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    2025年高考数学一轮复习-第九章-第一节 椭圆及其性质-课时作业【含解析】

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    2025年高考数学一轮复习-第九章-第一节 椭圆及其性质-课时作业【含解析】

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    这是一份2025年高考数学一轮复习-第九章-第一节 椭圆及其性质-课时作业【含解析】,共11页。
    1.(多选)已知动点M(x,y)满足(x+2)2+y2+(x-2)2+y2=4,则动点M的轨迹不可能是( )
    A.椭圆 B.直线
    C.圆 D.线段
    2.(2024·云南昆明)已知椭圆x24+y23=1的两个焦点为F1,F2,过F2的直线交椭圆于M,N两点,则△F1MN的周长为( )
    A.2 B.4
    C.6 D.8
    3.已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0),离心率等于12,则C的方程是( )
    A.x23+y24=1 B.x24+y23=1
    C.x24+y23=1 D.x24+y2=1
    4.(2024·江西南昌)椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上,长轴长是短轴长的2倍,则实数m的值为( )
    A.2 B.4
    C.12 D.14
    5.(多选)(2024·江苏淮安)为使椭圆x22+y2m=1的离心率为13,正数m的值可以是( )
    A.95 B.209
    C.169 D.94
    6.如图,已知椭圆C的中心为原点O,F(-25,0)为C的左焦点,P为C上一点,满足|OP|=|OF|,且|PF|=4,则椭圆C的方程为( )
    A.x225+y25=1 B.x230+y210=1
    C.x236+y216=1 D.x245+y225=1
    7.(2024·山东青岛)已知F1,F2分别是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,若椭圆C上存在点P,使得线段PF1的中垂线恰好经过焦点F2,则椭圆C离心率的取值范围是( )
    A.23,1 B.13,22
    C.13,1 D.0,13
    8.椭圆C的左焦点为F1(-6,0),且经过点P(5,2),则椭圆C的标准方程为 .
    9.(2024·北京)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点分别为F1,F2,点P在C上,且PF1+PF2=3F1F2,则椭圆C的离心率为 .
    10.过椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点作x轴的垂线,交C于A,B两点,直线l过C的左焦点和上顶点.若以AB为直径的圆与l存在公共点,则C的离心率的取值范围是 .
    11.已知A(1,3),F是椭圆C:x29+y25=1的左焦点,P是椭圆C上的动点,则|PA|+|PF|的最小值为 .
    [B组 能力提升练]
    12.(2024·云南昆明)已知椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别为F1,F2,点A是椭圆短轴的一个端点,且cs ∠F1AF2=56,则椭圆的离心率为( )
    A.12 B.32
    C.36 D.336
    13.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的半焦距是c,A,B分别是长轴、短轴的一个端点,O为原点,若△ABO的面积是3c2,则此椭圆的离心率是( )
    A.12 B.32
    C.22 D.33
    14.已知圆(x+2)2+y2=36的圆心为M,设A为圆上任一点,且点N(2,0),线段AN的垂直平分线交MA于点P,则动点P的轨迹是( )
    A.圆 B.椭圆
    C.双曲线 D.抛物线
    15.(多选)已知P是椭圆C:x26+y2=1上的动点,Q是圆D:(x+1)2+y2=15上的动点,则下列结论正确的是( )
    A.C的焦距为5
    B.C的离心率为306
    C.圆D在C的内部
    D.|PQ|的最小值为255
    16.我们把离心率为22的椭圆称为“最美椭圆”.已知椭圆C为“最美椭圆”,焦点在x轴上,且以椭圆C上一点P和椭圆两焦点F1和F2为顶点的三角形的面积最大值为4,则椭圆C的方程为( )
    A.x22+y2=1 B.x24+y22=1
    C.x26+y23=1 D.x28+y24=1
    17.(多选)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2(如图),离心率为12,过F1的直线AF1垂直于x轴,且在第二象限中交E于点A,直线AF2交E于点B(异于点A),则下列说法正确的是( )
    A.若椭圆E的焦距为2,则短轴长为43
    B.△ABF1的周长为4a
    C.若△AF1F2的面积为12,则椭圆E的方程为x232+y224=1
    D.△ABF1与△AF1F2的面积的比值为107
    18.(2024·河南平顶山)已知椭圆C的一个焦点为F(0,1),椭圆C上的点到F的距离的最小值为1,则椭圆C的标准方程为 ;若P为椭圆C上一动点,M(3,3),则|PM|-|PF|的最小值为 .
