2022-2023学年广东省华附、省实、广雅、深中四校联考高二（下）期末数学试卷

这是一份2022-2023学年广东省华附、省实、广雅、深中四校联考高二（下）期末数学试卷，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）已知i为虚数单位，z＝1+i，则z2﹣|z|2＝（ ）
A．0B．2﹣2iC．2i﹣2D．2i+2
2．（5分）已知集合M＝{x|0＜ln（x+1）＜3}，N＝{y|y＝sinx，x∈M}，则M∩N＝（ ）
A．[﹣1，1]B．（﹣1，1]C．（0，1]D．[0，1]
3．（5分）已知Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1＝3，且S8＝a8，则a19＝（ ）
A．﹣15B．﹣18C．﹣21D．﹣22
4．（5分）已知向量a→，b→满足a→⋅b→=-2，且b→=(1，3)，记c→为a→在b→方向上的投影向量，则|b→-c→|=（ ）
A．4B．3C．2D．1
5．（5分）小明将一颗质地均匀的骰子抛掷三次，观察向上一面的点数，已知三次点数都不相同，则三次点数之和不大于8的概率为（ ）
A．1920B．120C．45D．15
6．（5分）已知双曲线C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，过F1作C的一条渐近线的垂线，垂足为D，且|DF2|＝22|OD|，则C的离心率为（ ）
A．2B．2C．5D．3
7．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足：f（x﹣1）关于（1，0）中心对称，f（x+1）是偶函数，且f(-32)=1．则下列选项中说法正确的有（ ）
A．f（x）为偶函数B．f（x）周期为2
C．f(92)=1D．f（x﹣2）是奇函数
8．（5分）已知实数x，y满足ex＝ylnx+ylny，则满足条件的y的最小值为（ ）
A．1B．eC．2eD．e2
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
（多选）9．（5分）已知x＞y＞0，且x+y＞1，则（ ）
A．x2＞y2B．x2﹣x＜y2﹣yC．2x＞2yD．lnx+lny＞0
（多选）10．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点P（1，0）绕点O逆时针旋转α后到达点Q（x0，y0），若csα-3sinα=-2213，则x0可以取（ ）
A．126B．7326C．-15326D．-2326
（多选）11．（5分）已知点P是圆C：x2+y2＝8上的动点，直线x+y＝4与x轴和y轴分别交于A，B两点，若△PAB为直角三角形，则点P的坐标可以是（ ）
A．（﹣2，﹣2）B．（﹣2，2）C．(1+3，1-3)D．(1-3，1+3)
（多选）12．（5分）如图，已知圆柱母线长为4，底面圆半径为23，梯形ABCD内接于下底面圆，CD是直径，AB∥CD，AB＝6，过点A，B，C，D向上底面作垂线，垂足分别为A1，B1，C1，D1，点M，N分别是线段CC1，AA1上的动点，点Q为上底面圆内（含边界）任意一点，则（ ）
A．若平面DMN交线段BB1于点R，则NR∥DM
B．若平面DMN过点B1，则直线MN过定点
C．△ABQ的周长为定值
D．当点Q在上底面圆周上运动时，记直线QA，QB与下底面所成角分别为α，β，则1tan2α+1tan2β的取值范围是[32，92]
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）“x＜﹣1”是“x2﹣1＞0”的 条件．
14．（5分）已知某学校高二年级有男生500人、女生450人，调查该年级全部男、女学生是否喜欢徒步运动的等高堆积条形图如图，现从所有喜欢徒步的学生中按分层抽样的方法抽取24人，则抽取的女生人数为 ．
