2024年华东师大版七年级数学暑期提升精讲 第08讲 绝对值贯穿有理数的十大经典题型(知识点+练习)

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【题型一】结合数轴，利用绝对值的性质化简求值
1．（23-24七年级上·广东清远·期中）p在数轴上的位置如图所示，则（ ）
A．B．C．D．1
2．（23-24七年级上·山东德州·阶段练习）有理数在数轴上的位置如图所示，则化简得到的结果是（ ）
A．0B．C．D．
3．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）已知有理数，，对应的点在数轴上的位置如图所示，且，化简：的结果为 ．
4．（22-23七年级上·江西宜春·期中）如下图，数轴上的三点A，B，C分别表示有理数a，b，c．（O为原点）
(1) 0， 0， 0（用“＜”或“＞”或“＝”号填空）；
(2)化简：．
【题型二】根据字母的取值范围化简绝对值
5．（2020·浙江杭州·模拟预测）如果，那么等于（ ）
A．B．C．D．
6．（23-24七年级上·安徽宣城·期末）如果，那么化简等于 ．
7．（23-24七年级上·安徽宿州·期末）如果a是不等于零的有理数，那么化简的结果是（ ）
A．0或1B．0或C．0D．1
8．（16-17七年级上·湖北十堰·期末）如果0＜m＜10，并且m≤x≤10，那么，代数式化简后所得到的最后结果是（ ）
A．-10B．10C．D．
9．（21-22七年级上·江西上饶·期末）对于式子在下列范围内讨论它的结果．
(1)当时；
(2)当时；
(3)当时．
【题型三】通过分类讨论化简绝对值
10．（22-23七年级上·陕西西安·阶段练习）化简：.
11．（22-23七年级上·江苏南京·阶段练习）如果有理数a，b，c满足，|b+c|=2，|a+c|=3，那么|a+2b+3c|等于（ ）
A．6B．7C．8D．9
12．（2022七年级上·全国·专题练习）学习了绝对值我们知道，，用这一结论可化简含有绝对值的代数式．如化简代数式时，可令和，分别求得和，我们就称和分别为|和|的零点值在有理数范围内，零点值，可将全体有理数分成不重复、不遗漏的五个部分，可在演草本上画出数轴，找到对应的部分然后进行分类讨论如下：
①当时，原式；
②当时，原式；
③当时，原式；
④当时，原式；
⑤当时，原式．
综上所述，原式，以上这种分类讨论化简方法就叫零点分段法，其步骤是：求零点、分段、区段内化简、综合，根据以上材料解决下列问题：
(1)化简代数式；
(2)的最大值是 ．（请直接写出结果）
【题型四】利用绝对值的非负性求值
13．（2024·云南德宏·一模）若 ，则的值为（ ）
A．6B．5C．1D．
14．（21-22七年级上·广西崇左·期中）若，则的值是( )
A．B．1C．2021D．
15．（22-23六年级下·上海浦东新·期中），则的值是（ ）
A．B．C．D．1
16．（23-24七年级上·广东广州·期中）已知：，则的值为 ．
17．（22-23七年级下·江苏盐城·期中）已知有理数、、满足，则 ．
【题型五】与绝对值相关的有理数计算问题
18．（21-22七年级上·安徽合肥·期末）若，，且的绝对值与它的相反数相等，则的值是（ ）
A．B．C．或D．2或6
19．（23-24七年级上·上海浦东新·阶段练习）若，，且，则值为（ ）
A．B．C．7或D．或
20．（21-22七年级上·安徽宣城·期末）已知，，，则值为（ ）
A．11B．-1C．-1或11D．1或-11
21．（23-24七年级上·河南驻马店·阶段练习）已知，，且，则所有值的和是（ ）
A．B．C．D．8
22．（23-24七年级上·江苏南京·阶段练习）若，且，则值为 ．
【题型六】利用绝对值的定义判断正误
23．（23-24七年级上·山东德州·阶段练习）已知数，，的大小关系如图，下列说法：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
24．（22-23七年级上·福建漳州·期中）在数轴上和有理数对应的点的位置如图所示，有下列四个结论：
①；②，③；④．其中正确结论的个数为（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
25．（20-21七年级上·四川甘孜·期末）已知有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示．
给出下列结论：①；②；③；④；⑤．其中，正确的是 ．（填序号）
26．（21-22七年级·全国·假期作业）已知a、b为有理数，下列说法：
①若a、b互为相反数，则；
②若a+b＜0，ab＞0，则|3a+4b|＝﹣3a﹣4b；
③若|a﹣b|+a﹣b＝0，则b＞a；
④若|a|＞|b|，则（a+b）•（a﹣b）是负数．
其中错误的是 （填写序号）．
27．（23-24七年级上·湖北武汉·期中）下列结论：
①若，则；
②若，则；
③若，则；
④若，则；
⑤已知a、b、c均为非零有理数，若，，，则的值为2或．
其中，错误的结论是 （填写序号）．
【题型七】利用绝对值的意义求字母的取值范围
28．（20-21七年级下·四川遂宁·期末）已知|5x﹣2|＝2﹣5x，则x的范围是（ ）
A．B．C．D．
29．（22-23七年级上·重庆渝中·阶段练习）当a取什么范围时，关于x的方程|x﹣4|+2|x﹣2|+|x﹣1|+|x|＝a总有解？（ ）
A．a≥4.5B．a≥5C．a≥5.5D．a≥6
30．（22-23七年级上·山东济南·期中）若|x﹣2+3﹣2x|=|x﹣2|+|3﹣2x|成立，则x的范围是 ．
31．（22-23七年级上·江苏南京·阶段练习）如果对于某一特定范围内的任意允许值，P = |1 - 4x| + |1 - 5 x |+|1-6 x| + |1 - 7 x| + |1 - 8 x |的值恒为一常数，则此值为 .
