2024年华东师大版七年级数学暑期提升精讲 第03讲 绝对值与有理数的比较大小(知识点+练习)

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1.绝对值
二.有理数的比较大小
方法见思维导图
【考点一 绝对值的意义】
例1．（2023·江苏徐州·中考真题）如图，数轴上点分别对应实数，下列各式的值最小的是（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据数轴可直接进行求解．
【详解】解：由数轴可知点C离原点最近，所以在、、、中最小的是；
故选C．
【点睛】本题主要考查数轴上实数的表示、有理数的大小比较及绝对值，熟练掌握数轴上有理数的表示、有理数的大小比较及绝对值是解题的关键．
变式1-1．（2021·四川南充·中考真题）数轴上表示数和的点到原点的距离相等，则为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由数轴上表示数和的点到原点的距离相等且，可得和互为相反数，由此即可求得m的值．
【详解】∵数轴上表示数和的点到原点的距离相等，，
∴和互为相反数，
∴+=0，
解得m=-1．
故选D．
【点睛】本题考查了数轴上的点到原点的距离，根据题意确定出和互为相反数是解决问题的关键．
变式1-2．（2024九年级·全国·专题练习）如图，在数轴上，点A表示，点B与点A位于原点的两侧，且与原点的距离相等．则点B表示的数是 ．
【答案】
【分析】由绝对值的定义，再根据原点左边的数是负数即可得出答案．
【详解】解：由题意得：点B表示的数是．
故答案为：．
【点睛】此题考查了数轴，绝对值的意义，掌握绝对值的意义是解本题的关键．
变式1-3．（2021·江苏常州·中考真题）数轴上的点A、B分别表示、2，则点 离原点的距离较近（填“A”或“B”）．
【答案】B
【分析】先求出A、B点所对应数的绝对值，进而即可得到答案．
【详解】解：∵数轴上的点A、B分别表示、2，
∴，且3＞2，
∴点B离原点的距离较近，
故答案是：B．
【点睛】本题主要考查数轴上点与原点之间的距离，掌握绝对值的意义，是解题的关键．
【考点二 求一个数的绝对值】
例2．（22-23七年级上·福建宁德·期末）2023的绝对值为（ ）
A．2023B．C．D．
【答案】A
【分析】根据正数的绝对值是它本身进行解答即可．
【详解】解：，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了绝对值的意义，解题的关键是熟练掌握绝对值的意义，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．
变式2-1．（2023·山东淄博·中考真题）的运算结果等于（ ）
A．3B．C．D．
【答案】B
【分析】根据绝对值的性质：负数的绝对值等于它的相反数直接求解即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
，
故选：B；
【点睛】本题考查去绝对值符号，解题的关键是熟练掌握负数的绝对值等于它的相反数．
变式2-2．（2021·湖南永州·中考真题）的相反数为（ ）
A．B．2021C．D．
【答案】B
【分析】根据绝对值、相反数的概念求解即可．
【详解】解：由题意可知：，
故的相反数为，
故选：B．
【点睛】本题考查相反数、绝对值的概念，属于基础题，熟练掌握概念是解决本题的关键．
变式2-3．（22-23七年级上·广东汕头·期中）下列各对数中，互为相反数的是（ ）
A．2与B．和
C．与 D．与
【答案】C
【分析】先分别计算每组中的两个数，再根据相反数的定义判断即可.
【详解】A. 2与不是相反数，故不符合题意；
B. =，故不符合题意；
C. ，，2与-2互为相反数，故符合题意；
D. ，， = ，故不符合题意.
故选：C
【点睛】本题主要考查了绝对值的性质，相反数的定义.熟练掌握以上知识是解题的关键.
变式2-4．（2022·江苏泰州·中考真题）若，则的值为 .
【答案】
【分析】将代入，由绝对值的意义即可求解．
【详解】解：由题意可知：当时，，
故答案为：．
【点睛】本题考查了绝对值的计算，属于基础题．
变式2-5．（22-23七年级上·江苏徐州·期中）一个数的绝对值等于8，这个数的等于 ．
【答案】
【分析】根据绝对值的性质进行解答．
【详解】解：，，
，
一个数的绝对值等于8，这个数的等于，
故答案为：．
【点睛】本题考查了绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键．
【考点三 绝对值非负性的应用】
例3．（22-23六年级下·上海浦东新·期中），则的值是（ ）
A．B．C．D．1
【答案】A
【分析】先根据绝对值非负性的性质求得的值，然后代入代数式计算即可．
【详解】解：∵，
∴
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了绝对值非负性的性质、代数式求值等知识点，熟练掌握绝对值非负性的性质是解题的关键．
变式3-1．（21-22七年级上·湖南长沙·阶段练习）若与互为相反数，则a+b的值为（ ）
A．3B．﹣3C．0D．3或﹣3
【答案】A
【分析】先根据相反数的定义可得，再根据绝对值的非负性可得，，从而可得，然后代入计算即可得．
【详解】解：与互为相反数，
，
又，
，，
解得，
则，
故选：A．
【点睛】本题考查了相反数、绝对值的非负性、一元一次方程的应用，利用非负数互为相反数得出这两个数均为零0是解题关键．
变式3-2．（2023九年级·全国·专题练习）如果，那么a，b的值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据非负数的性质列方程求出a、b的值即可．
【详解】解：∵，
∴，
解得，，
故选：C．
【点睛】本题考查了非负数的性质．解题的关键是掌握非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
变式3-3．（2021七年级·全国·专题练习）若，则a的取值范围是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据绝对值的代数意义或绝对值的非负性解题．
【详解】解：【方法1】
正数的绝对值是本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，由此可知，当时，，即．选B．
【方法2】
任何数的绝对值都是非负数，即．
∵，
∴，即．
故选B．
【点睛】绝对值的非负性是指在中，无论a是正数、负数或者0，都是非负数（正数或0）．这样的非负数我们在后面的学习中会陆续接触到．绝对值的非负性主要应用在解决“若几个非负数的和为零，则这几个非负数都是0”等问题上．
变式3-4．（22-23七年级上·云南楚雄·阶段练习）对于任意有理数，下列式子中取值不可能为0的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据绝对值的非负性即可得出答案．
【详解】解：A．当时，，则，故A选项不符合题意；
B．当时，，故B选项不符合题意；
C．，则，不可能为0，故C选项符合题意；
D．当时，，故D选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了绝对值的非负性，解题的关键是掌握任何数的绝对值都是非负数，两个非负数的和一定为非负数．
【考点四 化简绝对值】
例4．（2021·贵州贵阳·中考真题）如图，已知数轴上两点表示的数分别是，则计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据数轴上两点的位置，判断的正负性，进而即可求解．
【详解】解：∵数轴上两点表示的数分别是，
∴a＜0，b＞0，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了数轴，绝对值，掌握求绝对值的法则是解题的关键．
变式4-1．（21-22七年级上·重庆万州·期末）对于有理数x，y，若，则的值是（ ）．
A．B．C．1D．3
【答案】B
【分析】由，可得异号，再分两种情况讨论，当时， 当时，再化简绝对值即可得到答案.
【详解】解： ，
异号，