15．（5分）在三棱锥D﹣ABC中，已知平面BCD⊥平面ABC，∠CBD＝90°，∠BCA＝45°，AB=22，BD＝2，则三棱锥D﹣ABC的外接球的表面积为 ．
16．（5分）若数集S的子集满足：至少含有2个元素，且任意两个元素之差的绝对值大于1，则称该子集为数集S的超子集．已知集合An={1，2，3，⋯，n}(n∈N*，n≥3)，记An的超子集的个数为an，则a9＝ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，平面PAD⊥底面ABCD，且PA＝PD＝AB＝4，∠BAD＝60°，E为CD的中点，F为AD的中点．
（1）证明：BD⊥平面PEF；
（2）求三棱锥B﹣PCE的体积．
18．（12分）已知函数f(x)=2sinxcsx+3(sin2x-cs2x)．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝2，f(A)=3，求△ABC周长的最大值．
19．（12分）设数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=2an-1(n∈N*)．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）解关于n的不等式：a1Cn0+a2Cn1+a3Cn2+a4Cn3+⋯+an+1Cnn＜2023．
20．（12分）某篮球联赛分为初赛和复赛两个阶段，组委会根据初赛成绩进行第一阶段排名（假设排名不重复），前六名的球队直接进入复赛，第七、八名的球队进行第一场复活赛，胜者进入复赛；第九、十名的球队进行一场比赛，胜者与第一场复活赛的败者进行第二场复活赛，本场的胜者成为进入复赛的最后一支球队．假设各场比赛结果互不影响，且每场比赛必须分出胜负．
（1）若初赛后，甲、乙、丙、丁四队分别排在第七、八、九、十名，丁队与甲、乙、丙队比赛获胜的概率分别是0.4，0.5，0.6，甲队与乙队比赛获胜的概率是0.6，则丁队进入复赛的概率是多少？
（2）若甲，乙两队进入复赛，在复赛中，甲队与乙队需进行一场五局三胜制的比赛，只要其中一方获胜三局，比赛结束、假设各局比赛结果互不影响．若乙队每局比赛获胜的概率为13，设比赛结束时乙队获胜的局数为X，求X的概率分布列与均值．
21．（12分）设点F为抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点，过点F且斜率为5的直线与C交于A，B两点S△AOB=26（O为坐标原点）．
（1）求抛物线C的方程；
（2）过点E（0，2）作两条斜率分别为k1，k2的直线l1，l2，它们分别与抛物线C交于点P，Q和R，S．已知|EP|•|EQ|＝|ER|•|ES|，问：是否存在实数λ，使得k1+λk2为定值？若存在，求λ的值，若不存在，请说明理由．
22．（12分）已知函数f（x）＝sinπx﹣3（x﹣1）ln（x+1）﹣m．
（1）当m＝0时，求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）若f（x）在[0，1]上存在两个零点x1，x2，证明：|x1-x2|≤1-2mπ+3．
2022-2023学年广东省华附、省实、广雅、深中四校联考高二（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知i为虚数单位，z＝1+i，则z2﹣|z|2＝（ ）
A．0B．2﹣2iC．2i﹣2D．2i+2
【解答】解：z＝1+i，
则z2＝（1+i）2＝2i，|z|=12+12=2，
故z2﹣|z|2＝2i﹣2＝﹣2+2i．
故选：C．
2．（5分）已知集合M＝{x|0＜ln（x+1）＜3}，N＝{y|y＝sinx，x∈M}，则M∩N＝（ ）
A．[﹣1，1]B．（﹣1，1]C．（0，1]D．[0，1]
【解答】解：0＜ln（x+1）＜3，
则ln1＜ln（x+1）＜lne3，
故1＜x+1＜e3，解得0＜x＜e3﹣1，
所以N＝{y|y＝sinx，x∈M}＝（y|﹣1≤y≤1}，