【题型八】利用绝对值的意义求可能出现的结果
32．（23-24七年级上·湖南衡阳·阶段练习）若三个非零有理数满足，则的值为（ ）
A．3B．C．0D．或3
33．（23-24七年级上·江苏徐州·阶段练习）已知、为有理数，，且，当、取不同的值时，的值等于（ ）
A．B．或C．或D．或
34．（23-24七年级上·广西南宁·期中）若m、n为有理数，且，则的值是（ ）
A．B．2C．2或0D．2或
35．（23-24七年级上·四川内江·期中）已知为非等有理数，且，则的值为 ．
36．（23-24七年级上·山东聊城·阶段练习）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的“探究”．
【提出问题】三个有理数、、满足，求的值．
【解决问题】解：由题意得：，，三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数．
①当，，都是正数，即，，时，
则；
②当，，有个一为正数，另外两个为负数时，设，，，
则，
所以的值为或．
【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题：
(1)已知三个有理数，，满足，求；
(2)已知，，且，求的值．
【题型九】与绝对值有关的最值问题
37．（2024七年级·全国·竞赛）已知有理数满足，则式子的最大值是 ，最小值是 ．
38．（23-24七年级上·重庆九龙坡·阶段练习）我们知道的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离，即，也就是说表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离．例：表示在数轴上数x与数3对应点之间的距离为2．这个结论可以推广为：表示在数轴上数x、y对应点之间的距离．在解题中，我们常常运用绝对值的几何意义．
根据上面的阅读材料，结合数轴解答下列问题：
（1）代数式：的最小值为 ．
（2）已知，则的最小值为 ．
39．（23-24七年级上·山西太原·阶段练习）综合与探究：已知点，在数轴上分别表示有理数，，，两点之间的距离表示为，则，利用数形结合思想回答下列问题：
(1)数轴上表示和的两点之间的距离为 ，数轴上表示和的两点之间的距离为 ；
(2)数轴上表示和的两点之间的距离为 ，数轴上表示和的两点之间的距离为 ；
(3)若表示一个有理数，且位于到之间，求的值；
(4)的最小值是
40．（23-24七年级上·四川眉山·期中）如图已知数轴上点A、B分别表示a、b，且与互为相反数，O为原点．
(1)______，______；
(2)将数轴沿某个点折叠，使得点A与表示的点重合，则此时与点B重合的点所表示的数为______；
(3)m、n两数在数轴上所对的两点之间的距离可以表示为，如5与两数在数轴上所对的两点之间的距离可以表示为，从而很容易就得出在数轴上表示5与两点之间的距离是7．
①若x表示一个有理数，则的最小值______．
②若x表示一个有理数，且，则满足条件的所有整数x的和是______．
③当______时，取最小值．
④当x取何值时，取最小值？最小值为多少？直接写出结果．
【题型十】与绝对值有关的新定义问题
41．（2023七年级上·浙江·专题练习）根据绝对值定义，若有，则或，若，则，我们可以根据这样的结论，解一些简单的绝对值方程，例如：
解：方程可化为：或，
当时，则有：，所以，
当时，则有：；所以，
故，方程的解为或．
(1)解方程：；
(2)已知，求的值．
42．（23-24七年级上·北京房山·期中）通过学习我们知道，的几何意义是：数轴上表示数的点到原点的距离．由于可以看作，那么的几何意义为数轴上表示数与0的两点间的距离．这个结论还可以推广为：的几何意义为数轴上表示数与的两点间的距离．
例如，的几何意义为数轴上表示数与5的两点间的距离，若，则的值为4或6．
给出定义：数轴上表示数的点与表示数，的点之间的距离之和称为与，的“关联距离”．例如，为与1，的“关联距离”；
为与1，2，的“关联距离”．

(1)若，则的值为________；
(2)若与1，的“关联距离”为2，写出一个满足条件的的值________；
(3)请化简“关联距离”，并直接写出该“关联距离”的最小值________．
43．（22-23七年级上·广东江门·期中）对于有理数，定义一种新运算“”，规定．
(1)计算的值；
(2)当，在数轴上的位置如图所示时，化简；
(3)当，在数轴上的位置如图所示时，已知，求的值．
44．（23-24七年级上·河北保定·期中）对于有理数，，，，若，则称和关于的“美好关联数”为，例如，则，则2和3关于1的“美好关联数”为3．
(1)1和2关于0的“美好关联数”为__________；和5关于2的“美好关联数”为__________；
(2)若和2关于3的“美好关联数”为4，求的值；
(3)若和关于1的“美好关联数”为1，和关于2的“美好关联数”为1，和关于3的“美好关联数”为1，…，和关于21的“美好关联数”为1，…则的最小值为__________．