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高考物理一轮复习专题11.3电磁感应--电磁感应中的动力学问题-(原卷版+解析)
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这是一份高考物理一轮复习专题11.3电磁感应--电磁感应中的动力学问题-(原卷版+解析)，共63页。试卷主要包含了电磁感应中的动力学问题等内容，欢迎下载使用。
考向一 电磁感应中的动力学问题
考向二 电磁感应中的动力学问题--单杆模型
考向三 电磁感应中的动力学问题--含容式单棒模型
考向四 电磁感应中的动力学问题--双棒问题模型
考向一 电磁感应中的动力学问题
电磁感应中的动力学问题
1.导体棒的动力学分析
电磁感应现象中产生的感应电流在磁场中受到安培力的作用，从而影响导体棒(或线圈)的受力情况和运动情况。
2．两种状态及处理方法
3．导体常见运动情况的动态分析
【典例1】.(多选)(2023·湖北十堰市上学期期末)如图甲所示，abcd为由金属导体做成的框架，其平面与水平面所成角度为θ，质量为m的导体棒PQ与ab、cd接触良好，回路的总电阻为R，整个装置放在垂直于框架平面的变化的磁场中，磁场的磁感应强度变化情况如图乙所示(取磁场方向垂直框架平面向上为正)，PQ始终静止。关于PQ与ab、cd间摩擦力Ff在0到t1内变化情况的说法中，有可能正确的是( )
A.Ff一直增大 B.Ff一直减小
C.Ff先增大，后减小 D.Ff先减小，后增大
答案:AD
解析：根据法拉第电磁感应定律和闭合电路的欧姆定律可得感应电流I＝eq \f(ΔB,ΔtR)S，其中磁感应强度的变化率为定值，所以在线圈中产生恒定的感应电流，根据楞次定律可知电流方向逆时针，根据左手定则可知开始导体棒PQ受到沿导轨向上的安培力，若开始安培力小于导体棒重力沿导轨向下的分力mgsin θ，则摩擦力方向沿导轨向上，其大小为Ff＝mgsin θ－F安，随着安培力的减小，摩擦力Ff逐渐增大，当安培力为零时，摩擦力达到最大；若开始安培力大于mgsin θ，则摩擦力方向沿导轨向下，其大小为Ff＝F安－mgsin θ，由于安培力逐渐减小，摩擦力逐渐减小，当F安＝mgsin θ时，摩擦力为零并开始反向变为Ff＝mgsin θ－F安，Ff随着安培力的减小将逐渐增大；综上分析知，A、D正确，B、C错误。
【典例2】(2023·福建厦门市五月质检)如图所示，质量M＝1 kg的绝缘板静止在水平地面上，与地面间的动摩擦因数μ1＝0.1。金属框ABCD放在绝缘板上，质量m＝2 kg，长L1＝2 m，宽L2＝1 m，总电阻为0.1 Ω，与绝缘板间的动摩擦因数μ2＝0.2。S1、S2是边长为L＝0. 5 m的正方形区域，S1中存在竖直向下、均匀增加的磁场B1，其变化率eq \f(ΔB1,Δt)＝2 T/s；S2中存在竖直向上的匀强磁场，大小为B2＝2 T。将金属框ABCD及绝缘板均由静止释放，重力加速度g取10 m/s2，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，求释放时：
(1)金属框ABCD所受安培力的大小与方向；
(2)金属框ABCD的加速度大小。
答案:(1)5 N 水平向右 (2)eq \f(2,3) m/s2
解析：(1)释放时，由法拉第电磁感应定律得E＝eq \f(ΔB1,Δt)L2
I＝eq \f(E,R)
F＝B2IL
解得F＝5 N，方向水平向右。
(2)假设金属框与绝缘板能相对静止，一起匀加速，则对整体而言
F－μ1(M＋m)g＝(M＋m)a
解得a＝eq \f(2,3) m/s2
设此时金属框与绝缘板间的摩擦力大小为Ff，由牛顿第二定律F－Ff＝ma
解得Ff＝eq \f(11,3) N
而金属框与绝缘板之间的最大静摩擦力为Ffm＝μ2mg＝4 N
由于Ff＜Ffm
假设成立，金属框与绝缘板能相对静止一起加速，金属框此时的加速度大小为a＝eq \f(2,3) m/s2。
练习1、(多选)(2023·云南省昆明市“三诊一模”二模)用一段横截面半径为r、电阻率为ρ、密度为d的均匀导体材料做成一个半径为R(r≪R)的圆环。圆环竖直向下落入如图1所示的径向磁场中，圆环的圆心始终在N极的轴线上，圆环所在位置的磁感应强度大小均为B。圆环在加速下滑过程中某一时刻的速度为v，忽略电感的影响，则( )
A.此时在圆环中产生了(俯视)顺时针的感应电流
B.圆环因受到了向下的安培力而加速下落
C.此时圆环的加速度a＝eq \f(B2v,ρd)
D.如果径向磁场足够长，则圆环的最大速度vm＝eq \f(ρdg,B2)
答案:AD
解析：由右手定则可以判断感应电流的方向为逆时针，可知选项A正确；由左手定则可以判断，此时圆环受到的安培力方向应该向上，选项B错误；对圆环受力分析可解得加速度a＝g－eq \f(B2v,ρd)，选项C错误；当重力等于安培力时速度达到最大，可得vm＝eq \f(ρgd,B2)，选项D正确。
练习2、(2023·山东省滨州市高三下二模)如图所示，两固定的绝缘斜面倾角均为θ，上沿相连．两细金属棒ab(仅标出a端)和cd(仅标出c端)长度均为L，质量分别为2m和m；用两根不可伸长的柔软轻导线将它们连成闭合回路abdca，并通过固定在斜面上沿的两光滑绝缘小定滑轮跨放在斜面上，使两金属棒水平．右斜面上存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于斜面向上．已知两根导线刚好不在磁场中，回路电阻为R，两金属棒与斜面间的动摩擦因数均为μ，重力加速度大小为g.已知金属棒ab匀速下滑．求：
(1)作用在金属棒ab上的安培力的大小；
(2)金属棒运动速度的大小．
答案:(1)mg(sin θ－3μcs θ) (2)(sin θ－3μcs θ)eq \f(mgR,B2L2)
解析：(1)设两根导线的总的张力的大小为T，右斜面对ab棒的支持力的大小为N1，作用在ab棒上的安培力的大小为F，左斜面对cd棒的支持力大小为N2.对于ab棒，由力的平衡条件得2mgsin θ＝μN1＋T＋F①
N1＝2mgcs θ②
对于cd棒，同理有mgsin θ＋μN2＝T③
N2＝mgcs θ④
联立①②③④式得F＝mg(sin θ－3μcs θ)．⑤
(2)由安培力公式得F＝BIL⑥
这里I是回路abdca中的感应电流
ab棒上的感应电动势为E＝BLv⑦
式中，v是ab棒下滑速度的大小
由欧姆定律得I＝eq \f(E,R)⑧
联立⑤⑥⑦⑧式得v＝(sin θ－3μcs θ)eq \f(mgR,B2L2).
【巧学妙记】
电磁感应中的动力学临界问题的分析思路
(1)解决这类问题的关键是通过受力情况和运动状态的分析，寻找过程中的临界状态，如速度、加速度为最大值或最小值的条件。
考向二 电磁感应中的动力学问题--单杆模型
一、电磁感应中的动力学问题--单杆模型
【典例3】(多选)(2023·山东卷)如图所示，电阻不计的光滑U形金属导轨固定在绝缘斜面上。区域Ⅰ、Ⅱ中磁场方向均垂直斜面向上，Ⅰ区中磁感应强度随时间均匀增加，Ⅱ区中为匀强磁场。阻值恒定的金属棒从无磁场区域中a处由静止释放，进入Ⅱ区后，经b下行至c处反向上行。运动过程中金属棒始终垂直导轨且接触良好。在第一次下行和上行的过程中，以下叙述正确的是( )
A.金属棒下行过b时的速度大于上行过b时的速度
B.金属棒下行过b时的加速度大于上行过b时的加速度
C.金属棒不能回到无磁场区
D.金属棒能回到无磁场区，但不能回到a处
答案:ABD
解析：在Ⅰ区域中，磁感应强度为B1＝kt，感应电动势E1＝eq \f(ΔB1,Δt)S＝kS，感应电动势恒定，所以金属棒上的感应电流恒为I1＝eq \f(E1,R)＝eq \f(kS,R)，进入Ⅱ区域后，切割磁感线产生感应电动势，因为金属棒到达c点后又能上行，说明加速度始终沿斜面向上，下行和上行经过b点的受力分析如图。
设下行、上行过b时金属棒的速度分别为v、v′，则下行过b时切割磁感线产生的感应电动势为E2＝B2Lv，金属棒上的电流为I2＝eq \f(E2＋E1,R)＝eq \f(B2Lv,R)＋eq \f(kS,R)，根据牛顿第二定律可得B2I2L－mgsin θ＝eq \f(Beq \\al(2,2)L2v,R)＋eq \f(B2kSL,R)－mgsin θ＝ma1；上行过b时，切割磁感线产生的感应电动势为E2′＝B2Lv′，金属棒上的电流为I3＝eq \f(E1－E2,R)＝eq \f(kS,R)－eq \f(B2Lv′,R)，根据牛顿第二定律可得B2I3L－mgsin θ＝eq \f(B2kSL,R)－eq \f(Beq \\al(2,2)L2v′,R)－mgsin θ＝ma2，分析可知a1>a2，下行和上行过程通过bc段的位移大小相等，根据v2＝2ax可知金属棒下行经过b点时的速度大于上行经过b点时的速度，A、B正确；金属棒上行时，加速度与速度同向，金属棒做加速度减小的加速度运动，一定能回到无磁场区，由以上分析可得，金属棒进磁场Ⅱ区(下行进磁场)的速度大于出磁场Ⅱ区(下行进磁场)的速度，金属棒在无磁场区做加速度相同的减速运动，则金属棒不能回到a处，C错误，D正确。
【典例4】(多选)(2023·江苏省扬州市高三下第三次调研)如图所示，M、N为同一水平面内的两条平行长直导轨，左端串联电阻R，金属杆ab垂直导轨放置，金属杆和导轨的电阻不计，杆与导轨间接触良好且无摩擦，整个装置处于竖直方向的匀强磁场中。现对金属杆ab施加一个与其垂直的水平方向的恒力F，使金属杆从静止开始运动。在运动过程中，金属杆的速度大小为v，R上消耗的总能量为E，则下列关于v、E随时间变化的图象可能正确的是( )
答案:AD
解析：对金属杆ab施加一个与其垂直的水平方向的恒力F，使金属杆从静止开始运动；由于金属杆切割磁感线产生感应电动势和感应电流，受到随速度的增大而增大的安培力作用，所以金属杆做加速度逐渐减小的加速运动；当安培力增大到等于水平方向的恒力F时，金属杆做匀速直线运动，vt图象A正确，B错误。由功能关系知，开始水平方向的恒力F做的功一部分使金属杆动能增大，另一部分转化为电能，被电阻R消耗掉；当金属杆匀速运动后，水平方向的恒力F所做的功等于R上消耗的总能量E，因此Et图象是D正确、C错误。
练习3、(2023·江苏省宿迁市高三下第三次调研)如图所示，电阻不计的平行导轨竖直固定，上端接有电阻为R，高度为h的匀强磁场与导轨平面垂直．一导体棒从磁场上方的A位置自由释放，用x表示导体棒进入磁场后的位移，i表示导体棒中的感应电流大小，v表示导体棒的速度大小，Ek表示导体棒的动能，a表示导体棒的加速度大小，导体棒与导轨垂直并接触良好．以下图象可能正确的是( )
答案:AC
解析：由于导体棒释放时距离磁场上边界有一定高度，所以导体棒到达磁场上边界时获得大小一定的速度v0，若速度v0较小，导体棒切割磁感线产生的感应电流较小，导体棒受到的安培力小于其自身的重力，导体棒做加速运动，当速度增大到一定值，满足安培力等于重力时，导体棒做匀速运动，离开磁场后做匀加速运动．
若速度v0较大，切割磁感线产生的感应电流较大，导体棒受到的安培力大于其自身的重力，导体棒做减速运动，当速度减小到一定值，满足安培力等于重力时，导体棒做匀速运动，离开磁场后做匀加速运动．选项A符合此种情况；选项B中的0～h段不应该是直线，故B选项错误；选项D中到达h以后，导体棒做匀加速运动，速度增大，D选项错误；
若速度v0刚好满足安培力等于重力，则导体棒做匀速运动，离开磁场后做匀加速运动，选项C符合此种情况．本题应选A、C.
练习4、(2023·湖北高考)如图a所示，两根不计电阻、间距为L的足够长平行光滑金属导轨，竖直固定在匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨平面向里，磁感应强度大小为B。导轨上端串联非线性电子元件Z和阻值为R的电阻。元件Z的UI图像如图b所示，当流过元件Z的电流大于或等于I0时，电压稳定为Um。质量为m、不计电阻的金属棒可沿导轨运动，运动中金属棒始终水平且与导轨保持良好接触。忽略空气阻力及回路中的电流对原磁场的影响，重力加速度大小为g。为了方便计算，取I0＝eq \f(mg,4BL)，Um＝eq \f(mgR,2BL)。以下计算结果只能选用m、g、B、L、R表示。
(1)闭合开关S，由静止释放金属棒，求金属棒下落的最大速度v1；
(2)断开开关S，由静止释放金属棒，求金属棒下落的最大速度v2；
(3)先闭合开关S，由静止释放金属棒，金属棒达到最大速度后，再断开开关S。忽略回路中电流突变的时间，求S断开瞬间金属棒的加速度大小a。
答案: (1)eq \f(mgR,B2L2) (2)eq \f(3mgR,2B2L2) (3)eq \f(g,2)
解析： (1)闭合开关S，金属棒下落的过程中受竖直向下的重力、竖直向上的安培力作用，当重力与安培力大小相等时，金属棒的加速度为零，速度最大，则mg＝BI1L
由法拉第电磁感应定律得E1＝BLv1
由闭合电路欧姆定律得I1＝eq \f(E1,R)
联立解得v1＝eq \f(mgR,B2L2)。
(2)断开开关S，由静止释放金属棒后，当金属棒的速度达到最大时，金属棒受力平衡，则mg＝BI2L
解得I2＝eq \f(mg,BL)>I0
则元件Z两端的电压为Um＝eq \f(mgR,2BL)
此时定值电阻两端的电压为UR＝BLv2－Um
由欧姆定律得I2＝eq \f(UR,R)
联立解得v2＝eq \f(3mgR,2B2L2)。
(3)开关S闭合，由静止释放金属棒，当金属棒的速度最大时，金属棒产生的感应电动势为
E1＝BLv1＝eq \f(mgR,BL)
断开开关S的瞬间，假设元件Z两端的电压为Um＝eq \f(mgR,2BL)
则定值电阻两端的电压为UR′＝E1－Um＝eq \f(mgR,2BL)
电路中的电流为I′＝eq \f(UR′,R)＝eq \f(mg,2BL)
I′>I0，则假设成立
金属棒受到的安培力为FA＝BI′L
对金属棒由牛顿第二定律得mg－FA＝ma
解得a＝eq \f(g,2)。
考向三 电磁感应中的动力学问题--含容式单棒模型
一、电磁感应中的动力学问题--含容式单棒模型
棒的初速度为零，拉力F恒定(棒和水平导轨电阻忽略不计，摩擦力不计)
如图，运动过程分析：棒做加速运动，持续对电容器充电，则存在充电电流
由F－BIl＝ma，I＝eq \f(ΔQ,Δt)，ΔQ＝CΔU，ΔU＝ΔE＝BlΔv，
联立可得F－eq \f(CB2l2Δv,Δt)＝ma，其中eq \f(Δv,Δt)＝a，
则可得a＝eq \f(F,m＋B2l2C)
所以棒做加速度恒定的匀加速直线运动．
功能关系：WF＝eq \f(1,2)mv2＋E电
二、常见几种模型
【典例5】 (2023·河北卷·7)如图，两光滑导轨水平放置在竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度大小为B，导轨间距最窄处为一狭缝，取狭缝所在处O点为坐标原点，狭缝右侧两导轨与x轴夹角均为θ，一电容为C的电容器与导轨左端相连，导轨上的金属棒与x轴垂直，在外力F作用下从O点开始以速度v向右匀速运动，忽略所有电阻，下列说法正确的是( )
A．通过金属棒的电流为2BCv2tan θ
B．金属棒到达x0时，电容器极板上的电荷量为BCvx0tan θ
C．金属棒运动过程中，电容器的上极板带负电
D．金属棒运动过程中，外力F做功的功率恒定
答案:A
解析：根据楞次定律可知电容器的上极板应带正电，C错误；
由题知金属棒匀速切割磁感线，根据几何关系知切割长度为L＝2xtan θ，x＝vt
则产生的感应电动势为E＝2Bv2ttan θ
由题图可知电容器直接与电源相连，则电容器的电荷量为Q＝CE＝2BCv2ttan θ
则流过金属棒的电流I＝eq \f(Q,t)＝2BCv2tan θ，A正确；
当金属棒到达x0处时，金属棒产生的感应电动势为
E′＝2Bvx0tan θ
则此时电容器的电荷量为Q′＝CE′＝2BCvx0tan θ，B错误；
由于金属棒做匀速运动，
则F＝F安＝BIL＝4B2Cv3tan2θ·t，
F与t成正比，则F为变力，根据力做功的功率公式P＝Fv
可知功率P随力F变化而变化，D错误．
【典例6】(多选)(2023·江苏省淮安市高三下第三次调研)在如图所示的甲、乙、丙中除导体棒ab可动外，其余部分均固定不动。甲图中的电容器C原来不带电，设导体棒、导轨和直流电源的电阻均可忽略，导体棒和导轨间的摩擦不计。图中装置均在水平面内，且都处于方向垂直水平面(即纸面)向下的匀强磁场中，导轨足够长，今给导体棒一个向右的初速度v0，导体棒的最终运动状态是( )
A．三种情况下，导体棒最终均静止
B．图甲、丙中导体棒最终将以不同的速度做匀速运动；图乙中导体棒最终静止
C．图甲、丙中，导体棒最终将以相同的速度做匀速运动
D．甲、乙两种情况下，电阻R上产生的焦耳热一定不同
答案:BD
解析：题图甲中，导体棒向右运动切割磁感线产生感应电流而使电容器充电，当电容器极板间电压与导体棒产生的感应电动势相等时，电路中没有电流，导体棒不受安培力，其向右做匀速运动；题图乙中，导体棒向右运动切割磁感线产生感应电流，通过电阻R转化为内能，导体棒速度减小，当导体棒的动能全部转化为内能时，导体棒静止；题图丙中，导体棒先受到向左的安培力作用向右做减速运动，速度减为零后再在安培力作用下向左做加速运动，当导体棒产生的感应电动势与电源的电动势相等时，电路中没有电流，导体棒向左做匀速运动，故A、C错误，B正确；题图甲中，导体棒的部分动能转化为内能，题图乙中，导体棒的动能全部转化为内能，故有Q甲练习5、(2023·江苏省徐州市高三下第三次调研)如图所示，两光滑平行金属导轨间距为L，直导线MN垂直跨在导轨上，且与导轨接触良好，整个装置处在垂直于纸面向里的匀强磁场中，磁感应强度为B。电容器的电容为C，除电阻R外，导轨和直导线的电阻均不计。现给MN一初速度，使MN向右运动，当电路稳定后，MN以速度v向右做匀速运动时( )
A．电容器两极板间的电压为零
B．电阻两端的电压为BLv
C．电容器所带电荷量为CBLv
D．为保持MN匀速运动，需对其施加的拉力大小为eq \f(B2L2v,R)
答案:C
解析：当MN向右匀速运动时，MN产生的感应电动势恒定，稳定后，电容器既不充电也不放电，无电流产生，故电阻两端没有电压，电容器两极板间的电压为U＝E＝BLv，所带电荷量Q＝CU＝CBLv，A、B错误，C正确；MN匀速运动时，因无电流而不受安培力，由平衡条件知拉力为零，D错误。
练习6、(2023·天津市部分区高三上期末)如图甲所示，相距L＝1 m的两根足够长的光滑平行金属导轨倾斜放置，与水平面夹角θ＝37°，导轨电阻不计，质量m＝1 kg、接入电路电阻为r＝0.5 Ω的导体棒ab垂直于导轨放置，导轨的PM两端接在外电路上，定值电阻阻值R＝1.5 Ω，电容器的电容C＝0.5 F，电容器的耐压值足够大，导轨所在平面内有垂直于导轨平面斜向上的匀强磁场．在开关S1闭合、S2断开的状态下将导体棒ab由静止释放，导体棒的v－t图像如图乙所示，sin 37°＝0.6，取重力加速度g＝10 m/s2.
(1)求磁场的磁感应强度大小B；
(2)在开关S1闭合、S2断开的状态下，当导体棒下滑的距离x＝5 m时，定值电阻产生的焦耳热为21 J，此时导体棒的速度与加速度分别是多大？
(3)现在开关S1断开、S2闭合的状态下，由静止释放导体棒，求经过t＝2 s时导体棒的速度大小．
答案:(1)2 T (2)2 m/s 2 m/s2 (3)4 m/s
解析：(1)由题图乙可知，导体棒的最大速度
vm＝3 m/s，
对应的感应电动势E＝BLvm，
感应电流I＝eq \f(E,R＋r)，
当速度达到最大时，导体棒做匀速运动，导体棒受力平衡，有BIL＝mgsin θ，
解得B＝eq \r(\f(mgR＋rsin θ,L2vm))＝2 T.
(2)导体棒和定值电阻串联，由公式Q＝I2Rt可知：Qab∶QR＝1∶3，则导体棒ab产生的焦耳热Qab＝eq \f(1,3)×21 J＝7 J，导体棒下滑x＝5 m的距离，导体棒减少的重力势能转化为动能和回路中的焦耳热，由能量守恒定律有
mgxsin θ＝eq \f(1,2)mv12＋Qab＋QR
得导体棒的速度v1＝2 m/s，
此时感应电动势E1＝BLv1，
感应电流I1＝eq \f(E1,R＋r)，
对导体棒有mgsin θ－BI1L＝ma1，
解得加速度a1＝2 m/s2.
(3)开关S1断开、S2闭合时，任意时刻对导体棒，根据牛顿第二定律有
mgsin θ－BI2L＝ma2，
感应电流I2＝eq \f(Δq,Δt)，Δq＝CΔU
Δt时间内，有ΔU＝ΔE＝BLΔv，a2＝eq \f(Δv,Δt)，
解得a2＝2 m/s2，
表明导体棒ab下滑过程中加速度不变，导体棒做匀加速直线运动，t＝2 s时导体棒的速度大小v2＝a2t＝4 m/s.
考向四 电磁感应中的动力学问题--双棒问题模型
一、初速度为零，一杆受到恒定水平外力的作用
【典例7】(多选)(2023·全国卷Ⅰ·21)如图，U形光滑金属框abcd置于水平绝缘平台上，ab和dc边平行，和bc边垂直．ab、dc足够长，整个金属框电阻可忽略．一根具有一定电阻的导体棒MN置于金属框上，用水平恒力F向右拉动金属框，运动过程中，装置始终处于竖直向下的匀强磁场中，MN与金属框保持良好接触，且与bc边保持平行．经过一段时间后( )
A．金属框的速度大小趋于恒定值
B．金属框的加速度大小趋于恒定值
C．导体棒所受安培力的大小趋于恒定值
D．导体棒到金属框bc边的距离趋于恒定值
答案:BC
解析：当金属框在恒力F作用下向右加速运动时，bc边产生从c到b的感应电流i，金属框的加速度大小为a1，则有F－Bil＝Ma1；MN中感应电流从M流向N，MN在安培力作用下向右加速运动，加速度大小为a2，则有Bil＝ma2，当金属框和MN都运动后，金属框速度为v1，MN速度为v2，则电路中的感应电流为i＝eq \f(Blv1－v2,R)，感应电流从0开始增大，则a2从零开始增加，a1从eq \f(F,M)开始减小，加速度差值减小，当a1＝a2时，得F＝(M＋m)a，a＝eq \f(F,M＋m)恒定，由F安＝ma可知，安培力不再变化，则感应电流不再变化，据i＝eq \f(Blv1－v2,R)知金属框与MN的速度差保持不变，v－t图像如图所示，故A错误，B、C正确；MN与金属框的速度差不变，但MN的速度小于金属框的速度，则MN到金属框bc边的距离越来越大，故D错误．
【典例8】(多选)(2023·山东泰安模拟)如图，平行光滑金属导轨M、N固定在水平面上，处于竖直向下的匀强磁场中。完全相同的两金属棒P、Q搭放在导轨上，开始均处于静止状态。给P施加一与导轨平行的恒定拉力作用，运动中两金属棒始终与导轨垂直并与导轨接触良好。设导轨足够长，除两棒的电阻外其余电阻均不计。则两棒的速度及棒中的感应电流随时间变化的图象正确的是( )
答案:AD
解析：P向右做切割磁感线运动，由右手定则判断知，回路中产生逆时针的感应电流，由左手定则判断可知，Q棒所受的安培力方向向右，Q棒向右做加速运动，开始阶段，两棒的速度差增大，回路中产生的感应电动势增大，感应电流增大，两棒所受的安培力都增大，则P的加速度减小，Q的加速度增大，当两者的加速度相等时，速度之差不变，感应电流不变，安培力不变，两棒均做加速度相同的匀加速运动。开始运动时，P棒做加速度减小的加速运动，Q棒做加速度增大的加速运动，最终做加速度相同的加速运动，故A正确，B错误；开始运动时，两棒的速度差增大，感应电动势增大，通过电流增大，最终两棒都做匀加速运动，速度差保持不变，故回路中感应电动势不变，电流恒定，故C错误，D正确。
练习7、(2023·北京市丰台区高三上期末)如图所示，上下不等宽的平行导轨，EF和GH部分的导轨间距为L，PQ和MN部分的导轨间距为3L，导轨平面与水平面的夹角为30°，整个装置处在垂直于导轨平面的匀强磁场中．金属杆ab和cd的质量均为m，都可在导轨上无摩擦地滑动，且与导轨接触良好，现对金属杆ab施加一个沿导轨平面向上的作用力F，使其沿斜面匀速向上运动，同时cd处于静止状态，则F的大小为( )
A.eq \f(2,3)mg B．mg
C.eq \f(4,3)mg D.eq \f(3,2)mg
答案:A
解析：设ab杆向上做切割磁感线运动时，产生的感应电流大小为I，受到的安培力大小为F安＝BIL，对于cd，由平衡条件有BI·3L＝mgsin 30°，对于ab杆，由平衡条件有F＝mgsin 30°＋BIL，得F＝eq \f(2,3)mg，A对．
练习8、(2023·湖北省武汉市第二中学高三上模拟)间距为L＝2 m的足够长的金属直角导轨如图所示放置，它们各有一边在同一水平面内，另一边垂直于水平面．质量均为m＝0.1 kg的金属细杆ab、cd与导轨垂直放置形成闭合回路．细杆与导轨之间的动摩擦因数均为μ＝0.5，导轨的电阻不计，细杆ab、cd接入电路的电阻分别为R1＝0.6 Ω，R2＝0.4 Ω.整个装置处于磁感应强度大小为B＝0.50 T、方向竖直向上的匀强磁场中(图中未画出)．当ab杆在平行于水平导轨的拉力F作用下从静止开始沿导轨匀加速运动时，cd杆也同时从静止开始沿导轨向下运动，且t＝0时，F＝1.5 N，g＝10 m/s2.