故M∩N＝（0，1]．
故选：C．
3．（5分）已知Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1＝3，且S8＝a8，则a19＝（ ）
A．﹣15B．﹣18C．﹣21D．﹣22
【解答】解：等差数列{an}中，a1＝3，且S8＝a8，
所以8×3+28d＝3+7d，
所以d＝﹣1，
则a19＝a1+18d＝3﹣18＝﹣15．
故选：A．
4．（5分）已知向量a→，b→满足a→⋅b→=-2，且b→=(1，3)，记c→为a→在b→方向上的投影向量，则|b→-c→|=（ ）
A．4B．3C．2D．1
【解答】解：a→在b→方向上的投影向量为：
|a→|cs＜a→，b→＞⋅b→|b→|=|a→|⋅a→⋅b→|a→||b→|⋅b→|b→|
=a→⋅b→|b→|⋅b→|b→|=-22⋅12⋅(1，3)=（-12，-32），
即c→=（-12，-32），故b→-c→=（32，332），
则|b→-c→|=94+274=3．
故选：B．
5．（5分）小明将一颗质地均匀的骰子抛掷三次，观察向上一面的点数，已知三次点数都不相同，则三次点数之和不大于8的概率为（ ）
A．1920B．120C．45D．15
【解答】解：基本事件共C61C51C41=120种，
三次点数之和不大于8包括{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，3，4}共4A33=24种，
故P=24120=15．
故选：D．
6．（5分）已知双曲线C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，过F1作C的一条渐近线的垂线，垂足为D，且|DF2|＝22|OD|，则C的离心率为（ ）
A．2B．2C．5D．3
【解答】解：由双曲线的性质可知，双曲线的一条渐近线方程为y=-bax，焦点F1（﹣c，0），F2（c，0），
由F1作该渐近线的垂线，则根据点到直线的距离公式可得：|DF1|＝b，|OD|=c2-b2=a，
∴|DF2|＝22a，
由cs∠F1OD＝﹣cs∠DOF2可得：a2+c2-b22ac+a2+c2-8a22ac=0，
可得c2＝5a2，则离心率e=5．
故选：C．
7．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足：f（x﹣1）关于（1，0）中心对称，f（x+1）是偶函数，且f(-32)=1．则下列选项中说法正确的有（ ）
A．f（x）为偶函数B．f（x）周期为2
C．f(92)=1D．f（x﹣2）是奇函数
【解答】解：由f（x﹣1）关于（1，0）中心对称，可得f（x﹣1）+f（2﹣x﹣1）＝0，
即为f（x﹣1）+f（1﹣x）＝0，即有f（﹣x）＝﹣f（x），即f（x）为奇函数，故A错误；
由f（x+1）是偶函数，可得f（﹣x+1）＝f（x+1），
即为f（﹣x）＝f（x+2），
所以f（x+2）＝﹣f（x），
则f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），
所以f（x）的周期为4，故B错误；
由f（92）＝f（92-4）＝f（12）＝f（32）＝﹣f（-32）＝﹣1，故C错误；
由f（x﹣2）＝f（x+2）＝﹣f（﹣x﹣2），可得f（x﹣2）为奇函数，故D正确．
故选：D．
8．（5分）已知实数x，y满足ex＝ylnx+ylny，则满足条件的y的最小值为（ ）
A．1B．eC．2eD．e2
【解答】解：由实数x，y满足ex＝ylnx+ylny，可化为ex＝yln（xy）（x＞0，y＞0，xy＞1），即xex＝xyln（xy）＝ln（xy）•eln（xy），
构造函数g（x）＝xex，（x＞0），g′（x）＝（x+1）ex，
当x∈（0，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，
即g（x）＝g（ln（xy）），可以得到x＝ln（xy），
