甘肃省环县第一中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷(含答案)

这是一份甘肃省环县第一中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷(含答案)，共10页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知复数z满足（i是虚数单位），则( )
A.B.C.D.
2．已知向量，，它们的夹角为，则( )
A.10B.C.D.13
3．下列命题正确的是( )
A.三点确定一个平面
B.四条首尾相连的线段确定一个平面
C.两条平行直线与同一条直线相交，三条直线在同一平面内
D.空间两两相交的三条直线在同一平面内
4．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则外接圆的面积为( )
A.B.C.D.
5．如图，在等腰梯形中，，，点E为线段的中点，点F是线段上的一点，且，则( )
A.B.
C.D.
6．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则为( )
A.等腰三角形B.钝角三角形
C.直角三角形D.等腰直角三角形
7．已知虚数z是关于x的方程的一个根，且，则( )
A.3B.2C.4D.7
8．如图，A城气象台测得台风中心从A城正西方向600千米的B处以每小时千米的速度向北偏东的方向移动，距台风中心千米的范围内为受台风影响的区域，若A城受到这次台风的影响，那么A城遭受这次台风影响的时长为( )
A.10小时B.20小时C.小时D.小时
二、多项选择题
9．已知平面，平面，则下列说法错误的是( )
A.平面内所有的直线与直线异面
B.平面内存在一条直线与直线平行
C.平面内存在无数条直线与直线相交
D.有且只有一个过直线的平面与平面平行
10．已知z为复数，下列说法正确的是( )
A.若，则B.若，则
C.若，则D.
11．已知向量，，则下列结论正确的是( )
A.B.若，则
C.若，则D.的取值范围为
三、填空题
12．已知复数z满足（i为虚数单位），则______.
13．如图，四边形是梯形的直观图，四边形是等腰梯形，且，，则梯形的周长为______.
14．已知向量，，满足，若对任意的实数x，都有，则的最小值为______.
四、解答题
15．已知，复数（i是虚数单位）.
（1）若z是纯虚数，求m的值；
（2）若z在复平面内对应的点位于第四象限，求m的取值范围；
16．已知向量，.
（1）若，求的值；
（2）若，向量与的夹角为锐角，求的取值范围.
17．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足.
（1）求A；
（2）若，求a的最小值.
18．在底面为平行四边形的四棱锥中，E，F分别为棱，的中点.
（1）求证：平面；
（2）设平面平面，求证：平面.
19．如图，在中，点P满足，O是线段的中点，过点O的直线与边，分别交于点E，F.
（1）若，求的值；
（2）若，，求的最小值.
参考答案
1．答案：A
解析：设，所以，所以，，所以.故选A.
2．答案：C
解析：因为向量，，它们的夹角为，所以，
所以.故选C.
3．答案：C
解析：如果三点在同一条直线上，则不能确定一个平面，故A错误；
如空间四边形，四条首尾相连的线段不在一个平面，故B错误；
两条平行直线确定一个平面，一条直线与这两条平行直线都相交，则这条直线就在这两条平行直线确定的平面内，故这三条直线在同一平面内，故C正确；
空间两两相交的三条直线可确定一个平面，也可确定三个平面，故D错误.故选C.
4．答案：B
解析：设外接圆的半径为R，则，解得，
所以外接圆的面积为.
故选：B.
5．答案：B
解析：.
故选B.
6．答案：A
解析：因为，由正弦定理得，所以，.故选A.
7．答案：D
解析：法一：设,
，，
，
则.
法二：由，可知且，又由，有，解得.故选D.
8．答案：B
解析：台风中心从B处开始移动t小时，移动的距离为千米，
则台风中心移动t小时离A城的距离为，
若A城受到这次台风的影响，则，
得，解得，
所以A城遭受这次影响的时长为小时.故选B.
9．答案：ABD
解析：当平面内的直线过点A时，该直线与直线相交，故A错误；假设平面内存在一条直线与直线相互平行，则该直线与直线共面，显然不成立，故B错误；平面，因此不平行，故D错误.故选ABD.
10．答案：AD
解析：设，由为实数，得，所以，故A正确；
若，则，故B错误；复数不能比较大小，故C错误；
设，则，，故D正确.故选AD.
11．答案：ACD
解析：对于A，，故A正确；
对于B，由，得，即
，，，故B错误；
对于C，由，得，，
，可得，，故C正确；
对于D.，故.正确.故选ACD.
12．答案：
解析：因为，所以，所以.
13．答案：
解析：因为四边形是等腰梯形，且，，所以，所以，，，且，所以，梯形的周长为.
14．答案：
解析：因为，所以对任意的实数x恒成立，即，所以.所以.所以，当且仅当与反向时等号成立，即的最小值为.
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为z是纯虚数，所以，
解得；
（2）在复平面内z对应的点为，由题意可得.
解得，即m的取值范围是.
16．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为，，所以，
，
又，所以，即，
解得.
（2）因为，，
所以.
又向量与的夹角为锐角，所以
解得且，即的取值范围是.
17．答案：（1）
（2）1
解析：（1）
，即，
即；
（2）由余弦定理有，
当且仅当时取等号，故a的最小值为1.
18．答案：（1）证明见解析
（2）证明见解析
解析：（1）证明：取的中点M，连接，，
因为M，E分别为，的中点，
所以，且，
又因为F为的中点，所以，
在平行四边形中，有，则，
所以四边形为平行四边形，所以，
又因为平面，平面，所以平面；
（2）证明：在平行四边形中，有，
因为平面，平面，所以平面，
又因为平面平面，面，所以，
又因为平面，平面，所以平面.
19．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为，所以，
因为O是线段的中点，所以，
设，则有，
因为C，O，E三点共线，所以，
解得，即，所以，所以；
（2）因为，同理可得，
由（1）可知，，所以，
因为E，O，F三点共线，所以，即，
所以，
当且仅当，即，时取等号，所以的最小值为.