2024年北师大版七年级数学暑期提升精讲 第16讲 探索与表达规律（知识点+练习）

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知识点1：规律类：数字变化型
一、等差规律：前后两项差几写成几×n，令 n=1，在通过加减来凑第一个数。
例如：上面的第（3）列数，相差 3，则先得到 3n，而第 1 项是 4，当 n=1 时，
3n=3，3+1=4，所有第n项表示为 3n+1.
拓展延申：
知识点2：规律型：图形变化类
1.基本思想：图形规律 数字规律
2.基本方法：
（1）从具体的实际问题出发,观察各个数量的特点及相互之间的变化规律.
（2）由此及彼,合理联想,大胆猜想
（3）善于类比,从不同事物中发现相似或相同点；
（4）总结规律,得出结论,并验证结论正确与否;
考点一：数字类规律探索之排列问题
例1．（2023·浙江衢州·校考一模）观察下列数据：，，，，，…，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第个数据是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】观察不难发现，各数据都等于完全平方数减，然后列式计算即可得解．
【详解】∵，
，
，
，
，
…，
∴第个数据是：，
故选：．
【点睛】此题考查了数字变化规律，观察出各数据都等于完全平方数减是解题的关键．
【变式1-1】（2023秋·全国·七年级专题练习）观察下列各单项式：，…，根据你发现的规律，第10个单项式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据已知单项式发现规律：各系数依次为，字母a的次数为序数，由此得到答案．
【详解】解：∵第n个单项式为 ，
∴第10项为．
故选：A．
【点睛】此题考查了数字类的规律题，根据已知单项式发现变化规律并解决问题是解题的关键．
【变式1-2】一组数据，，，，…请按这种规律写出第十个数是 ．
【答案】
【分析】由所给的单项式可得第个单项式为，当时即可求解．
【详解】∵，，，，…，
∴第个式子的指数是，系数是，
则第个单项式为，
当时，，
故答案为：．
【点睛】此题考查了数字的变化规律，通过所给的单项式，探索出系数与次数的关系是解题的关键．
【变式1-3】从3开始的连续奇数按右图的规律排列，其余位置数字均为．

（1）第行第列的数字是 ．
（2）数字在图中的第 行，第 列．
【答案】
【分析】（1）根据第行的第1至第列是非零数字，可得第行第列的数字是；
（2）观察数据发现第行第1个数字为，进而根据，即可求解．
【详解】解：（1）观察数据发现根据第（为奇数）行第1至第列有非零数字，可得第行第列的数字是；
故答案为：0．
（2）第1行第1个数字为
第3行第1个数字为
第5行第1个数字为
……
∴第行的第1个数字为
∵
∴第行第1个数字为
，
∴数字在图中的第行，第列
故答案为：，．
【点睛】本题考查了数字类规律，有理数的乘方运算，找到规律是解题的关键
考点二：数字类规律探索之末尾数字问题
例2.观察下列算式：，，，，，，，…归纳各计算结果中个位数字的规律，可得的个位数字是（ ）
A．1B．3C．9D．7
【答案】D
【分析】先由前面8个具体的计算归纳得到个位数每四次循环，再利用规律解题即可．
【详解】解：，，，，，，，…，
归纳可得：个位数每四次循环，
∵，
∴与的个位数相同，是7；
故选D
【点睛】本题考查的是数字变化规律的探究，乘方的含义，掌握探究的方法并灵活应用规律解决问题是解题关键．
【变式2-1】（2023春·黑龙江绥化·七年级校考期末）观察下列算式：，，，，，，根据上述算式中的规律，你认为的末位数字是 ．
【答案】7
【分析】根据，，，，，，得出末位数字以3、9、7、1，四个数字为一循环，由得出的末尾数字与的末位数字相同是7，从而得到答案．
【详解】解：，末位数字为3，
，末位数字为9，
，末位数字为7，
，末位数字为1，
，末位数字为3，
，
3的1，2，3，4，5，6，7，，次幂的末位数字以3、9、7、1，四个数字为一循环，
，
的末尾数字与的末位数字相同是7，
故答案为：7．
【点睛】本题主要考查了尾数特征及数字规律类探索，通过观察得出3的乘方的末位数字以3、9、7、1，四个数字为一循环，是解题的关键．
【变式2-2】（2023春·江苏南京·七年级校考阶段练习）观察下列算式：①；②；③寻找规律，并判断的值的末位数字为（ ）
