2024-2025学年云南省大理州民族中学高一（上）月考数学试卷（9月份）（含解析）

这是一份2024-2025学年云南省大理州民族中学高一（上）月考数学试卷（9月份）（含解析），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.给出下列关系：①12∈Z；② 2∉Q；③|−3|∉N+；④|−3|∈Q，其中正确的个数为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
2.命题“∃x>0，x2−3x−10>0“的否定是( )
A. ∀x>0，x2−3x−10>0B. ∃x>0，x2−3x−10≤0
C. ∀x≤0，x2−3x−10≤0D. ∀x>0，x2−3x−10≤0
3.集合{x∈N*|x<3}的另一种表示法是( )
A. {0,1,2,3}B. {1,2,3}C. {0,1,2}D. {1,2}
4.设集合A={1,2,3}，B={4,5}，M={x|x=a+b,a∈A,b∈B}，集合M真子集的个数为( )
A. 32B. 31C. 16D. 15
5.“x>2”是“x2>4”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
6.已知实数a，b满足1A. (0,1)B. (−1,2)C. (0,2)D. (−1,1)
7.下列命题中，正确的是( )
A. x+4x的最小值是4
B. x2+4+1 x2+4的最小值是2
C. 如果a>b，c>d，那么a−cD. 如果ac2>bc2，那么a>b
8.设P=13，Q= 7− 5，R= 11−3，则P，Q，R的大小顺序是( )
A. P>Q>RB. Q>R>PC. R>P>QD. Q>P>R
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远若a，b，c∈R，则下列命题正确的是( )
A. 若ab≠0且a1bB. 若a>b>0，则b+1a+1>ba
C. 若a+b=2，则ab≤1D. 若c10.已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集是{x|1A. a<0
B. a+b+c=0
C. 4a+2b+c<0
D. 不等式cx2−bx+a<0的解集是{x|x<−1或x>−13}
11.“x2−3x−40<0”的充分不必要条件可以是( )
A. −1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知集合A={−1,3,2m−1}，集合B={3,m2}.若B⊆A，则实数m=______．
13.已知m>0，n>0，且mn=81，则m+n的最小值是______．
14.已知对任意实数x，不等式ax2+ax+1>0恒成立，则实数a的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知集合A={x|2≤x<4}，B={x|3x−7≥8−2x}，求：
(1)A∩B，A∪B；
(2)∁R(A∪B)，(∁RA)∩B．
16.(本小题15分)
(Ⅰ)解不等式−x2+4x+5<0；
(Ⅱ)解不等式2x−13x+1>1．
17.(本小题15分)
已知集合A={x|x−4x+3>0}，集合B={x|a−2≤x≤2a+1}．
(1)当a=3时，求A和(∁RA)∩B；
(2)若x∈A是x∈B的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
18.(本小题17分)
设函数y=−x2+bx+c．
(1)若不等式y>0的解集为(−1,3)，求b，c的值；
(2)当x=1时，y=0，b>0，c>0，求1b+4c的最小值．
19.(本小题17分)
某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为48m2，房屋正面每平方米的造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元，如果墙高为3m，且不计房屋背面和地面的费用，那么怎样设计房屋能使总造价最低？最低总造价是多少？
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：根据题意，12∉Z，故①错， 2是无理数，故 2∉Q，故②正确，
又|−3|=3∈N+，故③错，④|−3|=3∈Q，④正确，
故选：B．
根据数集的定义可依次判断．
本题考查数集的定义，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：命题“∃x>0，x2−3x−10>0“的否定是：∀x>0，x2−3x−10≤0．
故选：D．
存在改任意，将结论取反，即可求解．