    19.甲、乙两名探险家在某山中探险,他们来到一个山洞,洞内是一个椭球形,截面是一个椭圆,甲、乙两人分别站在洞内如图所示的A,B两点处,甲站在A处唱歌时,乙在与A处有一定距离的B处听得很清晰,原因在于甲、乙两人所站的位置恰好是洞内截面椭圆的两个焦点,符合椭圆的光学性质,即从一个焦点发出光经椭圆反射后经过另一个焦点.现已知椭圆C:x2100+y236=1上一点M,过点M作切线l,A,B分别为椭圆C的左、右焦点,cs∠AMB=-14,由光的反射性质:光的入射角等于反射角,则椭圆中心O到切线l的距离为 .
    2025年高考数学一轮复习-第九章-第一节 椭圆及其性质-课时作业(解析版)
    [A组 基础保分练]
    1.(多选)已知动点M(x,y)满足(x+2)2+y2+(x-2)2+y2=4,则动点M的轨迹不可能是( )
    A.椭圆 B.直线
    C.圆 D.线段
    答案:ABC
    解析:设点F1(-2,0),F2(2,0),由题意知动点M满足|MF1|+|MF2|=4=|F1F2|,故动点M的轨迹是线段F1F2.
    2.(2024·云南昆明)已知椭圆x24+y23=1的两个焦点为F1,F2,过F2的直线交椭圆于M,N两点,则△F1MN的周长为( )
    A.2 B.4
    C.6 D.8
    答案:D
    解析:由x24+y23=1得a=2.
    因为M,N是椭圆上的点,F1,F2是椭圆的焦点,
    所以|MF1|+|MF2|=2a,|NF1|+|NF2|=2a,
    因此△F1MN的周长为|MF1|+|MN|+|NF1|=|MF1|+|MF2|+|NF2|+|NF1|=2a+2a=4a=8.
    3.已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0),离心率等于12,则C的方程是( )
    A.x23+y24=1 B.x24+y23=1
    C.x24+y23=1 D.x24+y2=1
    答案:C
    解析:依题意,所求椭圆的焦点位于x轴上,且c=1,e=ca=12,所以a=2,b2=a2-c2=3,因此其方程是x24+y23=1.
    4.(2024·江西南昌)椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上,长轴长是短轴长的2倍,则实数m的值为( )
    A.2 B.4
    C.12 D.14
    答案:D
    解析:椭圆的方程x2+y21m=1,得b=1,a=1m.由长轴长是短轴长的2倍,可得 1m=2,解得m=14.
    5.(多选)(2024·江苏淮安)为使椭圆x22+y2m=1的离心率为13,正数m的值可以是( )
    A.95 B.209
    C.169 D.94
    答案:CD
    解析:当焦点在x轴上时,a=2,b=m,则c=2-m,
    所以,e=2-m2=13,解得m=169;
    当焦点在y轴上时,a=m,b=2,则c=m-2,
    所以,e=m-2m=13,解得m=94.
    6.如图,已知椭圆C的中心为原点O,F(-25,0)为C的左焦点,P为C上一点,满足|OP|=|OF|,且|PF|=4,则椭圆C的方程为( )
    A.x225+y25=1 B.x230+y210=1
    C.x236+y216=1 D.x245+y225=1
    答案:C
    解析:依题意,设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),右焦点为F',如图,连接PF'.
    由已知,半焦距c=25.又由|OP|=|OF|=|OF'|,知∠FPF'=90°.在Rt△PFF'中,|PF'|=|FF'|2−|PF|2=(45)2-42=8.由椭圆的定义可知2a=|PF|+|PF'|=4+8=12,所以a=6,于是b2=a2-c2=62-(25)2=16,故所求椭圆方程为x236+y216=1.
    7.(2024·山东青岛)已知F1,F2分别是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,若椭圆C上存在点P,使得线段PF1的中垂线恰好经过焦点F2,则椭圆C离心率的取值范围是( )
    A.23,1 B.13,22
    C.13,1 D.0,13
    答案:C
    解析:如图所示,
    ∵线段PF1的中垂线经过F2,∴|PF2|=|F1F2|=2c,即椭圆上存在一点P,使得|PF2|=2c,∴a-c≤2c<a+c.
    ∴e=ca∈13,1.
    8.椭圆C的左焦点为F1(-6,0),且经过点P(5,2),则椭圆C的标准方程为 .