A．1B．3C．5D．7
【答案】C
【分析】根据题意找出规律，当时代入规律求解，再找出2的次方末尾数字规律即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
，
当时，
，
∴，
∵，，，，，
∴尾数是4个一循环，
∵，
∴尾数为：，
故选C；
【点睛】本题考查规律，解题的关键是根据题意得到式子的规律，再根据幂的运算得到尾数的规律．
【变式2-3】（2023春·江苏泰州·七年级统考期中）发现规律解决问题是常见解题策略之一．已知数，则这个数的个位数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【分析】依次求出的个位数字，而底数是两位数的时候，它们的5次方的结果的个位数与前面一位数的时候相同，最后把这些个位数字相加即可解答．
【详解】解：∵的个位数是1，的个位数是2，的个位数是3，的个位数是4，的个位数是5，的个位数是6，的个位数是7，个位数是8，个位数是9，的个位数是0，
由此可发现：的个位数与n的个位数相同．
所以a的个位数应是：的结果的个位数，且该结果的个位数是5．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了数字规律，发现的个位数与n的个位数相同是解答本题的关键．
【变式2-4】（2023春·江苏连云港·七年级统考期末）生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型来表示，即：，，，，，……，请你推算的个位数字是（ ）
A．8B．6C．4D．2
【答案】C
【分析】利用已知得出数字个位数的变化规律，丙求出每一个循环4个数相加后的个位数字为0，进而得出答案．
【详解】解：∵，，，，，……，
∴尾数每4个一循环，
∵，
又∵，
∴每一组的4个数相加以后个位数字为0，
∴505组相加后个位数字为0，
∵，
∴的个位数字为4，故C正确．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了尾数特征，根据题意得出数字变化规律是解题关键．
考点三：数字类规律探索之新运算问题
例3. 定义一种关于整数n的“F”运算：（1）当n是奇数时，结果为；（2）当n是偶数时，结果是（其中k是使是奇数的正整数），并且运算重复进行．例如：取，第一次经F运算是29，第二次经F运算是92，第三次经F运算是23，第四次经F运算是74，……；若，则第2020次运算结果是（ ）
A．1B．2C．7D．8
【答案】A
【分析】由题意所给的定义新运算可得当时，第一次经F运算是32，第二次经F运算是1，第三次经F运算是8，第四次经F运算是1，，由此规律可进行求解．
【详解】解：由题意时，第一次经F运算是，第二次经F运算是，第三次经F运算是，第四次经F运算是，；
从第二次开始出现1、8循环，奇数次是8，偶数次是1，
∴第2020次运算结果1，
故选：A．
【点睛】本题主要考查有理数混合运算的应用，关键是从题中所给新运算得出数字的一般规律，然后可进行求解．
【变式3-1】（2023秋·全国·七年级专题练习）一列数，，…，其中，，，…，，则（ ）
A．B．1C．2020D．
【答案】B
【分析】根据题意和题目中的数据，可以计算出这列数的前几个数据，从而可以发现数字的变化特点，然后即可求得所求式子的值．
【详解】解：由题意可得，
，
，
，
，
，
即这列数依次以，，2循环出现，
，，
，
故选：B．
【点睛】本题主要考查数字的变化特点，明确题意、发现数字的变化特点是解题的关键．
【变式3-2】a是不为2的有理数，我们把称为a的“哈利数”．如：3的“哈利数”是，的“哈利数”是，已知，是的“哈利数”，是的“哈利数”，是的“哈利数”，．．．，依此类推，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】通过计算发现每四次运算结果循环出现，由此可求．
【详解】解：∵，
∴，
，
，
，
，
∴每四次运算结果循环出现，
∵，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查数字的变化规律，通过计算，探索出运算结果的循环规律是解题的关键．
【变式3-3】（2023秋·全国·七年级专题练习）已知整数，，，，……满足下列条件：，，，…，以此类推，则的值为 ，的值为
