四川省射洪中学校2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试卷(含答案)

这是一份四川省射洪中学校2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
2．高三某班56人参加了数学模拟考试，通过抽签法，抽取了8人的考试成绩如下：73，71，91，80，82，85，106，93，则这组数据的中位数与分位数分别为( )
A.81，95.5C.83.5，92D.83.5，91
3．在正方体中，直线与所成角的大小为( )
A.B.C.D.
4．如图，在中，，，若的水平放置直观图为，则的面积为( )
A.B.C.D.
5．已知，且，则( )
A.B.C.D.
6．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则( )
A.B.C.D.
7．若圆锥的母线长为，侧面展开图的面积为，则该圆锥的体积是( )
A.B.C.D.
8．农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原.小明在和家人一起包粽子时，想将一丸子（近似为球）包入其中，如图，将粽叶展开后得到由六个边长为4的等边三角形所构成的平行四边形，将粽叶沿虚线折起来，可以得到如图所示的粽子形状的六面体，则放入丸子的体积最大值为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．对于两个平面，和两条直线m，n，下列命题中假命题是( )
A.若，，则
B.若，，则
C.若，，，则
D.若，，，则
10．函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是( )
A.函数最小正周期为B.
C.在区间上单调递减D.方程在区间内有4个根
11．如图，在正方体中，，E，F，G，H，I均为所在棱的中点，P是正方体表面上的动点，则下列说法正确的是( )
A.平面
B.三棱锥的体积为
C.过E，F，G三点的平面截正方体所得截面的面积为
D.若，则点P的轨迹长度为
三、填空题
12．已知，，则________.
13．某高中为了了解学生参加数学建模社团的情况，采用了分层随机抽样的方法从三个年级中抽取了300人进行问卷调查，其中高一、高二年级各抽取了90人.已知该校高三年级共有720名学生，则该校共有学生人________.
14．如图，已知正方形的边长为4，若动点P在以为直径的半圆E(正方形内部，含边界)，则的取值范围为________.
四、解答题
15．已知向量，，，向量与向量的夹角为.
(1)求的值；
(2)若，求实数的值.
16．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
(1)求A.
(2)若，，求的周长.
17．2024年中国全名健身走（跑）大赛（四川射洪站）城市联动接力赛在射洪市举行，志愿者的服务工作是城市联动接力赛成功举办的重要保障，射洪市新时代文明实践中心承办了志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同.
(1)求a，b的值；
(2)估计这100名候选者面试成绩的平均数和第25百分位数；
(3)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的宣传者.若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为62和40，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和70，据此估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差.
18．已知函数.
(1)求函数的单调递减区间；
(2)将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位，得到函数的图象，当时，方程有且仅有一个解，求m的取值范围.
19．如图，在四面体中，，平面，，点M为上一点，且，连接，.
(1)求证.
(2)求点D到平面的距离；
(3)求二面角的余弦值.
参考答案
1．答案：D
解析：复数
对应的点坐标为在第四象限.
故答案为D.
2．答案：D
解析：将这8个数从小到大排列为71，73，80，82，85，91，93，106，中位数为第四､五两个数的平均数，即，
由于，所以分位数为第六个数91.
故选：D.
3．答案：B
解析：画出图象如下图所示，
根据正方体的性质可知，
所以是直线与所成角，
由于三角形是等边三角形，所以，
即直线与所成角的大小为.
故选：B
4．答案：B
解析：在中，，，则，，
由斜二测画法规则知，，，，边上的高，
所以的面积为.
故选：B
5．答案：B
解析：依题意，原等式化为：，整理得：，
因，则，解得：，
所以.
故选：B
6．答案：A
解析：依题由正弦定理得：
，
即，
，，.
故选：A.
7．答案：B
解析：设圆锥的高为h，底面半径为r，
则，解得.
所以.
则圆锥的体积.
故选：B
8．答案：D
解析：六面体每个面都是等边三角形且每个面的面积，
由对称性可知该六面体是由两个正四面体合成的，所以四面体的高为，
所以四面体的体积为，所以六面体的体积为，
根据图形的对称性可知，若内部丸子的体积最大，则丸子与六个面都相切，
连接丸子的球心与六面体的五个顶点，将六面体分为六个三棱锥，设此时丸子的半径为R，
所以，所以，
所以丸子的体积为，
故选：D.
