河北省石家庄市辛集市2023-2024学年高三上学期2月期末教学质量监测数学试卷
展开2.【答案】B
3.【答案】D
4.【答案】D
5.【答案】B
6.【答案】A
7【答案】A
8.【答案】A
9.【答案】AC
10【答案】BC
11.【答案】BCD
12.【答案】ABC
13【答案】42
14【答案】或
15【答案】
16【答案】
17
【详解】(1)∵,∴,
,,
∴,∵,∴.
(2)由面积为得:,而,∴
∵边上的高为,∴,则,
∵,∴,当且仅当时,取“=”,
即的最小值为2.此时最大为.
18
【详解】(1),且平面,平面,
∴平面,又∵平面,且平面平面,∴;
(2)连接,取AC中点O,连接,,在菱形中,,
∴是等边三角形,
又∵O为AC中点,∴,
∵平面平面,
平面平面,平面,且,
∴平面,平面,∴,
又∵,∴,
以点为原点,,,为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,
假设存在点D,满足题意,设,
,,,,
,,
设平面的一个法向量为,
则,所以,令,则,,故,
设平面的法向量为
,,
,,令,则,,故,
,解,
所以点D在点C的位置时,平面与平面所成锐角为,
由于D不与A、C重合,故AC上不存满足题意的点.
19
【详解】(1)因为,
当时,,又因为,所以
当时,因为,由,得①,所以②,
所以得:
,经验证,当时不等于,所以不是等差数列.
(2)由,得,两式相减得:
.所以当时:
数列()是首项为,公差为6的等差数列;
数列()是首项为,公差为6的等差数列.
当为偶数时,不妨设,则,
此时
因为,所以此时.
当为奇数时,不妨设,则,
此时
.
因为,所以此时
综上所述,当为偶数时,,当为奇数时,.
20
【详解】(1)依题意得甲获得决赛资格的概率为,乙获得决赛资格的概率为,
的所有可能取值为,
,,
,
所以的分布列为:
0 1 2
所以.
(2)记“甲从箱中抽出的是道选择题”,“乙从箱中抽取的第一题是选择题”,
则,,,,,,
所以
. 甲从箱中抽出的是2道选择题的概率为.
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【详解】(1)法一:设点,则.
由题意知,即,
整理得:,则曲线C的方程为.
法二:由题意知,点P到点的距离等于其到直线的距离相等,
则点P的轨迹为以为焦点,以为准线的抛物线,
则曲线C的方程为.
(2)法一:由题意知,为圆的直径,则.
由题意知直线存在斜率,设为k,且,则直线的斜率为.
又OA所在直线为,
联立,解得:或,则不妨取S点横坐标为,
联立,解得:或,则不妨取A点横坐标为,
所以.
同理可得,
四边形的面积
,
令,,则,
因为S在上单调递增,所以当时,S有最小值36.
即当时,四边形面积的最小值为36
法二:设方程为, 由,得.
由,得, ∴,
同理可得:.
令, 则在上单调递增.
∴,
当即时,四边形面积的最小值为36
即四边形面积的最小值为36.
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【详解】(1)的定义域是,,
①时,,在单调递增,
②时,,
令,解得;令,解得,
故在递减,在递增,
综上:时,在单调递增,
时,在递减,在递增.
(2)要证,即证,,
①当时,,,该不等式恒成立;
②当时,,结合,得,
只需证明:,即证,
令,,
令,则,
令,则在上恒成立,
所以在上单调递增,
又,,所以存在,使得,
所以在上单调递减,在上单调递增,
又,,,,
所以当时,;当时,,
即函数在上单调递减,在上单调递增,
所以,问题得证,
即当时,恒成立.
综上所述,当时,恒成立.
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