(1)求ab杆的加速度a的大小；
(2)求当cd杆达到最大速度时ab杆的速度大小；
(3)若从开始到cd杆达到最大速度的过程中拉力F做的功为5.2 J，求该过程中ab杆所产生的焦耳热．
答案:(1)10 m/s2 (2)2 m/s (3)2.94 J
解析：(1)由题可知，在t＝0时，F＝1.5 N
对ab杆进行受力分析，由牛顿第二定律得
F－μmg＝ma代入数据解得a＝10 m/s2.
(2)从d向c看，对cd杆进行受力分析，如图所示，当cd杆速度最大时，设ab杆的速度大小为v，根据平衡条件，有Ff＝mg＝μFN，
FN＝F安，F安＝BIL，
I＝eq \f(BLv,R1＋R2)
综合以上各式，
解得v＝2 m/s
(3)整个过程中，ab杆发生的位移
x＝eq \f(v2,2a)＝eq \f(22,2×10) m＝0.2 m
对ab杆应用动能定理，有WF－μmgx－W安＝eq \f(1,2)mv2
代入数据解得W安＝4.9 J
根据功能关系得Q总＝W安
所以ab杆上产生的热量Qab＝eq \f(R1,R1＋R2)Q总＝2.94 J.
1. (2023·北京市朝阳区高三一模)如图所示，在一匀强磁场中有一U形导线框abcd，线框处于水平面内，磁场与线框平面垂直，R为一电阻，ef为垂直于ab的一根导体杆，它可在ab、cd上无摩擦地滑动。ef及线框中导线的电阻不计。开始时，给ef一个向右的初速度，则( )
A．ef将减速向右运动，但不是匀减速
B．ef将匀减速向右运动，最后停止
C．ef将匀速向右运动
D．ef将往返运动
2. (多选)(2023·山东省日照市二模)如图所示，M、N为同一水平面内的两条平行长直导轨，左端串联电阻R，金属杆ab垂直导轨放置，金属杆和导轨的电阻不计，杆与导轨间接触良好且无摩擦，整个装置处于竖直方向的匀强磁场中．现对金属杆ab施加一个与其垂直的水平方向的恒力F，使金属杆从静止开始运动．在运动过程中，金属杆的速度大小为v，R上消耗的电功率为P，则下列关于v、P随时间变化的图像可能正确的是( )
3. (多选)(2023·四川内江月考)如图所示，空间有一个方向水平的有界磁场区域，一个矩形线框，自磁场上方某一高度下落，然后进入磁场，进入磁场时，导线框平面与磁场方向垂直，则在进入过程中导线框可能的运动情况是( )
A．加速度变小的加速下落
B．加速度变小的减速下落
C．匀速下落
D．匀加速下落
4. (多选)(2023·唐山模拟)如图甲所示，水平放置的平行金属导轨连接一个平行板电容器C和电阻R，导体棒MN放在导轨上且接触良好，整个装置放于垂直导轨平面的磁场中，磁感应强度B的变化情况如图乙所示(图示磁感应强度方向为正)，MN始终保持静止，则0～t2时间内( )
A．电容器C的电荷量大小始终不变
B．电容器C的a板先带正电后带负电
C．MN所受安培力的大小始终不变
D．MN所受安培力的方向先向右后向左
5. (多选)(2023·山东省日照市高三下二模)如图所示，平行且足够长的两条光滑金属导轨，相距L＝0.4 m，导轨所在平面与水平面的夹角为30°，其电阻不计。把完全相同的两金属棒(长度均为0.4 m)ab、cd分别垂直于导轨放置，并使金属棒的两端都与导轨良好接触。已知两金属棒的质量均为m＝0.1 kg、电阻均为R＝0.2 Ω，整个装置处在垂直于导轨平面向上的匀强磁场中，磁感应强度为B＝0.5 T。当金属棒ab在平行于导轨向上的力F作用下沿导轨向上匀速运动时，金属棒cd恰好能保持静止(g＝10 m/s2)，则( )
A．F的大小为0.5 N
B．金属棒ab产生的感应电动势为1.0 V
C．金属棒ab两端的电压为1.0 V
D．金属棒ab的速度为5.0 m/s
6. (2023·广东省汕头市高三二模)如图所示，光滑金属导轨ab和cd构成的平面与水平面成角，导轨间距=2L，导轨电阻不计．两金属棒MN、PQ垂直导轨放置，与导轨接触良好．两棒质量，电阻，整个装置处在垂直导轨向上的磁感应强度为B的匀强磁场中，金属棒MN在平行于导轨向上的拉力，作用下沿导轨以速度向上匀速运动，PQ棒恰好以速度向下匀速运动．则
A．MN中电流方向是由N到M
B．匀速运动的速度的大小是
C．在MN、PQ都匀速运动的过程中，
D．在MN、PQ都匀速运动的过程中，
7. (2023山东省济南市高三下模拟考试)如图所示，质量均为m的金属棒ab、cd与足够长的水平金属导轨垂直且接触良好，两金属棒与金属导轨间的动摩擦因数为μ，磁感应强度为B的匀强磁场的方向竖直向下．则ab棒在恒力F＝2μmg作用下向右运动的过程中，有( )
A．安培力对ab棒做正功
B．安培力对cd棒做正功
C．ab棒做加速度逐渐减小的加速运动，最终匀速运动
D．cd棒做加速度逐渐减小的加速运动，最终匀速运动
8. (2023·云南省昆明市“三诊一模”二模)如图所示，两根足够长的平行直导轨AB、CD与水平面成θ角放置，两导轨间距为L，A、C两点间接有阻值为R的定值电阻．一根质量均匀分布的直金属杆放在两导轨上，并与导轨垂直．整套装置处于磁感应强度大小为B0的匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨平面向上，导轨和金属杆接触良好，金属杆的阻值为r，其余部分电阻不计，金属杆与导轨之间的动摩擦因数为μ.现将外力F沿与导轨平行的方向作用在金属杆上，让其由静止开始沿导轨向上做匀加速直线运动，则下列外力F与作用时间t的图象中正确的是( )
9.(2023·安徽省合肥市高三上开学考试) 如图所示，在倾角为α＝30°的光滑斜面上，存在着两个匀强磁场区域Ⅰ、Ⅱ，两个区域的磁场方向相反且都垂直于斜面，MN、PQ、EF为两磁场区域的理想边界，区域Ⅰ的磁感应强度大小为B1＝2 T，区域Ⅱ的磁感应强度大小为B2＝1 T，两个区域的宽度MP和PE均为L＝1 m．一个质量为m＝0.9 kg、电阻为R＝1 Ω、边长也为L＝1 m的正方形导线框，从磁场区域上方某处由静止开始沿斜面下滑，当ab边刚进入磁场区域Ⅰ时，线框恰好做匀速运动；当ab边下滑到磁场区域Ⅱ的中间位置时，线框又恰好做匀速运动，重力加速度取g＝10 m/s2.求：
(1)ab边刚进入磁场区域Ⅰ时的速度v1；
(2)当ab边刚进入磁场区域Ⅱ时，线框加速度的大小与方向；
(3)线框ab边刚要离开磁场区域Ⅱ时的速度v2.
1.(2023·天津理综·3)如图所示，两根平行金属导轨置于水平面内，导轨之间接有电阻R.金属棒ab与两导轨垂直并保持良好接触，整个装置放在匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨平面向下.现使磁感应强度随时间均匀减小，ab始终保持静止，下列说法正确的是( )
A.ab中的感应电流方向由b到a
B.ab中的感应电流逐渐减小
C.ab所受的安培力保持不变
D.ab所受的静摩擦力逐渐减小
2.(多选)如图所示，平行的金属导轨与电路处在垂直纸面向里的匀强磁场B中，一金属杆放在金属导轨上，在恒定外力F作用下做匀速运动，则在开关S( )
A．闭合瞬间通过金属杆的电流增大
B．闭合瞬间通过金属杆的电流减小
C．闭合后金属杆先减速后匀速
D．闭合后金属杆先加速后匀速
3. (多选)(2023·全国甲卷·21)由相同材料的导线绕成边长相同的甲、乙两个正方形闭合线圈，两线圈的质量相等，但所用导线的横截面积不同，甲线圈的匝数是乙的2倍．现两线圈在竖直平面内从同一高度同时由静止开始下落，一段时间后进入一方向垂直于纸面的匀强磁场区域，磁场的上边界水平，如图所示．不计空气阻力，已知下落过程中线圈始终平行于纸面，上、下边保持水平．在线圈下边进入磁场后且上边进入磁场前，可能出现的是( )
A．甲和乙都加速运动
B．甲和乙都减速运动
C．甲加速运动，乙减速运动
D．甲减速运动，乙加速运动
4. (多选)如图所示，空间存在着与圆台母线垂直向外的磁场，各处的磁感应强度大小均为B，圆台母线与竖直方向的夹角为θ，一个质量为m、半径为r的匀质金属环位于圆台底部．当给环通以恒定的电流I，圆环由静止向上运动，经过时间t后撤去该恒定电流并保持圆环闭合，圆环全程上升的最大高度为H.已知重力加速度为g，不计空气阻力，磁场的范围足够大．在圆环向上运动的过程中，下列说法正确的是( )
A．圆环先做加速运动后做减速运动
B．在时间t内安培力对圆环做功为mgH
C．圆环运动的最大速度为eq \f(2πBIrtcsθ,m)－gt
D．圆环先有扩张后有收缩的趋势
5. (多选)如图甲所示，两间距为L的平行光滑金属导轨固定在水平面内，左端用导线连接，导轨处在竖直向上的匀强磁场中，一根长度也为L、电阻为R的金属棒放在导轨上，在平行于导轨向右、大小为F的恒力作用下向右运动，金属棒运动过程中，始终与导轨垂直并接触良好，金属棒运动的加速度与速度关系如图乙所示，不计金属导轨及左边导线电阻，金属导轨足够长，若图乙中的a0、v0均为已知量，则下列说法正确的是( )
A．金属棒的质量为eq \f(F,a0)
B．匀强磁场的磁感应强度大小为eq \f(1,L)eq \r(\f(FR,v0))
C．当拉力F做功为W时，通过金属棒横截面的电荷量为eq \f(W,\r(FR))
D．某时刻撤去拉力，此后金属棒运动过程中加速度大小与速度大小成正比
6. 如图所示，有两根和水平方向成α角的光滑平行的金属轨道，间距为l，上端接有可变电阻R，下端足够长，空间有垂直于轨道平面的匀强磁场，磁感应强度为B.一根质量为m的金属杆从轨道上由静止滑下，经过足够长的时间后，金属杆的速度会趋于一个最大速度vm，除R外其余电阻不计，则 ( )
A．如果B变大，vm将变大 B．如果α变大，vm将变大
C．如果R变大，vm将变大 D．如果m变小，vm将变大
7. (2023·湖南重点中学联考)如图所示，竖直平面内有足够长、不计电阻的两组平行光滑金属导轨，宽度均为L，上方连接一阻值为R的定值电阻，虚线下方的区域内存在磁感应强度为B的匀强磁场。两根完全相同的金属杆1和2靠在导轨上，金属杆长度与导轨宽度相等且与导轨接触良好，电阻均为r、质量均为m；将金属杆1固定在磁场的上边缘，且仍在磁场内，金属杆2从磁场边界上方h0处由静止释放，进入磁场后恰好做匀速运动。现将金属杆2从磁场边界上方h(hA．两金属杆向下运动时，流过电阻R的电流方向为a→b
B．回路中感应电动势的最大值为eq \f(mg2r＋R,BL)
C．磁场中金属杆1与金属杆2所受的安培力大小、方向均不相同
D．任何时刻金属杆1与2的速度之差均为2eq \r(gh)
8. 如图所示，相距为L的两条足够长的平行金属导轨，与水平面的夹角为θ，导轨上固定有质量为m、电阻为R的两根相同的导体棒，导体棒MN上方轨道粗糙、下方轨道光滑，整个空间存在垂直于导轨平面的匀强磁场，磁感应强度为B.将两根导体棒同时释放后，观察到导体棒MN下滑而EF保持静止，当MN下滑速度最大时，EF与轨道间的摩擦力刚好达到最大静摩擦力，下列叙述正确的是( )
A．导体棒MN的最大速度为eq \f(2mgRsin θ,B2L2)
B．导体棒EF与轨道之间的最大静摩擦力为mgsin θ
C．导体棒MN受到的最大安培力为mgsin θ
D．导体棒MN所受重力的最大功率为eq \f(m2g2Rsin2 θ,B2L2)
9. 如图，由某种粗细均匀的总电阻为3R的金属条制成的矩形线框abcd，固定在水平面内且处于方向竖直向下的匀强磁场中．一接入电路电阻为R的导体棒PQ，在水平拉力作用下沿ab、dc以速度v匀速滑动，滑动过程PQ始终与ab垂直，且与线框接触良好，不计摩擦．在PQ从靠近ad处向bc滑动的过程中( )
A．PQ中电流先增大后减小
B．PQ两端电压先减小后增大
C．PQ上拉力的功率先减小后增大
D．线框消耗的电功率先减小后增大
10.(2023陕西汉中重点中学联考)(多选)如图所示，平行且足够长的两条光滑金属导轨，相距L＝0.4 m，导轨所在平面与水平面的夹角为30°，其电阻不计。把完全相同的两金属棒(长度均为0.4 m)ab、cd分别垂直于导轨放置，并使金属棒的两端都与导轨良好接触。已知两金属棒的质量均为m＝0.1 kg、电阻均为R＝0.2 Ω，整个装置处在垂直于导轨平面向上的匀强磁场中，磁感应强度为B＝0.5 T。当金属棒ab在平行于导轨向上的力F作用下沿导轨向上匀速运动时，金属棒cd恰好能保持静止(g＝10 m/s2)，则( )
A．F的大小为0.5 N
B．金属棒ab产生的感应电动势为1.0 V
C．金属棒ab两端的电压为1.0 V
D．金属棒ab的速度为5.0 m/s
11. (2023·山东威海市模拟考试)如图甲所示，两根足够长的光滑平行直导轨固定在水平面上，导轨左侧连接一电容器，一金属棒垂直放在导轨上，且与导轨接触良好。在整个装置中加上垂直于导轨平面的磁场，磁感应强度按图乙所示规律变化。0～t0内在导体棒上施加外力使导体棒静止不动，t0时刻撤去外力。已知电容器的电容为C，两导轨间距为L，导体棒到导轨左侧的距离为d，导体棒的质量为m。求：
(1)电容器带电荷量的最大值；
(2)导体棒能够达到的最大速度vm。
12. (2023·高考全国卷乙，T24)如图，一倾角为α的光滑固定斜面的顶端放有质量M＝0.06 kg的U形导体框，导体框的电阻忽略不计；一电阻R＝3 Ω的金属棒CD的两端置于导体框上，与导体框构成矩形回路CDEF；EF与斜面底边平行，长度L＝0.6 m。初始时CD与EF相距s0＝0.4 m，金属棒与导体框同时由静止开始下滑，金属棒下滑距离s1＝eq \f(3,16) m后进入一方向垂直于斜面的匀强磁场区域，磁场边界(图中虚线)与斜面底边平行；金属棒在磁场中做匀速运动，直至离开磁场区域。当金属棒离开磁场的瞬间，导体框的EF边正好进入磁场，并在匀速运动一段距离后开始加速。已知金属棒与导体框之间始终接触良好，磁场的磁感应强度大小B＝1 T，重力加速度大小取g＝10 m/s2，sin α＝0.6。求：
(1)金属棒在磁场中运动时所受安培力的大小；
(2)金属棒的质量以及金属棒与导体框之间的动摩擦因数；
(3)导体框匀速运动的距离。
13. (2023·江西吉水中学、崇仁一中、南城一中三校联考)如图所示，金属杆ab、cd置于平行轨道MN、PQ上，可沿轨道滑动，两轨道间距l＝0.5 m，轨道所在空间有垂直于轨道平面的匀强磁场，磁感应强度B＝0.5 T，用力F＝0.25 N向右水平拉杆ab，若ab、cd与轨道间的滑动摩擦力分别为Ff1＝0.15 N、Ff2＝0.1 N，两杆的有效电阻R1＝R2＝0.1 Ω，设导轨电阻不计，ab、cd的质量关系为2m1＝3m2，且ab、cd与轨道间的最大静摩擦力与滑动摩擦力相等．求：
(1)此两杆之间的稳定速度差；
(2)若F＝0.3 N，两杆间稳定速度差又是多少？
1.（多选）(2023年全国高考甲卷物理试题）7. 如图，两根相互平行的光滑长直金属导轨固定在水平绝缘桌面上，在导轨的左端接入电容为C的电容器和阻值为R的电阻。质量为m、阻值也为R的导体棒MN静止于导轨上，与导轨垂直，且接触良好，导轨电阻忽略不计，整个系统处于方向竖直向下的匀强磁场中。开始时，电容器所带的电荷量为Q，合上开关S后，（ ）
A. 通过导体棒电流的最大值为
B. 导体棒MN向右先加速、后匀速运动
C. 导体棒速度最大时所受的安培力也最大
D. 电阻R上产生的焦耳热大于导体棒上产生的焦耳热
2.（多选）(2023年辽宁省普通高中学业水平选择性考试）9.如图（a）所示，两根间距为L、足够长的光滑平行金属导轨竖直放置并固定，顶端接有阻值为R的电阻。垂直导轨平面存在变化规律如图（b）所示的匀强磁场，t=0时磁场方向垂直纸面向里。在t=0到t=2t0的时间内，金属棒水平固定在距导轨顶端L处；在t=2t0时，释放金属棒。整个过程中金属棒与导轨接触良好，导轨与金属棒的电阻不计，则
A. 在t=t0/2时，金属棒受到的安培力的大小F=BIL=
B．在t=t0时，金属棒中电流的大小为
C．在t=3t0/2时，金属棒受到安培力的方向竖直向上
D．在t=3t0时，金属棒中电流的方向向右
3.(2023年1月浙江省普通高等学校招生考试）21．（10分）如图甲所示，在xOy水平面内，固定放置着间距为l的两平行金属直导轨，其间连接有阻值为R的电阻，电阻两端连接示波器(内阻可视为无穷大)，可动态显示电阻R两端的电压。两导轨间存在大小为B、方向垂直导轨平面的匀强磁场。t=0时一质量为m、长为l的导体棒在外力F作用下从x=x0位置开始做简谐运动，观察到示波器显示的电压随时间变化的波形是如图乙所示的正弦曲线。取，则简谐运动的平衡位置在坐标原点O。 不计摩擦阻力和其它电阻，导体棒始终垂直导轨运动。（提示：可以用F—x图象下的“面积”代表力F所做的功）
（1）求导体棒所受到的安培力FA随时间t的变化规律；
（2）求在0至0．25T时间内外力F的冲量；
（3）若t=0时外力F0=1N，l=1m，T=2πs，m=1kg，R=1Ω，Um=0．5V，B=0．5T，求外力与安培力大小相等时棒的位置坐标和速度。
第21题图甲 第21题图乙
4. (2023·浙江1月选考)嫦娥五号成功实现月球着陆和返回，鼓舞人心。小明知道月球上没有空气，无法靠降落伞减速降落，于是设计了一种新型着陆装置。如图所示，该装置由船舱、间距为l的平行导轨、产生垂直导轨平面的磁感应强度大小为B的匀强磁场的磁体和“∧”型刚性线框组成，“∧”型线框ab边可沿导轨滑动并接触良好。船舱、导轨和磁体固定在一起，总质量为m1。整个装置竖直着陆到月球表面前瞬间的速度大小为v0，接触月球表面后线框速度立即变为零。经过减速，在导轨下方缓冲弹簧接触月球表面前船舱已可视为匀速。已知船舱电阻为3r；“∧”型线框的质量为m2，其7条边的边长均为l，电阻均为r；月球表面的重力加速度为eq \f(g,6)。整个运动过程中只有ab边在磁场中，线框与月球表面绝缘，不计导轨电阻和摩擦阻力。
(1)求着陆装置接触到月球表面后瞬间线框ab边产生的电动势E0；
(2)通过画等效电路图，求着陆装置接触到月球表面后瞬间流过ab的电流I0；
(3)求船舱匀速运动时的速度大小v；
(4)同桌小张认为在磁场上方、两导轨之间连接一个电容为C的电容器，在着陆减速过程中还可以回收部分能量，在其他条件均不变的情况下，求船舱匀速运动时的速度大小v′和此时电容器所带电荷量q。
新课程标准
1.知道电磁感应现象的应用及其对现代社会的影响。
2．理解楞次定律。
3．通过实验，理解法拉第电磁感应定律。
命题趋势
考查的内容主要体现对物理规律的理解，例如楞次定律、法拉第电磁感应定律；有些题目的综合性较强，主要体现在电磁感应中的综合应用上。题目多涉及动生电动势和感生电动势。
试题情境
生活
实践类
电磁炉、电子秤、电磁卡、电磁焊接技术、磁电式速度传感器、真空管道超高速列车、磁悬浮列车、电磁轨道炮等各种实际应用模型
学习
探究类
杆轨模型问题，电磁感应与动力学结合问题
状态
特征
处理方法
平衡态
加速度为零
根据平衡条件列式分析
非平衡态
加速度不为零
根据牛顿第二定律进行动态分析或结合功能关系进行分析
v
↓
E＝Blv
↓
I＝eq \f(E,R＋r)
↓
F安＝BIl
↓
F合
若F合＝0
匀速直线运动
若F合≠0
↓
F合＝ma
a、v同向
v增大，若a恒定，拉力F增大
v增大，F安增大，F合减小，a减小，做加速度减小的加速运动，减小到a＝0，匀速直线运动
a、v反向
v减小，F安减小，a减小，当a＝0，静止或匀速直线运动
基本模型
运动特点
最终特征
阻尼式
[来源:Z*xx*k.Cm]
a逐渐减小的减速运动
电动式
a逐渐减小的加速运动
发电式
a逐渐减小的加速运动
基本模型
运动特点
最终特征
放电式
a逐渐减小的加速运动
无外力充电式
a逐渐减小的减速运动
匀速运动
I＝0
有外力充电式
匀加速运动
光滑的平行导轨
不光滑平行导轨
示意图
质量m1＝m2
电阻r1＝r2
长度L1＝L2
摩擦力Ff1＝Ff2
质量m1＝m2
电阻r1＝r2
长度L1＝L2
规律
分析
开始时，两杆做变加速运动；稳定时，两杆以相同的加速度做匀加速运动
开始时，若F≤2Ff，则PQ杆先变加速后匀速运动；MN杆静止.若F>2Ff，PQ杆先变加速后匀加速运动，MN杆先静止后变加速最后和PQ杆同时做匀加速运动，且加速度相同
考点37电磁感应中的动力学问题
考向一 电磁感应中的动力学问题
考向二 电磁感应中的动力学问题--单杆模型
考向三 电磁感应中的动力学问题--含容式单棒模型
考向四 电磁感应中的动力学问题--双棒问题模型
考向一 电磁感应中的动力学问题
电磁感应中的动力学问题
1.导体棒的动力学分析
电磁感应现象中产生的感应电流在磁场中受到安培力的作用，从而影响导体棒(或线圈)的受力情况和运动情况。
2．两种状态及处理方法
3．导体常见运动情况的动态分析
【典例1】.(多选)(2023·湖北十堰市上学期期末)如图甲所示，abcd为由金属导体做成的框架，其平面与水平面所成角度为θ，质量为m的导体棒PQ与ab、cd接触良好，回路的总电阻为R，整个装置放在垂直于框架平面的变化的磁场中，磁场的磁感应强度变化情况如图乙所示(取磁场方向垂直框架平面向上为正)，PQ始终静止。关于PQ与ab、cd间摩擦力Ff在0到t1内变化情况的说法中，有可能正确的是( )
A.Ff一直增大 B.Ff一直减小
C.Ff先增大，后减小 D.Ff先减小，后增大
答案:AD
解析：根据法拉第电磁感应定律和闭合电路的欧姆定律可得感应电流I＝eq \f(ΔB,ΔtR)S，其中磁感应强度的变化率为定值，所以在线圈中产生恒定的感应电流，根据楞次定律可知电流方向逆时针，根据左手定则可知开始导体棒PQ受到沿导轨向上的安培力，若开始安培力小于导体棒重力沿导轨向下的分力mgsin θ，则摩擦力方向沿导轨向上，其大小为Ff＝mgsin θ－F安，随着安培力的减小，摩擦力Ff逐渐增大，当安培力为零时，摩擦力达到最大；若开始安培力大于mgsin θ，则摩擦力方向沿导轨向下，其大小为Ff＝F安－mgsin θ，由于安培力逐渐减小，摩擦力逐渐减小，当F安＝mgsin θ时，摩擦力为零并开始反向变为Ff＝mgsin θ－F安，Ff随着安培力的减小将逐渐增大；综上分析知，A、D正确，B、C错误。
【典例2】(2023·福建厦门市五月质检)如图所示，质量M＝1 kg的绝缘板静止在水平地面上，与地面间的动摩擦因数μ1＝0.1。金属框ABCD放在绝缘板上，质量m＝2 kg，长L1＝2 m，宽L2＝1 m，总电阻为0.1 Ω，与绝缘板间的动摩擦因数μ2＝0.2。S1、S2是边长为L＝0. 5 m的正方形区域，S1中存在竖直向下、均匀增加的磁场B1，其变化率eq \f(ΔB1,Δt)＝2 T/s；S2中存在竖直向上的匀强磁场，大小为B2＝2 T。将金属框ABCD及绝缘板均由静止释放，重力加速度g取10 m/s2，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，求释放时：
(1)金属框ABCD所受安培力的大小与方向；
(2)金属框ABCD的加速度大小。
答案:(1)5 N 水平向右 (2)eq \f(2,3) m/s2
解析：(1)释放时，由法拉第电磁感应定律得E＝eq \f(ΔB1,Δt)L2
I＝eq \f(E,R)
F＝B2IL
解得F＝5 N，方向水平向右。
(2)假设金属框与绝缘板能相对静止，一起匀加速，则对整体而言
F－μ1(M＋m)g＝(M＋m)a
解得a＝eq \f(2,3) m/s2
设此时金属框与绝缘板间的摩擦力大小为Ff，由牛顿第二定律F－Ff＝ma
解得Ff＝eq \f(11,3) N
而金属框与绝缘板之间的最大静摩擦力为Ffm＝μ2mg＝4 N
由于Ff＜Ffm
假设成立，金属框与绝缘板能相对静止一起加速，金属框此时的加速度大小为a＝eq \f(2,3) m/s2。
练习1、(多选)(2023·云南省昆明市“三诊一模”二模)用一段横截面半径为r、电阻率为ρ、密度为d的均匀导体材料做成一个半径为R(r≪R)的圆环。圆环竖直向下落入如图1所示的径向磁场中，圆环的圆心始终在N极的轴线上，圆环所在位置的磁感应强度大小均为B。圆环在加速下滑过程中某一时刻的速度为v，忽略电感的影响，则( )
A.此时在圆环中产生了(俯视)顺时针的感应电流
B.圆环因受到了向下的安培力而加速下落
C.此时圆环的加速度a＝eq \f(B2v,ρd)
D.如果径向磁场足够长，则圆环的最大速度vm＝eq \f(ρdg,B2)
答案:AD
解析：由右手定则可以判断感应电流的方向为逆时针，可知选项A正确；由左手定则可以判断，此时圆环受到的安培力方向应该向上，选项B错误；对圆环受力分析可解得加速度a＝g－eq \f(B2v,ρd)，选项C错误；当重力等于安培力时速度达到最大，可得vm＝eq \f(ρgd,B2)，选项D正确。
练习2、(2023·山东省滨州市高三下二模)如图所示，两固定的绝缘斜面倾角均为θ，上沿相连．两细金属棒ab(仅标出a端)和cd(仅标出c端)长度均为L，质量分别为2m和m；用两根不可伸长的柔软轻导线将它们连成闭合回路abdca，并通过固定在斜面上沿的两光滑绝缘小定滑轮跨放在斜面上，使两金属棒水平．右斜面上存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于斜面向上．已知两根导线刚好不在磁场中，回路电阻为R，两金属棒与斜面间的动摩擦因数均为μ，重力加速度大小为g.已知金属棒ab匀速下滑．求：
(1)作用在金属棒ab上的安培力的大小；
(2)金属棒运动速度的大小．
答案:(1)mg(sin θ－3μcs θ) (2)(sin θ－3μcs θ)eq \f(mgR,B2L2)
解析：(1)设两根导线的总的张力的大小为T，右斜面对ab棒的支持力的大小为N1，作用在ab棒上的安培力的大小为F，左斜面对cd棒的支持力大小为N2.对于ab棒，由力的平衡条件得2mgsin θ＝μN1＋T＋F①
N1＝2mgcs θ②
对于cd棒，同理有mgsin θ＋μN2＝T③
N2＝mgcs θ④
联立①②③④式得F＝mg(sin θ－3μcs θ)．⑤
(2)由安培力公式得F＝BIL⑥
这里I是回路abdca中的感应电流
ab棒上的感应电动势为E＝BLv⑦
式中，v是ab棒下滑速度的大小
由欧姆定律得I＝eq \f(E,R)⑧
联立⑤⑥⑦⑧式得v＝(sin θ－3μcs θ)eq \f(mgR,B2L2).
