河北省石家庄市辛集市2023-2024学年高一下学期期末教学质量监测数学试卷(含答案)

这是一份河北省石家庄市辛集市2023-2024学年高一下学期期末教学质量监测数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知i是虚数单位，复数，则复数z的虚部为( )
A.iB.-iC.1D.-1
2．某中学的高中部共有男生1200人,其中高一年级有男生300人,高二年级有男生400人．现按分层抽样抽出36名男生去参加体能测试,则高三年级被抽到的男生人数为( )
A.9B. 12C. 15D. 18
3．已知一个直三棱柱的高为1，如图，其底面水平放置的直观图（斜二测画法）为，其中，则该三棱柱的表面积为( )
A.B.C.D.
4．在中,(a、b、c分别为角A、B、C的对边),则的形状为( )
A.直角三角形B.等边三角形
C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形
5．若O是所在平面内的一点，且满足，则的形状为( )
A.等边三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.直角三角形
6．在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且的面积，，则( )
A.B.C.2D.
7．国家于2021年8月20日表决通过了关于修改人口与计划生育法的决定，修改后的人口计生法规定，国家提倡适龄婚育､优生优育，一对夫妻可以生育三个子女，该政策被称为三孩政策.某个家庭积极响应该政策，一共生育了三个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，记事件A：该家庭既有男孩又有女孩；事件B：该家庭最多有一个男孩；事件C：该家庭最多有一个女孩.则下列说法正确的是( )
A.事件B与事件C互斥但不对立B.事件A与事件B互斥且对立
C.事件B与事件C相互独立D.事件A与事件B相互独立
8．已知正三棱柱的底面边长为，高为6，经过上底面棱的中点与下底面的顶点截去该三棱柱的三个角，如图1，得到一个几何体，如图2所示，若所得几何体的六个顶点都在球O的球面上，则球O的体积为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．我国居民收入与经济同步增长，人民生活水平显著提高.“三农”工作重心从脱贫攻坚转向全面推进乡村振兴，稳步实施乡村建设行动，为实现农村富强目标而努力.2017年~2021年某市城镇居民､农村居民年人均可支配收入比上年增长率如下图所示.根据下面图表，下列说法一定正确的是( )
A.该市农村居民年人均可支配收入高于城镇居民
B.对于该市居民年人均可支配收入比上年增长率的极差，城镇比农村的大
C.对于该市居民年人均可支配收入比上年增长率的中位数，农村比城镇的大
D.2021年该市城镇居民､农村居民年人均可支配收入比2020年有所上升
10．在棱长为1的正方体中，点O为底面的中心，点是正方形内（含边界）一个动点，则下列结论正确的是( )
A.
B.点E存在无数个位置满足平面
C.直线与平面所成角的余弦值为
D.三棱锥体积的最大值为
11．中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为的面积，且，，下列选项正确的是( )
A.
B.若，则有两解
C.若为锐角三角形，则b取值范围是
D.若D为边上的中点，则的最大值为
三、填空题
12．i是虚数单位，若复数是纯虚数，则实数a的值为_______.
13．已知某圆锥的侧面积为，该圆锥侧面的展开图是弧长为的扇形，则该圆锥的体积为_______.
14．已知正方形的边长为2，O为对角线的交点，动点M在线段上，点M关于点O的对称点为点N，则的最大值为_______.
四、解答题
15．已知向量，.
（1）求与的夹角；
（2）若，求实数的值.
16．已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且.
(1)求B；
(2)若，且的面积为，求a，c.
17．2021年底某市城市公园主体建设基本完成，为了解市民对该项目的满意度，从该市随机抽取若干市民对该项目进行评分（满分100分），根据所得数据，按，，，，进行分组，绘制了如图所示的频率分布直方图.
(1)求频率分布直方图中a的值，并估计该市市民评分的分位数；
(2)为进一步完善公园建设，按分层随机抽样的方法从评分在中抽取7人，再随机抽取其中2人进行座谈，求这2人的评分在同一组的概率.
18．甲、乙两人组成“九章队”参加青岛二中数学学科周“最强大脑”比赛，每轮比赛由甲、乙各猜一个数学名词，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为.在每轮比赛中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响.
(1)求甲两轮至少猜对一个数学名词的概率；
(2)求“九章队”在两轮比赛中猜对三个数学名词的概率.
19．如图，已知等腰梯形中，，，E是的中点，，将沿着翻折成，使平面平面.
(1)求证：平面；
(2)求与平面所成的角；
(3)在线段上是否存在点P，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
参考答案
1．答案：C
解析：由题意，，则z的虚部为1.
故选：C.
2．答案：C
解析：高三年级被抽到的男生人数为.
故选：C.
3．答案：C
解析：由斜二测画法还原底面平面图如图所示，
其中，所以，
所以此直三棱柱的底面积为，高为1，
故直三棱柱表面积为.
故选：C
4．答案：A
解析：依题意，利用正弦定理及二倍角公式得，即，又，故，三角形中，故，，故三角形为直角三角形，故选A.