从而y=exx，构造函数h(x)=exx(x＞0)，
h'(x)=ex(x-1)x2，令h′（x）＝0可以得到x＝1，
当x∈（0，1）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，
当x∈（1，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，
从而当x＝1时，h（x）取最小值h（1）＝e，即y有最小值e．
故选：B．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
（多选）9．（5分）已知x＞y＞0，且x+y＞1，则（ ）
A．x2＞y2B．x2﹣x＜y2﹣yC．2x＞2yD．lnx+lny＞0
【解答】解：对于A，因为x＞y＞0，所以x2＞y2，即选项A正确；
对于B，不妨取x＝2，y＝1，则x2﹣x＝4﹣2＝2，y2﹣y＝1﹣1＝0，此时x2﹣x＞y2﹣y，即选项B错误；
对于C，因为函数y＝2x单调递增，所以2x＞2y，即选项C正确；
对于D，不妨取x＝2，y=12，则lnx+lny＝ln（xy）＝ln（2×12）＝ln1＝0，即选项D错误．
故选：AC．
（多选）10．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点P（1，0）绕点O逆时针旋转α后到达点Q（x0，y0），若csα-3sinα=-2213，则x0可以取（ ）
A．126B．7326C．-15326D．-2326
【解答】解：因为csα-3sinα=-2213，所以2cs（α+π3）=-2213，即cs（α+π3）=-1113，
当α+π3是第二象限角时，sin（α+π3）=1-(-1113)2=4313，
所以csα＝cs[（α+π3）-π3]＝cs（α+π3）csπ3+sin（α+π3）sinπ3=-1113×12+4313×32=126，
所以x0＝csα=126；
当α+π3是第三象限角时，sin（α+π3）=-1-(-1113)2=-4313，
所以csα＝cs[（α+π3）-π3]＝cs（α+π3）csπ3+sin（α+π3）sinπ3=-1113×12+（-4313）×32=-2326，
所以x0＝csα=-2326，
综上，x0的可能取值为126或-2326．
故选：AD．
（多选）11．（5分）已知点P是圆C：x2+y2＝8上的动点，直线x+y＝4与x轴和y轴分别交于A，B两点，若△PAB为直角三角形，则点P的坐标可以是（ ）
A．（﹣2，﹣2）B．（﹣2，2）C．(1+3，1-3)D．(1-3，1+3)
【解答】解：由题可得A（4，0），B（0，4），设P（x，y），
当∠PAB为直角时，AP→=(x-4，y)，AB→=(-4，4)，
∴AP→⋅AB→=0，
即（x﹣4）×（﹣4）+4y＝0，即x﹣y﹣4＝0，
又x2+y2＝8，∴x=2y=-2，∴此时P（2，﹣2）；
当∠ABP为直角时，BP→=(x，y-4)，AB→=(-4，4)，
∴BP→⋅AB→=0，
即（﹣4）x+4（y﹣4）＝0，即x﹣y+4＝0，
又x2+y2＝8，∴x=-2y=2，∴此时P（﹣2，2）；
当∠APB为直角时，AP→=(x-4，y)，BP→=(x，y-4)，
∵AP→⋅BP→=0，
即x（x﹣4）+y（y﹣4）＝0，即x2﹣4x+y2﹣4y＝0，
又x2+y2＝8，∴x=1-3y=1+3或x=1+3y=1-3，∴此时P（1-3，1+3）或（1+3，1-3）．
故选：BCD．
（多选）12．（5分）如图，已知圆柱母线长为4，底面圆半径为23，梯形ABCD内接于下底面圆，CD是直径，AB∥CD，AB＝6，过点A，B，C，D向上底面作垂线，垂足分别为A1，B1，C1，D1，点M，N分别是线段CC1，AA1上的动点，点Q为上底面圆内（含边界）任意一点，则（ ）
A．若平面DMN交线段BB1于点R，则NR∥DM
B．若平面DMN过点B1，则直线MN过定点
C．△ABQ的周长为定值