【答案】
【分析】先求出前4个值，从而得出这一列整数两个循环，第奇数个数据为0，第偶数个数据为，据此可得答案．
【详解】解：由题意得：
，
，
，
…，
∴整数，，，，……，
∴这一列整数两个循环，第奇数个数据为0，第偶数个数据为
∴，；
故答案为：，．
【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是计算出前几个数值，从而得出这一列整数两个循环，第奇数个数据为0，第偶数个数据为的规律．
考点四：数字类规律探索之等式问题
例4. 观察下面的变形规律：
；；；
解答下面的问题：
(1)若为正整数，请你猜想 ______ ；
(2)计算．
(3)计算；．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）分析所给的等式的形式，猜想规律即可解答；
（2）利用（1）所得的规律对代数式进行变形即可解答；
（3）利用（1）所得的规律对代数式进行变形即可解答．
【详解】（1）解：∵；；；
猜想．
故答案为：．
（2）解：


．
（3）解：
．
【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算、数字规律等知识点，熟练掌握与运用对相应的运算法则是解答的关键．
【变式4-1】观察算式：按规律填空： ．
【答案】2500
【分析】观察所给算式，找出规律，利用规律求解．
【详解】解：观察算式可得，
因此
，
故答案为：2500．
【点睛】本题考查用代数式表示数字的规律，解题的关键是分析已知算式，找出规律，利用规律解题．
【变式4-2】（2023春·安徽合肥·七年级校考期末）观察算式：①；②；③；④；，
根据你发现的规律解决下列问题：
(1)写出第个算式：______；
(2)写出第个算式：______；
(3)计算：．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据所给的等式的形式进行求解即可；
（2）分析所给的等式的形式进行总结即可；
（3）利用所给的等式的形式，把所求的式子进行整理，从而可求解．
【详解】（1）解：由题意得：第个算式为：，
故答案为：；
（2）解：由题意得：第个算式为：，
故答案为：；
（3）解：．




．
【点睛】本题主要考查数字的变化规律，有理数的混合运算，解答的关键是发现算式中的规律并灵活运用．
【变式4-3】探索规律：观察下面※由组成的图案和算式，解答问题：

(1)请猜想_________；
(2)请猜想_________；
(3)请用上述规律计算：的值．
【答案】(1)100
(2)
(3)9100
【分析】（1）观察由※组成的图案和下面算式，得出从1开始的连续奇数相加等于奇数个数的平方，即可得到结果；
（2）观察由※组成的图案和下面算式，得出从1开始的连续奇数相加等于奇数个数的平方，即可得到结果；
（3）原式变形后，利用得出的规律计算即可得到结果．
【详解】（1）解：由图得：，有1项；
，有2项；
，有3项；
，有4项；
，有5项；
∴共有项，
∴，
故答案为：；
（2）解：∵，
∴，
故答案为：；
（3）解：当时，，当时，
．
【点睛】此题考查了规律型：数字的变化类及有理数的乘方运算，弄清题中的规律是解本题的关键．
考点五：图形类规律探索之数字问题
例5. 如图，根据图形中数的规律，可推断出a的值为（ ）
A．128B．216C．226D．240
【答案】C
【分析】根据图形得出右下角三角形中的数字等于左下角与中间三角形中数字的积再加2，然后计算即可．
【详解】解：由图可得：，
，
，
，
即右下角三角形中的数字等于左下角与中间三角形中数字的积再加2，
所以，
故选：C．
【点睛】本题考查了规律型—数字的变化类，解决本题的关键是观察数字的变化寻找规律，总结规律，运用规律．
【变式5-1】（2023春·贵州毕节·七年级统考期末）根据图中数字的规律，若第n个图中的值为196，则（ ）

A．12B．13C．14D．15
【答案】C
【分析】通过观察可知，若第n个图中A位置上的数是，B位置上的数是，C位置上的数是，D位置上的数是，所以，带入数值求出即可．
【详解】解：通过观察可知，若第n个图中A位置上的数是，B位置上的数是，C位置上的数是，D位置上的数是，
所以，
当时，
，
是正整数，
．
故选：C．
【点睛】本题考查了图形中有关数字的变化规律，能准确观察到相关规律是解决问题关键．