【巧学妙记】
电磁感应中的动力学临界问题的分析思路
(1)解决这类问题的关键是通过受力情况和运动状态的分析，寻找过程中的临界状态，如速度、加速度为最大值或最小值的条件。
考向二 电磁感应中的动力学问题--单杆模型
一、电磁感应中的动力学问题--单杆模型
【典例3】(多选)(2023·山东卷)如图所示，电阻不计的光滑U形金属导轨固定在绝缘斜面上。区域Ⅰ、Ⅱ中磁场方向均垂直斜面向上，Ⅰ区中磁感应强度随时间均匀增加，Ⅱ区中为匀强磁场。阻值恒定的金属棒从无磁场区域中a处由静止释放，进入Ⅱ区后，经b下行至c处反向上行。运动过程中金属棒始终垂直导轨且接触良好。在第一次下行和上行的过程中，以下叙述正确的是( )
A.金属棒下行过b时的速度大于上行过b时的速度
B.金属棒下行过b时的加速度大于上行过b时的加速度
C.金属棒不能回到无磁场区
D.金属棒能回到无磁场区，但不能回到a处
答案:ABD
解析：在Ⅰ区域中，磁感应强度为B1＝kt，感应电动势E1＝eq \f(ΔB1,Δt)S＝kS，感应电动势恒定，所以金属棒上的感应电流恒为I1＝eq \f(E1,R)＝eq \f(kS,R)，进入Ⅱ区域后，切割磁感线产生感应电动势，因为金属棒到达c点后又能上行，说明加速度始终沿斜面向上，下行和上行经过b点的受力分析如图。
设下行、上行过b时金属棒的速度分别为v、v′，则下行过b时切割磁感线产生的感应电动势为E2＝B2Lv，金属棒上的电流为I2＝eq \f(E2＋E1,R)＝eq \f(B2Lv,R)＋eq \f(kS,R)，根据牛顿第二定律可得B2I2L－mgsin θ＝eq \f(Beq \\al(2,2)L2v,R)＋eq \f(B2kSL,R)－mgsin θ＝ma1；上行过b时，切割磁感线产生的感应电动势为E2′＝B2Lv′，金属棒上的电流为I3＝eq \f(E1－E2,R)＝eq \f(kS,R)－eq \f(B2Lv′,R)，根据牛顿第二定律可得B2I3L－mgsin θ＝eq \f(B2kSL,R)－eq \f(Beq \\al(2,2)L2v′,R)－mgsin θ＝ma2，分析可知a1>a2，下行和上行过程通过bc段的位移大小相等，根据v2＝2ax可知金属棒下行经过b点时的速度大于上行经过b点时的速度，A、B正确；金属棒上行时，加速度与速度同向，金属棒做加速度减小的加速度运动，一定能回到无磁场区，由以上分析可得，金属棒进磁场Ⅱ区(下行进磁场)的速度大于出磁场Ⅱ区(下行进磁场)的速度，金属棒在无磁场区做加速度相同的减速运动，则金属棒不能回到a处，C错误，D正确。
【典例4】(多选)(2023·江苏省扬州市高三下第三次调研)如图所示，M、N为同一水平面内的两条平行长直导轨，左端串联电阻R，金属杆ab垂直导轨放置，金属杆和导轨的电阻不计，杆与导轨间接触良好且无摩擦，整个装置处于竖直方向的匀强磁场中。现对金属杆ab施加一个与其垂直的水平方向的恒力F，使金属杆从静止开始运动。在运动过程中，金属杆的速度大小为v，R上消耗的总能量为E，则下列关于v、E随时间变化的图象可能正确的是( )
答案:AD
解析：对金属杆ab施加一个与其垂直的水平方向的恒力F，使金属杆从静止开始运动；由于金属杆切割磁感线产生感应电动势和感应电流，受到随速度的增大而增大的安培力作用，所以金属杆做加速度逐渐减小的加速运动；当安培力增大到等于水平方向的恒力F时，金属杆做匀速直线运动，vt图象A正确，B错误。由功能关系知，开始水平方向的恒力F做的功一部分使金属杆动能增大，另一部分转化为电能，被电阻R消耗掉；当金属杆匀速运动后，水平方向的恒力F所做的功等于R上消耗的总能量E，因此Et图象是D正确、C错误。
练习3、(2023·江苏省宿迁市高三下第三次调研)如图所示，电阻不计的平行导轨竖直固定，上端接有电阻为R，高度为h的匀强磁场与导轨平面垂直．一导体棒从磁场上方的A位置自由释放，用x表示导体棒进入磁场后的位移，i表示导体棒中的感应电流大小，v表示导体棒的速度大小，Ek表示导体棒的动能，a表示导体棒的加速度大小，导体棒与导轨垂直并接触良好．以下图象可能正确的是( )
答案:AC
解析：由于导体棒释放时距离磁场上边界有一定高度，所以导体棒到达磁场上边界时获得大小一定的速度v0，若速度v0较小，导体棒切割磁感线产生的感应电流较小，导体棒受到的安培力小于其自身的重力，导体棒做加速运动，当速度增大到一定值，满足安培力等于重力时，导体棒做匀速运动，离开磁场后做匀加速运动．
若速度v0较大，切割磁感线产生的感应电流较大，导体棒受到的安培力大于其自身的重力，导体棒做减速运动，当速度减小到一定值，满足安培力等于重力时，导体棒做匀速运动，离开磁场后做匀加速运动．选项A符合此种情况；选项B中的0～h段不应该是直线，故B选项错误；选项D中到达h以后，导体棒做匀加速运动，速度增大，D选项错误；
若速度v0刚好满足安培力等于重力，则导体棒做匀速运动，离开磁场后做匀加速运动，选项C符合此种情况．本题应选A、C.
练习4、(2023·湖北高考)如图a所示，两根不计电阻、间距为L的足够长平行光滑金属导轨，竖直固定在匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨平面向里，磁感应强度大小为B。导轨上端串联非线性电子元件Z和阻值为R的电阻。元件Z的UI图像如图b所示，当流过元件Z的电流大于或等于I0时，电压稳定为Um。质量为m、不计电阻的金属棒可沿导轨运动，运动中金属棒始终水平且与导轨保持良好接触。忽略空气阻力及回路中的电流对原磁场的影响，重力加速度大小为g。为了方便计算，取I0＝eq \f(mg,4BL)，Um＝eq \f(mgR,2BL)。以下计算结果只能选用m、g、B、L、R表示。
(1)闭合开关S，由静止释放金属棒，求金属棒下落的最大速度v1；
(2)断开开关S，由静止释放金属棒，求金属棒下落的最大速度v2；
(3)先闭合开关S，由静止释放金属棒，金属棒达到最大速度后，再断开开关S。忽略回路中电流突变的时间，求S断开瞬间金属棒的加速度大小a。
答案: (1)eq \f(mgR,B2L2) (2)eq \f(3mgR,2B2L2) (3)eq \f(g,2)
解析： (1)闭合开关S，金属棒下落的过程中受竖直向下的重力、竖直向上的安培力作用，当重力与安培力大小相等时，金属棒的加速度为零，速度最大，则mg＝BI1L
由法拉第电磁感应定律得E1＝BLv1
由闭合电路欧姆定律得I1＝eq \f(E1,R)
联立解得v1＝eq \f(mgR,B2L2)。
(2)断开开关S，由静止释放金属棒后，当金属棒的速度达到最大时，金属棒受力平衡，则mg＝BI2L
解得I2＝eq \f(mg,BL)>I0
则元件Z两端的电压为Um＝eq \f(mgR,2BL)
此时定值电阻两端的电压为UR＝BLv2－Um
由欧姆定律得I2＝eq \f(UR,R)
联立解得v2＝eq \f(3mgR,2B2L2)。
(3)开关S闭合，由静止释放金属棒，当金属棒的速度最大时，金属棒产生的感应电动势为
E1＝BLv1＝eq \f(mgR,BL)
断开开关S的瞬间，假设元件Z两端的电压为Um＝eq \f(mgR,2BL)
则定值电阻两端的电压为UR′＝E1－Um＝eq \f(mgR,2BL)
电路中的电流为I′＝eq \f(UR′,R)＝eq \f(mg,2BL)
I′>I0，则假设成立
金属棒受到的安培力为FA＝BI′L
对金属棒由牛顿第二定律得mg－FA＝ma
解得a＝eq \f(g,2)。
考向三 电磁感应中的动力学问题--含容式单棒模型
一、电磁感应中的动力学问题--含容式单棒模型
棒的初速度为零，拉力F恒定(棒和水平导轨电阻忽略不计，摩擦力不计)
如图，运动过程分析：棒做加速运动，持续对电容器充电，则存在充电电流
由F－BIl＝ma，I＝eq \f(ΔQ,Δt)，ΔQ＝CΔU，ΔU＝ΔE＝BlΔv，
联立可得F－eq \f(CB2l2Δv,Δt)＝ma，其中eq \f(Δv,Δt)＝a，
则可得a＝eq \f(F,m＋B2l2C)
所以棒做加速度恒定的匀加速直线运动．
功能关系：WF＝eq \f(1,2)mv2＋E电
二、常见几种模型
【典例5】 (2023·河北卷·7)如图，两光滑导轨水平放置在竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度大小为B，导轨间距最窄处为一狭缝，取狭缝所在处O点为坐标原点，狭缝右侧两导轨与x轴夹角均为θ，一电容为C的电容器与导轨左端相连，导轨上的金属棒与x轴垂直，在外力F作用下从O点开始以速度v向右匀速运动，忽略所有电阻，下列说法正确的是( )
A．通过金属棒的电流为2BCv2tan θ
B．金属棒到达x0时，电容器极板上的电荷量为BCvx0tan θ
C．金属棒运动过程中，电容器的上极板带负电
D．金属棒运动过程中，外力F做功的功率恒定
答案:A
解析：根据楞次定律可知电容器的上极板应带正电，C错误；
由题知金属棒匀速切割磁感线，根据几何关系知切割长度为L＝2xtan θ，x＝vt
则产生的感应电动势为E＝2Bv2ttan θ
由题图可知电容器直接与电源相连，则电容器的电荷量为Q＝CE＝2BCv2ttan θ
则流过金属棒的电流I＝eq \f(Q,t)＝2BCv2tan θ，A正确；
当金属棒到达x0处时，金属棒产生的感应电动势为
E′＝2Bvx0tan θ
则此时电容器的电荷量为Q′＝CE′＝2BCvx0tan θ，B错误；
由于金属棒做匀速运动，
则F＝F安＝BIL＝4B2Cv3tan2θ·t，
F与t成正比，则F为变力，根据力做功的功率公式P＝Fv
可知功率P随力F变化而变化，D错误．
【典例6】(多选)(2023·江苏省淮安市高三下第三次调研)在如图所示的甲、乙、丙中除导体棒ab可动外，其余部分均固定不动。甲图中的电容器C原来不带电，设导体棒、导轨和直流电源的电阻均可忽略，导体棒和导轨间的摩擦不计。图中装置均在水平面内，且都处于方向垂直水平面(即纸面)向下的匀强磁场中，导轨足够长，今给导体棒一个向右的初速度v0，导体棒的最终运动状态是( )
A．三种情况下，导体棒最终均静止
B．图甲、丙中导体棒最终将以不同的速度做匀速运动；图乙中导体棒最终静止
C．图甲、丙中，导体棒最终将以相同的速度做匀速运动
D．甲、乙两种情况下，电阻R上产生的焦耳热一定不同
答案:BD
解析：题图甲中，导体棒向右运动切割磁感线产生感应电流而使电容器充电，当电容器极板间电压与导体棒产生的感应电动势相等时，电路中没有电流，导体棒不受安培力，其向右做匀速运动；题图乙中，导体棒向右运动切割磁感线产生感应电流，通过电阻R转化为内能，导体棒速度减小，当导体棒的动能全部转化为内能时，导体棒静止；题图丙中，导体棒先受到向左的安培力作用向右做减速运动，速度减为零后再在安培力作用下向左做加速运动，当导体棒产生的感应电动势与电源的电动势相等时，电路中没有电流，导体棒向左做匀速运动，故A、C错误，B正确；题图甲中，导体棒的部分动能转化为内能，题图乙中，导体棒的动能全部转化为内能，故有Q甲练习5、(2023·江苏省徐州市高三下第三次调研)如图所示，两光滑平行金属导轨间距为L，直导线MN垂直跨在导轨上，且与导轨接触良好，整个装置处在垂直于纸面向里的匀强磁场中，磁感应强度为B。电容器的电容为C，除电阻R外，导轨和直导线的电阻均不计。现给MN一初速度，使MN向右运动，当电路稳定后，MN以速度v向右做匀速运动时( )
A．电容器两极板间的电压为零
B．电阻两端的电压为BLv
C．电容器所带电荷量为CBLv
D．为保持MN匀速运动，需对其施加的拉力大小为eq \f(B2L2v,R)
答案:C
解析：当MN向右匀速运动时，MN产生的感应电动势恒定，稳定后，电容器既不充电也不放电，无电流产生，故电阻两端没有电压，电容器两极板间的电压为U＝E＝BLv，所带电荷量Q＝CU＝CBLv，A、B错误，C正确；MN匀速运动时，因无电流而不受安培力，由平衡条件知拉力为零，D错误。
练习6、(2023·天津市部分区高三上期末)如图甲所示，相距L＝1 m的两根足够长的光滑平行金属导轨倾斜放置，与水平面夹角θ＝37°，导轨电阻不计，质量m＝1 kg、接入电路电阻为r＝0.5 Ω的导体棒ab垂直于导轨放置，导轨的PM两端接在外电路上，定值电阻阻值R＝1.5 Ω，电容器的电容C＝0.5 F，电容器的耐压值足够大，导轨所在平面内有垂直于导轨平面斜向上的匀强磁场．在开关S1闭合、S2断开的状态下将导体棒ab由静止释放，导体棒的v－t图像如图乙所示，sin 37°＝0.6，取重力加速度g＝10 m/s2.
(1)求磁场的磁感应强度大小B；
(2)在开关S1闭合、S2断开的状态下，当导体棒下滑的距离x＝5 m时，定值电阻产生的焦耳热为21 J，此时导体棒的速度与加速度分别是多大？
(3)现在开关S1断开、S2闭合的状态下，由静止释放导体棒，求经过t＝2 s时导体棒的速度大小．
答案:(1)2 T (2)2 m/s 2 m/s2 (3)4 m/s
解析：(1)由题图乙可知，导体棒的最大速度
vm＝3 m/s，
对应的感应电动势E＝BLvm，
感应电流I＝eq \f(E,R＋r)，
当速度达到最大时，导体棒做匀速运动，导体棒受力平衡，有BIL＝mgsin θ，
解得B＝eq \r(\f(mgR＋rsin θ,L2vm))＝2 T.
(2)导体棒和定值电阻串联，由公式Q＝I2Rt可知：Qab∶QR＝1∶3，则导体棒ab产生的焦耳热Qab＝eq \f(1,3)×21 J＝7 J，导体棒下滑x＝5 m的距离，导体棒减少的重力势能转化为动能和回路中的焦耳热，由能量守恒定律有
mgxsin θ＝eq \f(1,2)mv12＋Qab＋QR
得导体棒的速度v1＝2 m/s，
此时感应电动势E1＝BLv1，
感应电流I1＝eq \f(E1,R＋r)，
对导体棒有mgsin θ－BI1L＝ma1，
解得加速度a1＝2 m/s2.
(3)开关S1断开、S2闭合时，任意时刻对导体棒，根据牛顿第二定律有
mgsin θ－BI2L＝ma2，
感应电流I2＝eq \f(Δq,Δt)，Δq＝CΔU
Δt时间内，有ΔU＝ΔE＝BLΔv，a2＝eq \f(Δv,Δt)，
解得a2＝2 m/s2，
表明导体棒ab下滑过程中加速度不变，导体棒做匀加速直线运动，t＝2 s时导体棒的速度大小v2＝a2t＝4 m/s.
考向四 电磁感应中的动力学问题--双棒问题模型
一、初速度为零，一杆受到恒定水平外力的作用
【典例7】(多选)(2023·全国卷Ⅰ·21)如图，U形光滑金属框abcd置于水平绝缘平台上，ab和dc边平行，和bc边垂直．ab、dc足够长，整个金属框电阻可忽略．一根具有一定电阻的导体棒MN置于金属框上，用水平恒力F向右拉动金属框，运动过程中，装置始终处于竖直向下的匀强磁场中，MN与金属框保持良好接触，且与bc边保持平行．经过一段时间后( )
A．金属框的速度大小趋于恒定值
B．金属框的加速度大小趋于恒定值
C．导体棒所受安培力的大小趋于恒定值
D．导体棒到金属框bc边的距离趋于恒定值
答案:BC
解析：当金属框在恒力F作用下向右加速运动时，bc边产生从c到b的感应电流i，金属框的加速度大小为a1，则有F－Bil＝Ma1；MN中感应电流从M流向N，MN在安培力作用下向右加速运动，加速度大小为a2，则有Bil＝ma2，当金属框和MN都运动后，金属框速度为v1，MN速度为v2，则电路中的感应电流为i＝eq \f(Blv1－v2,R)，感应电流从0开始增大，则a2从零开始增加，a1从eq \f(F,M)开始减小，加速度差值减小，当a1＝a2时，得F＝(M＋m)a，a＝eq \f(F,M＋m)恒定，由F安＝ma可知，安培力不再变化，则感应电流不再变化，据i＝eq \f(Blv1－v2,R)知金属框与MN的速度差保持不变，v－t图像如图所示，故A错误，B、C正确；MN与金属框的速度差不变，但MN的速度小于金属框的速度，则MN到金属框bc边的距离越来越大，故D错误．
【典例8】(多选)(2023·山东泰安模拟)如图，平行光滑金属导轨M、N固定在水平面上，处于竖直向下的匀强磁场中。完全相同的两金属棒P、Q搭放在导轨上，开始均处于静止状态。给P施加一与导轨平行的恒定拉力作用，运动中两金属棒始终与导轨垂直并与导轨接触良好。设导轨足够长，除两棒的电阻外其余电阻均不计。则两棒的速度及棒中的感应电流随时间变化的图象正确的是( )
答案:AD
解析：P向右做切割磁感线运动，由右手定则判断知，回路中产生逆时针的感应电流，由左手定则判断可知，Q棒所受的安培力方向向右，Q棒向右做加速运动，开始阶段，两棒的速度差增大，回路中产生的感应电动势增大，感应电流增大，两棒所受的安培力都增大，则P的加速度减小，Q的加速度增大，当两者的加速度相等时，速度之差不变，感应电流不变，安培力不变，两棒均做加速度相同的匀加速运动。开始运动时，P棒做加速度减小的加速运动，Q棒做加速度增大的加速运动，最终做加速度相同的加速运动，故A正确，B错误；开始运动时，两棒的速度差增大，感应电动势增大，通过电流增大，最终两棒都做匀加速运动，速度差保持不变，故回路中感应电动势不变，电流恒定，故C错误，D正确。
练习7、(2023·北京市丰台区高三上期末)如图所示，上下不等宽的平行导轨，EF和GH部分的导轨间距为L，PQ和MN部分的导轨间距为3L，导轨平面与水平面的夹角为30°，整个装置处在垂直于导轨平面的匀强磁场中．金属杆ab和cd的质量均为m，都可在导轨上无摩擦地滑动，且与导轨接触良好，现对金属杆ab施加一个沿导轨平面向上的作用力F，使其沿斜面匀速向上运动，同时cd处于静止状态，则F的大小为( )
A.eq \f(2,3)mg B．mg
C.eq \f(4,3)mg D.eq \f(3,2)mg
答案:A
解析：设ab杆向上做切割磁感线运动时，产生的感应电流大小为I，受到的安培力大小为F安＝BIL，对于cd，由平衡条件有BI·3L＝mgsin 30°，对于ab杆，由平衡条件有F＝mgsin 30°＋BIL，得F＝eq \f(2,3)mg，A对．
练习8、(2023·湖北省武汉市第二中学高三上模拟)间距为L＝2 m的足够长的金属直角导轨如图所示放置，它们各有一边在同一水平面内，另一边垂直于水平面．质量均为m＝0.1 kg的金属细杆ab、cd与导轨垂直放置形成闭合回路．细杆与导轨之间的动摩擦因数均为μ＝0.5，导轨的电阻不计，细杆ab、cd接入电路的电阻分别为R1＝0.6 Ω，R2＝0.4 Ω.整个装置处于磁感应强度大小为B＝0.50 T、方向竖直向上的匀强磁场中(图中未画出)．当ab杆在平行于水平导轨的拉力F作用下从静止开始沿导轨匀加速运动时，cd杆也同时从静止开始沿导轨向下运动，且t＝0时，F＝1.5 N，g＝10 m/s2.