D．当点Q在上底面圆周上运动时，记直线QA，QB与下底面所成角分别为α，β，则1tan2α+1tan2β的取值范围是[32，92]
【解答】解：A：由题可得DC∥AB，AB⊂面ABB1A1，DC⊄面ABB1A1，故DC∥面ABB1A1；
又CC1∥BB1，BB1⊂面ABB1A1，CC1⊄面ABB1A1，故CC1∥面ABB1A1；
DC∩CC1＝C，DC，CC1⊂面DCC1D1，故面DCC1D1∥面ABB1A1；
又DM⊂面DCC1D1，故DM∥面ABB1A1；
又DM⊂面DMN，面DMN∩面ABB1A1＝NR，故可得DM∥NR，故A正确；
B：根据题意，DB1，MN共面，
又M、N分别为CC1，AA1上的动点，故直线MN⊂面ACC1A1；
不妨设直线DB1与平面ACC1A1的交点为P，
若要满足DB1与MN共面，则直线MN必过点P，又P为定点，故B正确；
C：设△ABQ的周长为l，
当点Q与B1重合时，l=AB+BB1+AB1=6+4+AB2+BB2=10+36+16=10+213；
当点Q与A1B1中点重合时，连接BQ，AQ：
此时l＝AB+BQ+AQ＝AB+2BQ＝6+2(12AB)2+16=6+29+16=6+10＝16；
显然△ABO周长不为定值，故C错误；
D：过O作底面垂线，垂足为E，且在下底面圆周上，即QE⊥面ABCD，
连接BE，AE，则∠QBE，∠QAE分别是直线QA，QB与下底面所成的角，
∴sinα=QEAQ，csα=AEAQ，sinβ=QEBQ，csβ=BEBQ，
则csαsinα=AEQE，csβsinβ=BEQE，
则cs2αsin2α+cs2βsin2β=AE2+BE2QE2，
∵QE＝4，AB＝6，底面圆半径为23，
若E在AB对应优弧上时，∠AEB=π3，则cs∠AEB=AE2+BE2-AB22AE⋅BE=12，
∴AE2+BE2﹣AE•BE＝36≥AE2+BE22，当且仅当AE＝BE＝6时，等号成立，此时AE2+BE2≤72，
若E在AB对应劣弧上时，∠AEB=2π3，则cs∠AEB=AE2+BE2-AB22AE⋅BE=-12，
∴AE2+BE2+AE•BE＝36≤3(AE2+BE2)2，当且仅当AE＝BE＝23时等号成立，
此时AE2+BE2≥24，
综上24≤AE2+BE2≤72，32≤AE2+BE2QE2≤92，
故cs2αsin2α+cs2βsin2β=AE2+BE2QE2∈[32，92]，故 D正确．
故选：ABD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）“x＜﹣1”是“x2﹣1＞0”的 充分不必要 条件．
【解答】解析：x2﹣1＞0⇒x＞1或x＜﹣1，故x＜﹣1⇒x2﹣1＞0，
但x2﹣1＞0不能得出x＜﹣1，
∴“x＜﹣1”是“x2﹣1＞0”的充分不必要条件．
故答案为：充分不必要
14．（5分）已知某学校高二年级有男生500人、女生450人，调查该年级全部男、女学生是否喜欢徒步运动的等高堆积条形图如图，现从所有喜欢徒步的学生中按分层抽样的方法抽取24人，则抽取的女生人数为 9 ．
【解答】解：由等高堆积条形图可得喜欢徒步的男生有500×0.6＝300人，喜欢徒步的女生有450×0.4＝180人．
故喜欢徒步的总人数为300+180＝480人．
按分层抽样的方法抽取24人，则抽取的女生人数为180480×24=9人．
故答案为：9．
15．（5分）在三棱锥D﹣ABC中，已知平面BCD⊥平面ABC，∠CBD＝90°，∠BCA＝45°，AB=22，BD＝2，则三棱锥D﹣ABC的外接球的表面积为 20π ．
【解答】解：如图所示：
三棱锥D﹣ABC中，已知平面BCD⊥平面ABC，∠CBD＝90°，
所以BD⊥BC，
故BD⊥平面ABC，
故AB⊥BD，
∠BCA＝45°，AB=22，BD＝2，
在△ABC中，有2R=ABsin∠BCA=22×22=4，
所以外接圆的半径为2，
由于平面BCD⊥平面ABC，且其交线为BC，
所以BD⊥BC，故BD⊥平面ABC，
所以三棱锥D﹣ABC的外接球的半径为r=(BD2)2+R2=5，
