2023-2024学年山东省济南市章丘区九年级上学期数学期末试题及答案

这是一份2023-2024学年山东省济南市章丘区九年级上学期数学期末试题及答案，共28页。试卷主要包含了 计算的值等于， 一元二次方程根的情况是等内容，欢迎下载使用。
选择题部分 共40分
一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出四个选项中，只有一项符合题目要求）
1. 如图所示的四个几何体中，俯视图是三角形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据俯视图是从上边看到的图形即可得到答案．
【详解】三棱柱的俯视图是三角形，故选项A符合题意；
圆柱的俯视图是圆，故选项B不符合题意；
四棱锥的俯视图四边形中间有一个点，故选项C不符合题意；
圆锥的俯视图是圆中间有一点，故选项D不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了简单几何体的三视图，熟记常见几何体的三视图是解题的关键．
2. 若点在反比例函数的图象上，则该图象也过点（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先利用待定系数法求出反比例函数解析式，进而得到在反比例函数图象上的点横纵坐标的乘积为，由此即可得到答案．
【详解】解：∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
∴反比例函数解析式为，
∴在反比例函数图象上的点横纵坐标的乘积为，
∵四个选项中只有D选项满足横纵坐标的乘积为，
故选D．
【点睛】本题主要考查了求反比例函数解析式，反比例函数的性质，正确得到在反比例函数图象上的点横纵坐标的乘积为是解题的关键．
3. 计算的值等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据特殊角的锐角三角函数值即可求出答案．
【详解】解：
故选：C．
【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值，本题属于基础题型．
4. 一元二次方程根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根B. 只有一个实数根
C. 有两个相等的实数根D. 没有实数根
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①当时，方程有两个不相等的两个实数根；②当时，方程有两个相等的两个实数根；③当时，方程无实数根．计算出判别式的值即可得出答案．
【详解】解：，
所以方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
5. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A. 函数图象的开口向下B. 函数图象的顶点坐标是
C. 当时，y随x的增大而减小D. 该函数图象与y轴的交点坐标是
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次函数的图象与性质，即可一一判定．
【详解】解：，
函数图象的开口向上，故A错误，不符合题意；
函数图象的顶点坐标是，故B错误，不符合题意；
当时，y随x的增大而增大，故C错误，不符合题意；
令，则，
故该函数图象与y轴的交点坐标是，故D正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握和运用二次函数的图象与性质是解决本题的关键．
6. 在一个不透明的袋子中装有除颜色外其它均相同的3个红球和2个白球，从中任意摸出一个球，则摸出白球的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】从中任意摸出一个球共有5种可能的情况，其中摸出白球的情况有2种，由此可得结论.
【详解】解：∵袋子中装有除颜色外其它均相同的3个红球和2个白球，
∴从中任意摸出一个球共有5种可能的情况，其中摸出白球的情况有2种，
∴摸出白球的概率是，
故答案为B.
【点睛】本题考查随机事件的概率.关键是熟悉概率的公式，根据公式求解即可.
7. 如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象大致可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的图象．根据、的取值，分别判断出两个函数图象所过的象限，要注意分类讨论．
【详解】解：若，，
则经过一、二、三象限，反比例函数经过一、三象限，
若，，
则经过一、三、四象限，反比例函数经过二、四象限，
若，，
则经过一、二、四象限，反比例函数经过二、四象限，
若，，
则经过二、三、四象限，反比例函数经过一、三象限，
故选：C．
8. 如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ）

B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定定理．由，得到，然后根据相似三角形的判定定理逐项判断判定即可．
【详解】解：∵，，
∴，
A、若添加，可用两角对应相等的两个三角形相似，证明，故本选项不符合题意；
B、添加，已知的角不是成比例的两边的夹角，故本选项符合题意；
C、添加，可用两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，证明，故本选项不符合题意；
D、添加，可用两角对应相等的两个三角形相似，证明，故本选项不符合题意．
故选：B．
9. 如图，在中，是上的一条弦，直径，连接，则的度数是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】连接，根据圆周角定理，垂径定理即可求解；
解： 连接，

是上的一条弦，直径，
，
，
，
，
，
．
故选：B．
【点睛】本题主要考查圆周角定理，垂径定理，正确做出辅助线是解本题的关键．
10. 已知二次函数y=x2-2mx+m2+1（m为常数），当自变量x的值满足-3≤x≤-1时，与其对应的函数值y的最小值为5，则m的值为（ ）
A. 1或-3B. -3或-5C. 1或-5D. 1或-1
【答案】C
【解析】
【分析】利用配方法可得出：当x=m时，y的最小值为1．分m＜-3，-3≤m≤-1和m＞-1三种情况考虑：当m＜-3时，由y的最小值为5可得出关于m的一元二次方程，解之取其较小值；当-3≤m≤-1时，y的最小值为1，舍去；当m＞-1时，由y的最小值为5可得出关于m的一元二次方程，解之取其较大值．综上，此题得解．
【详解】∵y=x2-2mx+m2+1=（x-m）2+1，
∴当x=m时，y的最小值为1．
当m＜-3时，在-3≤x≤-1中，y随x的增大而增大，
∴9+6m+m2+1=5，
解得：m1=-5，m2=-1（舍去）；
当-3≤m≤-1时，y的最小值为1，舍去；
当m＞-1时，在-3≤x≤-1中，y随x的增大而减小，
∴1+2m+m2+1=5，
解得：m1=-3（舍去），m2=1．
∴m的值为-5或1．
故选C．
【点睛】本题考查了二次函数的最值以及二次函数图象上点的坐标特征，分m＜-3，-3≤m≤-1和m＞-1三种情况求出m的值是解题的关键．
非选择题部分 共110分
二．填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11. 关于x的方程的一个根是2，则________．
【答案】6
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的解定义，掌握一元二次方程的解定义是解题关键．根据一元二次方程的解定义，将代入关于x的方程，然后解关于a的一元一次方程即可．
【详解】解：将代入方程得：
解得：
故答案为：.