【变式5-2】如图所示，下列各三角形中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，则第（为正整数）个三角形中，用表示的式子为（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题意可得各三角形中下边第三个数是上边两个数字的和，而上边第一个数的数字规律为1，2，3，，，第二个数的数字规律为：2，，，，，由此即可得到答案．
【详解】解：由题意可得：
三角形上边第一个数的数字规律为：1，2，3，，，
三角形上边第二个数的数字规律为：2，，，，，
三角形下边的数的数字规律为： ，，，，
第个三角形中的数的规律为：，
故选：B．
【点睛】本题考查了数字类规律探索，根据题意得出：第个三角形中的数的规律为：，是解题的关键．
【变式5-3】（2023秋·浙江·七年级专题练习）找规律，完成下列各题：

(1)如图①，把正方形看作， ．
(2)如图②，把正方形看作， ．
(3)如图③，把正方形看作， ．
(4)计算： ．
(5)计算： ．
【答案】(1)
(2)
(3)，
(4)
(5)
【分析】（1）根据图示规律，有理数的加减混合运算法则即可求解；
（2）根据图示规律，有理数的加减混合运算法则即可求解；
（3）根据图示规律，有理数的加减混合运算法则即可求解；
（4）根据（1），（2），（3）的运算规律，有理数的加减混合运算法则即可求解；
（5）根据（1），（2），（3）的运算规律，有理数的加减混合运算法则即可求解；
【详解】（1）解：如图①，把正方形看作把正方形看作，，
故答案为：．
（2）解：如图②，把正方形看作把正方形看作，，
故答案为：．
（3）解：如图③，把正方形看把正方形看作，，
故答案为：，．
（4）解：，
故答案为：．
（5）解：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查图形规律，有理数的混合运算的综合，理解图示规律，掌握有理数的混合方法是解题的关键．
考点六：图形类规律探索之数量问题
例6. （2023·江苏·七年级假期作业）用大小一样的黑白两种颜色的小正方形纸片，按如图的规律摆放：
(1)第5个图案有 张黑色小正方形纸片；
(2)第n个图案有 张黑色小正方形纸片；
(3)第几个图案中白色纸片和黑色纸片共有81张？
【答案】(1)16
(2)
(3)20
【分析】（1）观察图形，发现：黑色纸片在4的基础上，依次多3个；
（2）根据（1）中的规律，用字母表示即可；
（3）根据（2）的规律，得出，解之得出n的值即可作出判断．
【详解】（1）∵第1个图形中黑色纸片的数量，
第2个图形中黑色纸片的数量，
第3个图形中黑色纸片的数量，
……，
∴第5个图片中黑色纸片的数量为，
故答案为：16；
（2）由（1）知，第n个图案中黑色纸片的数量为，
故答案为：；
（3）设第n个图案中共有81张纸片，
由，
解得：，
即第20个图案中共有81张纸片．
【点睛】本题考查规律型：图形的变化类，解题时必须仔细观察规律，通过归纳得出结论．注意由特殊到一般的分析方法，此题的规律为：第n个图案中有张黑色纸片．
【变式6-1】（2023秋·全国·七年级专题练习）如图，用棋子摆方阵，那么，图⑥要摆 枚棋子，图n要摆 枚棋子．
【答案】 25
【分析】根据已知图形，观察归纳出一般规律：图n需要的棋子数量为，据此即可得到答案．
【详解】解：由图形可知，图①需要的棋子数量为
图②需要的棋子数量为
图③需要的棋子数量为
图④需要的棋子数量为，
……
观察归纳可知，图n需要的棋子数量为，
图⑥需要的棋子数量为，
图n需要的棋子数量为，
故答案为：25；．
【点睛】本题考查了图形类规律探索，根据题目正确归纳一般规律是解题关键．
【变式6-2】（2023·安徽淮北·淮北市第二中学校考二模）如图，利用黑白两种颜色的五边形组成的图案，根据图案组成的规律回答下列问题：
(1)图案④中黑色五边形有______个，白色五边形有______个；
(2)图案中黑色五边形有______个，白色五边形有______个；（用含的式子表示）
(3)图案中的白色五边形可能为2023个吗？若可能，请求出的值；若不可能，请说明理由．
【答案】(1)4，13
(2)，
(3)可能，
【分析】（1）观察可知，除第一个以外，每增加一个黑色五边形，相应的白色五边形增加三个，即可解答．