故外接球的表面积S=4⋅π⋅(5)2=20π．
故答案为：20π．
16．（5分）若数集S的子集满足：至少含有2个元素，且任意两个元素之差的绝对值大于1，则称该子集为数集S的超子集．已知集合An={1，2，3，⋯，n}(n∈N*，n≥3)，记An的超子集的个数为an，则a9＝ 79 ．
【解答】解：集合{1，2，3，…，k，k+1，k+2}（k∈N*）的超子集可以分为两类：
第一类中不含有k+2，这类子集有ak+1个，
第二类子集中含有k+2，这类子集为{1，2，3，．…，k}的超子集与{k+2}的并集，共有ak+k个，
∴ak+2＝ak+1+ak+k，
∵a3＝1，a4＝3，
∴a5＝7，a6＝14，a7＝26，a8＝46，a9＝79．
故答案为：79．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，平面PAD⊥底面ABCD，且PA＝PD＝AB＝4，∠BAD＝60°，E为CD的中点，F为AD的中点．
（1）证明：BD⊥平面PEF；
（2）求三棱锥B﹣PCE的体积．
【解答】（1）证明：连接AC，如图所示，
因为底面ABCD为菱形，所以AC⊥BD，
又因为E为CD的中点，F为AD的中点，所以EF∥AC，所以BD⊥EF，
因为PA＝PD，F为AD的中点．所以PF⊥AD，
又因为平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD＝AD，
所以PF⊥平面ABCD，
又因为BD⊂平面ABCD，所以PF⊥BD，
且EF∩PF＝F，EF⊂平面PEF，PF⊂平面PEF，
所以BD⊥平面PEF．
（2）解：AB＝BC＝4，CE=12CD＝2，∠BCE＝60°，
所以S△BCE=12BC•CE•sin60°=12×4×2×32=23，
又因为PA＝PD＝AD＝4，所以PF=32AD＝23，
所以三棱锥B﹣PCE的体积为：
V三棱锥B﹣PCE＝V三棱锥P﹣BCE=13S△BCE•PF=13×23×23=4．
18．（12分）已知函数f(x)=2sinxcsx+3(sin2x-cs2x)．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝2，f(A)=3，求△ABC周长的最大值．
【解答】解：（1）f(x)=sin2x-3cs2x=2sin(2x-π3)，
函数的最小正周期为T=2π2=π，
由2kπ-π2≤2x-π3≤2kπ+π2，得kπ-π12≤x≤kπ+5π12，
即函数f（x）的单调递增区间为[kπ-π12，kπ+5π12]，k∈Z；
（2）∵f(A)=2sin(2A-π3)=3，
∴sin(2A-π3)=32，
因为0＜A＜π2，
所以-π3＜2A-π3＜2π3，
所以2A-π3=π3，
∴A=π3，
又a＝2，由余弦定理可得b2+c2﹣a2＝2bccsA＝bc，
即（b+c）2﹣2bc﹣4＝bc，
则(b+c)2=3bc+4≤3(b+c)24+4，则(b+c)24≤4，
∴b+c≤4，
∴a+b+c≤6，
所以△ABC周长最大值为6．
19．（12分）设数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=2an-1(n∈N*)．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）解关于n的不等式：a1Cn0+a2Cn1+a3Cn2+a4Cn3+⋯+an+1Cnn＜2023．
【解答】解：（1）由Sn=2an-1(n∈N*)知当n≥2，有Sn﹣1＝2an﹣1﹣1，
二式相减得an＝2an﹣2an﹣1，即an＝2an﹣1，
又S1＝2a1﹣1＝a1，解得a1＝1，
所以数列{an}是以1为首项，2为公比的等比数列，
所以an＝2n﹣1；
（2）结合（1）知原式＝1×Cn0+2×Cn1+22×Cn2+23×Cn3+⋯+2n×Cnn=（1+2）n＝3n，
由于3n随着n的增大而增大，
且36＝729＜2023，37＝2187＞2023，