12. 已知，则的值为______．
【答案】4
【解析】
【分析】本题考查了比例，先把化简为，再代入，进行化简，即可作答．
【详解】解：依题意，
则两边都乘以，得，
即，
故答案为：4．
13. 矩形的对角线和相交于点，若，则________．
【答案】10
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质；根据矩形的对角线相等即可得出结果．
【详解】解：四边形是矩形，
，，
，
，
．
故答案为：10．
14. 如图，把△DEF沿DE平移到△ABC的位置，它们重合部分的面积是△DEF面积的，若AB＝6，则△DEF移动的距离AD＝________．
【答案】2
【解析】
【分析】如图，根据平移的性质得到，则可判断，利用相似三角形的性质可计算出，则AE，然后计算DE﹣AE即可．
【详解】解：如图所示，AC与EF的交于点G，
∵△DEF沿DE平移到△ABC的位置，
∴，，
∴△AEG∽△DEF，
，
，
，
．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了平移的性质，也考查了相似三角形面积与比相似比间的关系，将题中给出的面积比转化为相似比是解题的关键．
15. 如图，过轴正半轴上一点作轴的平行线，分别与反比例函数和图象相交于点A和点，是轴上一点．若的面积为4，则的值为________．
【答案】5
【解析】
【分析】由题意可知轴，，根据反比例函数值的几何意义，，，所以，求解即可．
【详解】解： 连接，如图所示，

轴，
，
反比例函数图像上点与坐标轴及原点围成三角形面积，
，，
，
，解得；
故答案为：5．
【点睛】本题考查反比例函数比例系数k值得几何意义，掌握反比例函数图像上的点与坐标轴及原点围成三角形面积是解题的关键，解题难点是构造同底等高的三角形面积相等．
16. 如图，菱形对角线相交于点O，，，点P为边上一点，且P不与B、C重合．过P作于E，于F，连接，则的最小值等于______．
【答案】2.4
【解析】
【分析】由菱形的性质可得，由勾股定理可求的长，可证四边形是矩形，可得时，有最小值，由面积法可求解．
【详解】解：连接，如图所示：
∵四边形是菱形，，
∴，
在中，
∴,
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵当时，有最小值，
此时
，
∴的最小值为2.4，
故答案为：2.4．
【点睛】本题考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，掌握菱形的性质是本题的关键．
三．解答题（本大题共10小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了实数的混合运算能力．先计算特殊角的三角函数、二次根式、绝对值和零次幂，再计算乘法，最后计算加减．
【详解】解：
．
18. 在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）以点为位似中心，作出的位似图形，使△和位似比为，并写出点的坐标 ；
（2）作出绕点逆时针旋转后的图形；则点B所经过的路径长为 ．
【答案】（1）见解析，
（2）
【解析】
【分析】本题考查了作图位似变换：熟练掌握画位似图形的一般步骤是解决问题的关键．也考查了旋转变换．
（1）延长到使，延长到使，则满足条件；
（2）利用网格特点和旋转的性质画出、的对应点、，从而得到，然后根据弧长公式计算点所经过的路径长．
【小问1详解】
解：如图，为所作，
点的坐标为；
故答案为：；
【小问2详解】
解：如图，为所作，
，
所以点所经过的路径长．
故答案为：．
19. 如图，是矩形的边上的一点，于点，，，．求的长度．

【答案】．
【解析】
【分析】先根据矩形的性质、勾股定理求出，再根据相似三角形的判定与性质可得，由此即可得出答案．
【详解】∵四边形是矩形，
∴，
∵
∴
∵，
，
∴
在和中，
∴
∴，即
解得
即的长度为．
【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识点，掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．
20. 【综合与实践】数学来源于生活，同时数学也可以服务于生活．