（2）根据观察分析出白色五边形的块数与图形序号之间的关系，并由此猜想数列的通项公式，解答问题．
（3）根据通项公式解答出的值即可判断．
【详解】（1）∵第1个图形中黑色五边形的个数为1，白色五边形的个数为4；
第2个图形中墨色五边形的个数为2，白色五边形的个数为，
第3个图形中墨色五边形的个数为3，白色五边形的个数为；
∴第4个图形中界色五边形的个数为4，白色五边形的个数为．
（2）由（1）可得：第个图形中黑色五边形的个数为，白色五边形的个数为．
（3）可能，理由如下：由题意得，解得，故图案中的白色五边形可能为2023个．
【点睛】本题考查了图形的变化规律，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．
【变式6-3】（2023·河北秦皇岛·统考一模）为迎接七一建党节，某社区党委在广场上设计了一座三角形展台，需在它的每条边上摆放上相等盆数的鲜花进行装饰．若每条边上摆放两盆鲜花，共需要3盆鲜花；若每条边上摆放3盆鲜花，共需要6盆鲜花；……，按此要求摆放下去（如图所示，每个小圆圈表示一盆鲜花）．
(1)填写下表：
(2)写出需要的鲜花总盆数y与n之间的关系式：__________
(3)能否用盆鲜花作出符合要求的摆放？如果能，请计算出每条边上应摆放的盆数；如果不能，请说明理由．
【答案】(1)12，15；
(2)；
(3)不能，见详解．
【分析】（1）结合图形，发现：每条边上每增加一盆鲜花，总数就增加3盆，依此可得出答案．
（2）结合（1）中的规律即可求出每条边上摆n盆小菊花时需要小菊花的总盆数y；
（3）根据题意把代入中，求出n的值后，即可作出判断．
【详解】（1）解：由图知，每条边上每增加一盆鲜花，总数就增加3盆，，，
故答案为：12，15；
（2）解：每条边摆两个，则，
每条边摆3个，则，
每条边摆4个，则，
…
每条边摆n个，则，
故答案为：．
（3）解：把代入，则，，，
∵不是整数，
∴不能用盆鲜花作出符合要求的摆放．
【点睛】本题主要考查的是图形规律等内容，注意培养由一般总结特殊规律的能力，认真对比前后图形，研究图形变化特性，准确总结规律是解题的关键．
一、单选题
1．（2024·广东河源·一模）如图是一个俄罗斯方块游戏，将正整数至按一定规律排列如图表．通过按键操作平移或旋转图表中带阴影的方框，方框中三个数的和可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了列代数式以及规律型：数字的变化类，设方框中中间的数字为，则另外两个数分别为，或，，将三个数相加，可得出三个数之和为，进而可得出三个数之和为的倍数，即可得出结论．根据各数之间的关系，找出三个数之和为3的倍数是解题的关键．
【详解】解：设方框中中间的数字为，则另外两个数分别为，或，，
∴三个数之和为或，
∴三个数之和为的倍数，
又∵，
，
，
，
∴方框中三个数的和可能是．
故选：B．
2．（24-25七年级上·全国·假期作业）将图①正方形做如下操作：分别连接对边中点如图②，得到5个正方形（1个大正方形加上4个中等正方形）；第2次，将图②左上角的正方形按上述方法再分割如图③，得到9个正方形…像这样操作8次，可以得到（ ）个正方形．
A．29B．30C．32D．33
【答案】D
【分析】本题主要考查图形规律，根据图形得到代数表达式即可，根据题意可知，将图①操作1次得到个正方形，操作2次得到个正方形，每操作1次增加4个正方形，由此得到规律，操作n次得到个正方形，据此解答．
【详解】解：图①操作1次得到个正方形；
操作2次得到个正方形；
即每操作1次增加4个正方形，
由此得到规律，操作n次得到个正方形，
那么，像这样操作8次，可以得到个正方形，
（个）
即像这样操作8次，可以得到33个正方形；
故答案为：D
3．（23-24七年级下·江苏常州·期中）“一尺之锤，日取其半，万世不竭．”在如图的三角形中，一条中线将一个三角形分为面积相等的两部分，在此基础上再作一条中线，可得到原三角形一半面积的一半，即，已知，根据这个几何图形的规律求得…的值为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了数字的规律，结合图形可知：，，，……，由此发现规律，即可求解．
【详解】结合图形可知：
，
，
，
……
，
则：
故选：B．
【点睛】本题考查分数乘方的应用，根据题意得到规律，掌握有理数乘方的的运算是解题关键．
二、填空题