(1)求ab杆的加速度a的大小；
(2)求当cd杆达到最大速度时ab杆的速度大小；
(3)若从开始到cd杆达到最大速度的过程中拉力F做的功为5.2 J，求该过程中ab杆所产生的焦耳热．
答案:(1)10 m/s2 (2)2 m/s (3)2.94 J
解析：(1)由题可知，在t＝0时，F＝1.5 N
对ab杆进行受力分析，由牛顿第二定律得
F－μmg＝ma代入数据解得a＝10 m/s2.
(2)从d向c看，对cd杆进行受力分析，如图所示，当cd杆速度最大时，设ab杆的速度大小为v，根据平衡条件，有Ff＝mg＝μFN，
FN＝F安，F安＝BIL，
I＝eq \f(BLv,R1＋R2)
综合以上各式，
解得v＝2 m/s
(3)整个过程中，ab杆发生的位移
x＝eq \f(v2,2a)＝eq \f(22,2×10) m＝0.2 m
对ab杆应用动能定理，有WF－μmgx－W安＝eq \f(1,2)mv2
代入数据解得W安＝4.9 J
根据功能关系得Q总＝W安
所以ab杆上产生的热量Qab＝eq \f(R1,R1＋R2)Q总＝2.94 J.
1. (2023·北京市朝阳区高三一模)如图所示，在一匀强磁场中有一U形导线框abcd，线框处于水平面内，磁场与线框平面垂直，R为一电阻，ef为垂直于ab的一根导体杆，它可在ab、cd上无摩擦地滑动。ef及线框中导线的电阻不计。开始时，给ef一个向右的初速度，则( )
A．ef将减速向右运动，但不是匀减速
B．ef将匀减速向右运动，最后停止
C．ef将匀速向右运动
D．ef将往返运动
答案:A
解析：ef向右运动，切割磁感线，产生感应电动势和感应电流，根据右手定则和左手定则可知，ef受到向左的安培力而做减速运动，直到停止，由F＝BIL＝eq \f(B2L2v,R)＝ma，知ef做的是加速度减小的减速运动，故A正确。
2. (多选)(2023·山东省日照市二模)如图所示，M、N为同一水平面内的两条平行长直导轨，左端串联电阻R，金属杆ab垂直导轨放置，金属杆和导轨的电阻不计，杆与导轨间接触良好且无摩擦，整个装置处于竖直方向的匀强磁场中．现对金属杆ab施加一个与其垂直的水平方向的恒力F，使金属杆从静止开始运动．在运动过程中，金属杆的速度大小为v，R上消耗的电功率为P，则下列关于v、P随时间变化的图像可能正确的是( )
答案:AD
解析：对金属杆ab施加一个与其垂直的水平方向的恒力F，使金属杆从静止开始运动．由于金属杆切割磁感线产生感应电动势和感应电流，受到随速度的增大而增大的安培力作用，所以金属杆做加速度逐渐减小的加速运动，当安培力增大到等于水平方向的恒力F时，金属杆做匀速直线运动，v－t图像A正确，B错误；由P＝eq \f(E2,R)＝eq \f(B2l2v2,R)，v先增大后不变，则P先增大后不变，但不是均匀增大，故C错误，D正确．
3. (多选)(2023·四川内江月考)如图所示，空间有一个方向水平的有界磁场区域，一个矩形线框，自磁场上方某一高度下落，然后进入磁场，进入磁场时，导线框平面与磁场方向垂直，则在进入过程中导线框可能的运动情况是( )
A．加速度变小的加速下落
B．加速度变小的减速下落
C．匀速下落
D．匀加速下落
答案:ABC
解析：线框进入磁场过程中受到的安培力F＝BIL＝eq \f(B2L2v,R)，如果eq \f(B2L2v,R)mg，线框受到的合力向上，线框向下做减速运动，由牛顿第二定律得eq \f(B2L2v,R)－mg＝ma，解得a＝eq \f(B2L2v,mR)－g，由于速度v减小，a减小，线框向下做加速度减小的减速运动，B项正确；如果eq \f(B2L2v,R)＝mg，线框将向下做匀速直线运动，C项正确。
4. (多选)(2023·唐山模拟)如图甲所示，水平放置的平行金属导轨连接一个平行板电容器C和电阻R，导体棒MN放在导轨上且接触良好，整个装置放于垂直导轨平面的磁场中，磁感应强度B的变化情况如图乙所示(图示磁感应强度方向为正)，MN始终保持静止，则0～t2时间内( )
A．电容器C的电荷量大小始终不变
B．电容器C的a板先带正电后带负电
C．MN所受安培力的大小始终不变
D．MN所受安培力的方向先向右后向左
答案:AD
解析：磁感应强度均匀变化，产生恒定电动势，电容器C的电荷量大小始终没变，选项A正确，B错误；由于磁感应强度变化，根据楞次定律和左手定则可知，MN所受安培力的方向先向右后向左，大小先减小后增大，选项C错误，D正确。
5. (多选)(2023·山东省日照市高三下二模)如图所示，平行且足够长的两条光滑金属导轨，相距L＝0.4 m，导轨所在平面与水平面的夹角为30°，其电阻不计。把完全相同的两金属棒(长度均为0.4 m)ab、cd分别垂直于导轨放置，并使金属棒的两端都与导轨良好接触。已知两金属棒的质量均为m＝0.1 kg、电阻均为R＝0.2 Ω，整个装置处在垂直于导轨平面向上的匀强磁场中，磁感应强度为B＝0.5 T。当金属棒ab在平行于导轨向上的力F作用下沿导轨向上匀速运动时，金属棒cd恰好能保持静止(g＝10 m/s2)，则( )
A．F的大小为0.5 N
B．金属棒ab产生的感应电动势为1.0 V
C．金属棒ab两端的电压为1.0 V
D．金属棒ab的速度为5.0 m/s
答案:BD
解析：对于金属棒cd有mgsin θ＝BIL，解得回路中的电流I＝2.5 A，所以回路中的感应电动势E＝2IR＝1.0 V，选项B正确；Uab＝IR＝0.5 V，选项C错误；对于金属棒ab有F＝BIL＋mgsin θ，解得F＝1.0 N，选项A错误；根据法拉第电磁感应定律有E＝BLv，解得金属棒ab的速度为v＝5.0 m/s，选项D正确。
6. (2023·广东省汕头市高三二模)如图所示，光滑金属导轨ab和cd构成的平面与水平面成角，导轨间距=2L，导轨电阻不计．两金属棒MN、PQ垂直导轨放置，与导轨接触良好．两棒质量，电阻，整个装置处在垂直导轨向上的磁感应强度为B的匀强磁场中，金属棒MN在平行于导轨向上的拉力，作用下沿导轨以速度向上匀速运动，PQ棒恰好以速度向下匀速运动．则
A．MN中电流方向是由N到M
B．匀速运动的速度的大小是
C．在MN、PQ都匀速运动的过程中，
D．在MN、PQ都匀速运动的过程中，
答案:BD
7. (2023山东省济南市高三下模拟考试)如图所示，质量均为m的金属棒ab、cd与足够长的水平金属导轨垂直且接触良好，两金属棒与金属导轨间的动摩擦因数为μ，磁感应强度为B的匀强磁场的方向竖直向下．则ab棒在恒力F＝2μmg作用下向右运动的过程中，有( )
A．安培力对ab棒做正功
B．安培力对cd棒做正功
C．ab棒做加速度逐渐减小的加速运动，最终匀速运动
D．cd棒做加速度逐渐减小的加速运动，最终匀速运动
答案:C.
解析：对于ab棒，因为F＝2μmg>μmg，所以从静止开始加速运动，ab棒运动会切割磁感线产生感应电流，从而使ab棒受到一个向左的安培力，这样加速度会减小，最终会做匀速运动；而cd棒所受到的最大安培力与摩擦力相同，所以总保持静止状态，即安培力对ab棒做负功，对cd棒不做功，所以选项C正确，A、B、D错误．
8. (2023·云南省昆明市“三诊一模”二模)如图所示，两根足够长的平行直导轨AB、CD与水平面成θ角放置，两导轨间距为L，A、C两点间接有阻值为R的定值电阻．一根质量均匀分布的直金属杆放在两导轨上，并与导轨垂直．整套装置处于磁感应强度大小为B0的匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨平面向上，导轨和金属杆接触良好，金属杆的阻值为r，其余部分电阻不计，金属杆与导轨之间的动摩擦因数为μ.现将外力F沿与导轨平行的方向作用在金属杆上，让其由静止开始沿导轨向上做匀加速直线运动，则下列外力F与作用时间t的图象中正确的是( )
答案:B
解析：分析金属杆在运动过程中的受力情况可知，金属杆受重力mg、导轨的支持力FN、外力F、摩擦力Ff和安培力F安的共同作用，金属杆沿导轨方向向上运动，由牛顿第二定律有F－mgsinθ－F安－Ff＝ma，又F安＝B0IL，I＝eq \f(E,R＋r)＝eq \f(B0Lv,R＋r)，所以F安＝B0IL＝eq \f(B\\al(2,0)L2v,R＋r)，Ff＝μmgcsθ，所以有F－mgsinθ－eq \f(B\\al(2,0)L2v,R＋r)－μmgcsθ＝ma，又因v＝at，将其代入上式可得F＝eq \f(B\\al(2,0)L2a,R＋r)t＋mgsinθ＋μmgcsθ＋ma，由此表达式可知，选项B正确．
9.(2023·安徽省合肥市高三上开学考试) 如图所示，在倾角为α＝30°的光滑斜面上，存在着两个匀强磁场区域Ⅰ、Ⅱ，两个区域的磁场方向相反且都垂直于斜面，MN、PQ、EF为两磁场区域的理想边界，区域Ⅰ的磁感应强度大小为B1＝2 T，区域Ⅱ的磁感应强度大小为B2＝1 T，两个区域的宽度MP和PE均为L＝1 m．一个质量为m＝0.9 kg、电阻为R＝1 Ω、边长也为L＝1 m的正方形导线框，从磁场区域上方某处由静止开始沿斜面下滑，当ab边刚进入磁场区域Ⅰ时，线框恰好做匀速运动；当ab边下滑到磁场区域Ⅱ的中间位置时，线框又恰好做匀速运动，重力加速度取g＝10 m/s2.求：
(1)ab边刚进入磁场区域Ⅰ时的速度v1；
(2)当ab边刚进入磁场区域Ⅱ时，线框加速度的大小与方向；
(3)线框ab边刚要离开磁场区域Ⅱ时的速度v2.
答案:见解析
解析： (1)当ab边刚进入磁场Ⅰ时，由法拉第电磁感应定律E1＝B1Lv1
由欧姆定律有I1＝eq \f(E1,R)
又F1＝B1I1L
因线框做匀速动，由物体平衡条件有F1＝mgsin α
联立解得v1＝eq \f(9,8) m/s
(2)导线框ab边刚进入磁场区域Ⅱ时，ab和cd边都切割磁感线，由法拉第电磁感应定律E2＝B1Lv1＋B2Lv1
又I2＝eq \f(E2,R)
解得I2＝eq \f(B1Lv1＋B2Lv1,R)
线框所受安培力F2＝B1I2L＋B2I2L
由牛顿第二定律有F2－mgsin α＝ma
联立解得a＝eq \f(25,4) m/s2，方向沿斜面向上
(3)设线框ab边下落到区域Ⅱ的中间位置时的速度为v2，有I3＝eq \f(B1Lv2＋B2Lv2,R)
线框所受安培力F3＝B1I3L＋B2I3L
因线框做匀速动，由物体平衡条件有F3＝mgsin α
解得v2＝0.5 m/s
1.(2023·天津理综·3)如图所示，两根平行金属导轨置于水平面内，导轨之间接有电阻R.金属棒ab与两导轨垂直并保持良好接触，整个装置放在匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨平面向下.现使磁感应强度随时间均匀减小，ab始终保持静止，下列说法正确的是( )
A.ab中的感应电流方向由b到a
B.ab中的感应电流逐渐减小
C.ab所受的安培力保持不变
D.ab所受的静摩擦力逐渐减小
答案:D
解析：金属棒ab、电阻R、导轨构成闭合回路，磁感应强度均匀减小(eq \f(ΔB,Δt)＝k为一定值)，则闭合回路中的磁通量减小，根据楞次定律，可知回路中产生顺时针方向的感应电流，ab中的电流方向由a到b，故A错误；根据法拉第电磁感应定律，感应电动势E＝eq \f(ΔΦ,Δt)＝eq \f(ΔB·S,Δt)＝kS，回路面积S不变，即感应电动势为定值，设ab的电阻为r，根据闭合电路欧姆定律I＝eq \f(E,R＋r)，所以ab中的电流大小不变，故B错误；安培力F＝BIL，电流大小和金属棒长度不变，磁感应强度减小，则安培力减小，故C错误；导体棒处于静止状态，所受合力为零，对其受力分析，水平方向静摩擦力Ff与安培力F等大反向，安培力减小，则静摩擦力减小，故D正确.
2.(多选)如图所示，平行的金属导轨与电路处在垂直纸面向里的匀强磁场B中，一金属杆放在金属导轨上，在恒定外力F作用下做匀速运动，则在开关S( )
A．闭合瞬间通过金属杆的电流增大
B．闭合瞬间通过金属杆的电流减小
C．闭合后金属杆先减速后匀速
D．闭合后金属杆先加速后匀速
答案:AC
解析：金属杆做切割磁感线运动，相当于电源，在开关S闭合瞬间，外电阻变小，根据闭合电路欧姆定律，干路电流增加，即通过金属杆的电流增加，故A正确，B错误；开关S闭合前，拉力和安培力平衡，开关S闭合后，电流增加，根据安培力公式F＝BIL，安培力增加，故拉力小于安培力，金属杆做减速运动，感应电动势减小，电流减小，安培力减小，加速度减小，当加速度减为零时，速度减小到最小值，最后做匀速运动，故C正确，D错误。
3. (多选)(2023·全国甲卷·21)由相同材料的导线绕成边长相同的甲、乙两个正方形闭合线圈，两线圈的质量相等，但所用导线的横截面积不同，甲线圈的匝数是乙的2倍．现两线圈在竖直平面内从同一高度同时由静止开始下落，一段时间后进入一方向垂直于纸面的匀强磁场区域，磁场的上边界水平，如图所示．不计空气阻力，已知下落过程中线圈始终平行于纸面，上、下边保持水平．在线圈下边进入磁场后且上边进入磁场前，可能出现的是( )
A．甲和乙都加速运动
B．甲和乙都减速运动
C．甲加速运动，乙减速运动
D．甲减速运动，乙加速运动
答案: AB
解析：设线圈下边到磁场的高度为h，线圈的边长为l，则线圈下边刚进入磁场时，有v＝eq \r(2gh)，
感应电动势为E＝nBlv，
两线圈材料相同(设密度为ρ0)，质量相同(设为m)，
则m＝ρ0×4nl×S，
设材料的电阻率为ρ，则线圈电阻
R＝ρeq \f(4nl,S)＝eq \f(16n2l2ρρ0,m)
感应电流为I＝eq \f(E,R)＝eq \f(mBv,16nlρρ0)
所受安培力大小为F＝nBIl＝eq \f(mB2v,16ρρ0)
由牛顿第二定律有mg－F＝ma
联立解得a＝g－eq \f(F,m)＝g－eq \f(B2v,16ρρ0)
加速度和线圈的匝数、横截面积无关，则甲和乙进入磁场时，具有相同的加速度．
当g>eq \f(B2v,16ρρ0)时，甲和乙都加速运动，
当g当g＝eq \f(B2v,16ρρ0)时，甲和乙都匀速运动，
故选A、B.
4. (多选)如图所示，空间存在着与圆台母线垂直向外的磁场，各处的磁感应强度大小均为B，圆台母线与竖直方向的夹角为θ，一个质量为m、半径为r的匀质金属环位于圆台底部．当给环通以恒定的电流I，圆环由静止向上运动，经过时间t后撤去该恒定电流并保持圆环闭合，圆环全程上升的最大高度为H.已知重力加速度为g，不计空气阻力，磁场的范围足够大．在圆环向上运动的过程中，下列说法正确的是( )
A．圆环先做加速运动后做减速运动
B．在时间t内安培力对圆环做功为mgH
C．圆环运动的最大速度为eq \f(2πBIrtcsθ,m)－gt
D．圆环先有扩张后有收缩的趋势
答案:AC
解析：在时间t内，圆环中通有电流I，圆环在磁场中受向上的安培力作用，安培力大于重力，所以合力向上，圆环由静止开始向上加速运动，t时刻撤去电流，圆环继续向上运动，并切割磁感线产生感应电流，则同时又受向下的安培力和重力，合力方向与运动方向相反，所以圆环开始减速运动直至到达最高位置，故A正确；因安培力在t时间内对其做正功，t时刻以后对其做负功，有W安t前－W安t后＝mgH，则知在t时间内安培力做功大于mgH，故B错误；在t时间内安培力F＝BIL＝BI·2πr，合外力F合＝Fcsθ－mg＝2πBIrcsθ－mg＝ma，v＝at＝eq \f(2πBIrtcsθ,m)－gt，故C正确；圆环加速上升过程中有收缩趋势，减速上升过程中有扩张趋势，故D错误．
5. (多选)如图甲所示，两间距为L的平行光滑金属导轨固定在水平面内，左端用导线连接，导轨处在竖直向上的匀强磁场中，一根长度也为L、电阻为R的金属棒放在导轨上，在平行于导轨向右、大小为F的恒力作用下向右运动，金属棒运动过程中，始终与导轨垂直并接触良好，金属棒运动的加速度与速度关系如图乙所示，不计金属导轨及左边导线电阻，金属导轨足够长，若图乙中的a0、v0均为已知量，则下列说法正确的是( )
A．金属棒的质量为eq \f(F,a0)
B．匀强磁场的磁感应强度大小为eq \f(1,L)eq \r(\f(FR,v0))
C．当拉力F做功为W时，通过金属棒横截面的电荷量为eq \f(W,\r(FR))
D．某时刻撤去拉力，此后金属棒运动过程中加速度大小与速度大小成正比
答案:ABD
解析：由题意可知F－eq \f(B2L2v,R)＝ma，得a＝eq \f(F,m)－eq \f(B2L2,mR)v，结合图像可知eq \f(F,m)＝a0，eq \f(B2L2v0,mR)＝a0，解得m＝eq \f(F,a0)，B＝eq \r(\f(ma0R,L2v0))＝eq \f(1,L)eq \r(\f(FR,v0))，A、B正确；当拉力F做功为W时，金属棒运动的距离为s＝eq \f(W,F)，则通过金属棒横截面的电荷量q＝eq \x\t(I)t＝eq \f(\x\t(E),R)t＝eq \f(BLs,R)＝eq \f(W,\r(FRv0))，C错误；某时刻撤去拉力，此后eq \f(B2L2v,R)＝ma，则a＝eq \f(B2L2,mR)v，D正确．
6. 如图所示，有两根和水平方向成α角的光滑平行的金属轨道，间距为l，上端接有可变电阻R，下端足够长，空间有垂直于轨道平面的匀强磁场，磁感应强度为B.一根质量为m的金属杆从轨道上由静止滑下，经过足够长的时间后，金属杆的速度会趋于一个最大速度vm，除R外其余电阻不计，则 ( )
A．如果B变大，vm将变大 B．如果α变大，vm将变大
C．如果R变大，vm将变大 D．如果m变小，vm将变大
答案:BC
解析：金属杆从轨道上滑下切割磁感线产生感应电动势E＝Blv，在闭合电路中形成电流I＝eq \f(Blv,R)，因此金属杆从轨道上滑下的过程中除受重力、轨道的弹力外还受安培力F作用，F＝BIl＝eq \f(B2l2v,R)，先用右手定则判定感应电流方向，再用左手定则判定出安培力方向，如图所示．
根据牛顿第二定律，得mgsin α－eq \f(B2l2v,R)＝ma，当a＝0时，v＝vm，
解得vm＝eq \f(mgRsin α,B2l2)，故选项B、C正确．
7. (2023·湖南重点中学联考)如图所示，竖直平面内有足够长、不计电阻的两组平行光滑金属导轨，宽度均为L，上方连接一阻值为R的定值电阻，虚线下方的区域内存在磁感应强度为B的匀强磁场。两根完全相同的金属杆1和2靠在导轨上，金属杆长度与导轨宽度相等且与导轨接触良好，电阻均为r、质量均为m；将金属杆1固定在磁场的上边缘，且仍在磁场内，金属杆2从磁场边界上方h0处由静止释放，进入磁场后恰好做匀速运动。现将金属杆2从磁场边界上方h(hA．两金属杆向下运动时，流过电阻R的电流方向为a→b
B．回路中感应电动势的最大值为eq \f(mg2r＋R,BL)
C．磁场中金属杆1与金属杆2所受的安培力大小、方向均不相同
D．任何时刻金属杆1与2的速度之差均为2eq \r(gh)
答案:B
答案:根据右手定则判断知两金属杆产生的感应电流方向向右，则流过电阻R的电流方向为b→a，故选项A错误；当金属杆2在磁场中匀速下降时，速度最大，产生的感应电动势最大，由平衡条件得BIL＝mg，又I＝eq \f(Em,2r＋R)，联立得感应电动势的最大值为Em＝eq \f(mg2r＋R,BL)，故选项B正确；根据左手定则判断知两金属杆所受安培力的方向均向上，方向相同，由公式F＝BIL可知安培力的大小也相同，故选项C错误；金属杆2刚进入磁场时的速度为v＝eq \r(2gh)；在金属杆2进入磁场后，由于两金属杆任何时刻受力情况相同，因此任何时刻两者的加速度也都相同，在相同时间内速度的增量也必相同，即v1－0＝v2－v，则v2－v1＝v＝eq \r(2gh)，故选项D错误。
8. 如图所示，相距为L的两条足够长的平行金属导轨，与水平面的夹角为θ，导轨上固定有质量为m、电阻为R的两根相同的导体棒，导体棒MN上方轨道粗糙、下方轨道光滑，整个空间存在垂直于导轨平面的匀强磁场，磁感应强度为B.将两根导体棒同时释放后，观察到导体棒MN下滑而EF保持静止，当MN下滑速度最大时，EF与轨道间的摩擦力刚好达到最大静摩擦力，下列叙述正确的是( )
A．导体棒MN的最大速度为eq \f(2mgRsin θ,B2L2)
B．导体棒EF与轨道之间的最大静摩擦力为mgsin θ
C．导体棒MN受到的最大安培力为mgsin θ
D．导体棒MN所受重力的最大功率为eq \f(m2g2Rsin2 θ,B2L2)
答案:AC
解析：由题意可知，导体棒MN切割磁感线，产生的感应电动势为E＝BLv，回路中的电流I＝eq \f(E,2R)，MN受到的安培力F＝BIL＝eq \f(B2L2v,2R)，随着速度的增长，MN受到的安培力逐渐增大，加速度逐渐减小，故MN沿斜面做加速度减小的加速运动，当MN受到的安培力大小等于其重力沿轨道方向的分力时，速度达到最大值，此后MN做匀速运动．故导体棒MN受到的最大安培力为mgsin θ，导体棒MN的最大速度为eq \f(2mgRsin θ,B2L2)，选项A、C正确．由于当MN下滑速度最大时，EF与轨道间的摩擦力刚好达到最大静摩擦力，由力的平衡知识可知EF与轨道之间的最大静摩擦力为2mgsin θ，选项B错误．由P＝mgvsin θ可知导体棒MN所受重力的最大功率为eq \f(2m2g2Rsin2 θ,B2L2)，D错误．
9. 如图，由某种粗细均匀的总电阻为3R的金属条制成的矩形线框abcd，固定在水平面内且处于方向竖直向下的匀强磁场中．一接入电路电阻为R的导体棒PQ，在水平拉力作用下沿ab、dc以速度v匀速滑动，滑动过程PQ始终与ab垂直，且与线框接触良好，不计摩擦．在PQ从靠近ad处向bc滑动的过程中( )
A．PQ中电流先增大后减小
B．PQ两端电压先减小后增大
C．PQ上拉力的功率先减小后增大
D．线框消耗的电功率先减小后增大
答案:C
解析：设PQ左侧金属线框的电阻为r，则右侧电阻为3R－r；PQ相当于电源，其电阻为R，则电路的外电阻为R外＝eq \f(r（3R－r）,r＋（3R－r）)＝eq \f(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(r－\f(3R,2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3R,2)))\s\up12(2),3R)，当r＝eq \f(3R,2)时，R外max＝eq \f(3,4)R，此时PQ处于矩形线框的中心位置，即PQ从靠近ad处向bc滑动的过程中外电阻先增大后减小．PQ中的电流为干路电流I＝eq \f(E,R外＋R内)，可知干路电流先减小后增大，选项A错误；PQ两端的电压为路端电压U＝E－U内，因E＝Blv不变，U内＝IR先减小后增大，所以路端电压先增大后减小，选项B错误；拉力的功率大小等于安培力的功率大小，P＝F安v＝BIlv，可知因干路电流先减小后增大，PQ上拉力的功率也先减小后增大，选项C正确；线框消耗的电功率即为外电阻消耗的功率，因外电阻最大值为eq \f(3,4)R，小于内阻R；根据电源的输出功率与外电阻大小的变化关系，外电阻越接近内阻时，输出功率越大，可知线框消耗的电功率先增大后减小，选项D错误．
10.(2023陕西汉中重点中学联考)(多选)如图所示，平行且足够长的两条光滑金属导轨，相距L＝0.4 m，导轨所在平面与水平面的夹角为30°，其电阻不计。把完全相同的两金属棒(长度均为0.4 m)ab、cd分别垂直于导轨放置，并使金属棒的两端都与导轨良好接触。已知两金属棒的质量均为m＝0.1 kg、电阻均为R＝0.2 Ω，整个装置处在垂直于导轨平面向上的匀强磁场中，磁感应强度为B＝0.5 T。当金属棒ab在平行于导轨向上的力F作用下沿导轨向上匀速运动时，金属棒cd恰好能保持静止(g＝10 m/s2)，则( )
A．F的大小为0.5 N
B．金属棒ab产生的感应电动势为1.0 V
C．金属棒ab两端的电压为1.0 V
D．金属棒ab的速度为5.0 m/s
答案:BD
解析：对于金属棒cd有mgsin θ＝BIL，解得回路中的电流I＝2.5 A，所以回路中的感应电动势E＝2IR＝1.0 V，选项B正确；Uab＝IR＝0.5 V，选项C错误；对于金属棒ab有F＝BIL＋mgsin θ，解得F＝1.0 N，选项A错误；根据法拉第电磁感应定律有E＝BLv，解得金属棒ab的速度为v＝5.0 m/s，选项D正确。
11. (2023·山东威海市模拟考试)如图甲所示，两根足够长的光滑平行直导轨固定在水平面上，导轨左侧连接一电容器，一金属棒垂直放在导轨上，且与导轨接触良好。在整个装置中加上垂直于导轨平面的磁场，磁感应强度按图乙所示规律变化。0～t0内在导体棒上施加外力使导体棒静止不动，t0时刻撤去外力。已知电容器的电容为C，两导轨间距为L，导体棒到导轨左侧的距离为d，导体棒的质量为m。求：
(1)电容器带电荷量的最大值；
(2)导体棒能够达到的最大速度vm。
答案:(1)eq \f(CB0Ld,t0) (2)eq \f(CBeq \\al(2,0)L2d,t0（m＋CBeq \\al(2,0)L2）)
解析：(1)电容器两极板的电压U＝eq \f(B0,t0)Ld
电容器的带电荷量Q＝CU＝eq \f(CB0Ld,t0)。
(2)电容器放电后剩余的电荷量Q′＝CU′
U′＝B0Lvm
由动量定理得B0eq \(I,\s\up6(－))L·Δt＝mvm
Q－Q′＝eq \(I,\s\up6(－))Δt
解得vm＝eq \f(CBeq \\al(2,0)L2d,t0（m＋CBeq \\al(2,0)L2）)。
12. (2023·高考全国卷乙，T24)如图，一倾角为α的光滑固定斜面的顶端放有质量M＝0.06 kg的U形导体框，导体框的电阻忽略不计；一电阻R＝3 Ω的金属棒CD的两端置于导体框上，与导体框构成矩形回路CDEF；EF与斜面底边平行，长度L＝0.6 m。初始时CD与EF相距s0＝0.4 m，金属棒与导体框同时由静止开始下滑，金属棒下滑距离s1＝eq \f(3,16) m后进入一方向垂直于斜面的匀强磁场区域，磁场边界(图中虚线)与斜面底边平行；金属棒在磁场中做匀速运动，直至离开磁场区域。当金属棒离开磁场的瞬间，导体框的EF边正好进入磁场，并在匀速运动一段距离后开始加速。已知金属棒与导体框之间始终接触良好，磁场的磁感应强度大小B＝1 T，重力加速度大小取g＝10 m/s2，sin α＝0.6。求：
(1)金属棒在磁场中运动时所受安培力的大小；
(2)金属棒的质量以及金属棒与导体框之间的动摩擦因数；
(3)导体框匀速运动的距离。
答案: (1)0.18 N (2)0.02 kg eq \f(3,8) (3)eq \f(5,18) m
解析：(1)根据题意可得金属棒和导体框在没有进入磁场时一起做匀加速直线运动，由动能定理可得
(M＋m)gs1sin α＝eq \f(1,2)(M＋m)veq \\al(2,0)
代入数据解得v0＝eq \f(3,2) m/s
金属棒在磁场中切割磁感线产生感应电动势，由法拉第电磁感应定律可得E＝BLv0
由闭合回路的欧姆定律可得I＝eq \f(E,R)
则导体棒刚进入磁场时受到的安培力为
F安＝BIL＝0.18 N。
(2)金属棒进入磁场以后瞬间受到安培力的作用，根据楞次定律可知金属棒所受的安培力沿斜面向上，之后金属棒相对导体框向上运动，因此金属棒受到导体框给的沿斜面向下的滑动摩擦力，因匀速运动，则有mgsin α＋μmgcs α＝F安
此时导体框向下做匀加速运动，根据牛顿第二定律可得Mgsin α－μmgcs α＝Ma
设磁场区域的宽度为x，则金属棒在磁场中运动的时间为t＝eq \f(x,v0)
则此时导体框的速度为v1＝v0＋at
则导体框的位移x1＝v0t＋eq \f(1,2)at2
因此导体框和金属棒的相对位移为
Δx＝x1－x＝eq \f(1,2)at2
由题意当金属棒离开磁场时导体框的上端EF刚好进入磁场，则有位移关系
s0－Δx＝x
导体框进入磁场时匀速运动，此时的电动势为E1＝BLv1，I1＝eq \f(BLv1,R)
导体框受到向上的安培力和滑动摩擦力，因此可得
Mgsin α＝μmgcs α＋BI1L
联立以上可得x＝0.3 m，a＝5 m/s2
m＝0.02 kg，μ＝eq \f(3,8)。
(3)金属棒出磁场以后，速度小于导体框的速度，因此受到向下的摩擦力，做加速运动，则有mgsin α＋μmgcs α＝ma1
金属棒向下加速，导体框匀速，当共速时导体框不再匀速，则有v0＋a1t1＝v1
导体框匀速运动的距离为x2＝v1t1
代入数据解得x2＝eq \f(2.5,9) m＝eq \f(5,18) m。
13. (2023·江西吉水中学、崇仁一中、南城一中三校联考)如图所示，金属杆ab、cd置于平行轨道MN、PQ上，可沿轨道滑动，两轨道间距l＝0.5 m，轨道所在空间有垂直于轨道平面的匀强磁场，磁感应强度B＝0.5 T，用力F＝0.25 N向右水平拉杆ab，若ab、cd与轨道间的滑动摩擦力分别为Ff1＝0.15 N、Ff2＝0.1 N，两杆的有效电阻R1＝R2＝0.1 Ω，设导轨电阻不计，ab、cd的质量关系为2m1＝3m2，且ab、cd与轨道间的最大静摩擦力与滑动摩擦力相等．求：
(1)此两杆之间的稳定速度差；
(2)若F＝0.3 N，两杆间稳定速度差又是多少？
答案:(1)0.32 m/s (2)0.384 m/s
解析：因F＞Ff1，故ab由静止开始做加速运动，ab中将出现不断变大的感应电流，致使cd受到安培力F2作用，当F2＞Ff2时，cd也开始运动，故cd开始运动的条件是：F－Ff1－Ff2＞0.