【知识背景】如图，校园中有两面直角围墙（两边足够长），墙角内的处有一棵古树与墙、的距离分别是15米和6米，在美化校园的活动中，某数学兴趣小组想借助围墙（两边足够长），用28米长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围、两边），设米．
【方案设计】设计一个矩形花园，使之面积最大，且要将古树P围在花园内（含边界，不考虑树的粗细）．
【解决问题】思路：把矩形的面积与边长（即的长）的函数解析式求出，并利用函数的性质来求面积的最大值即可．

（1）请用含有x的代数式表示的长： ；
（2）求面积S与x的函数解析式，写出x的取值范围；并求当x为何值时，花园面积S最大，最大面积为多少？
【答案】（1）
（2），当米时，面积最大，最大为195平方米
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的应用以及二次函数最值求法，得出与的函数关系式是解答本题的关键．
（1）依据题意，由米，总长米，计算即可得解；
（2）依据题意，结合（1）可得，再由在点与，的距离分别是米和米，可得的范围；由所得关于的函数关系式，根据函数增减性进行计算可以得解．
【小问1详解】
解：由题意，米，
米，
故答案为：；
【小问2详解】
解：．
在点与，的距离分别是米和米，
．
．
面积与的函数解析式为：；
，抛物线的开口向下，对称轴为直线，
当时，随的增大而增大．
当时，取到最大值，
即当米时，花园面积最大，最大为195平方米．
21. 小王同学学习了锐角三角函数后，通过观察广场的台阶与信号塔之间的相对位置，他认为利用台阶的可测数据与在点、处测出点的仰角度数，可以求出信号塔的高．如图，的长为5米，高为3米．他在点处测得点的仰角为，在点处测得点的仰角为．、、、、在同一平面内．设塔的高度为米．
（1）用含有x的式子表示线段的长： ；
（2）你认为小王同学能求出信号塔的高吗？若能，请求出信号塔的高；若不能，请说明理由．（参考数据：，，，结果保留整数）
【答案】（1）
（2）能，信号塔的高约为31米．
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
（1）根据题意可得：，，然后在中，利用勾股定理求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答；
（2）过点作，垂足为，根据题意可得：米，米，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后根据，列出关于的方程，进行计算即可解答．
【小问1详解】
解：由题意得：，，
在中，米，米，
（米，
在中，，米，
（米，
米，
故答案为：；
【小问2详解】
解：我认为小王同学能求出信号塔的高，
理由：过点作，垂足为，
由题意得：米，米，
在中，，
米，
，
，
解得：，
米，
信号塔的高约为31米．
22. 如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上一点，CD与⊙O相切于点C，过点A作AD⊥DC，连接AC，BC．
（1）求证：AC是∠DAB的角平分线；
（2）若AD＝2，AB＝3，求AC的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）连接OC，根据切线的性质可得∠OCD＝90°，再根据AD⊥DC，和半径线段即可证明AC是∠DAB的角平分线；
（2）利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，再证明Rt△ADC∽Rt△ACB，对应边成比例即可求出AC的长．
【详解】解：（1）证明：连接OC，如图，
∵CD与⊙O相切于点C，
∴∠OCD＝90°，
∴∠ACD+∠ACO＝90°，
∵AD⊥DC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ACD+∠DAC＝90°，
∴∠ACO＝∠DAC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠DAC＝∠OAC，
∴AC是∠DAB的角平分线；
（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠D＝∠ACB＝90°，
∵∠DAC＝∠BAC，
∴Rt△ADC∽Rt△ACB，
∴ ，
∴AC2＝AD•AB＝2×3＝6，
∴AC＝
【点睛】本题主要考查切线的性质和圆周角定理，解题关键是连接OC，根据切线的性质可得∠OCD＝90°.