所以正整数n最大可取6，
即原不等式的解集为{n|n≤6，n∈N*}．
20．（12分）某篮球联赛分为初赛和复赛两个阶段，组委会根据初赛成绩进行第一阶段排名（假设排名不重复），前六名的球队直接进入复赛，第七、八名的球队进行第一场复活赛，胜者进入复赛；第九、十名的球队进行一场比赛，胜者与第一场复活赛的败者进行第二场复活赛，本场的胜者成为进入复赛的最后一支球队．假设各场比赛结果互不影响，且每场比赛必须分出胜负．
（1）若初赛后，甲、乙、丙、丁四队分别排在第七、八、九、十名，丁队与甲、乙、丙队比赛获胜的概率分别是0.4，0.5，0.6，甲队与乙队比赛获胜的概率是0.6，则丁队进入复赛的概率是多少？
（2）若甲，乙两队进入复赛，在复赛中，甲队与乙队需进行一场五局三胜制的比赛，只要其中一方获胜三局，比赛结束、假设各局比赛结果互不影响．若乙队每局比赛获胜的概率为13，设比赛结束时乙队获胜的局数为X，求X的概率分布列与均值．
【解答】解：（1）依题意，记丁队进入复赛的事件为A，丁队进入复赛需参加两场比赛，第一场战胜丙队，记为事件A1，
第二场战胜甲乙比赛中的败者，记为事件A2，甲队战胜乙队记为事件B，
则P（A1）＝0.6，P（B）＝0.6，P（B）＝0.4，P(A2|B)=0.5，P(A2|B)=0.4，
因此P(A2)=P(B)P(A2|B)+P(B)P(A2|B)=0.6×0.5+0.4×0.4＝0.46，
所以P（A）＝P（A1）P（A2）＝0.6×0.46＝0.276．
（2）依题意，X的可能值为0，1，2，3，
P(X=0)=C30×(1-13)3=827，P(X=1)=C31×(13)×(1-13)2=827，
P(X=2)=C42×(13)2×(1-13)=1681，P(X=3)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=2)=1781，
所以X的概率分布列为：
数学期望为E(X)=0×827+1×827+2×1681+3×1781=10781．
21．（12分）设点F为抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点，过点F且斜率为5的直线与C交于A，B两点S△AOB=26（O为坐标原点）．
（1）求抛物线C的方程；
（2）过点E（0，2）作两条斜率分别为k1，k2的直线l1，l2，它们分别与抛物线C交于点P，Q和R，S．已知|EP|•|EQ|＝|ER|•|ES|，问：是否存在实数λ，使得k1+λk2为定值？若存在，求λ的值，若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F（0，p2），
直线AB的方程y=5x+p2，
由y=5x+p2x2=2py，得x2﹣25py﹣p2＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
所以x1+x2＝25p，x1x2＝﹣p2，
所以|x1﹣x2|=(x1+x2)2-4x1x2=20p2+4p2=26p，
所以S△AOB=12|OF||x1﹣x2|=12×p2×26p＝26，p＞0，
所以p＝2，
所以抛物线C的方程为x2＝4y．
（2）存在λ＝1，使得k1+λk2为定值，
由题意可得直线l1的方程y＝k1x+2，直线l2的方程为y＝k2x+2，
联立y=k1x+2x2=4y，得x2﹣4k1x﹣8＝0，
设P（x3，y3），Q（x4，y4），
所以x3+x4＝4k1，x3x4＝﹣8，
|EP|=1+k12|x3|，|EQ|=1+k12|x4|，
所以|EP|•|EQ|＝8（1+k12），
设R（x5，y5），S（x6，y6），
同理可得x5+x6＝4k2，x5x6＝﹣8，
所以|ER|•|ES|＝8（1+k22），
由|EP|•|EQ|＝|ER|•|ES|，得8（1+k12）＝8（1+k22），
即k12=k22，而k1≠k2，
所以k1+k2＝0，
所以存在λ＝1，使得k1+λk2为定值0．