(1)当F＝0.25 N时，F－Ff1－Ff2＝0，故cd保持静止，两杆的稳定速度差等于ab的最终稳定速度vmax，故此种情况有：电流Im＝eq \f(Em,R1＋R2)＝eq \f(Blvmax,R1＋R2)，安培力Fm＝BIml，则有F－Fm－Ff1＝0，由此得vmax＝0.32 m/s.
(2)当F＝0.3 N＞Ff1＋Ff2，对ab、cd组成的系统，ab、cd所受安培力大小相等，方向相反，合力为零，则系统受的合外力为F合＝F－Ff1－Ff2＝0.05 N．对系统有F合＝(m1＋m2)a，因为2m1＝3m2，则F合＝eq \f(5,2)m2a.取cd为研究对象，F安－Ff2＝m2a，F安＝BIl，I＝eq \f(BlΔv,R1＋R2)，联立各式解得Δv＝eq \f(R1＋R2,B2l2)(eq \f(2,5)F合＋Ff2)＝0.384 m/s.
1.（多选）(2023年全国高考甲卷物理试题）7. 如图，两根相互平行的光滑长直金属导轨固定在水平绝缘桌面上，在导轨的左端接入电容为C的电容器和阻值为R的电阻。质量为m、阻值也为R的导体棒MN静止于导轨上，与导轨垂直，且接触良好，导轨电阻忽略不计，整个系统处于方向竖直向下的匀强磁场中。开始时，电容器所带的电荷量为Q，合上开关S后，（ ）
A. 通过导体棒电流的最大值为
B. 导体棒MN向右先加速、后匀速运动
C. 导体棒速度最大时所受的安培力也最大
D. 电阻R上产生的焦耳热大于导体棒上产生的焦耳热
答案:AD
解析：MN在运动过程中为非纯电阻，MN上的电流瞬时值为
A．当闭合的瞬间，，此时MN可视为纯电阻R，此时反电动势最小，故电流最大故A正确；
B．当时，导体棒加速运动，当速度达到最大值之后，电容器与MN及R构成回路，由于一直处于通路的形式，由能量守恒可知，最后MN终极速度为零， 故B错误；
C．MN在运动过程中为非纯电阻电路，MN上的电流瞬时值为
当时，MN上电流瞬时为零，安培力为零此时，MN速度最大，故C错误；
D． 在MN加速度阶段，由于MN反电动势存在，故MN上电流小于电阻R 上的电流，电阻R消耗电能大于MN上消耗的电能（即），故加速过程中，；当MN减速为零的过程中，电容器的电流和导体棒的电流都流经电阻R形成各自的回路，因此可知此时也是电阻R的电流大，综上分析可知全过程中电阻R上的热量大于导体棒上的热量，故D正确。
故选AD。
2.（多选）(2023年辽宁省普通高中学业水平选择性考试）9.如图（a）所示，两根间距为L、足够长的光滑平行金属导轨竖直放置并固定，顶端接有阻值为R的电阻。垂直导轨平面存在变化规律如图（b）所示的匀强磁场，t=0时磁场方向垂直纸面向里。在t=0到t=2t0的时间内，金属棒水平固定在距导轨顶端L处；在t=2t0时，释放金属棒。整个过程中金属棒与导轨接触良好，导轨与金属棒的电阻不计，则
A. 在t=t0/2时，金属棒受到的安培力的大小F=BIL=
B．在t=t0时，金属棒中电流的大小为
C．在t=3t0/2时，金属棒受到安培力的方向竖直向上
D．在t=3t0时，金属棒中电流的方向向右
答案:BCD
解析：在t=t0/2时，回路内磁感应强度变化率大小为=，由法拉第电磁感应定律可得回路内产生的感应电动势E=L2=，由闭合电路欧姆定律，可得金属棒中电流I=E/R=，在t=t0/2时，B=，金属棒受到的安培力的大小F=BIL=，选项A错误；在t=t0时，回路内磁感应强度变化率大小为=，由法拉第电磁感应定律可得回路内产生的感应电动势E=L2=，由闭合电路欧姆定律，可得金属棒中电流I=E/R=，选项B正确；在t=3t0/2时，磁场方向垂直纸面向外，由楞次定律可判断出产生的感应电流方向为顺时针方向，金属棒中电流 从右向左，由左手定则可判断出金属棒受到安培力的方向竖直向上，选项C正确；在t=3t0时，磁场方向垂直纸面向外，磁场不变化，在t=2t0时，释放金属棒，金属棒向下做加速运动，由右手定则可判断出金属棒中电流的方向向右，选项D正确。
3.(2023年1月浙江省普通高等学校招生考试）21．（10分）如图甲所示，在xOy水平面内，固定放置着间距为l的两平行金属直导轨，其间连接有阻值为R的电阻，电阻两端连接示波器(内阻可视为无穷大)，可动态显示电阻R两端的电压。两导轨间存在大小为B、方向垂直导轨平面的匀强磁场。t=0时一质量为m、长为l的导体棒在外力F作用下从x=x0位置开始做简谐运动，观察到示波器显示的电压随时间变化的波形是如图乙所示的正弦曲线。取，则简谐运动的平衡位置在坐标原点O。 不计摩擦阻力和其它电阻，导体棒始终垂直导轨运动。（提示：可以用F—x图象下的“面积”代表力F所做的功）
（1）求导体棒所受到的安培力FA随时间t的变化规律；
（2）求在0至0．25T时间内外力F的冲量；
（3）若t=0时外力F0=1N，l=1m，T=2πs，m=1kg，R=1Ω，Um=0．5V，B=0．5T，求外力与安培力大小相等时棒的位置坐标和速度。
第21题图甲 第21题图乙
答案:见解析
解析：（1）根据题意，题目中显示的电压与时间关系可知
，导体棒所受安培力
（2）根据题意，导体棒的简谐振动是位移与时间关系为
因此导体棒的速度与时间关系为 ，即
安培力的冲量
根据动量定理可知
（3）根据简谐振动知识可知 ，
当t=0时， ，外力
此时的位移大小
所以比例系数
以向右为正，则
= 1 \* GB3 ①如果是外力与安培力等大，反向，则只有在平衡位置x=0，金属棒合外力为零，即外力大小等于安培力，此时速度代入数据可知，
= 2 \* GB3 ② 如果外力与安培力方向相同，大小相等，则 ，即
即 或者
金属棒的位置关系，所以金属棒的位置
此时根据可知，对应速度为
4. (2023·浙江1月选考)嫦娥五号成功实现月球着陆和返回，鼓舞人心。小明知道月球上没有空气，无法靠降落伞减速降落，于是设计了一种新型着陆装置。如图所示，该装置由船舱、间距为l的平行导轨、产生垂直导轨平面的磁感应强度大小为B的匀强磁场的磁体和“∧”型刚性线框组成，“∧”型线框ab边可沿导轨滑动并接触良好。船舱、导轨和磁体固定在一起，总质量为m1。整个装置竖直着陆到月球表面前瞬间的速度大小为v0，接触月球表面后线框速度立即变为零。经过减速，在导轨下方缓冲弹簧接触月球表面前船舱已可视为匀速。已知船舱电阻为3r；“∧”型线框的质量为m2，其7条边的边长均为l，电阻均为r；月球表面的重力加速度为eq \f(g,6)。整个运动过程中只有ab边在磁场中，线框与月球表面绝缘，不计导轨电阻和摩擦阻力。
(1)求着陆装置接触到月球表面后瞬间线框ab边产生的电动势E0；
(2)通过画等效电路图，求着陆装置接触到月球表面后瞬间流过ab的电流I0；
(3)求船舱匀速运动时的速度大小v；
(4)同桌小张认为在磁场上方、两导轨之间连接一个电容为C的电容器，在着陆减速过程中还可以回收部分能量，在其他条件均不变的情况下，求船舱匀速运动时的速度大小v′和此时电容器所带电荷量q。
答案:(1)Blv0 (2)eq \f(Blv0,2r) (3)eq \f(m1gr,3B2l2)
(4)eq \f(m1gr,3B2l2) eq \f(m1grC,6Bl)
解析：(1)电动势E0＝Blv0。
(2)总电阻R＝2r
电流I0＝eq \f(E0,R)＝eq \f(Blv0,2r)。
(3)匀速运动时线框受到安培力
FA＝eq \f(B2l2v,2r)
根据牛顿第三定律，质量为m1的部分受力F＝FA，方向竖直向上，匀速条件F＝eq \f(m1g,6)，得v＝eq \f(m1gr,3B2l2)。
(4)匀速运动时电容器不充放电，v′＝v＝eq \f(m1gr,3B2l2)
I＝eq \f(Blv′,2r)＝eq \f(m1g,6Bl)，UC＝eq \f(1,3)I×3r＝eq \f(m1gr,6Bl)
电容器带电荷量q＝CUC＝eq \f(m1grC,6Bl)。
新课程标准
1.知道电磁感应现象的应用及其对现代社会的影响。
2．理解楞次定律。
3．通过实验，理解法拉第电磁感应定律。
命题趋势
考查的内容主要体现对物理规律的理解，例如楞次定律、法拉第电磁感应定律；有些题目的综合性较强，主要体现在电磁感应中的综合应用上。题目多涉及动生电动势和感生电动势。
试题情境
生活
实践类
电磁炉、电子秤、电磁卡、电磁焊接技术、磁电式速度传感器、真空管道超高速列车、磁悬浮列车、电磁轨道炮等各种实际应用模型
学习
探究类
杆轨模型问题，电磁感应与动力学结合问题
状态
特征
处理方法
平衡态
加速度为零
根据平衡条件列式分析
非平衡态
加速度不为零
根据牛顿第二定律进行动态分析或结合功能关系进行分析
v
↓
E＝Blv
↓
I＝eq \f(E,R＋r)
↓
F安＝BIl
↓
F合
若F合＝0
匀速直线运动
若F合≠0
↓
F合＝ma
a、v同向
v增大，若a恒定，拉力F增大
v增大，F安增大，F合减小，a减小，做加速度减小的加速运动，减小到a＝0，匀速直线运动
a、v反向
v减小，F安减小，a减小，当a＝0，静止或匀速直线运动
基本模型
运动特点
最终特征
阻尼式
[来源:Z*xx*k.Cm]
a逐渐减小的减速运动
电动式
a逐渐减小的加速运动
发电式
a逐渐减小的加速运动
基本模型
运动特点
最终特征
放电式
a逐渐减小的加速运动
无外力充电式
a逐渐减小的减速运动
匀速运动
I＝0
有外力充电式
匀加速运动
光滑的平行导轨
不光滑平行导轨
示意图
质量m1＝m2
电阻r1＝r2
长度L1＝L2
摩擦力Ff1＝Ff2
质量m1＝m2
电阻r1＝r2
长度L1＝L2
规律
分析
开始时，两杆做变加速运动；稳定时，两杆以相同的加速度做匀加速运动
开始时，若F≤2Ff，则PQ杆先变加速后匀速运动；MN杆静止.若F>2Ff，PQ杆先变加速后匀加速运动，MN杆先静止后变加速最后和PQ杆同时做匀加速运动，且加速度相同
考向一 电磁感应中的动力学问题
考向二 电磁感应中的动力学问题--单杆模型
考向三 电磁感应中的动力学问题--含容式单棒模型
考向四 电磁感应中的动力学问题--双棒问题模型
考向一 电磁感应中的动力学问题
电磁感应中的动力学问题
1.导体棒的动力学分析
电磁感应现象中产生的感应电流在磁场中受到安培力的作用，从而影响导体棒(或线圈)的受力情况和运动情况。
2．两种状态及处理方法
3．导体常见运动情况的动态分析
【典例1】.(多选)(2023·湖北十堰市上学期期末)如图甲所示，abcd为由金属导体做成的框架，其平面与水平面所成角度为θ，质量为m的导体棒PQ与ab、cd接触良好，回路的总电阻为R，整个装置放在垂直于框架平面的变化的磁场中，磁场的磁感应强度变化情况如图乙所示(取磁场方向垂直框架平面向上为正)，PQ始终静止。关于PQ与ab、cd间摩擦力Ff在0到t1内变化情况的说法中，有可能正确的是( )
A.Ff一直增大 B.Ff一直减小
C.Ff先增大，后减小 D.Ff先减小，后增大
答案:AD
解析：根据法拉第电磁感应定律和闭合电路的欧姆定律可得感应电流I＝eq \f(ΔB,ΔtR)S，其中磁感应强度的变化率为定值，所以在线圈中产生恒定的感应电流，根据楞次定律可知电流方向逆时针，根据左手定则可知开始导体棒PQ受到沿导轨向上的安培力，若开始安培力小于导体棒重力沿导轨向下的分力mgsin θ，则摩擦力方向沿导轨向上，其大小为Ff＝mgsin θ－F安，随着安培力的减小，摩擦力Ff逐渐增大，当安培力为零时，摩擦力达到最大；若开始安培力大于mgsin θ，则摩擦力方向沿导轨向下，其大小为Ff＝F安－mgsin θ，由于安培力逐渐减小，摩擦力逐渐减小，当F安＝mgsin θ时，摩擦力为零并开始反向变为Ff＝mgsin θ－F安，Ff随着安培力的减小将逐渐增大；综上分析知，A、D正确，B、C错误。
【典例2】(2023·福建厦门市五月质检)如图所示，质量M＝1 kg的绝缘板静止在水平地面上，与地面间的动摩擦因数μ1＝0.1。金属框ABCD放在绝缘板上，质量m＝2 kg，长L1＝2 m，宽L2＝1 m，总电阻为0.1 Ω，与绝缘板间的动摩擦因数μ2＝0.2。S1、S2是边长为L＝0. 5 m的正方形区域，S1中存在竖直向下、均匀增加的磁场B1，其变化率eq \f(ΔB1,Δt)＝2 T/s；S2中存在竖直向上的匀强磁场，大小为B2＝2 T。将金属框ABCD及绝缘板均由静止释放，重力加速度g取10 m/s2，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，求释放时：
(1)金属框ABCD所受安培力的大小与方向；
(2)金属框ABCD的加速度大小。
答案:(1)5 N 水平向右 (2)eq \f(2,3) m/s2
解析：(1)释放时，由法拉第电磁感应定律得E＝eq \f(ΔB1,Δt)L2
I＝eq \f(E,R)
F＝B2IL
解得F＝5 N，方向水平向右。
(2)假设金属框与绝缘板能相对静止，一起匀加速，则对整体而言
F－μ1(M＋m)g＝(M＋m)a
解得a＝eq \f(2,3) m/s2
设此时金属框与绝缘板间的摩擦力大小为Ff，由牛顿第二定律F－Ff＝ma
解得Ff＝eq \f(11,3) N
而金属框与绝缘板之间的最大静摩擦力为Ffm＝μ2mg＝4 N
由于Ff＜Ffm
假设成立，金属框与绝缘板能相对静止一起加速，金属框此时的加速度大小为a＝eq \f(2,3) m/s2。
练习1、(多选)(2023·云南省昆明市“三诊一模”二模)用一段横截面半径为r、电阻率为ρ、密度为d的均匀导体材料做成一个半径为R(r≪R)的圆环。圆环竖直向下落入如图1所示的径向磁场中，圆环的圆心始终在N极的轴线上，圆环所在位置的磁感应强度大小均为B。圆环在加速下滑过程中某一时刻的速度为v，忽略电感的影响，则( )
A.此时在圆环中产生了(俯视)顺时针的感应电流
B.圆环因受到了向下的安培力而加速下落
C.此时圆环的加速度a＝eq \f(B2v,ρd)
D.如果径向磁场足够长，则圆环的最大速度vm＝eq \f(ρdg,B2)
答案:AD
解析：由右手定则可以判断感应电流的方向为逆时针，可知选项A正确；由左手定则可以判断，此时圆环受到的安培力方向应该向上，选项B错误；对圆环受力分析可解得加速度a＝g－eq \f(B2v,ρd)，选项C错误；当重力等于安培力时速度达到最大，可得vm＝eq \f(ρgd,B2)，选项D正确。
练习2、(2023·山东省滨州市高三下二模)如图所示，两固定的绝缘斜面倾角均为θ，上沿相连．两细金属棒ab(仅标出a端)和cd(仅标出c端)长度均为L，质量分别为2m和m；用两根不可伸长的柔软轻导线将它们连成闭合回路abdca，并通过固定在斜面上沿的两光滑绝缘小定滑轮跨放在斜面上，使两金属棒水平．右斜面上存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于斜面向上．已知两根导线刚好不在磁场中，回路电阻为R，两金属棒与斜面间的动摩擦因数均为μ，重力加速度大小为g.已知金属棒ab匀速下滑．求：
(1)作用在金属棒ab上的安培力的大小；
(2)金属棒运动速度的大小．
答案:(1)mg(sin θ－3μcs θ) (2)(sin θ－3μcs θ)eq \f(mgR,B2L2)
解析：(1)设两根导线的总的张力的大小为T，右斜面对ab棒的支持力的大小为N1，作用在ab棒上的安培力的大小为F，左斜面对cd棒的支持力大小为N2.对于ab棒，由力的平衡条件得2mgsin θ＝μN1＋T＋F①
N1＝2mgcs θ②
对于cd棒，同理有mgsin θ＋μN2＝T③
N2＝mgcs θ④
联立①②③④式得F＝mg(sin θ－3μcs θ)．⑤
(2)由安培力公式得F＝BIL⑥
这里I是回路abdca中的感应电流
ab棒上的感应电动势为E＝BLv⑦
式中，v是ab棒下滑速度的大小
由欧姆定律得I＝eq \f(E,R)⑧
联立⑤⑥⑦⑧式得v＝(sin θ－3μcs θ)eq \f(mgR,B2L2).