4．（23-24九年级下·广东茂名·期末）观察下列等式：，，，，，，，，．回答下面问题：的末位数字是 ．
【答案】4
【分析】本题考查了数字型规律的探究．2的个位数字为2；的个位数字为6；的个位数字为4；的个位数字为0；的个位数字为2；确定循环节为4，计算，确定末位数字即可．
【详解】解：2的个位数字为2；
的个位数字为6；
的个位数字为4；
的个位数字为0；
的个位数字为2；
所以循环节为4，
因为，
所以的末位数字是4．
故答案为：4．
5．（23-24七年级下·黑龙江绥化·期中）瑞士中学教师巴尔末成功地从光谱数据中得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥妙的大门．按这种规律第7个数据是 ；第10个数据为 ；第个数据是 ．
【答案】 / /
【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，观察可知，第n个数据的分子为，分母为，据此规律求解即可．
【详解】解：，
，
，
，
……，
以此类推可知，第n个数据的分子为，分母为，即第n个数据为，
∴第7个数据是；第10个数据为，
故答案为：；；．
6．（2024七年级下·全国·专题练习）定义一种对正整数的“运算”：①当为奇数时，结果为；②当为偶数时，结果为（其中是使为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取，则：
若，则第次“运算”的结果是 ．
【答案】
【分析】本题考查的是整数的奇偶性，能根据所给条件得出时六次的运算结果，找出规律是解答此题的关键．先分别计算出时第一、二、三、四、五、六次运算的结果，找出规律再进行解答即可．
【详解】解：本题提供的“运算”，需要对正整数分情况（奇数、偶数）循环计算，由于为奇数应先进行①运算，
即（偶数），
需再进行F②运算，
即（奇数），
再进行①运算，得到（偶数），
再进行②运算，即（奇数），
再进行①运算，得到（偶数），
再进行②运算，即，
再进行①运算，得到（偶数），…，
即第次运算结果为，
第次运算结果为，
第次运算结果为，
第次运算结果为，第次运算结果为，…，
可以发现第次运算结果为，第次运算结果为，
从第次运算结果开始循环，且奇数次运算的结果为，偶数次为，而第次是奇数，
这样循环计算一直到第次“运算”，得到的结果为．
故本题答案为：．
三、解答题
7．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知有理数，我们把称为的差倒数，如：2的差倒数是，的差倒数是，如果，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数依此类推，
(1)__________________
(2)求的值？
【答案】(1)，，
(2)
【分析】本题考查了与有理数运算相关的规律题型，找到规律是解题的关键．
（1）根据差倒数的定义求出，，；
（2）根据（1）的结论，可发现每3个数一个循环，且3个数的和为，依照规律即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得，，
，
，
，
故答案为：，，；
（2）解：∵，，，，…，
根据以上数据发现：3个数一个循环，
3个数的和为：，
∵，
∴第10个数是，
∴．
8．（2024·安徽合肥·三模）观察下列算式：
第1个等式：
第2个等式：
第3个等式：
……
(1)请写出第5个等式：__________；
(2)写出第个（为正整数）等式；
(3)计算：的值．
【答案】(1)
(2)（为正整数）
(3)286
【分析】本题考查数字变化的规律及有理数的混合运算，能用表示出第个等式是解题的关键．
（1）根据题中所给等式，发现规律即可解决问题．
（2）根据（1）中发现的规律即可解决问题．
（3）根据（1）中发现的规律即可解决问题．
【详解】（1）解：（1）由题知，因为第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
…，
所以第个等式为：；
当时，；
故答案为：．
（2）由（1）知，
第个等式为：（为正整数）．
（3）原式
．
9．（2024·安徽合肥·二模）若干个“△”和“★”按照一定规律排列成下列图形．
(1)按照上图所示规律，图4中有______个“△”，图5中有______个“★”；
(2)设图中有个“△”，个“★”，试求与之间的数量关系．