本题主要考查特称命题的否定，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查集合的表示方法，属于基础题．
集合{x∈N+|x<3}是用描述法来表示的，用另一种方法来表示就是用列举法，看出描述法所表示的数字，在集合中列举出元素．
【解答】
解：∵集合{x∈N+|x<3}是用描述法来表示的，
用另一种方法来表示就是用列举法，
即{x∈N+|x<3}={1,2}
故选D．
4.【答案】D
【解析】解：由题意集合A={1,2,3}，B={4,5}，a∈A，b∈B，
那么：a、b的组合有：(1、4)，(1、5)，(2、4)，(2、5)，(3、4)，(3、5)，
∵M={x|x=a+b}，
∴M={5,6,7,8}，
集合M中有4个元素，有24−1=15个真子集．
故选：D．
由题意，a∈A，b∈B，可以把a，b的组合列出来，然后就算a+b的值，根据互异性可得集合M，集合中有n个元素，有(2n−1)个真子集可得答案．
本题考查了集合的运算及集合的子集个数，若一个集合中有n个元素，则它有2n个子集，有(2n−1)个真子集，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】解：当x>2时，x2>4成立，
故“x>2”⇒“x2>4”为真命题
故“x>2”是“x2>4”的充分条件；
当x2>4时，x<−2或x>2，即x>2不成立
故“x2>4”⇒“x>2”为假命题
故“x>2”是“x2>4”的不必要条件；
综上“x>2”是“x2>4”的充分不必要条件；
故选：A．
先后分析“x>2”⇒“x2>4”与“x2>4”⇒“x>2”的真假，进而根据充要条件的定义，得到答案．
本题考查的知识点是必要条件、充分条件与充要条件的判断，其中判断“x>2”⇒“x2>4”与“x2>4”⇒“x>2”的真假，是解答本题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：2则−3<−b<−2，
1则−1<2a−b<2．
故选：B．
结合不等式的性质，即可求解．
本题主要考查不等式的性质，属于基础题．
7.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了基本不等式、不等式的性质，属于中档题．
根据基本不等式和不等式性质对选项逐一判断即可．
【解答】解：对于A，当x<0时，x+4x<0，故A不正确；
对于B， x2+4+1 x2+4>2，最小值不为2，故B不正确；
对于C，a>b，c>d，那么a+c>b+d，或a−d>b−c，故C不正确；
对于D，∵ac2>bc2，∴c2>0，∴a>b，故D正确．
故选D．
8.【答案】D
【解析】解：因为 7+ 5< 11+3，
又Q= 7− 5=2 7+ 5，R= 11−3=23+ 11，
所以Q>R，
又P=13=26且 7+ 5<6<3+ 11，
所以2 7+ 5>26>23+ 11，即Q>P>R．
故选：D．
先对已知式子进行变形，进而可比较大小．
本题主要考查了不等式大小的比较，属于基础题．
9.【答案】BC
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，当a=−1，b=2时，满足ab≠0且a对于B，b+1a+1−ba=a(b+1)−b(a+1)a(a+1)=a−ba(a+1)，
因为a>b>0，所以a+1>0，a−b>0，
所以b+1a+1−ba>0，即b+1a+1>ba，故B正确；
对于C，若a+b=2，则b=2−a，则ab=a(2−a)=−a2+2a=−(a−1)2+1，
当a=1时，(ab)max=1，所以ab≤1，故C正确；
对于D，若c因为ac<0，所以a，c必为一正一负；
又a>c，所以a>0，c<0，
当b=0、c=1，a=1时，满足c故选：BC．
利用赋值法及不等式的性质逐项判断即可．
本题考查不等式的性质和应用，注意赋值法的应用，属于基础题．
10.【答案】ABD
【解析】解：因为不等式ax2+bx+c>0的解集是{x|1所以a<0且1，3为方程ax2+bx+c=0的两根，A正确；
故1+3=−ba1×3=ca，
所以b=−4a，c=3a，
所以a+b+c=a−4a+3a=0，B正确；
4a+2b+c=4a−8a+3a=−a>0，C错误；
由不等式cx2−bx+a=3ax2+4ax+a<0可得3x2+4x+1>0，
解得x<−1或x>−13，D正确．
故选：ABD．
由已知结合二次不等式与二次方程的转化关系检验各选项即可判断．
本题主要考查了二次不等式与二次方程转化关系的应用，属于基础题．
11.【答案】AB
【解析】解：又x2−3x−40<0可得−5因为(−1,2)⊆(−5,8)，{5}⫋(−5,8)，
故“x2−3x−40<0”的充分不必要条件可以是AB．
故选：AB．