    答案:x245+y29=1
    解析:椭圆C的左焦点为F1(-6,0),则椭圆C的焦点在x轴上且右焦点为F2(6,0).由椭圆的定义,得|PF1|+|PF2|=(5+6)2+22+(5-6)2+22=65=2a,所以a=35.又c=6,所以b2=a2-c2=45-36=9,所以椭圆C的标准方程为x245+y29=1.
    9.(2024·北京)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点分别为F1,F2,点P在C上,且PF1+PF2=3F1F2,则椭圆C的离心率为 .
    答案:13
    解析:由PF1+PF2=2a,F1F2=2c,又PF1+PF2=3F1F2,
    所以2a=6c⇒e=ca=13.
    10.过椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点作x轴的垂线,交C于A,B两点,直线l过C的左焦点和上顶点.若以AB为直径的圆与l存在公共点,则C的离心率的取值范围是 .
    答案:0,55
    解析:由题设知,直线l:x-c+yb=1,即bx-cy+bc=0,以AB为直径的圆的圆心为(c,0),根据题意,将x=c代入椭圆C的方程,得y=±b2a,即圆的半径r=b2a.又圆与直线l有公共点,所以|2bc|b2+c2≤b2a,化简得2c≤b,平方整理得a2≥5c2,所以e=ca≤55.又0<e<1,所以0<e≤55.
    11.已知A(1,3),F是椭圆C:x29+y25=1的左焦点,P是椭圆C上的动点,则|PA|+|PF|的最小值为 .
    答案:4
    解析:设椭圆C的右焦点为F',依题意,知F'(2,0),点A在椭圆内,连接PF',AF'(图略),
    由椭圆的定义得|PF|+|PF'|=6,
    而||PA|-|PF'||≤|AF'|=(2-1)2+(3)2=2,即-2≤|PA|-|PF'|≤2,有|PF'|-2≤|PA|≤2+|PF'|,因此,|PA|+|PF|≥|PF|+|PF'|-2=4,当且仅当点P是线段F'A的延长线与椭圆C的交点时取“=”,所以|PA|+|PF|的最小值为4.
    [B组 能力提升练]
    12.(2024·云南昆明)已知椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别为F1,F2,点A是椭圆短轴的一个端点,且cs ∠F1AF2=56,则椭圆的离心率为( )
    A.12 B.32
    C.36 D.336
    答案:C
    解析:如图,由题意可知AF1=AF2=OA2+F1O2=b2+c2=a,F1F2=2c,
    在△AF1F2中,由余弦定理得4c2=a2+a2-2a2cs ∠F1AF2,化简得4c2=13a2,
    则e2=112,所以e=36.
    13.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的半焦距是c,A,B分别是长轴、短轴的一个端点,O为原点,若△ABO的面积是3c2,则此椭圆的离心率是( )
    A.12 B.32
    C.22 D.33
    答案:A
    解析:12ab=3c2,即a2(a2-c2)=12c4,所以(a2+3c2)·(a2-4c2)=0,所以a2=4c2,即a=2c,故e=ca=12.
    14.已知圆(x+2)2+y2=36的圆心为M,设A为圆上任一点,且点N(2,0),线段AN的垂直平分线交MA于点P,则动点P的轨迹是( )
    A.圆 B.椭圆
    C.双曲线 D.抛物线
    答案:B
    解析:点P在线段AN的垂直平分线上,故|PA|=|PN|,又AM是圆的半径,所以|PM|+|PN|=|PM|+|PA|=|AM|=6>|MN|,由椭圆定义知,动点P的轨迹是椭圆.
    15.(多选)已知P是椭圆C:x26+y2=1上的动点,Q是圆D:(x+1)2+y2=15上的动点,则下列结论正确的是( )
    A.C的焦距为5
    B.C的离心率为306
    C.圆D在C的内部
    D.|PQ|的最小值为255
    答案:BC
    解析:∵x26+y2=1,∴a=6,b=1,∴c=a2-b2=6-1=5,则C的焦距为25,离心率e=ca=56=306.设P(x,y)(-6≤x≤6),则|PD|2=(x+1)2+y2=(x+1)2+1-x26=56x+652+45≥45>15,∴圆D在C的内部,且|PQ|的最小值为45-15=55.
    16.我们把离心率为22的椭圆称为“最美椭圆”.已知椭圆C为“最美椭圆”,焦点在x轴上,且以椭圆C上一点P和椭圆两焦点F1和F2为顶点的三角形的面积最大值为4,则椭圆C的方程为( )
    A.x22+y2=1 B.x24+y22=1
    C.x26+y23=1 D.x28+y24=1
    答案:D
    解析:由已知e=ca=22,得c=22a,故b=a2-c2=22a.