【答案】(1)10，27
(2)
【分析】本题考查了图形类规律探索，解题的关键是找到图形的变化规律．
（1）仔细观察图形，找到图形的变化规律，利用规律写出答案即可；
（2）根据（1）中的规律利用和表示出，对应相等即可得出答案．
【详解】（1）解：由图可得：
图中“△”的个数为，“★”的个数为，
图中“△”的个数为，“★”的个数为，
图中“△”的个数为，“★”的个数为，
…，
∴图中“△”的个数为，“★”的个数为，
∴图4中有个“△”，图5中有个“★”；
（2）解：由（1）得：图中“△”的个数为，“★”的个数为，
∵设图中有个“△”，个“★”，
∴，，
∴，，
∴，
∴．
10．（2024·安徽池州·三模）化学中把仅有碳和氢两种元素组成的有机化合物称为碳氢化合物，又叫烃，如图，这是部分碳氢化合物的结构式，第1个结构式中有1个C和4个H，分子式是；第2个结构式中有2个C和6个H，分子式是；第3个结构式中有3个C和8个H，分子式是…按照此规律，回答下列问题．
(1)第6个结构式的分子式是________；
(2)第n个结构式的分子式是________；
(3)试通过计算说明分子式的化合物是否属于上述的碳氢化合物．
【答案】(1)
(2)
(3)不属于，理由见解析
【分析】本题考查了图形规律问题 ，旨在考查学生的抽象概括能力，根据图示确定一般规律即可求解．
（1）由图可知：第n个结构式中有个C和个H，分子式是，据此即可求解；
（2）由（1）中的结论即可求解；
（3）令，计算即可判断；
【详解】（1）解：由图可知：第n个结构式中有个C和个H，分子式是；
∴第6个结构式的分子式是，
故答案为：
（2）解：由（1）可知：第n个结构式的分子式是，
故答案为：
（3）解：令，则，
∴分子式的化合物不属于上述的碳氢化合物
11．（23-24六年级下·上海·期中）求的值，直接求较困难，因为是一个非常大的数．因此，我们用解方程的方法来求解．
解：设①
即②
②①得：
原式
请你在理解的基础上，模仿上述方法求下列各式的值：
(1)________．
(2)计算：．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了规律型中的数字的变化类，有理数的乘方运算，解题的关键是仿照例子计算．本题属于基础题，难度不大．
（1）由题意可知，，把原式变形后代入求解即可；
（2）设，则有，依照例题求解即可．
【详解】（1）由题意可知，，
∴
（2）解：设①
即②
②①得：
∴
原式
12．（2024·安徽马鞍山·二模）【观察思考】
用同样大小的圆形棋子按如图所示的规律摆放：第1个图形中有6个棋子，第2个图形中有9个棋子，第3个图形中有12个棋子，第4个图形中有15个棋子，以此类推．
【规律发现】
（1）第6个图形中有____________个圆形棋子；
（2）第n个图形中有____________个圆形棋子；（用含n的代数式表示）
【规律应用】
（3）将2024个圆形棋子按照题中的规律一次性摆放，且棋子全部用完．若能摆放，是第几个图形？若不能，请说明理由．
【答案】（1）（2）（3）不能，理由见解析
【分析】本题主要考查数与形结合的规律，以及列代数式相关知识，发现每一个图形中的棋子数比前一个图形多3个是解本题的关键．
（1）观察得到每一个图形中的棋子数比前一个图形多3个，即可得出答案；
（2）根据（1）中规律表示出第n个图形中的棋子数，即可得解；
（3）由（2）中的规律可知，，解方程并分析即可解题．
【详解】（1）解：由图知，第1个图形中有个圆形棋子，
第2个图形中有个圆形棋子，
第3个图形中有个圆形棋子，
第4个图形中有个圆形棋子，
，依此类推，
第6个图形中有个圆形棋子，
故答案为：．
（2）解：由（1）中规律可知，第个图形中有个圆形棋子，
故答案为：．
（3）解：不能，理由如下：
由题知，，解得，不为整数．
2024个圆形棋子不能按照题中的规律一次性摆放．
模块一 思维导图串知识
模块二 基础知识全梳理（吃透教材）
模块三 核心考点举一反三
模块四 小试牛刀过关测
1．初步掌握规探索的方法，并能对简单的规律进行用数学语言描述；
2．培养学生对数和字母应用的理解，从而拓展学生的视野；
3．掌握从特殊到一般、从个体到整体 地观察。分析问题的方法，尝试从不同角度探究问题， 培养应用意识和创新意识。
每条边上摆放的盆数（n）
2
3
4
5
6
…
需要的鲜花总盆数（y）
3
6
9
_____
_____
…