【巧学妙记】
电磁感应中的动力学临界问题的分析思路
(1)解决这类问题的关键是通过受力情况和运动状态的分析，寻找过程中的临界状态，如速度、加速度为最大值或最小值的条件。
考向二 电磁感应中的动力学问题--单杆模型
一、电磁感应中的动力学问题--单杆模型
【典例3】(多选)(2023·山东卷)如图所示，电阻不计的光滑U形金属导轨固定在绝缘斜面上。区域Ⅰ、Ⅱ中磁场方向均垂直斜面向上，Ⅰ区中磁感应强度随时间均匀增加，Ⅱ区中为匀强磁场。阻值恒定的金属棒从无磁场区域中a处由静止释放，进入Ⅱ区后，经b下行至c处反向上行。运动过程中金属棒始终垂直导轨且接触良好。在第一次下行和上行的过程中，以下叙述正确的是( )
A.金属棒下行过b时的速度大于上行过b时的速度
B.金属棒下行过b时的加速度大于上行过b时的加速度
C.金属棒不能回到无磁场区
D.金属棒能回到无磁场区，但不能回到a处
答案:ABD
解析：在Ⅰ区域中，磁感应强度为B1＝kt，感应电动势E1＝eq \f(ΔB1,Δt)S＝kS，感应电动势恒定，所以金属棒上的感应电流恒为I1＝eq \f(E1,R)＝eq \f(kS,R)，进入Ⅱ区域后，切割磁感线产生感应电动势，因为金属棒到达c点后又能上行，说明加速度始终沿斜面向上，下行和上行经过b点的受力分析如图。
设下行、上行过b时金属棒的速度分别为v、v′，则下行过b时切割磁感线产生的感应电动势为E2＝B2Lv，金属棒上的电流为I2＝eq \f(E2＋E1,R)＝eq \f(B2Lv,R)＋eq \f(kS,R)，根据牛顿第二定律可得B2I2L－mgsin θ＝eq \f(Beq \\al(2,2)L2v,R)＋eq \f(B2kSL,R)－mgsin θ＝ma1；上行过b时，切割磁感线产生的感应电动势为E2′＝B2Lv′，金属棒上的电流为I3＝eq \f(E1－E2,R)＝eq \f(kS,R)－eq \f(B2Lv′,R)，根据牛顿第二定律可得B2I3L－mgsin θ＝eq \f(B2kSL,R)－eq \f(Beq \\al(2,2)L2v′,R)－mgsin θ＝ma2，分析可知a1>a2，下行和上行过程通过bc段的位移大小相等，根据v2＝2ax可知金属棒下行经过b点时的速度大于上行经过b点时的速度，A、B正确；金属棒上行时，加速度与速度同向，金属棒做加速度减小的加速度运动，一定能回到无磁场区，由以上分析可得，金属棒进磁场Ⅱ区(下行进磁场)的速度大于出磁场Ⅱ区(下行进磁场)的速度，金属棒在无磁场区做加速度相同的减速运动，则金属棒不能回到a处，C错误，D正确。
【典例4】(多选)(2023·江苏省扬州市高三下第三次调研)如图所示，M、N为同一水平面内的两条平行长直导轨，左端串联电阻R，金属杆ab垂直导轨放置，金属杆和导轨的电阻不计，杆与导轨间接触良好且无摩擦，整个装置处于竖直方向的匀强磁场中。现对金属杆ab施加一个与其垂直的水平方向的恒力F，使金属杆从静止开始运动。在运动过程中，金属杆的速度大小为v，R上消耗的总能量为E，则下列关于v、E随时间变化的图象可能正确的是( )
答案:AD
解析：对金属杆ab施加一个与其垂直的水平方向的恒力F，使金属杆从静止开始运动；由于金属杆切割磁感线产生感应电动势和感应电流，受到随速度的增大而增大的安培力作用，所以金属杆做加速度逐渐减小的加速运动；当安培力增大到等于水平方向的恒力F时，金属杆做匀速直线运动，vt图象A正确，B错误。由功能关系知，开始水平方向的恒力F做的功一部分使金属杆动能增大，另一部分转化为电能，被电阻R消耗掉；当金属杆匀速运动后，水平方向的恒力F所做的功等于R上消耗的总能量E，因此Et图象是D正确、C错误。
练习3、(2023·江苏省宿迁市高三下第三次调研)如图所示，电阻不计的平行导轨竖直固定，上端接有电阻为R，高度为h的匀强磁场与导轨平面垂直．一导体棒从磁场上方的A位置自由释放，用x表示导体棒进入磁场后的位移，i表示导体棒中的感应电流大小，v表示导体棒的速度大小，Ek表示导体棒的动能，a表示导体棒的加速度大小，导体棒与导轨垂直并接触良好．以下图象可能正确的是( )
答案:AC
解析：由于导体棒释放时距离磁场上边界有一定高度，所以导体棒到达磁场上边界时获得大小一定的速度v0，若速度v0较小，导体棒切割磁感线产生的感应电流较小，导体棒受到的安培力小于其自身的重力，导体棒做加速运动，当速度增大到一定值，满足安培力等于重力时，导体棒做匀速运动，离开磁场后做匀加速运动．
若速度v0较大，切割磁感线产生的感应电流较大，导体棒受到的安培力大于其自身的重力，导体棒做减速运动，当速度减小到一定值，满足安培力等于重力时，导体棒做匀速运动，离开磁场后做匀加速运动．选项A符合此种情况；选项B中的0～h段不应该是直线，故B选项错误；选项D中到达h以后，导体棒做匀加速运动，速度增大，D选项错误；
若速度v0刚好满足安培力等于重力，则导体棒做匀速运动，离开磁场后做匀加速运动，选项C符合此种情况．本题应选A、C.
练习4、(2023·湖北高考)如图a所示，两根不计电阻、间距为L的足够长平行光滑金属导轨，竖直固定在匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨平面向里，磁感应强度大小为B。导轨上端串联非线性电子元件Z和阻值为R的电阻。元件Z的UI图像如图b所示，当流过元件Z的电流大于或等于I0时，电压稳定为Um。质量为m、不计电阻的金属棒可沿导轨运动，运动中金属棒始终水平且与导轨保持良好接触。忽略空气阻力及回路中的电流对原磁场的影响，重力加速度大小为g。为了方便计算，取I0＝eq \f(mg,4BL)，Um＝eq \f(mgR,2BL)。以下计算结果只能选用m、g、B、L、R表示。
(1)闭合开关S，由静止释放金属棒，求金属棒下落的最大速度v1；
(2)断开开关S，由静止释放金属棒，求金属棒下落的最大速度v2；
(3)先闭合开关S，由静止释放金属棒，金属棒达到最大速度后，再断开开关S。忽略回路中电流突变的时间，求S断开瞬间金属棒的加速度大小a。
答案: (1)eq \f(mgR,B2L2) (2)eq \f(3mgR,2B2L2) (3)eq \f(g,2)
解析： (1)闭合开关S，金属棒下落的过程中受竖直向下的重力、竖直向上的安培力作用，当重力与安培力大小相等时，金属棒的加速度为零，速度最大，则mg＝BI1L
由法拉第电磁感应定律得E1＝BLv1
由闭合电路欧姆定律得I1＝eq \f(E1,R)
联立解得v1＝eq \f(mgR,B2L2)。
(2)断开开关S，由静止释放金属棒后，当金属棒的速度达到最大时，金属棒受力平衡，则mg＝BI2L
解得I2＝eq \f(mg,BL)>I0
则元件Z两端的电压为Um＝eq \f(mgR,2BL)
此时定值电阻两端的电压为UR＝BLv2－Um
由欧姆定律得I2＝eq \f(UR,R)
联立解得v2＝eq \f(3mgR,2B2L2)。
(3)开关S闭合，由静止释放金属棒，当金属棒的速度最大时，金属棒产生的感应电动势为
E1＝BLv1＝eq \f(mgR,BL)
断开开关S的瞬间，假设元件Z两端的电压为Um＝eq \f(mgR,2BL)
则定值电阻两端的电压为UR′＝E1－Um＝eq \f(mgR,2BL)
电路中的电流为I′＝eq \f(UR′,R)＝eq \f(mg,2BL)
I′>I0，则假设成立
金属棒受到的安培力为FA＝BI′L
对金属棒由牛顿第二定律得mg－FA＝ma
解得a＝eq \f(g,2)。
考向三 电磁感应中的动力学问题--含容式单棒模型
一、电磁感应中的动力学问题--含容式单棒模型
棒的初速度为零，拉力F恒定(棒和水平导轨电阻忽略不计，摩擦力不计)
如图，运动过程分析：棒做加速运动，持续对电容器充电，则存在充电电流
由F－BIl＝ma，I＝eq \f(ΔQ,Δt)，ΔQ＝CΔU，ΔU＝ΔE＝BlΔv，
联立可得F－eq \f(CB2l2Δv,Δt)＝ma，其中eq \f(Δv,Δt)＝a，
则可得a＝eq \f(F,m＋B2l2C)
所以棒做加速度恒定的匀加速直线运动．
功能关系：WF＝eq \f(1,2)mv2＋E电
二、常见几种模型
【典例5】 (2023·河北卷·7)如图，两光滑导轨水平放置在竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度大小为B，导轨间距最窄处为一狭缝，取狭缝所在处O点为坐标原点，狭缝右侧两导轨与x轴夹角均为θ，一电容为C的电容器与导轨左端相连，导轨上的金属棒与x轴垂直，在外力F作用下从O点开始以速度v向右匀速运动，忽略所有电阻，下列说法正确的是( )
A．通过金属棒的电流为2BCv2tan θ
B．金属棒到达x0时，电容器极板上的电荷量为BCvx0tan θ
C．金属棒运动过程中，电容器的上极板带负电
D．金属棒运动过程中，外力F做功的功率恒定
答案:A
解析：根据楞次定律可知电容器的上极板应带正电，C错误；
由题知金属棒匀速切割磁感线，根据几何关系知切割长度为L＝2xtan θ，x＝vt
则产生的感应电动势为E＝2Bv2ttan θ
由题图可知电容器直接与电源相连，则电容器的电荷量为Q＝CE＝2BCv2ttan θ
则流过金属棒的电流I＝eq \f(Q,t)＝2BCv2tan θ，A正确；
当金属棒到达x0处时，金属棒产生的感应电动势为
E′＝2Bvx0tan θ
则此时电容器的电荷量为Q′＝CE′＝2BCvx0tan θ，B错误；
由于金属棒做匀速运动，
则F＝F安＝BIL＝4B2Cv3tan2θ·t，
F与t成正比，则F为变力，根据力做功的功率公式P＝Fv
可知功率P随力F变化而变化，D错误．
【典例6】(多选)(2023·江苏省淮安市高三下第三次调研)在如图所示的甲、乙、丙中除导体棒ab可动外，其余部分均固定不动。甲图中的电容器C原来不带电，设导体棒、导轨和直流电源的电阻均可忽略，导体棒和导轨间的摩擦不计。图中装置均在水平面内，且都处于方向垂直水平面(即纸面)向下的匀强磁场中，导轨足够长，今给导体棒一个向右的初速度v0，导体棒的最终运动状态是( )
A．三种情况下，导体棒最终均静止
B．图甲、丙中导体棒最终将以不同的速度做匀速运动；图乙中导体棒最终静止
C．图甲、丙中，导体棒最终将以相同的速度做匀速运动
D．甲、乙两种情况下，电阻R上产生的焦耳热一定不同
答案:BD
解析：题图甲中，导体棒向右运动切割磁感线产生感应电流而使电容器充电，当电容器极板间电压与导体棒产生的感应电动势相等时，电路中没有电流，导体棒不受安培力，其向右做匀速运动；题图乙中，导体棒向右运动切割磁感线产生感应电流，通过电阻R转化为内能，导体棒速度减小，当导体棒的动能全部转化为内能时，导体棒静止；题图丙中，导体棒先受到向左的安培力作用向右做减速运动，速度减为零后再在安培力作用下向左做加速运动，当导体棒产生的感应电动势与电源的电动势相等时，电路中没有电流，导体棒向左做匀速运动，故A、C错误，B正确；题图甲中，导体棒的部分动能转化为内能，题图乙中，导体棒的动能全部转化为内能，故有Q甲
A．电容器两极板间的电压为零
B．电阻两端的电压为BLv
C．电容器所带电荷量为CBLv
D．为保持MN匀速运动，需对其施加的拉力大小为eq \f(B2L2v,R)
答案:C
解析：当MN向右匀速运动时，MN产生的感应电动势恒定，稳定后，电容器既不充电也不放电，无电流产生，故电阻两端没有电压，电容器两极板间的电压为U＝E＝BLv，所带电荷量Q＝CU＝CBLv，A、B错误，C正确；MN匀速运动时，因无电流而不受安培力，由平衡条件知拉力为零，D错误。
练习6、(2023·天津市部分区高三上期末)如图甲所示，相距L＝1 m的两根足够长的光滑平行金属导轨倾斜放置，与水平面夹角θ＝37°，导轨电阻不计，质量m＝1 kg、接入电路电阻为r＝0.5 Ω的导体棒ab垂直于导轨放置，导轨的PM两端接在外电路上，定值电阻阻值R＝1.5 Ω，电容器的电容C＝0.5 F，电容器的耐压值足够大，导轨所在平面内有垂直于导轨平面斜向上的匀强磁场．在开关S1闭合、S2断开的状态下将导体棒ab由静止释放，导体棒的v－t图像如图乙所示，sin 37°＝0.6，取重力加速度g＝10 m/s2.
(1)求磁场的磁感应强度大小B；
(2)在开关S1闭合、S2断开的状态下，当导体棒下滑的距离x＝5 m时，定值电阻产生的焦耳热为21 J，此时导体棒的速度与加速度分别是多大？
(3)现在开关S1断开、S2闭合的状态下，由静止释放导体棒，求经过t＝2 s时导体棒的速度大小．
答案:(1)2 T (2)2 m/s 2 m/s2 (3)4 m/s
解析：(1)由题图乙可知，导体棒的最大速度
vm＝3 m/s，
对应的感应电动势E＝BLvm，
感应电流I＝eq \f(E,R＋r)，
当速度达到最大时，导体棒做匀速运动，导体棒受力平衡，有BIL＝mgsin θ，
解得B＝eq \r(\f(mgR＋rsin θ,L2vm))＝2 T.
(2)导体棒和定值电阻串联，由公式Q＝I2Rt可知：Qab∶QR＝1∶3，则导体棒ab产生的焦耳热Qab＝eq \f(1,3)×21 J＝7 J，导体棒下滑x＝5 m的距离，导体棒减少的重力势能转化为动能和回路中的焦耳热，由能量守恒定律有
mgxsin θ＝eq \f(1,2)mv12＋Qab＋QR
得导体棒的速度v1＝2 m/s，
此时感应电动势E1＝BLv1，
感应电流I1＝eq \f(E1,R＋r)，
对导体棒有mgsin θ－BI1L＝ma1，
解得加速度a1＝2 m/s2.
(3)开关S1断开、S2闭合时，任意时刻对导体棒，根据牛顿第二定律有
mgsin θ－BI2L＝ma2，
感应电流I2＝eq \f(Δq,Δt)，Δq＝CΔU
Δt时间内，有ΔU＝ΔE＝BLΔv，a2＝eq \f(Δv,Δt)，
解得a2＝2 m/s2，
表明导体棒ab下滑过程中加速度不变，导体棒做匀加速直线运动，t＝2 s时导体棒的速度大小v2＝a2t＝4 m/s.
考向四 电磁感应中的动力学问题--双棒问题模型
一、初速度为零，一杆受到恒定水平外力的作用
【典例7】(多选)(2023·全国卷Ⅰ·21)如图，U形光滑金属框abcd置于水平绝缘平台上，ab和dc边平行，和bc边垂直．ab、dc足够长，整个金属框电阻可忽略．一根具有一定电阻的导体棒MN置于金属框上，用水平恒力F向右拉动金属框，运动过程中，装置始终处于竖直向下的匀强磁场中，MN与金属框保持良好接触，且与bc边保持平行．经过一段时间后( )
A．金属框的速度大小趋于恒定值
B．金属框的加速度大小趋于恒定值
C．导体棒所受安培力的大小趋于恒定值
D．导体棒到金属框bc边的距离趋于恒定值
答案:BC
解析：当金属框在恒力F作用下向右加速运动时，bc边产生从c到b的感应电流i，金属框的加速度大小为a1，则有F－Bil＝Ma1；MN中感应电流从M流向N，MN在安培力作用下向右加速运动，加速度大小为a2，则有Bil＝ma2，当金属框和MN都运动后，金属框速度为v1，MN速度为v2，则电路中的感应电流为i＝eq \f(Blv1－v2,R)，感应电流从0开始增大，则a2从零开始增加，a1从eq \f(F,M)开始减小，加速度差值减小，当a1＝a2时，得F＝(M＋m)a，a＝eq \f(F,M＋m)恒定，由F安＝ma可知，安培力不再变化，则感应电流不再变化，据i＝eq \f(Blv1－v2,R)知金属框与MN的速度差保持不变，v－t图像如图所示，故A错误，B、C正确；MN与金属框的速度差不变，但MN的速度小于金属框的速度，则MN到金属框bc边的距离越来越大，故D错误．
【典例8】(多选)(2023·山东泰安模拟)如图，平行光滑金属导轨M、N固定在水平面上，处于竖直向下的匀强磁场中。完全相同的两金属棒P、Q搭放在导轨上，开始均处于静止状态。给P施加一与导轨平行的恒定拉力作用，运动中两金属棒始终与导轨垂直并与导轨接触良好。设导轨足够长，除两棒的电阻外其余电阻均不计。则两棒的速度及棒中的感应电流随时间变化的图象正确的是( )
答案:AD
解析：P向右做切割磁感线运动，由右手定则判断知，回路中产生逆时针的感应电流，由左手定则判断可知，Q棒所受的安培力方向向右，Q棒向右做加速运动，开始阶段，两棒的速度差增大，回路中产生的感应电动势增大，感应电流增大，两棒所受的安培力都增大，则P的加速度减小，Q的加速度增大，当两者的加速度相等时，速度之差不变，感应电流不变，安培力不变，两棒均做加速度相同的匀加速运动。开始运动时，P棒做加速度减小的加速运动，Q棒做加速度增大的加速运动，最终做加速度相同的加速运动，故A正确，B错误；开始运动时，两棒的速度差增大，感应电动势增大，通过电流增大，最终两棒都做匀加速运动，速度差保持不变，故回路中感应电动势不变，电流恒定，故C错误，D正确。
练习7、(2023·北京市丰台区高三上期末)如图所示，上下不等宽的平行导轨，EF和GH部分的导轨间距为L，PQ和MN部分的导轨间距为3L，导轨平面与水平面的夹角为30°，整个装置处在垂直于导轨平面的匀强磁场中．金属杆ab和cd的质量均为m，都可在导轨上无摩擦地滑动，且与导轨接触良好，现对金属杆ab施加一个沿导轨平面向上的作用力F，使其沿斜面匀速向上运动，同时cd处于静止状态，则F的大小为( )
A.eq \f(2,3)mg B．mg
C.eq \f(4,3)mg D.eq \f(3,2)mg
答案:A
解析：设ab杆向上做切割磁感线运动时，产生的感应电流大小为I，受到的安培力大小为F安＝BIL，对于cd，由平衡条件有BI·3L＝mgsin 30°，对于ab杆，由平衡条件有F＝mgsin 30°＋BIL，得F＝eq \f(2,3)mg，A对．
练习8、(2023·湖北省武汉市第二中学高三上模拟)间距为L＝2 m的足够长的金属直角导轨如图所示放置，它们各有一边在同一水平面内，另一边垂直于水平面．质量均为m＝0.1 kg的金属细杆ab、cd与导轨垂直放置形成闭合回路．细杆与导轨之间的动摩擦因数均为μ＝0.5，导轨的电阻不计，细杆ab、cd接入电路的电阻分别为R1＝0.6 Ω，R2＝0.4 Ω.整个装置处于磁感应强度大小为B＝0.50 T、方向竖直向上的匀强磁场中(图中未画出)．当ab杆在平行于水平导轨的拉力F作用下从静止开始沿导轨匀加速运动时，cd杆也同时从静止开始沿导轨向下运动，且t＝0时，F＝1.5 N，g＝10 m/s2.
(1)求ab杆的加速度a的大小；
(2)求当cd杆达到最大速度时ab杆的速度大小；
(3)若从开始到cd杆达到最大速度的过程中拉力F做的功为5.2 J，求该过程中ab杆所产生的焦耳热．
答案:(1)10 m/s2 (2)2 m/s (3)2.94 J
解析：(1)由题可知，在t＝0时，F＝1.5 N
对ab杆进行受力分析，由牛顿第二定律得
F－μmg＝ma代入数据解得a＝10 m/s2.
(2)从d向c看，对cd杆进行受力分析，如图所示，当cd杆速度最大时，设ab杆的速度大小为v，根据平衡条件，有Ff＝mg＝μFN，
FN＝F安，F安＝BIL，
I＝eq \f(BLv,R1＋R2)
综合以上各式，
解得v＝2 m/s
(3)整个过程中，ab杆发生的位移
x＝eq \f(v2,2a)＝eq \f(22,2×10) m＝0.2 m
对ab杆应用动能定理，有WF－μmgx－W安＝eq \f(1,2)mv2
代入数据解得W安＝4.9 J
根据功能关系得Q总＝W安
所以ab杆上产生的热量Qab＝eq \f(R1,R1＋R2)Q总＝2.94 J.
1. (2023·北京市朝阳区高三一模)如图所示，在一匀强磁场中有一U形导线框abcd，线框处于水平面内，磁场与线框平面垂直，R为一电阻，ef为垂直于ab的一根导体杆，它可在ab、cd上无摩擦地滑动。ef及线框中导线的电阻不计。开始时，给ef一个向右的初速度，则( )
A．ef将减速向右运动，但不是匀减速
B．ef将匀减速向右运动，最后停止
C．ef将匀速向右运动
D．ef将往返运动
2. (多选)(2023·山东省日照市二模)如图所示，M、N为同一水平面内的两条平行长直导轨，左端串联电阻R，金属杆ab垂直导轨放置，金属杆和导轨的电阻不计，杆与导轨间接触良好且无摩擦，整个装置处于竖直方向的匀强磁场中．现对金属杆ab施加一个与其垂直的水平方向的恒力F，使金属杆从静止开始运动．在运动过程中，金属杆的速度大小为v，R上消耗的电功率为P，则下列关于v、P随时间变化的图像可能正确的是( )
3. (多选)(2023·四川内江月考)如图所示，空间有一个方向水平的有界磁场区域，一个矩形线框，自磁场上方某一高度下落，然后进入磁场，进入磁场时，导线框平面与磁场方向垂直，则在进入过程中导线框可能的运动情况是( )
A．加速度变小的加速下落
B．加速度变小的减速下落
C．匀速下落
D．匀加速下落
4. (多选)(2023·唐山模拟)如图甲所示，水平放置的平行金属导轨连接一个平行板电容器C和电阻R，导体棒MN放在导轨上且接触良好，整个装置放于垂直导轨平面的磁场中，磁感应强度B的变化情况如图乙所示(图示磁感应强度方向为正)，MN始终保持静止，则0～t2时间内( )
A．电容器C的电荷量大小始终不变
B．电容器C的a板先带正电后带负电
C．MN所受安培力的大小始终不变
D．MN所受安培力的方向先向右后向左
5. (多选)(2023·山东省日照市高三下二模)如图所示，平行且足够长的两条光滑金属导轨，相距L＝0.4 m，导轨所在平面与水平面的夹角为30°，其电阻不计。把完全相同的两金属棒(长度均为0.4 m)ab、cd分别垂直于导轨放置，并使金属棒的两端都与导轨良好接触。已知两金属棒的质量均为m＝0.1 kg、电阻均为R＝0.2 Ω，整个装置处在垂直于导轨平面向上的匀强磁场中，磁感应强度为B＝0.5 T。当金属棒ab在平行于导轨向上的力F作用下沿导轨向上匀速运动时，金属棒cd恰好能保持静止(g＝10 m/s2)，则( )
A．F的大小为0.5 N
B．金属棒ab产生的感应电动势为1.0 V
C．金属棒ab两端的电压为1.0 V
D．金属棒ab的速度为5.0 m/s
6. (2023·广东省汕头市高三二模)如图所示，光滑金属导轨ab和cd构成的平面与水平面成角，导轨间距=2L，导轨电阻不计．两金属棒MN、PQ垂直导轨放置，与导轨接触良好．两棒质量，电阻，整个装置处在垂直导轨向上的磁感应强度为B的匀强磁场中，金属棒MN在平行于导轨向上的拉力，作用下沿导轨以速度向上匀速运动，PQ棒恰好以速度向下匀速运动．则
A．MN中电流方向是由N到M
B．匀速运动的速度的大小是
C．在MN、PQ都匀速运动的过程中，
D．在MN、PQ都匀速运动的过程中，
7. (2023山东省济南市高三下模拟考试)如图所示，质量均为m的金属棒ab、cd与足够长的水平金属导轨垂直且接触良好，两金属棒与金属导轨间的动摩擦因数为μ，磁感应强度为B的匀强磁场的方向竖直向下．则ab棒在恒力F＝2μmg作用下向右运动的过程中，有( )
A．安培力对ab棒做正功
B．安培力对cd棒做正功
C．ab棒做加速度逐渐减小的加速运动，最终匀速运动
D．cd棒做加速度逐渐减小的加速运动，最终匀速运动
8. (2023·云南省昆明市“三诊一模”二模)如图所示，两根足够长的平行直导轨AB、CD与水平面成θ角放置，两导轨间距为L，A、C两点间接有阻值为R的定值电阻．一根质量均匀分布的直金属杆放在两导轨上，并与导轨垂直．整套装置处于磁感应强度大小为B0的匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨平面向上，导轨和金属杆接触良好，金属杆的阻值为r，其余部分电阻不计，金属杆与导轨之间的动摩擦因数为μ.现将外力F沿与导轨平行的方向作用在金属杆上，让其由静止开始沿导轨向上做匀加速直线运动，则下列外力F与作用时间t的图象中正确的是( )
9.(2023·安徽省合肥市高三上开学考试) 如图所示，在倾角为α＝30°的光滑斜面上，存在着两个匀强磁场区域Ⅰ、Ⅱ，两个区域的磁场方向相反且都垂直于斜面，MN、PQ、EF为两磁场区域的理想边界，区域Ⅰ的磁感应强度大小为B1＝2 T，区域Ⅱ的磁感应强度大小为B2＝1 T，两个区域的宽度MP和PE均为L＝1 m．一个质量为m＝0.9 kg、电阻为R＝1 Ω、边长也为L＝1 m的正方形导线框，从磁场区域上方某处由静止开始沿斜面下滑，当ab边刚进入磁场区域Ⅰ时，线框恰好做匀速运动；当ab边下滑到磁场区域Ⅱ的中间位置时，线框又恰好做匀速运动，重力加速度取g＝10 m/s2.求：
(1)ab边刚进入磁场区域Ⅰ时的速度v1；
(2)当ab边刚进入磁场区域Ⅱ时，线框加速度的大小与方向；
(3)线框ab边刚要离开磁场区域Ⅱ时的速度v2.