22．（12分）已知函数f（x）＝sinπx﹣3（x﹣1）ln（x+1）﹣m．
（1）当m＝0时，求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）若f（x）在[0，1]上存在两个零点x1，x2，证明：|x1-x2|≤1-2mπ+3．
【解答】解：（1）已知f（x）＝sinπx﹣3（x﹣1）ln（x+1）﹣m，函数定义域为（﹣1，+∞），
当m＝0时，f（x）＝sinπx﹣3（x﹣1）ln（x+1），
可得f'(x)=πcsπx-3⋅x-1x+1-3ln(x+1)，
此时f′（0）＝π+3，
又f（0）＝0，
所以f（x）在x＝0处的切线方程为y﹣0＝（π+3）（x﹣0），
即y＝（π+3）x；
（2）证明：不妨设g（x）＝sinπx﹣3（x﹣1）ln（x+1），函数定义域为（﹣1，+∞），
若f（x）在[0，1]上存在两个零点x1，x2，
此时g（x）＝m在[0，1]上存在两个零点x1，x2，
可得g'(x)=πcsπx-3⋅x-1x+1-3ln(x+1)=πcsπx-3+6x+1-3ln(x+1)，
不妨设h（x）＝g′（x），
可得h′（x）＝﹣π2sinπx-6(x+1)2-3x+1=-π2sinπx-3x+9(x+1)2，
易知对任意的x∈[0，1]，都有sinπx＞0，
所以对任意的x∈[0，1]，h′（x）＜0恒成立，
则g′（x）在[0，1]上单调递减，
又g′（0）＝π+3，g′（1）＝﹣π﹣3ln2＜0，
所以存在x0∈（0，1），使得g′（x0）＝0，
当0≤x＜x0时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；
当x0＜x≤1时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，
所以当x＝x0时，函数g（x）取到极大值，极大值g（x0）＝sinπx0﹣3（x0﹣1）ln（x0+1）＞0，
又g（0）＝g（1）＝0，
所以当且仅当0≤m＜sinπx0﹣3（x0﹣1）ln（x0+1）时，
g（x）＝m在[0，x0）和（x0，1]上各恰有一个零点，分别为x1，x2，
不妨设x1＜x2，
由（1）知，g（x）在x＝0处的切线方程为y＝（π+3）x，
不妨设k（x）＝g（x）﹣（π+3）x，
可得k′（x）＝g′（x）﹣（π+3）＝h（x）﹣（π+3），
不妨设m（x）＝k′（x），
可得m′（x）＝h′（x）＜0，
所以m（x）在[0，1]上单调递减，
即k（x）在[0，1]上单调递减，
又k′（0）＝g′（0）﹣（π+3）＝0，
所以对任意x∈[0，1]，都有k′（x）≤0，
则k（x）在[0，1]上单调递减，
又k（0）＝g（0）＝0，
所以对任意的x∈[0，1]，都有k（x）≤0，
则当x∈[0，1]时，g（x）≤（π+3）x；
同理得，g（x）在x＝1处的切线方程为y＝（π+3ln2）（1﹣x），
不妨设n（x）＝g（x）﹣（π+3ln2）（1﹣x），
可得n′（x）＝g′（x）+（π+3ln2）＝h（x）+（π+3ln2），
不妨设p（x）＝n′（x），
可得p′（x）＝h′（x）＜0，
所以n′（x）在[0，1]单调递减，
又n′（1）＝g′（1）+（π+3ln2）＝0，
所以对任意x∈[0，1]，都有n′（x）≥0，
则n（x）在[0，1]上单调递增，
又n（1）＝g（1）＝0，
所以对任意x∈[0，1]，都有n（x）≤0，
则当x∈[0，1]时，g（x）≤（π+3ln2）（1﹣x），
不妨设（π+3）x＝m和（π+3ln2）（1﹣x）＝m的零点分别为x3=mπ+3，x4=1-mπ+3ln2，
因为（π+3）x3＝m＝g（x1）≤（π+3）x1，
所以x3≤x1，
因为（π+3ln2）（1﹣x4）＝m＝g（x2）≤（π+3ln2）（1﹣x2），
所以x4≥x2，
则x3≤x1＜x2≤x4，
故|x1﹣x2|≤x4﹣x3＝1-mπ+3ln2-mπ+3≤1-2mπ+3．X
0
1
2
3
P
827
827
1681
2781