安徽省亳州市第二完全中学2023-2024学年高一下学期第二次月考（5月）数学试题（Word版附解析）

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注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4．测试范围：平面向量+解三角形+复数+立体几何
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1. 已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2. 已知平面向量，且，则（ ）
A. B. C. D. 1
3. 如图，一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为的正方形，则原平面图形的周长为（ ）
A. 4aB. 8aC. 6aD.
4. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（ ）
A. B. C. D.
5. 设是两个平面，是两条直线，则下列命题为真命题的是（ ）
A 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
6. 如图所示，要测量底部不能到达的某电视塔的高度，在塔的同一侧选择两个观测点，且在两点测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得，两地相距500m，则电视塔的高度是（ ）
A. B. C. D.
7. 在中，内角，，的对边分别为，，，下列命题中正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若为锐角三角形，则
C. 若，则一定是等腰直角三角形
D. 若，，则一定是等边三角形
8. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=5sin（B），c=5且O为△ABC的外心，G为△ABC的重心，则OG的最小值为
A. 1B. C. 1D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 设是复数，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C 若，则D. 若，则
10. 下列说法中正确的是（ ）
A. 向是能作为平面内所有向量一组基底
B.
C. 两个非零向量，若，则与共线且反向
D. 若，且与夹角为锐角，则
11. 如图圆台，在轴截面中，，下面说法正确的是（ ）
A. 线段
B. 该圆台的表面积为
C. 该圆台体积为
D. 沿着该圆台的表面，从点到中点的最短距离为5
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 设，是不共线的两个向量，，，.若A，B，D三点共线，则k的值为________.
13. 窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，每年新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望.图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图2中正六边形的边长为，圆的圆心为正六边形的中心，半径为2，若点在正六边形的边上运动，为圆的直径，则的取值范围是________．
14. 已知平面非零向量和单位向量，若与的夹角为与的夹角为，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知，，与的夹角为．
（1）求；
（2）若向量与相互垂直，求实数k的值．
16. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且.
（1）求A﹔
（2）若的面积为，求的周长.
17. 如图，在中，，点满足．
（1）若点是线段上一点，且，求实数的值；
（2）若，求的余弦值．
18. 如图：在正方体中，为的中点.
（1）求三棱锥的体积；
（2）求证：平面；
（3）若为的中点，求证：平面平面.
19. 如下左图，矩形中，，，.过顶点作对角线的垂线，交对角线于点，交边于点，现将沿翻折，形成四面体，如下右图.

（1）求四面体外接球的体积；
（2）求证：平面平面；
（3）若点为棱的中点，请判断在将沿翻折过程中，直线能否平行于面.若能请求出此时的二面角的大小；若不能，请说明理由.