1.(2023·天津理综·3)如图所示，两根平行金属导轨置于水平面内，导轨之间接有电阻R.金属棒ab与两导轨垂直并保持良好接触，整个装置放在匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨平面向下.现使磁感应强度随时间均匀减小，ab始终保持静止，下列说法正确的是( )
A.ab中的感应电流方向由b到a
B.ab中的感应电流逐渐减小
C.ab所受的安培力保持不变
D.ab所受的静摩擦力逐渐减小
2.(多选)如图所示，平行的金属导轨与电路处在垂直纸面向里的匀强磁场B中，一金属杆放在金属导轨上，在恒定外力F作用下做匀速运动，则在开关S( )
A．闭合瞬间通过金属杆的电流增大
B．闭合瞬间通过金属杆的电流减小
C．闭合后金属杆先减速后匀速
D．闭合后金属杆先加速后匀速
3. (多选)(2023·全国甲卷·21)由相同材料的导线绕成边长相同的甲、乙两个正方形闭合线圈，两线圈的质量相等，但所用导线的横截面积不同，甲线圈的匝数是乙的2倍．现两线圈在竖直平面内从同一高度同时由静止开始下落，一段时间后进入一方向垂直于纸面的匀强磁场区域，磁场的上边界水平，如图所示．不计空气阻力，已知下落过程中线圈始终平行于纸面，上、下边保持水平．在线圈下边进入磁场后且上边进入磁场前，可能出现的是( )
A．甲和乙都加速运动
B．甲和乙都减速运动
C．甲加速运动，乙减速运动
D．甲减速运动，乙加速运动
4. (多选)如图所示，空间存在着与圆台母线垂直向外的磁场，各处的磁感应强度大小均为B，圆台母线与竖直方向的夹角为θ，一个质量为m、半径为r的匀质金属环位于圆台底部．当给环通以恒定的电流I，圆环由静止向上运动，经过时间t后撤去该恒定电流并保持圆环闭合，圆环全程上升的最大高度为H.已知重力加速度为g，不计空气阻力，磁场的范围足够大．在圆环向上运动的过程中，下列说法正确的是( )
A．圆环先做加速运动后做减速运动
B．在时间t内安培力对圆环做功为mgH
C．圆环运动的最大速度为eq \f(2πBIrtcsθ,m)－gt
D．圆环先有扩张后有收缩的趋势
5. (多选)如图甲所示，两间距为L的平行光滑金属导轨固定在水平面内，左端用导线连接，导轨处在竖直向上的匀强磁场中，一根长度也为L、电阻为R的金属棒放在导轨上，在平行于导轨向右、大小为F的恒力作用下向右运动，金属棒运动过程中，始终与导轨垂直并接触良好，金属棒运动的加速度与速度关系如图乙所示，不计金属导轨及左边导线电阻，金属导轨足够长，若图乙中的a0、v0均为已知量，则下列说法正确的是( )
A．金属棒的质量为eq \f(F,a0)
B．匀强磁场的磁感应强度大小为eq \f(1,L)eq \r(\f(FR,v0))
C．当拉力F做功为W时，通过金属棒横截面的电荷量为eq \f(W,\r(FR))
D．某时刻撤去拉力，此后金属棒运动过程中加速度大小与速度大小成正比
6. 如图所示，有两根和水平方向成α角的光滑平行的金属轨道，间距为l，上端接有可变电阻R，下端足够长，空间有垂直于轨道平面的匀强磁场，磁感应强度为B.一根质量为m的金属杆从轨道上由静止滑下，经过足够长的时间后，金属杆的速度会趋于一个最大速度vm，除R外其余电阻不计，则 ( )
A．如果B变大，vm将变大 B．如果α变大，vm将变大
C．如果R变大，vm将变大 D．如果m变小，vm将变大
7. (2023·湖南重点中学联考)如图所示，竖直平面内有足够长、不计电阻的两组平行光滑金属导轨，宽度均为L，上方连接一阻值为R的定值电阻，虚线下方的区域内存在磁感应强度为B的匀强磁场。两根完全相同的金属杆1和2靠在导轨上，金属杆长度与导轨宽度相等且与导轨接触良好，电阻均为r、质量均为m；将金属杆1固定在磁场的上边缘，且仍在磁场内，金属杆2从磁场边界上方h0处由静止释放，进入磁场后恰好做匀速运动。现将金属杆2从磁场边界上方h(h
B．回路中感应电动势的最大值为eq \f(mg2r＋R,BL)
C．磁场中金属杆1与金属杆2所受的安培力大小、方向均不相同
D．任何时刻金属杆1与2的速度之差均为2eq \r(gh)
8. 如图所示，相距为L的两条足够长的平行金属导轨，与水平面的夹角为θ，导轨上固定有质量为m、电阻为R的两根相同的导体棒，导体棒MN上方轨道粗糙、下方轨道光滑，整个空间存在垂直于导轨平面的匀强磁场，磁感应强度为B.将两根导体棒同时释放后，观察到导体棒MN下滑而EF保持静止，当MN下滑速度最大时，EF与轨道间的摩擦力刚好达到最大静摩擦力，下列叙述正确的是( )
A．导体棒MN的最大速度为eq \f(2mgRsin θ,B2L2)
B．导体棒EF与轨道之间的最大静摩擦力为mgsin θ
C．导体棒MN受到的最大安培力为mgsin θ
D．导体棒MN所受重力的最大功率为eq \f(m2g2Rsin2 θ,B2L2)
9. 如图，由某种粗细均匀的总电阻为3R的金属条制成的矩形线框abcd，固定在水平面内且处于方向竖直向下的匀强磁场中．一接入电路电阻为R的导体棒PQ，在水平拉力作用下沿ab、dc以速度v匀速滑动，滑动过程PQ始终与ab垂直，且与线框接触良好，不计摩擦．在PQ从靠近ad处向bc滑动的过程中( )
A．PQ中电流先增大后减小
B．PQ两端电压先减小后增大
C．PQ上拉力的功率先减小后增大
D．线框消耗的电功率先减小后增大
10.(2023陕西汉中重点中学联考)(多选)如图所示，平行且足够长的两条光滑金属导轨，相距L＝0.4 m，导轨所在平面与水平面的夹角为30°，其电阻不计。把完全相同的两金属棒(长度均为0.4 m)ab、cd分别垂直于导轨放置，并使金属棒的两端都与导轨良好接触。已知两金属棒的质量均为m＝0.1 kg、电阻均为R＝0.2 Ω，整个装置处在垂直于导轨平面向上的匀强磁场中，磁感应强度为B＝0.5 T。当金属棒ab在平行于导轨向上的力F作用下沿导轨向上匀速运动时，金属棒cd恰好能保持静止(g＝10 m/s2)，则( )
A．F的大小为0.5 N
B．金属棒ab产生的感应电动势为1.0 V
C．金属棒ab两端的电压为1.0 V
D．金属棒ab的速度为5.0 m/s
11. (2023·山东威海市模拟考试)如图甲所示，两根足够长的光滑平行直导轨固定在水平面上，导轨左侧连接一电容器，一金属棒垂直放在导轨上，且与导轨接触良好。在整个装置中加上垂直于导轨平面的磁场，磁感应强度按图乙所示规律变化。0～t0内在导体棒上施加外力使导体棒静止不动，t0时刻撤去外力。已知电容器的电容为C，两导轨间距为L，导体棒到导轨左侧的距离为d，导体棒的质量为m。求：
(1)电容器带电荷量的最大值；
(2)导体棒能够达到的最大速度vm。
12. (2023·高考全国卷乙，T24)如图，一倾角为α的光滑固定斜面的顶端放有质量M＝0.06 kg的U形导体框，导体框的电阻忽略不计；一电阻R＝3 Ω的金属棒CD的两端置于导体框上，与导体框构成矩形回路CDEF；EF与斜面底边平行，长度L＝0.6 m。初始时CD与EF相距s0＝0.4 m，金属棒与导体框同时由静止开始下滑，金属棒下滑距离s1＝eq \f(3,16) m后进入一方向垂直于斜面的匀强磁场区域，磁场边界(图中虚线)与斜面底边平行；金属棒在磁场中做匀速运动，直至离开磁场区域。当金属棒离开磁场的瞬间，导体框的EF边正好进入磁场，并在匀速运动一段距离后开始加速。已知金属棒与导体框之间始终接触良好，磁场的磁感应强度大小B＝1 T，重力加速度大小取g＝10 m/s2，sin α＝0.6。求：
(1)金属棒在磁场中运动时所受安培力的大小；
(2)金属棒的质量以及金属棒与导体框之间的动摩擦因数；
(3)导体框匀速运动的距离。
13. (2023·江西吉水中学、崇仁一中、南城一中三校联考)如图所示，金属杆ab、cd置于平行轨道MN、PQ上，可沿轨道滑动，两轨道间距l＝0.5 m，轨道所在空间有垂直于轨道平面的匀强磁场，磁感应强度B＝0.5 T，用力F＝0.25 N向右水平拉杆ab，若ab、cd与轨道间的滑动摩擦力分别为Ff1＝0.15 N、Ff2＝0.1 N，两杆的有效电阻R1＝R2＝0.1 Ω，设导轨电阻不计，ab、cd的质量关系为2m1＝3m2，且ab、cd与轨道间的最大静摩擦力与滑动摩擦力相等．求：
(1)此两杆之间的稳定速度差；
(2)若F＝0.3 N，两杆间稳定速度差又是多少？
1.（多选）(2023年全国高考甲卷物理试题）7. 如图，两根相互平行的光滑长直金属导轨固定在水平绝缘桌面上，在导轨的左端接入电容为C的电容器和阻值为R的电阻。质量为m、阻值也为R的导体棒MN静止于导轨上，与导轨垂直，且接触良好，导轨电阻忽略不计，整个系统处于方向竖直向下的匀强磁场中。开始时，电容器所带的电荷量为Q，合上开关S后，（ ）
A. 通过导体棒电流的最大值为
B. 导体棒MN向右先加速、后匀速运动
C. 导体棒速度最大时所受的安培力也最大
D. 电阻R上产生的焦耳热大于导体棒上产生的焦耳热
2.（多选）(2023年辽宁省普通高中学业水平选择性考试）9.如图（a）所示，两根间距为L、足够长的光滑平行金属导轨竖直放置并固定，顶端接有阻值为R的电阻。垂直导轨平面存在变化规律如图（b）所示的匀强磁场，t=0时磁场方向垂直纸面向里。在t=0到t=2t0的时间内，金属棒水平固定在距导轨顶端L处；在t=2t0时，释放金属棒。整个过程中金属棒与导轨接触良好，导轨与金属棒的电阻不计，则
A. 在t=t0/2时，金属棒受到的安培力的大小F=BIL=
B．在t=t0时，金属棒中电流的大小为
C．在t=3t0/2时，金属棒受到安培力的方向竖直向上
D．在t=3t0时，金属棒中电流的方向向右
3.(2023年1月浙江省普通高等学校招生考试）21．（10分）如图甲所示，在xOy水平面内，固定放置着间距为l的两平行金属直导轨，其间连接有阻值为R的电阻，电阻两端连接示波器(内阻可视为无穷大)，可动态显示电阻R两端的电压。两导轨间存在大小为B、方向垂直导轨平面的匀强磁场。t=0时一质量为m、长为l的导体棒在外力F作用下从x=x0位置开始做简谐运动，观察到示波器显示的电压随时间变化的波形是如图乙所示的正弦曲线。取，则简谐运动的平衡位置在坐标原点O。 不计摩擦阻力和其它电阻，导体棒始终垂直导轨运动。（提示：可以用F—x图象下的“面积”代表力F所做的功）
（1）求导体棒所受到的安培力FA随时间t的变化规律；
（2）求在0至0．25T时间内外力F的冲量；
（3）若t=0时外力F0=1N，l=1m，T=2πs，m=1kg，R=1Ω，Um=0．5V，B=0．5T，求外力与安培力大小相等时棒的位置坐标和速度。
第21题图甲 第21题图乙
4. (2023·浙江1月选考)嫦娥五号成功实现月球着陆和返回，鼓舞人心。小明知道月球上没有空气，无法靠降落伞减速降落，于是设计了一种新型着陆装置。如图所示，该装置由船舱、间距为l的平行导轨、产生垂直导轨平面的磁感应强度大小为B的匀强磁场的磁体和“∧”型刚性线框组成，“∧”型线框ab边可沿导轨滑动并接触良好。船舱、导轨和磁体固定在一起，总质量为m1。整个装置竖直着陆到月球表面前瞬间的速度大小为v0，接触月球表面后线框速度立即变为零。经过减速，在导轨下方缓冲弹簧接触月球表面前船舱已可视为匀速。已知船舱电阻为3r；“∧”型线框的质量为m2，其7条边的边长均为l，电阻均为r；月球表面的重力加速度为eq \f(g,6)。整个运动过程中只有ab边在磁场中，线框与月球表面绝缘，不计导轨电阻和摩擦阻力。
(1)求着陆装置接触到月球表面后瞬间线框ab边产生的电动势E0；
(2)通过画等效电路图，求着陆装置接触到月球表面后瞬间流过ab的电流I0；
(3)求船舱匀速运动时的速度大小v；
(4)同桌小张认为在磁场上方、两导轨之间连接一个电容为C的电容器，在着陆减速过程中还可以回收部分能量，在其他条件均不变的情况下，求船舱匀速运动时的速度大小v′和此时电容器所带电荷量q。
新课程标准
1.知道电磁感应现象的应用及其对现代社会的影响。
2．理解楞次定律。
3．通过实验，理解法拉第电磁感应定律。
命题趋势
考查的内容主要体现对物理规律的理解，例如楞次定律、法拉第电磁感应定律；有些题目的综合性较强，主要体现在电磁感应中的综合应用上。题目多涉及动生电动势和感生电动势。
试题情境
生活
实践类
电磁炉、电子秤、电磁卡、电磁焊接技术、磁电式速度传感器、真空管道超高速列车、磁悬浮列车、电磁轨道炮等各种实际应用模型
学习
探究类
杆轨模型问题，电磁感应与动力学结合问题
状态
特征
处理方法
平衡态
加速度为零
根据平衡条件列式分析
非平衡态
加速度不为零
根据牛顿第二定律进行动态分析或结合功能关系进行分析
v
↓
E＝Blv
↓
I＝eq \f(E,R＋r)
↓
F安＝BIl
↓
F合
若F合＝0
匀速直线运动
若F合≠0
↓
F合＝ma
a、v同向
v增大，若a恒定，拉力F增大
v增大，F安增大，F合减小，a减小，做加速度减小的加速运动，减小到a＝0，匀速直线运动
a、v反向
v减小，F安减小，a减小，当a＝0，静止或匀速直线运动
基本模型
运动特点
最终特征
阻尼式
[来源:Z*xx*k.Cm]
a逐渐减小的减速运动
电动式
a逐渐减小的加速运动
发电式
a逐渐减小的加速运动
基本模型
运动特点
最终特征
放电式
a逐渐减小的加速运动
无外力充电式
a逐渐减小的减速运动
匀速运动
I＝0
有外力充电式
匀加速运动
光滑的平行导轨
不光滑平行导轨
示意图
质量m1＝m2
电阻r1＝r2
长度L1＝L2
摩擦力Ff1＝Ff2
质量m1＝m2
电阻r1＝r2
长度L1＝L2
规律
分析
开始时，两杆做变加速运动；稳定时，两杆以相同的加速度做匀加速运动
开始时，若F≤2Ff，则PQ杆先变加速后匀速运动；MN杆静止.若F>2Ff，PQ杆先变加速后匀加速运动，MN杆先静止后变加速最后和PQ杆同时做匀加速运动，且加速度相同
考点37电磁感应中的动力学问题
考向一 电磁感应中的动力学问题
考向二 电磁感应中的动力学问题--单杆模型
考向三 电磁感应中的动力学问题--含容式单棒模型
考向四 电磁感应中的动力学问题--双棒问题模型
考向一 电磁感应中的动力学问题
电磁感应中的动力学问题
1.导体棒的动力学分析
电磁感应现象中产生的感应电流在磁场中受到安培力的作用，从而影响导体棒(或线圈)的受力情况和运动情况。
2．两种状态及处理方法
3．导体常见运动情况的动态分析
【典例1】.(多选)(2023·湖北十堰市上学期期末)如图甲所示，abcd为由金属导体做成的框架，其平面与水平面所成角度为θ，质量为m的导体棒PQ与ab、cd接触良好，回路的总电阻为R，整个装置放在垂直于框架平面的变化的磁场中，磁场的磁感应强度变化情况如图乙所示(取磁场方向垂直框架平面向上为正)，PQ始终静止。关于PQ与ab、cd间摩擦力Ff在0到t1内变化情况的说法中，有可能正确的是( )
A.Ff一直增大 B.Ff一直减小
C.Ff先增大，后减小 D.Ff先减小，后增大
答案:AD
解析：根据法拉第电磁感应定律和闭合电路的欧姆定律可得感应电流I＝eq \f(ΔB,ΔtR)S，其中磁感应强度的变化率为定值，所以在线圈中产生恒定的感应电流，根据楞次定律可知电流方向逆时针，根据左手定则可知开始导体棒PQ受到沿导轨向上的安培力，若开始安培力小于导体棒重力沿导轨向下的分力mgsin θ，则摩擦力方向沿导轨向上，其大小为Ff＝mgsin θ－F安，随着安培力的减小，摩擦力Ff逐渐增大，当安培力为零时，摩擦力达到最大；若开始安培力大于mgsin θ，则摩擦力方向沿导轨向下，其大小为Ff＝F安－mgsin θ，由于安培力逐渐减小，摩擦力逐渐减小，当F安＝mgsin θ时，摩擦力为零并开始反向变为Ff＝mgsin θ－F安，Ff随着安培力的减小将逐渐增大；综上分析知，A、D正确，B、C错误。
【典例2】(2023·福建厦门市五月质检)如图所示，质量M＝1 kg的绝缘板静止在水平地面上，与地面间的动摩擦因数μ1＝0.1。金属框ABCD放在绝缘板上，质量m＝2 kg，长L1＝2 m，宽L2＝1 m，总电阻为0.1 Ω，与绝缘板间的动摩擦因数μ2＝0.2。S1、S2是边长为L＝0. 5 m的正方形区域，S1中存在竖直向下、均匀增加的磁场B1，其变化率eq \f(ΔB1,Δt)＝2 T/s；S2中存在竖直向上的匀强磁场，大小为B2＝2 T。将金属框ABCD及绝缘板均由静止释放，重力加速度g取10 m/s2，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，求释放时：
(1)金属框ABCD所受安培力的大小与方向；
(2)金属框ABCD的加速度大小。
答案:(1)5 N 水平向右 (2)eq \f(2,3) m/s2
解析：(1)释放时，由法拉第电磁感应定律得E＝eq \f(ΔB1,Δt)L2
I＝eq \f(E,R)
F＝B2IL
解得F＝5 N，方向水平向右。
(2)假设金属框与绝缘板能相对静止，一起匀加速，则对整体而言
F－μ1(M＋m)g＝(M＋m)a
解得a＝eq \f(2,3) m/s2
设此时金属框与绝缘板间的摩擦力大小为Ff，由牛顿第二定律F－Ff＝ma
解得Ff＝eq \f(11,3) N
而金属框与绝缘板之间的最大静摩擦力为Ffm＝μ2mg＝4 N
由于Ff＜Ffm
假设成立，金属框与绝缘板能相对静止一起加速，金属框此时的加速度大小为a＝eq \f(2,3) m/s2。
练习1、(多选)(2023·云南省昆明市“三诊一模”二模)用一段横截面半径为r、电阻率为ρ、密度为d的均匀导体材料做成一个半径为R(r≪R)的圆环。圆环竖直向下落入如图1所示的径向磁场中，圆环的圆心始终在N极的轴线上，圆环所在位置的磁感应强度大小均为B。圆环在加速下滑过程中某一时刻的速度为v，忽略电感的影响，则( )
A.此时在圆环中产生了(俯视)顺时针的感应电流
B.圆环因受到了向下的安培力而加速下落
C.此时圆环的加速度a＝eq \f(B2v,ρd)
D.如果径向磁场足够长，则圆环的最大速度vm＝eq \f(ρdg,B2)
答案:AD
解析：由右手定则可以判断感应电流的方向为逆时针，可知选项A正确；由左手定则可以判断，此时圆环受到的安培力方向应该向上，选项B错误；对圆环受力分析可解得加速度a＝g－eq \f(B2v,ρd)，选项C错误；当重力等于安培力时速度达到最大，可得vm＝eq \f(ρgd,B2)，选项D正确。
练习2、(2023·山东省滨州市高三下二模)如图所示，两固定的绝缘斜面倾角均为θ，上沿相连．两细金属棒ab(仅标出a端)和cd(仅标出c端)长度均为L，质量分别为2m和m；用两根不可伸长的柔软轻导线将它们连成闭合回路abdca，并通过固定在斜面上沿的两光滑绝缘小定滑轮跨放在斜面上，使两金属棒水平．右斜面上存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于斜面向上．已知两根导线刚好不在磁场中，回路电阻为R，两金属棒与斜面间的动摩擦因数均为μ，重力加速度大小为g.已知金属棒ab匀速下滑．求：
(1)作用在金属棒ab上的安培力的大小；
(2)金属棒运动速度的大小．
答案:(1)mg(sin θ－3μcs θ) (2)(sin θ－3μcs θ)eq \f(mgR,B2L2)
解析：(1)设两根导线的总的张力的大小为T，右斜面对ab棒的支持力的大小为N1，作用在ab棒上的安培力的大小为F，左斜面对cd棒的支持力大小为N2.对于ab棒，由力的平衡条件得2mgsin θ＝μN1＋T＋F①
N1＝2mgcs θ②
对于cd棒，同理有mgsin θ＋μN2＝T③
N2＝mgcs θ④
联立①②③④式得F＝mg(sin θ－3μcs θ)．⑤
(2)由安培力公式得F＝BIL⑥
这里I是回路abdca中的感应电流
ab棒上的感应电动势为E＝BLv⑦
式中，v是ab棒下滑速度的大小
由欧姆定律得I＝eq \f(E,R)⑧
联立⑤⑥⑦⑧式得v＝(sin θ－3μcs θ)eq \f(mgR,B2L2).