当时，
当时，
故选B
【点睛】本题考查的是绝对值的化简，有理数的乘法与除法的符号确定，除法运算，掌握“绝对值的化简”是解本题的关键.
变式4-2．（20-21七年级上·浙江金华·阶段练习）已知a，b，c为非零有理数，则的值不可能为（ ）
A．0B．-3C．-1D．3
【答案】A
【分析】要对a,b,c所有可能出现的不同情况进行分类讨论，找出符合要求的取值，代入求值．
【详解】解：对a,b,c的取值情况分类讨论如下：
①当a,b,c都是正数时，，所以和为3；
②当a,b,c都是负数时，=-1，所以和为-3；
③当a,b,c中有两个正数，一个负数时，中有两个1，一个-1，所以=1，
④当a,b,c中有一个正数、两个负数时，中有两个-1，一个+1，所以=-1，
总之，=±1或±3．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了绝对值，分类讨论时要全面，要做到不重复不遗漏．规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
变式4-3．（21-22七年级上·湖南长沙·期末）有理数a、b、c在数轴上位置如图，则的值为（ ）．
A．B．C．0D．
【答案】A
【分析】根据数轴，确定每个数的属性，每个代数式的属性，后化简即可．
【详解】根据数轴上点的位置得：，且，
则，，，
则．
故选A．
【点睛】本题考查了数轴和有理数的大小比较与绝对值的化简，掌握获取数轴信息，熟练化简是解题的关键．
变式4-4．（22-23七年级下·天津南开·开学考试）若，那么 ．
【答案】7
【分析】首先根据a的取值范围确定和的符号，然后去绝对值计算即可．
【详解】解：，
，，
，
故答案为：7．
【点睛】本题考查了绝对值的知识，解题关键是确定绝对值里面的代数式的符号．
变式4-5．（22-23七年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图所示，已知数a，b，c在数轴上对应点的位置∶化简得 ．

【答案】
【分析】根据数轴判断a，b，c大小，运用绝对值的性质解答即可；
【详解】根据图上的数轴可知：，
，
故答案为：
【点睛】该题主要考查了绝对值的化简，解题的关键是掌握绝对值的性质
变式4-6．（21-22七年级上·吉林长春·阶段练习）数a，b，c在数轴上的位置如图所示：化简：．
【答案】
【分析】根据数轴标注的大小关系可以确定，去掉绝对值要变号，去掉绝对值不变号，去掉绝对值后合并同类项即可．
【详解】解：原式=
=
=
【点睛】本题考查了去绝对值化简，理解绝对值的含义并熟练掌握去绝对值的方法是解题的关键．
变式4-7．（23-24七年级上·全国·课后作业）在数轴上，，，对应的数如图所示，．

(1)确定符号：______0，_____0，______0，______0，_____0；
(2)化简：；
(3)化简：．
【答案】(1)< ，， =，