2023-2024学年广东省四校（华附、省实、广雅、深中）高二下学期期末联考数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省四校（华附、省实、广雅、深中）高二下学期期末联考数学试题（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若i1+z=1(i为虚数单位)，则z−z=( )
A. −2B. −2iC. 2D. 2i
2.已知等比数列an中，a1=1，a2a4=9，则a7=
A. 3B. 3或−3C. 27D. 27或−27
3.已知圆O:x2+y2=2与抛物线C:x2=2pyp>0的准线相切，则p的值为
A. 2 2B. 2C. 4D. 2
4.如图所示，在正方形铁皮上剪下一个扇形和一个直径为2的圆，使之恰好围成一个圆锥，则圆锥的高为( )
A. 2 3B. 13C. 15D. 17
5.某校高二年级下学期期中考试数学试卷满分为150分，90分以上(含90分)为及格．阅卷结果显示，全年级800名学生的数学成绩近似服从正态分布，试卷的难度系数(=平均分/150)为0.49，标准差为22，则该次数学考试及格的人数约为( )附：若X∼Nμ,σ2，记pk=Pμ−kσ≤X≤μ+kσ，则p0.75≈0.547，p1≈0.683．
A. 127人B. 181人C. 254人D. 362人
6.已知双曲线x2−y23=1的左、右焦点分别为F1,F2，直线y=x与双曲线的右支交于点P，则PF1⋅PF2=
A. −1B. 0C. 1D. 2
7.现有一组数据0，1，2，3，4，5，若将这组数据随机删去两个数，则剩下数据的平均数小于3的概率为
A. 23B. 1115C. 45D. 1315
8.若函数gx=ex−12x2+b−1x存在单调递减区间，则实数b的取值范围是
A. 0,+∞B. 0,+∞C. −∞,0D. −∞,0
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若“xk”是“−20的长轴长为4 2，离心率为12，M2,0，N−2,0．
(1)求椭圆E的方程；
(2)过P4,0作一条斜率存在且不为0的直线l交E于A,B两点．
(i)证明：直线AM和直线BM的斜率均存在且互为相反数；
(ii)若直线AM与直线BN交于点Q，求Q的轨迹方程．
19.(本小题17分)
拟合(Fitting)和插值(Interplatin)都是利用已知的离散数据点来构造一个能够反映数据变化规律的近似函数，并以此预测或估计未知数据的方法．拟合方法在整体上寻求最好地逼近数据，适用于给定数据可能包含误差的情况，比如线性回归就是一种拟合方法；而插值方法要求近似函数经过所有的已知数据点，适用于需要高精度模型的场景，实际应用中常用多项式函数来逼近原函数，我们称之为多项式插值．
例如，为了得到cs12的近似值，我们对函数fx=csπ2x进行多项式插值．设一次函数L1x=ax+b满足L10=f0=1L11=f1=0，可得fx在0,1上的一次插值多项式L1x=−x+1，由此可计算出cs12的“近似值”cs12=f1π≈L11π=1−1π≈0.682，显然这个“近似值”与真实值的误差较大．
为了减小插值估计的误差，除了要求插值函数与原函数在给定节点处的函数值相等，还可要求在部分节点处的导数值也相等，甚至要求高阶导数也相等．满足这种要求的插值多项式称为埃尔米特(Hermite)插值多项式．
已知函数fx=csπ2x在0,1上的二次埃尔米特插值多项式Hx=ax2+bx+c满足H0=f0H1=f1H′0=f′0．
(1)求Hx，并证明当x∈0,1时，fx≤Hx；
(2)若当x∈0,1时，fx−Hx≤λx2，求实数λ的取值范围；
(3)利用Hx计算cs12的近似值，并证明其误差不超过140．
(参考数据：1π≈0.318，1π2≈0.101；结果精确到0.001)
答案解析
1.D
【解析】解：由已知可得，1+z=1i=−i，
所以z=−1−i，则z−=−1+i，
所以z−−z=−1+i−−1−i=2i．
故选D．
2.C
【解析】解：设等比数列an的公比为q，
根据题意得，a2a4=a1q·a1q3=9，因为a1=1，
所以q2=3，
则a7=a1q6=1×q23=33=27．
3.A
【解析】解：抛物线C:x2=2pyp>0的准线为y=−p2，
根据题意得，圆O:x2+y2=2与y=−p2相切，
易知切点为(0,− 2)，
所以−p2=− 2，即p=2 2．
故选：A．
4.C
【解析】解：∵剪下圆的直径为2，
∴圆锥底面圆的半径为1，周长为2π，
设剪下扇形所在圆的半径为R，
则扇形弧长为：2π=90π×R180，
∴R=4，即圆锥的母线长为4，
∴圆锥的高为 16−1= 15．
故选C．
5.B
【解析】解：由题得μ=0.49×150=73.5，σ=22，
∵pk=Pμ−kσ≤X≤μ+kσ，p0.75≈0.547，
∴P(57≤X≤90)=P(0.75)≈0.547，
P(X≥90)=12(1−0.547)=0.2265，
∴该校及格人数为0.2265×800≈181(人)．
故选B．
6.A
【解析】解：因为双曲线方程为x2−y23=1，
则a2=1，b2=3，
所以c= a2+b2=2，
所以F1−2,0,F22,0，
由x2−y23=1y=x，得x2=32，
因为P在双曲线的右支上，
所以P点坐标为 62, 62，
所以PF1=−2− 62,− 62,PF2=2− 62,− 62，
所以PF1⋅PF2=−2− 62·2− 62+− 62·− 62=−1．
故选A．
7.B
【解析】解：从6个数中随机删去两个数有：
(0,1)，(0,2)，(0,3)，(0,4)，(0,5)，
(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，
(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共15种方法，
要使剩下数据的平均数小于3，删去的两个数可以是：
(0,4)，(0,5)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，
(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共有11种，
所以剩下数据的平均数小于3的概率为P=1115．
故选B．
8.D
【解析】解：函数 gx=ex−12x2+b−1x的定义域为R，且其导数为 g′(x)=ex−x+b−1．
由g(x)存在单调递减区间知 g′x