    ∵S△PF1F2=12F1F2yP=12×2cyP≤bc,即S△PF1F2max=bc=4,
    ∴22a×22a=4,得a2=8,故b2=12a2=4,
    所以椭圆C的方程为x28+y24=1.
    17.(多选)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2(如图),离心率为12,过F1的直线AF1垂直于x轴,且在第二象限中交E于点A,直线AF2交E于点B(异于点A),则下列说法正确的是( )
    A.若椭圆E的焦距为2,则短轴长为43
    B.△ABF1的周长为4a
    C.若△AF1F2的面积为12,则椭圆E的方程为x232+y224=1
    D.△ABF1与△AF1F2的面积的比值为107
    答案:BCD
    解析:对于A,若椭圆E的焦距为2,则c=1,由离心率为ca=12,得a=2,所以b=3,则短轴长为23,故A错误;对于B,根据椭圆的定义,得△ABF1的周长为4a,故B正确;对于C,由ca=12,可得a=2c,b=3c,所以椭圆的方程可写为x24c2+y23c2=1,易知A-c,32c,
    则S△AF1F2=12|F1F2||AF1|=32c2,则32c2=12,
    所以c=22,则a=42,b=26,则椭圆E的方程为x232+y224=1,故C正确;对于D,因为|AF1|=32c,所以|AF2|=2a-32c=52c,如图,过点B作BH⊥x轴,易知△BHF2∽△AF1F2,则|AF1||BH|=|F1F2||HF2|=|AF2||BF2|,即32c|BH|=2c|HF2|=52c|BF2|,设|BH|=3k,k>0,则|HF2|=4k,|BF2|=5k,则B(4k+c,-3k),代入椭圆方程得(4k+c)24c2+(−3k)23c2=1,整理得28k2+8kc-3c2=0,解得k=314c或k=-12c(舍去),
    所以S△ABF1S△AF1F2=S△AF1F2+S△BF1F2S△AF1F2=12|F1F2|(|AF1|+|BH|)12|F1F2||AF1|=32c+3k32c=107,故D正确.
    18.(2024·河南平顶山)已知椭圆C的一个焦点为F(0,1),椭圆C上的点到F的距离的最小值为1,则椭圆C的标准方程为 ;若P为椭圆C上一动点,M(3,3),则|PM|-|PF|的最小值为 .
    答案:y24+x23=1 1
    解析:因为椭圆C的一个焦点为F(0,1),所以椭圆C的焦点在y轴上,且c=1,
    因为椭圆C上的点到F的距离的最小值为1,所以a-c=1,得a=2,
    因为b2=a2-c2=3,所以椭圆C的标准方程为y24+x23=1;
    将M(3,3)代入椭圆方程,得324+323=6312>1,
    所以M点在椭圆外,
    如图所示,设椭圆C的另一个焦点为F',
    则|PF|+|PF'|=4,
    所以|PM|-|PF|=|PM|+|PF'|-4.
    当F',P,M三点共线时,|PM|+|PF'|取得最小值,
    且最小值为|MF'|= (3-0)2+(3+1)2=5,
    所以|PM|-|PF|的最小值为1.
    19.甲、乙两名探险家在某山中探险,他们来到一个山洞,洞内是一个椭球形,截面是一个椭圆,甲、乙两人分别站在洞内如图所示的A,B两点处,甲站在A处唱歌时,乙在与A处有一定距离的B处听得很清晰,原因在于甲、乙两人所站的位置恰好是洞内截面椭圆的两个焦点,符合椭圆的光学性质,即从一个焦点发出光经椭圆反射后经过另一个焦点.现已知椭圆C:x2100+y236=1上一点M,过点M作切线l,A,B分别为椭圆C的左、右焦点,cs∠AMB=-14,由光的反射性质:光的入射角等于反射角,则椭圆中心O到切线l的距离为 .
    答案:562
    解析:如图,过点M作切线l的垂线交AB于点N,过点A,O,B分别作l垂线交l于点A1,O1,B1,由光学性质可知MN平分∠AMB,∠B1MB=∠A1MA,
    则∠A1AM=∠AMN=∠BMN=∠B1BM.
    因为cs∠AMB=-14,
    故cs(π-∠AMB)=cs 2∠AMA1=1-2sin2∠AMA1=14,所以sin∠AMA1=64,
    |OO1|=12(|AA1|+|BB1|)=12(|AM|sin∠AMA1+|BM|sin∠BMB1)=12×20×64=562.

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