23. 第31届世界大学生运动会将于2023年7月28日至8月8日在成都举行，某校开展了“爱成都，迎大运”系列活动，增设篮球，足球，柔道，射击共四个课外活动项目．为了解全校1500名同学对增设的四个活动项目的喜爱情况，在全校范围内随机抽取了若干名同学，对他们喜爱的项目（每人限选一项）进行了问卷调查，将数据进行了统计，并绘制成了如图所示的条形统计图和扇形统计图，请回答下列问题：
（1）参加问卷调查的同学共 名，补全条形统计图；
（2）估计该校1500名同学中喜爱篮球运动的人数；
（3）学校准备组建一支校篮球队，某班甲，乙，丙，丁四名同学平时都很喜欢篮球运动，现决定从这四人中任选两名同学加入球队，请你用树状图或列表法求恰好选中甲，乙两名同学的概率．
【答案】（1），图见解析
（2）人
（3）
【解析】
【分析】（1）用喜爱足球的人数除以其所占的百分比可得参加问卷调查的同学的人数；用参加问卷调查的同学的人数分别减去喜爱篮球、足球、射击的人数，求出喜爱柔道的人数，补全条形统计图即可．
（2）根据用样本估计总体，用1500乘以参加问卷调查的同学中喜爱篮球运动的人数的百分比，即可得出答案．
（3）画树状图得出所有等可能的结果数和恰好选中甲、乙两名同学的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【小问1详解】
解：参加问卷调查的同学的人数为（名）．
故答案为：60．
喜爱柔道的人数为（名）．
补全条形统计图如图所示．
【小问2详解】
（人）．
∴该校1500名同学中喜爱篮球活动的人数大约450人．
小问3详解】
画树状图如下：
由图可知，共有12种等可能结果，其中恰好选中甲、乙两名同学的结果有2种，
∴恰好选中甲、乙两名同学的概率为．
【点睛】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够理解条形统计图和扇形统计图，熟练掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解答本题的关键．
24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数 的图象相交于第一、三象限内的，两点，与轴交于点 ．
（1）求该反比例函数和一次函数解析式；
（2）在轴上找一点使最大，求的最大值及点的坐标；
（3）直接写出当时，的取值范围．
【答案】（1），；（2）的最大值为， ；（3）或
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法，即可得到反比例函数和一次函数的解析式；
（2）根据一次函数y1=x+2，求得与y轴的交点P，此交点即为所求；
（3）根据AB两点的横坐标及直线与双曲线的位置关系求x的取值范围．
【详解】（1）∵在反比例函数上
∴
∴反比例函数的解析式为
把代入可求得
∴
把代入为 解得
∴一次函数的解析式为
（2）的最大值就是直线与两坐标轴交点间的距离.
设直线与轴的交点为
令，则，解得 ，
∴
令，则
∴
∴，
∴的最大值为
（3）根据图象的位置和图象交点的坐标可知：
当时的取值范围为：或．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式，根据点的坐标求线段长，正确掌握反比例函数的性质是解题的关键．
25. 如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接，点在抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点D在第一象限内的抛物线上，连接，，请求出面积的最大值；
（3）点在抛物线上移动，连接，存在，请直接写出点的坐标．
【答案】（1）
（2）4 （3）点的坐标为：或．
【解析】
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）由面积，即可求解；
（3）当点在轴上方时，则点和点关于抛物线对称轴对称，即可求解；当点在轴下方时，由，求出点，即可求解．
【小问1详解】
解：抛物线的表达式为：，
则，
解得：，
则抛物线的表达式为：①；
【小问2详解】
解：过点作轴交于点，
由点、的坐标得，直线的表达式为：，
设点，则点，
则面积，
，
故面积有最大值，当时，面积的最大值为4；
【小问3详解】
解：当点在轴上方时，
所以平行于x轴
则点和点关于抛物线对称轴对称，
则点；
当点在轴下方时，
设交轴于点，设点，
，
则，
则，
解得：，
即点，
由点、的坐标得，直线的表达式为：②，
联立①②得：，
解得：（舍去）或，
即点的坐标为：；
综上，点的坐标为：或．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到等腰三角形的性质、面积的计算等，分类求解是解题的关键．
26. 如图1，在中，，点，分别为，的中点，连接．将绕点A逆时针旋转（），连接并延长与直线交于点．
（1）若，将绕点A逆时针旋转至图2所示的位置，则线段与的数量关系是______；
（2）若（），将绕点A逆时针旋转，则（1）的结论是否仍然成立？若成立，请就图3所示的情况加以证明；若不成立，请写出正确的结论，并说明理由；
（3）若，，将旋转至时，请求出此时的长．
【答案】（1）
（2）此时（1）的结论不成立，与的数量关系为，理由见解析
（3）
【解析】
分析】（1）根据题意易得，然后可证，进而问题可求解；
（2）由题意易得，，然后可得，进而问题可求解；
（3）由题意易得，根据勾股定理可得，然后由（2）可求得，进而问题可求解．
【小问1详解】
解：∵，点，分别为，的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为；
【小问2详解】
解：此时（1）的结论不成立，与的数量关系为.
理由如下：点，分别为，的中点，
，，
，
，
，
.
，
；
【小问3详解】
解：，
，
在中，，
由（2）知，，
，，
，
又，
四边形是矩形，
，
．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定、矩形的性质与判定、勾股定理及旋转的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定、矩形的性质与判定、勾股定理及旋转的性质是解题的关键．