9．答案：ABC
解析：对于A，若，，则或，故A是假命题；
对于B，若，，有可能出现，故B是假命题；
对于C，若，，，有可能出现，故C是假命题；
对于D，，，则或，
若，则由得，
若，则内有直线，而易知，从而，D是真命题.
故选：ABC.
10．答案：ACD
解析：对于A，由图象知：的最小正周期，A正确；
对于B，由A知：，，
，解得：，
又，，B错误；
对于C，由AB可知：，
当时，，在上单调递减，C正确；
对于D，当时，，
则当或或或，即或或或时，，
在区间内有4个根，D正确.
故选：ACD.
11．答案：BCD
解析：选项A，如图，设点K是棱中点，由E，F，G，H，I均为所在棱的中点，
根据中位线易得，进而可得与点共面，所以平面，错误；
选项B，如图，因为面在正方体前侧面上，所以点E到面的距离等于的长，
正方形中，
则三棱锥的体积为，
选项C，由选项A知过E，F，G三点的平面截正方体所得截面为正六边形，边长，所以面积为，
选项D，由知点P轨迹为A为球心，2为半径的球与正方体表面的交线，如图，
由正方体棱长2得，交线为三段半径为2的四分之一圆，长度为，
故选：BCD.
12．答案：7
解析：由，，得.
故答案为：7
13．答案：1800
解析：由题意可知从三个年级中抽取的300人进行问卷调查，其中高三有120人，
所以抽取的比例为
设该校共有n名学生，可得，
解得人，即该校共有1800名学生.
故答案为：1800.
14．答案：
解析：因为正方形的边长为4，取的中点E，连接，
当P在A点或B点时，，
当P在弧中点时，，
所以的取值范围为，
由于，，，
所以，
因为，所以，故，
所以，即的取值范围为.
故答案为：.
15．答案：(1)；
(2)
解析：（1），，.
.
（2），且
，即，
解得.
16．答案：(1)；
(2)
解析：（1）方法一：常规方法（辅助角公式）
由可得，即，
由于，故，解得
方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系）
由，又，消去得到：
，解得，
又，故
方法三：利用极值点求解
设，则，
显然时，，注意到，
，在开区间上取到最大值，于是必定是极值点，
即，即，
又，故
方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式）
设，，由题意，，
根据向量的数量积公式，，
则，此时，即，同向共线，
根据向量共线条件，，
又，故
方法五：利用万能公式求解
设，根据万能公式，，
整理可得，，
解得，根据二倍角公式，，
又，故
（2）由题设条件和正弦定理
，
又，则，进而，得到，
于是，
，
由正弦定理可得，，即，
解得，，
故的周长为
17．答案：(1)；
(2)平均数为69.5，第25百分位数为63；
(3)
解析：（1），解得
（2）可知每组的频率依次为：0.05，0.25，0.45，0.2，0.05，
所以平均数为，
因为，
设第25百分位数为x，则，则，
解得，故第25百分位数为63.
（3）设第二组、第四组面试者的面试成绩的平均数与方差分别为，，，，且两组频率之比为，
则第二组和第四组所有面试者的面试成绩的平均数，
第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差
.
故估计第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差是.
18．答案：(1)；
(2)
解析：（1），
令，则，
所以函数的单调递减区间为：.
（2）将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，
再将图象向左平移个单位，得到的图象，
因为，所以，则在上递增，在上递减，所以在的值域为，在的值域为，
所以有且仅有一个解，则.
19．答案：(1)证明见解析；
(2)；
(3)
解析：（1）因为平面，平面，
所以，
因为，，平面，
所以平面，
因为平面，
所以；
（2）因为平面，平面，所以，
因为，所以，，
因为点M为上一点，且，
所以，，点M到平面的距离为，
因为，，所以，，
由（1）知平面，因为平面，所以，
所以，
在中，由余弦定理得
，
在中，由余弦定理得，
所以，
所以，
设点D到平面的距离为d，
因为，所以，
所以，解得.
（3）取的中点N，连接，过M作于H，过H作于E，连接，
因为在平面中，，，所以，
由（1）知，所以，
因为，平面，所以平面，
因为平面，所以，
因为，，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
所以为二面角的平面角，
因为，，
所以，，
在中，，
所以，
所以二面角的余弦值为.