＝33，α∈（0，π），则（ ）
A.cs α＝13
B.sin α＝23
C.sinα2＋π4＝6+236
D.sinα2－π4＝23－66
答案：AC
解析：∵sin α2＝33，α∈（0，π），
∴α2∈0，π2，cs α2＝1－sin2α2＝63.
∴cs α＝1－2sin2α2＝1－2×332＝13；
sin α＝2sin α2cs α2＝2×33×63＝223，故A正确、B错误；
又sinα2＋π4＝sin α2cs π4＋cs α2sin π4
＝33×22＋63×22＝6+236，
sinα2－π4＝sin α2cs π4－cs α2sin π4
＝33×22－63×22＝6－236，故C正确、D错误.
9.已知sin 2α＝23，则cs2α＋π4＝ .
答案：16
解析：cs2α＋π4＝1+cs2α＋π22＝1－sin2α2＝1－232＝16.
10.化简：2sin2α1+cs2α·cs2αcs2α＝ .
答案：tan 2α
解析：原式＝2sin2α2cs2α·cs2αcs2α＝tan 2α.
11.若csπ4－α＝35，则sin 2α的值为 .
答案：－725
解析：因为sin 2α＝csπ2－2α＝2cs2π4－α－1，
又csπ4－α＝35，所以sin 2α＝2×925－1＝－725.
12.等腰三角形一个底角的余弦值为23，则这个三角形顶角的正弦值为 .
答案：459
解析：设A是等腰△ABC的顶角，则cs B＝23，
sin B＝1－cs2B＝1－232＝53，
所以sin A＝
sin（180°－2B）＝sin 2B＝2sin Bcs B
＝2×53×23＝459.
[B组 能力提升练]
13.若sinπ6－α＝13，则cs2π3+2α等于（ ）
A.－79B.－13C.13D.79
答案：A
解析：因为sinπ6－α＝sinπ2－π3＋α＝13，
所以csπ3＋α＝13，
所以cs2π3+2α＝cs2π3＋α＝
2cs2π3＋α－1＝－79.
14.已知tanπ4＋α＝－2，则1－sin2αcs2α＝（ ）
A.2B.12C.－2D.－12
答案：D
解析：已知tanπ4＋α＝－2＝tanα+11－tanα，∴tan α＝3，
则1－sin2αcs2α＝sin2α＋cs2α－2sinαcsαcs2α－sin2α＝tan2α+1－2tanα1－tan2α＝－12.
15. 魏晋南北朝时期，祖冲之利用割圆术以正24 576边形，求出圆周率π约等于355113，和真正的值相比，其误差小于八亿分之一，这个纪录在一千年后才被打破.若已知π的近似值还可以表示成4sin 52°，则1－2cs27°π16－π2的值为（ ）
A.－18B.－8C.8D.18
答案：A
解析：将π＝4sin 52°代入1－2cs27°π16－π2，
可得1－2cs27°π16－π2＝－cs14°4sin52°16－16sin252°＝－cs14°16sin52°cs52°＝－cs14°8sin104°
＝－cs14°8sin（90°+14°）＝－cs14°8cs14°＝－18.
16.（2024·福建宁德）已知α是第一象限角，cs α＝255，则cs 2α－csαsinα＝（ ）
A.－135B.－75
C.135D.110
答案：B
解析：因为α是第一象限角，cs α＝255，
所以sin α＝1－cs2α＝1－2552＝55，
所以cs 2α－csαsinα＝2cs2 α－1－csαsinα＝2×2552－1－25555＝－75.
17.（多选）已知函数f（x）＝（2cs2x－1）sin 2x＋12cs 4x，若α∈（0，π），且f（α）＝22，则α的值为（ ）
A.π16B.11π16C.9π16D.7π16
答案：AC
解析：f（x）＝（2cs2x－1）sin 2x＋12cs 4x
＝cs 2xsin 2x＋12cs 4x
＝12sin 4x＋12cs 4x＝22sin4x＋π4，
∴f（α）＝22sin4α＋π4＝22，即
sin4α＋π4＝1，
∴4α＋π4＝π2＋2kπ（k∈Z），即α＝π16＋kπ2（k∈Z）.
∵α∈（0，π），∴当k＝0时，α＝π16；当k＝1时，α＝9π16.
18.4cs 50°－tan 40°的值为 .
答案：3
解析：4cs 50°－tan 40°＝4sin40°cs40°－sin40°cs40°
＝2sin80°－sin40°cs40°＝2cs10°－sin40°cs40°
＝2cs（40°－30°)−sin40°cs40°
＝2cs40°cs30°+2sin40°sin30°－sin40°cs40°
＝3cs40°cs40°＝3.
19.（2024·江苏南京）若sinα－5π12＝13，则cs2α＋π6的值为 .
答案：－79
解析：由sinα－5π12＝13，得cs2α－5π6＝1－2sin2α－5π12＝1－2×132＝79，
所以cs2α＋π6＝cs2α＋π－5π6＝－cs2α－5π6＝－79.
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