5．答案：D
解析：，，
，即，
即，
故，，
故为直角三角形，
因为不一定等于，所以不一定为等腰直角三角形.
故选：D.
6．答案：D
解析：的面积，
，
，
则，
，
，
，
，，，
，
.
故选：D.
7．答案：D
解析：有三个小孩的家庭的样本空间可记为：
{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}，
事件{(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)}
事件{(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}，
事件{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)}，
对于A，,且，所以事件B与事件C互斥且对立，故A不正确；
对于B，{(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)}，所以事件A与事件B不互斥，故B不正确；
对于C，事件B有4个样本点，事件C有4个样本点，事件有0个样本点，，，，显然有，即事件B与事件C不相互独立，故C不正确；
对于D，事件有6个样本点，事件B有4个样本点，事件有3个样本点，，，，显然有，即事件A与事件B相互独立，故D正确；
故选：D
8．答案：D
解析：设M、N分别为正棱柱上下底面的中心，即，
由几何体的特征易知其外接球球心O在上，如图所示，
根据正三角形的中心性质可知，同理，
设外接球半径为R，，则，
所以有，，
则外接球体积.
故选：D
9．答案：BCD
解析：由增长率高，得不出收入高，即A错误；
由表中数据，可知城镇居民相关数据极差较大，即B正确；
由表中数据，可知农村居民相关数据中位数较大，即C正确；
由表中数据，可知增长率为正，即D正确.
故选：BCD
10．答案：ABD
解析：对于选项A，根据题意作图如下：
在正方体中，易知，，
因为，所以平面，即，故A正确；
对于选项B，根据题意作图如下：
在正方体中，易知，
因为平面，平面，所以平面，
同理可得：平面，因为，所以平面平面，
易知平面，当时，平面，故B正确；
对于选项C，根据题意作图如下：
在正方体中，易知，，
因为，所以平面，即，同理可得：，
因为，所以平面，连接，易知，
则为直线与平面所成角，
在中，，
因为，所以直线与平面所成角的余弦值为.故C错误；
对于选项D，根据题意作图如下：
在正方体中，
易知当点E与点重合时，三棱锥体积取最大值，
设点到平面的距离为h，则，
由选项B可知，则，可得，
则三棱锥体积取最大值：
，故D正确.
故选：ABD
11．答案：BCD
解析：因为，所以，，又，所以，A错；
若，则，三角形有两解，B正确；
若为锐角三角形，则，，所以，，
，，C正确；
若D为边上的中点，则，，
又，，
由基本不等式得，
，当且仅当时等号成立，
所以，所以，
当且仅当时等号成立，D正确.
故选：BCD.
12．答案：
解析：试题分析：由复数的运算可知，是纯虚数，则其实部必为零，即，所以.
13．答案：
解析：设该圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，
由已知条件可得:,解得.
故圆锥的高,
所以该圆锥的体积为.
故答案为:.
14．答案：1
解析：法一：以A为坐标原点，为x轴正半轴建立平面直角坐标系，设，则，，所以，当且仅当时取得最大值.
法二：由极化恒等式可得：，当时，此时的最大值为1.
15．答案：（1）；
（2）.
解析：（1）设与的夹角为，
，，，，
，
又，.
（2），
，
解得.
16．答案：(1)；
(2)或
解析：（1）因为，
所以，
，
，
，
因为，所以，
即，所以，
因为，所以，
所以有，所以；
（2）因为，且的面积为，
所以有，或.
17．答案：(1)，85；
(2).
解析：（1）由题意得，，
解得.
因为，，
所以分位数位于之间，
则市民评分的分位数约为.
（2）由题意得，按分层随机抽样从评分在中抽取7人，
其中评分在中有人，记为A，B；
评分在中有人，记为c，d，e，f，g.
现抽取其中人进行问卷调查，共有21种情况，它们是：
，，，，，，，，，
，，，，，，，，，，，，
其中这2人评分在同一组有11种情况，它们是：
，，，，，，，，，，，
则所求概率.
18．答案：(1)；
(2)
解析：（1）设甲两轮至少猜对一个数学名词为事件F，
.
（2）设事“甲第一轮猜对”，“乙第一轮猜对”，“甲第二轮猜对”，“乙第二轮猜对”，““九章队”猜对三个数学名词”，
所以，，，
则，
由事件的独立性与互斥性，得
，
故“九章队”在两轮活动中猜对三个数学名词的概率为.
19．答案：(1)证明见解析；
(2)30°；
(3)存在，.
解析：(1)因为，E是的中点，所以，
故四边形是菱形，从而，
所以沿着翻折成后，，,
又因为，
所以平面，
由题意，易知，，
所以四边形是平行四边形，故，
所以平面；
(2)因为平面，
所以与平面所成的角为，
由已知条件，可知，，
所以是正三角形，所以，
所以与平面所成的角为30°；
(3)假设线段上是存在点P，使得平面，
过点P作交于Q，连结，，如下图：
所以，所以A，M，P，Q四点共面，
又因为平面，所以，
所以四边形为平行四边形，故，
所以P为中点，
故在线段上存在点P，使得平面，且.