先求出已知不等式的解集，然后结合充分必要条件与集合包含关系的转化即可求解．
本题主要考查了集合充分必要条件的判断，属于基础题．
12.【答案】1
【解析】解：由B⊆A，m2≠−1，
∴m2=2m−1.解得m=1．
验证可得符合集合元素的互异性，
此时B={3,1}，A={−1,3,1}，B⊆A满足题意．
故答案为：1
根据题意，若B⊆A，必有m2=2m−1，而m2=−1不合题意，舍去，解可得答案，注意最后进行集合元素互异性的验证．
本题考查元素的互异性即集合间的关系，注意解题时要验证互异性，属于基础题．
13.【答案】18
【解析】解：∵mn=81，且m>0，n>0，
∴m+n≥2 mn=18，
(当且仅当m=n=9时，等号成立)，
故答案为：18．
由基本不等式知m+n≥2 mn=18．
本题考查了基本不等式的应用，注意一正二定三相等这三个条件的判断即可．
14.【答案】[0,4)
【解析】解：a=0时，不等式ax2+ax+1>0化为1>0，对任意实数x不等式恒成立，满足条件；
a≠0时，根据一元二次不等式恒成立的条件，应满足a>0△<0，
即a>0a2−4a<0，
解得0∴实数a的取值范围是[0,4)．
故答案为：[0,4)．
讨论a=0时和a≠0时不等式恒成立的条件是什么，从而求出实数a的取值范围．
本题考查了利用判别式求不等式恒成立的问题，是基础题．
15.【答案】解：(1)因为A={x|2≤x<4}，B={x|3x−7≥8−2x}={x|x≥3}，
所以A∩B={x|3≤x<4}，A∪B={x|x≥2}．
(2)由(1)可得，
∁R(A∪B)={x|x<2}，
(∁RA)∩B={x|x<2或x≥4}∩{x|x≥3}={x|x≥4}．
【解析】解出集合B，按照集合的运算法则进行运算即可．
本题主要考查集合的运算，属于基础题．
16.【答案】解：(Ⅰ)−x2+4x+5<0，
即为x2−4x−5>0，
即(x+1)(x−5)>0，
解得x<−1或x>5，
故原不等式的解集为(−∞,−1)∪(5,+∞)；
(Ⅱ)由2x−13x+1>1，
即为2x−13x+1−1>0，
即为−x−23x+1>0，
即(x+2)(3x+1)<0，
解得−2故原不等式的解集为(−2,−13).
【解析】本题考查了一元二次不等式和分式不等式的解法，属于基础题．
(Ⅰ)先因式分解即可求出答案，
(Ⅱ)把原不等式化为(x+2)(3x+1)<0，解出即可．
17.【答案】解：(1)集合A={x|x−4x+3>0}，
整理得：A={x|x>4或x<−3}，
集合B={x|a−2≤x≤2a+1}．
当a=3时，B={x|1≤x≤7}．
所以(∁RA)∩B={xx|−3≤x≤7}．
(2)若x∈A是x∈B的必要不充分条件，所以B⊆A，
当B=⌀时，a−2>2a+1，解得a<−3．
当B≠⌀时，a−2≤2a+1a−2>4或a−2≤2a+12a+1<−3，
整理得a>6或−3≤a<−2．
综上所述：{a|a>6或a<−2}．
【解析】(1)首先求出集合A，再求出集合B，根据补集和并集的定义即可求出(∁RA)∩B；
(I)由x∈A是x∈B的必要不充分条件，可得B⊆A，分B=⌀和B≠⌀讨论即可得解．
本题主要考查集合的交、并，补集的混合运算，必要不充分条件，以及利用集合关系求参数范围，属于中档题．
18.【答案】解：(1)由题意知，−1和3是方程−x2+bx+c=0的两根，
所以−1+3=b，(−1)×3=−c，
解得b=2，c=3；
(2)由f(1)=−1+b+c=0，知b+c=1，
因为b>0，c>0，
所以1b+4c=(1b+4c)(b+c)=5+cb+4bc>5+2 4=9，
当且仅当cb=4bc，即c=2b=23时，等号成立，
所以1b+4c的最小值为9．
【解析】(1)由题意知，−1和3是方程−x2+bx+c=0的两根，再利用韦达定理求解即可；
(2)由f(1)=0，知b+c=1，再利用基本不等式求解．
本题主要考查了韦达定理的应用，考查了基本不等式的应用，属于基础题．
19.【答案】解：如图所示，设底面的长为x，宽为y，，
则xy=48，∴y=48x，
设房屋总造价为f(x)，
由题意可得：f(x)=3x⋅1200+3×48x×800×2+5800=3600x+144×1600x+5800≥2 3600x⋅144×1600x+5800=63400，
当且仅当3600x=144×1600x，即x=8时，等号成立，
故当房屋底面的长为8m，宽为6m时，这时的房屋总造价最低，最低总造价是63400元．
【解析】设底面的长为x，宽为y，则y=48x，设房屋总造价为f(x)，由题意可得：f(x)=3600x+144×1600x+5800，再利用基本不等式即可得x=8时，f(x)的值最小，故当房屋底面的长为8m，宽为6m时，这时的房屋总造价最低，最低总造价是63400元．
本题主要考查了函数的实际应用，以及利用基本不等式求函数的最值，是中档题．