【巧学妙记】
电磁感应中的动力学临界问题的分析思路
(1)解决这类问题的关键是通过受力情况和运动状态的分析，寻找过程中的临界状态，如速度、加速度为最大值或最小值的条件。
考向二 电磁感应中的动力学问题--单杆模型
一、电磁感应中的动力学问题--单杆模型
【典例3】(多选)(2023·山东卷)如图所示，电阻不计的光滑U形金属导轨固定在绝缘斜面上。区域Ⅰ、Ⅱ中磁场方向均垂直斜面向上，Ⅰ区中磁感应强度随时间均匀增加，Ⅱ区中为匀强磁场。阻值恒定的金属棒从无磁场区域中a处由静止释放，进入Ⅱ区后，经b下行至c处反向上行。运动过程中金属棒始终垂直导轨且接触良好。在第一次下行和上行的过程中，以下叙述正确的是( )
A.金属棒下行过b时的速度大于上行过b时的速度
B.金属棒下行过b时的加速度大于上行过b时的加速度
C.金属棒不能回到无磁场区
D.金属棒能回到无磁场区，但不能回到a处
答案:ABD
解析：在Ⅰ区域中，磁感应强度为B1＝kt，感应电动势E1＝eq \f(ΔB1,Δt)S＝kS，感应电动势恒定，所以金属棒上的感应电流恒为I1＝eq \f(E1,R)＝eq \f(kS,R)，进入Ⅱ区域后，切割磁感线产生感应电动势，因为金属棒到达c点后又能上行，说明加速度始终沿斜面向上，下行和上行经过b点的受力分析如图。
设下行、上行过b时金属棒的速度分别为v、v′，则下行过b时切割磁感线产生的感应电动势为E2＝B2Lv，金属棒上的电流为I2＝eq \f(E2＋E1,R)＝eq \f(B2Lv,R)＋eq \f(kS,R)，根据牛顿第二定律可得B2I2L－mgsin θ＝eq \f(Beq \\al(2,2)L2v,R)＋eq \f(B2kSL,R)－mgsin θ＝ma1；上行过b时，切割磁感线产生的感应电动势为E2′＝B2Lv′，金属棒上的电流为I3＝eq \f(E1－E2,R)＝eq \f(kS,R)－eq \f(B2Lv′,R)，根据牛顿第二定律可得B2I3L－mgsin θ＝eq \f(B2kSL,R)－eq \f(Beq \\al(2,2)L2v′,R)－mgsin θ＝ma2，分析可知a1>a2，下行和上行过程通过bc段的位移大小相等，根据v2＝2ax可知金属棒下行经过b点时的速度大于上行经过b点时的速度，A、B正确；金属棒上行时，加速度与速度同向，金属棒做加速度减小的加速度运动，一定能回到无磁场区，由以上分析可得，金属棒进磁场Ⅱ区(下行进磁场)的速度大于出磁场Ⅱ区(下行进磁场)的速度，金属棒在无磁场区做加速度相同的减速运动，则金属棒不能回到a处，C错误，D正确。
【典例4】(多选)(2023·江苏省扬州市高三下第三次调研)如图所示，M、N为同一水平面内的两条平行长直导轨，左端串联电阻R，金属杆ab垂直导轨放置，金属杆和导轨的电阻不计，杆与导轨间接触良好且无摩擦，整个装置处于竖直方向的匀强磁场中。现对金属杆ab施加一个与其垂直的水平方向的恒力F，使金属杆从静止开始运动。在运动过程中，金属杆的速度大小为v，R上消耗的总能量为E，则下列关于v、E随时间变化的图象可能正确的是( )
答案:AD
解析：对金属杆ab施加一个与其垂直的水平方向的恒力F，使金属杆从静止开始运动；由于金属杆切割磁感线产生感应电动势和感应电流，受到随速度的增大而增大的安培力作用，所以金属杆做加速度逐渐减小的加速运动；当安培力增大到等于水平方向的恒力F时，金属杆做匀速直线运动，vt图象A正确，B错误。由功能关系知，开始水平方向的恒力F做的功一部分使金属杆动能增大，另一部分转化为电能，被电阻R消耗掉；当金属杆匀速运动后，水平方向的恒力F所做的功等于R上消耗的总能量E，因此Et图象是D正确、C错误。
练习3、(2023·江苏省宿迁市高三下第三次调研)如图所示，电阻不计的平行导轨竖直固定，上端接有电阻为R，高度为h的匀强磁场与导轨平面垂直．一导体棒从磁场上方的A位置自由释放，用x表示导体棒进入磁场后的位移，i表示导体棒中的感应电流大小，v表示导体棒的速度大小，Ek表示导体棒的动能，a表示导体棒的加速度大小，导体棒与导轨垂直并接触良好．以下图象可能正确的是( )
答案:AC
解析：由于导体棒释放时距离磁场上边界有一定高度，所以导体棒到达磁场上边界时获得大小一定的速度v0，若速度v0较小，导体棒切割磁感线产生的感应电流较小，导体棒受到的安培力小于其自身的重力，导体棒做加速运动，当速度增大到一定值，满足安培力等于重力时，导体棒做匀速运动，离开磁场后做匀加速运动．
若速度v0较大，切割磁感线产生的感应电流较大，导体棒受到的安培力大于其自身的重力，导体棒做减速运动，当速度减小到一定值，满足安培力等于重力时，导体棒做匀速运动，离开磁场后做匀加速运动．选项A符合此种情况；选项B中的0～h段不应该是直线，故B选项错误；选项D中到达h以后，导体棒做匀加速运动，速度增大，D选项错误；
若速度v0刚好满足安培力等于重力，则导体棒做匀速运动，离开磁场后做匀加速运动，选项C符合此种情况．本题应选A、C.
练习4、(2023·湖北高考)如图a所示，两根不计电阻、间距为L的足够长平行光滑金属导轨，竖直固定在匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨平面向里，磁感应强度大小为B。导轨上端串联非线性电子元件Z和阻值为R的电阻。元件Z的UI图像如图b所示，当流过元件Z的电流大于或等于I0时，电压稳定为Um。质量为m、不计电阻的金属棒可沿导轨运动，运动中金属棒始终水平且与导轨保持良好接触。忽略空气阻力及回路中的电流对原磁场的影响，重力加速度大小为g。为了方便计算，取I0＝eq \f(mg,4BL)，Um＝eq \f(mgR,2BL)。以下计算结果只能选用m、g、B、L、R表示。
(1)闭合开关S，由静止释放金属棒，求金属棒下落的最大速度v1；
(2)断开开关S，由静止释放金属棒，求金属棒下落的最大速度v2；
(3)先闭合开关S，由静止释放金属棒，金属棒达到最大速度后，再断开开关S。忽略回路中电流突变的时间，求S断开瞬间金属棒的加速度大小a。
答案: (1)eq \f(mgR,B2L2) (2)eq \f(3mgR,2B2L2) (3)eq \f(g,2)
解析： (1)闭合开关S，金属棒下落的过程中受竖直向下的重力、竖直向上的安培力作用，当重力与安培力大小相等时，金属棒的加速度为零，速度最大，则mg＝BI1L
由法拉第电磁感应定律得E1＝BLv1
由闭合电路欧姆定律得I1＝eq \f(E1,R)
联立解得v1＝eq \f(mgR,B2L2)。
(2)断开开关S，由静止释放金属棒后，当金属棒的速度达到最大时，金属棒受力平衡，则mg＝BI2L
解得I2＝eq \f(mg,BL)>I0
则元件Z两端的电压为Um＝eq \f(mgR,2BL)
此时定值电阻两端的电压为UR＝BLv2－Um
由欧姆定律得I2＝eq \f(UR,R)
联立解得v2＝eq \f(3mgR,2B2L2)。
(3)开关S闭合，由静止释放金属棒，当金属棒的速度最大时，金属棒产生的感应电动势为
E1＝BLv1＝eq \f(mgR,BL)
断开开关S的瞬间，假设元件Z两端的电压为Um＝eq \f(mgR,2BL)
则定值电阻两端的电压为UR′＝E1－Um＝eq \f(mgR,2BL)
电路中的电流为I′＝eq \f(UR′,R)＝eq \f(mg,2BL)
I′>I0，则假设成立
金属棒受到的安培力为FA＝BI′L
对金属棒由牛顿第二定律得mg－FA＝ma
解得a＝eq \f(g,2)。
考向三 电磁感应中的动力学问题--含容式单棒模型
一、电磁感应中的动力学问题--含容式单棒模型
棒的初速度为零，拉力F恒定(棒和水平导轨电阻忽略不计，摩擦力不计)
如图，运动过程分析：棒做加速运动，持续对电容器充电，则存在充电电流
由F－BIl＝ma，I＝eq \f(ΔQ,Δt)，ΔQ＝CΔU，ΔU＝ΔE＝BlΔv，
联立可得F－eq \f(CB2l2Δv,Δt)＝ma，其中eq \f(Δv,Δt)＝a，
则可得a＝eq \f(F,m＋B2l2C)
所以棒做加速度恒定的匀加速直线运动．
功能关系：WF＝eq \f(1,2)mv2＋E电
二、常见几种模型
【典例5】 (2023·河北卷·7)如图，两光滑导轨水平放置在竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度大小为B，导轨间距最窄处为一狭缝，取狭缝所在处O点为坐标原点，狭缝右侧两导轨与x轴夹角均为θ，一电容为C的电容器与导轨左端相连，导轨上的金属棒与x轴垂直，在外力F作用下从O点开始以速度v向右匀速运动，忽略所有电阻，下列说法正确的是( )
A．通过金属棒的电流为2BCv2tan θ
B．金属棒到达x0时，电容器极板上的电荷量为BCvx0tan θ
C．金属棒运动过程中，电容器的上极板带负电
D．金属棒运动过程中，外力F做功的功率恒定
答案:A
解析：根据楞次定律可知电容器的上极板应带正电，C错误；
由题知金属棒匀速切割磁感线，根据几何关系知切割长度为L＝2xtan θ，x＝vt
则产生的感应电动势为E＝2Bv2ttan θ
由题图可知电容器直接与电源相连，则电容器的电荷量为Q＝CE＝2BCv2ttan θ
则流过金属棒的电流I＝eq \f(Q,t)＝2BCv2tan θ，A正确；
当金属棒到达x0处时，金属棒产生的感应电动势为
E′＝2Bvx0tan θ
则此时电容器的电荷量为Q′＝CE′＝2BCvx0tan θ，B错误；
由于金属棒做匀速运动，
则F＝F安＝BIL＝4B2Cv3tan2θ·t，
F与t成正比，则F为变力，根据力做功的功率公式P＝Fv
可知功率P随力F变化而变化，D错误．
【典例6】(多选)(2023·江苏省淮安市高三下第三次调研)在如图所示的甲、乙、丙中除导体棒ab可动外，其余部分均固定不动。甲图中的电容器C原来不带电，设导体棒、导轨和直流电源的电阻均可忽略，导体棒和导轨间的摩擦不计。图中装置均在水平面内，且都处于方向垂直水平面(即纸面)向下的匀强磁场中，导轨足够长，今给导体棒一个向右的初速度v0，导体棒的最终运动状态是( )
A．三种情况下，导体棒最终均静止
B．图甲、丙中导体棒最终将以不同的速度做匀速运动；图乙中导体棒最终静止
C．图甲、丙中，导体棒最终将以相同的速度做匀速运动
D．甲、乙两种情况下，电阻R上产生的焦耳热一定不同
答案:BD
解析：题图甲中，导体棒向右运动切割磁感线产生感应电流而使电容器充电，当电容器极板间电压与导体棒产生的感应电动势相等时，电路中没有电流，导体棒不受安培力，其向右做匀速运动；题图乙中，导体棒向右运动切割磁感线产生感应电流，通过电阻R转化为内能，导体棒速度减小，当导体棒的动能全部转化为内能时，导体棒静止；题图丙中，导体棒先受到向左的安培力作用向右做减速运动，速度减为零后再在安培力作用下向左做加速运动，当导体棒产生的感应电动势与电源的电动势相等时，电路中没有电流，导体棒向左做匀速运动，故A、C错误，B正确；题图甲中，导体棒的部分动能转化为内能，题图乙中，导体棒的动能全部转化为内能，故有Q甲
A．电容器两极板间的电压为零
B．电阻两端的电压为BLv
C．电容器所带电荷量为CBLv
D．为保持MN匀速运动，需对其施加的拉力大小为eq \f(B2L2v,R)
答案:C
解析：当MN向右匀速运动时，MN产生的感应电动势恒定，稳定后，电容器既不充电也不放电，无电流产生，故电阻两端没有电压，电容器两极板间的电压为U＝E＝BLv，所带电荷量Q＝CU＝CBLv，A、B错误，C正确；MN匀速运动时，因无电流而不受安培力，由平衡条件知拉力为零，D错误。
练习6、(2023·天津市部分区高三上期末)如图甲所示，相距L＝1 m的两根足够长的光滑平行金属导轨倾斜放置，与水平面夹角θ＝37°，导轨电阻不计，质量m＝1 kg、接入电路电阻为r＝0.5 Ω的导体棒ab垂直于导轨放置，导轨的PM两端接在外电路上，定值电阻阻值R＝1.5 Ω，电容器的电容C＝0.5 F，电容器的耐压值足够大，导轨所在平面内有垂直于导轨平面斜向上的匀强磁场．在开关S1闭合、S2断开的状态下将导体棒ab由静止释放，导体棒的v－t图像如图乙所示，sin 37°＝0.6，取重力加速度g＝10 m/s2.
(1)求磁场的磁感应强度大小B；
(2)在开关S1闭合、S2断开的状态下，当导体棒下滑的距离x＝5 m时，定值电阻产生的焦耳热为21 J，此时导体棒的速度与加速度分别是多大？
(3)现在开关S1断开、S2闭合的状态下，由静止释放导体棒，求经过t＝2 s时导体棒的速度大小．
答案:(1)2 T (2)2 m/s 2 m/s2 (3)4 m/s
解析：(1)由题图乙可知，导体棒的最大速度
vm＝3 m/s，
对应的感应电动势E＝BLvm，
感应电流I＝eq \f(E,R＋r)，
当速度达到最大时，导体棒做匀速运动，导体棒受力平衡，有BIL＝mgsin θ，
解得B＝eq \r(\f(mgR＋rsin θ,L2vm))＝2 T.
(2)导体棒和定值电阻串联，由公式Q＝I2Rt可知：Qab∶QR＝1∶3，则导体棒ab产生的焦耳热Qab＝eq \f(1,3)×21 J＝7 J，导体棒下滑x＝5 m的距离，导体棒减少的重力势能转化为动能和回路中的焦耳热，由能量守恒定律有
mgxsin θ＝eq \f(1,2)mv12＋Qab＋QR
得导体棒的速度v1＝2 m/s，
此时感应电动势E1＝BLv1，
感应电流I1＝eq \f(E1,R＋r)，
对导体棒有mgsin θ－BI1L＝ma1，
解得加速度a1＝2 m/s2.
(3)开关S1断开、S2闭合时，任意时刻对导体棒，根据牛顿第二定律有
mgsin θ－BI2L＝ma2，
感应电流I2＝eq \f(Δq,Δt)，Δq＝CΔU
Δt时间内，有ΔU＝ΔE＝BLΔv，a2＝eq \f(Δv,Δt)，
解得a2＝2 m/s2，
表明导体棒ab下滑过程中加速度不变，导体棒做匀加速直线运动，t＝2 s时导体棒的速度大小v2＝a2t＝4 m/s.
考向四 电磁感应中的动力学问题--双棒问题模型
一、初速度为零，一杆受到恒定水平外力的作用
【典例7】(多选)(2023·全国卷Ⅰ·21)如图，U形光滑金属框abcd置于水平绝缘平台上，ab和dc边平行，和bc边垂直．ab、dc足够长，整个金属框电阻可忽略．一根具有一定电阻的导体棒MN置于金属框上，用水平恒力F向右拉动金属框，运动过程中，装置始终处于竖直向下的匀强磁场中，MN与金属框保持良好接触，且与bc边保持平行．经过一段时间后( )
A．金属框的速度大小趋于恒定值
B．金属框的加速度大小趋于恒定值
C．导体棒所受安培力的大小趋于恒定值
D．导体棒到金属框bc边的距离趋于恒定值
答案:BC
解析：当金属框在恒力F作用下向右加速运动时，bc边产生从c到b的感应电流i，金属框的加速度大小为a1，则有F－Bil＝Ma1；MN中感应电流从M流向N，MN在安培力作用下向右加速运动，加速度大小为a2，则有Bil＝ma2，当金属框和MN都运动后，金属框速度为v1，MN速度为v2，则电路中的感应电流为i＝eq \f(Blv1－v2,R)，感应电流从0开始增大，则a2从零开始增加，a1从eq \f(F,M)开始减小，加速度差值减小，当a1＝a2时，得F＝(M＋m)a，a＝eq \f(F,M＋m)恒定，由F安＝ma可知，安培力不再变化，则感应电流不再变化，据i＝eq \f(Blv1－v2,R)知金属框与MN的速度差保持不变，v－t图像如图所示，故A错误，B、C正确；MN与金属框的速度差不变，但MN的速度小于金属框的速度，则MN到金属框bc边的距离越来越大，故D错误．
【典例8】(多选)(2023·山东泰安模拟)如图，平行光滑金属导轨M、N固定在水平面上，处于竖直向下的匀强磁场中。完全相同的两金属棒P、Q搭放在导轨上，开始均处于静止状态。给P施加一与导轨平行的恒定拉力作用，运动中两金属棒始终与导轨垂直并与导轨接触良好。设导轨足够长，除两棒的电阻外其余电阻均不计。则两棒的速度及棒中的感应电流随时间变化的图象正确的是( )
答案:AD
解析：P向右做切割磁感线运动，由右手定则判断知，回路中产生逆时针的感应电流，由左手定则判断可知，Q棒所受的安培力方向向右，Q棒向右做加速运动，开始阶段，两棒的速度差增大，回路中产生的感应电动势增大，感应电流增大，两棒所受的安培力都增大，则P的加速度减小，Q的加速度增大，当两者的加速度相等时，速度之差不变，感应电流不变，安培力不变，两棒均做加速度相同的匀加速运动。开始运动时，P棒做加速度减小的加速运动，Q棒做加速度增大的加速运动，最终做加速度相同的加速运动，故A正确，B错误；开始运动时，两棒的速度差增大，感应电动势增大，通过电流增大，最终两棒都做匀加速运动，速度差保持不变，故回路中感应电动势不变，电流恒定，故C错误，D正确。
练习7、(2023·北京市丰台区高三上期末)如图所示，上下不等宽的平行导轨，EF和GH部分的导轨间距为L，PQ和MN部分的导轨间距为3L，导轨平面与水平面的夹角为30°，整个装置处在垂直于导轨平面的匀强磁场中．金属杆ab和cd的质量均为m，都可在导轨上无摩擦地滑动，且与导轨接触良好，现对金属杆ab施加一个沿导轨平面向上的作用力F，使其沿斜面匀速向上运动，同时cd处于静止状态，则F的大小为( )
A.eq \f(2,3)mg B．mg
C.eq \f(4,3)mg D.eq \f(3,2)mg
答案:A
解析：设ab杆向上做切割磁感线运动时，产生的感应电流大小为I，受到的安培力大小为F安＝BIL，对于cd，由平衡条件有BI·3L＝mgsin 30°，对于ab杆，由平衡条件有F＝mgsin 30°＋BIL，得F＝eq \f(2,3)mg，A对．
练习8、(2023·湖北省武汉市第二中学高三上模拟)间距为L＝2 m的足够长的金属直角导轨如图所示放置，它们各有一边在同一水平面内，另一边垂直于水平面．质量均为m＝0.1 kg的金属细杆ab、cd与导轨垂直放置形成闭合回路．细杆与导轨之间的动摩擦因数均为μ＝0.5，导轨的电阻不计，细杆ab、cd接入电路的电阻分别为R1＝0.6 Ω，R2＝0.4 Ω.整个装置处于磁感应强度大小为B＝0.50 T、方向竖直向上的匀强磁场中(图中未画出)．当ab杆在平行于水平导轨的拉力F作用下从静止开始沿导轨匀加速运动时，cd杆也同时从静止开始沿导轨向下运动，且t＝0时，F＝1.5 N，g＝10 m/s2.
(1)求ab杆的加速度a的大小；
(2)求当cd杆达到最大速度时ab杆的速度大小；
(3)若从开始到cd杆达到最大速度的过程中拉力F做的功为5.2 J，求该过程中ab杆所产生的焦耳热．
答案:(1)10 m/s2 (2)2 m/s (3)2.94 J
解析：(1)由题可知，在t＝0时，F＝1.5 N
对ab杆进行受力分析，由牛顿第二定律得
F－μmg＝ma代入数据解得a＝10 m/s2.
(2)从d向c看，对cd杆进行受力分析，如图所示，当cd杆速度最大时，设ab杆的速度大小为v，根据平衡条件，有Ff＝mg＝μFN，
FN＝F安，F安＝BIL，
I＝eq \f(BLv,R1＋R2)
综合以上各式，
解得v＝2 m/s
(3)整个过程中，ab杆发生的位移
x＝eq \f(v2,2a)＝eq \f(22,2×10) m＝0.2 m
对ab杆应用动能定理，有WF－μmgx－W安＝eq \f(1,2)mv2
代入数据解得W安＝4.9 J
根据功能关系得Q总＝W安
所以ab杆上产生的热量Qab＝eq \f(R1,R1＋R2)Q总＝2.94 J.
1. (2023·北京市朝阳区高三一模)如图所示，在一匀强磁场中有一U形导线框abcd，线框处于水平面内，磁场与线框平面垂直，R为一电阻，ef为垂直于ab的一根导体杆，它可在ab、cd上无摩擦地滑动。ef及线框中导线的电阻不计。开始时，给ef一个向右的初速度，则( )
A．ef将减速向右运动，但不是匀减速
B．ef将匀减速向右运动，最后停止
C．ef将匀速向右运动
D．ef将往返运动
答案:A
解析：ef向右运动，切割磁感线，产生感应电动势和感应电流，根据右手定则和左手定则可知，ef受到向左的安培力而做减速运动，直到停止，由F＝BIL＝eq \f(B2L2v,R)＝ma，知ef做的是加速度减小的减速运动，故A正确。
2. (多选)(2023·山东省日照市二模)如图所示，M、N为同一水平面内的两条平行长直导轨，左端串联电阻R，金属杆ab垂直导轨放置，金属杆和导轨的电阻不计，杆与导轨间接触良好且无摩擦，整个装置处于竖直方向的匀强磁场中．现对金属杆ab施加一个与其垂直的水平方向的恒力F，使金属杆从静止开始运动．在运动过程中，金属杆的速度大小为v，R上消耗的电功率为P，则下列关于v、P随时间变化的图像可能正确的是( )
答案:AD
解析：对金属杆ab施加一个与其垂直的水平方向的恒力F，使金属杆从静止开始运动．由于金属杆切割磁感线产生感应电动势和感应电流，受到随速度的增大而增大的安培力作用，所以金属杆做加速度逐渐减小的加速运动，当安培力增大到等于水平方向的恒力F时，金属杆做匀速直线运动，v－t图像A正确，B错误；由P＝eq \f(E2,R)＝eq \f(B2l2v2,R)，v先增大后不变，则P先增大后不变，但不是均匀增大，故C错误，D正确．
3. (多选)(2023·四川内江月考)如图所示，空间有一个方向水平的有界磁场区域，一个矩形线框，自磁场上方某一高度下落，然后进入磁场，进入磁场时，导线框平面与磁场方向垂直，则在进入过程中导线框可能的运动情况是( )
A．加速度变小的加速下落
B．加速度变小的减速下落
C．匀速下落
D．匀加速下落
答案:ABC
解析：线框进入磁场过程中受到的安培力F＝BIL＝eq \f(B2L2v,R)，如果eq \f(B2L2v,R)
4. (多选)(2023·唐山模拟)如图甲所示，水平放置的平行金属导轨连接一个平行板电容器C和电阻R，导体棒MN放在导轨上且接触良好，整个装置放于垂直导轨平面的磁场中，磁感应强度B的变化情况如图乙所示(图示磁感应强度方向为正)，MN始终保持静止，则0～t2时间内( )
A．电容器C的电荷量大小始终不变
B．电容器C的a板先带正电后带负电
C．MN所受安培力的大小始终不变
D．MN所受安培力的方向先向右后向左
答案:AD
解析：磁感应强度均匀变化，产生恒定电动势，电容器C的电荷量大小始终没变，选项A正确，B错误；由于磁感应强度变化，根据楞次定律和左手定则可知，MN所受安培力的方向先向右后向左，大小先减小后增大，选项C错误，D正确。
5. (多选)(2023·山东省日照市高三下二模)如图所示，平行且足够长的两条光滑金属导轨，相距L＝0.4 m，导轨所在平面与水平面的夹角为30°，其电阻不计。把完全相同的两金属棒(长度均为0.4 m)ab、cd分别垂直于导轨放置，并使金属棒的两端都与导轨良好接触。已知两金属棒的质量均为m＝0.1 kg、电阻均为R＝0.2 Ω，整个装置处在垂直于导轨平面向上的匀强磁场中，磁感应强度为B＝0.5 T。当金属棒ab在平行于导轨向上的力F作用下沿导轨向上匀速运动时，金属棒cd恰好能保持静止(g＝10 m/s2)，则( )
A．F的大小为0.5 N
B．金属棒ab产生的感应电动势为1.0 V
C．金属棒ab两端的电压为1.0 V
D．金属棒ab的速度为5.0 m/s
答案:BD
解析：对于金属棒cd有mgsin θ＝BIL，解得回路中的电流I＝2.5 A，所以回路中的感应电动势E＝2IR＝1.0 V，选项B正确；Uab＝IR＝0.5 V，选项C错误；对于金属棒ab有F＝BIL＋mgsin θ，解得F＝1.0 N，选项A错误；根据法拉第电磁感应定律有E＝BLv，解得金属棒ab的速度为v＝5.0 m/s，选项D正确。
6. (2023·广东省汕头市高三二模)如图所示，光滑金属导轨ab和cd构成的平面与水平面成角，导轨间距=2L，导轨电阻不计．两金属棒MN、PQ垂直导轨放置，与导轨接触良好．两棒质量，电阻，整个装置处在垂直导轨向上的磁感应强度为B的匀强磁场中，金属棒MN在平行于导轨向上的拉力，作用下沿导轨以速度向上匀速运动，PQ棒恰好以速度向下匀速运动．则
A．MN中电流方向是由N到M
B．匀速运动的速度的大小是
C．在MN、PQ都匀速运动的过程中，
D．在MN、PQ都匀速运动的过程中，
答案:BD
7. (2023山东省济南市高三下模拟考试)如图所示，质量均为m的金属棒ab、cd与足够长的水平金属导轨垂直且接触良好，两金属棒与金属导轨间的动摩擦因数为μ，磁感应强度为B的匀强磁场的方向竖直向下．则ab棒在恒力F＝2μmg作用下向右运动的过程中，有( )
A．安培力对ab棒做正功
B．安培力对cd棒做正功
C．ab棒做加速度逐渐减小的加速运动，最终匀速运动
D．cd棒做加速度逐渐减小的加速运动，最终匀速运动
答案:C.
解析：对于ab棒，因为F＝2μmg>μmg，所以从静止开始加速运动，ab棒运动会切割磁感线产生感应电流，从而使ab棒受到一个向左的安培力，这样加速度会减小，最终会做匀速运动；而cd棒所受到的最大安培力与摩擦力相同，所以总保持静止状态，即安培力对ab棒做负功，对cd棒不做功，所以选项C正确，A、B、D错误．
8. (2023·云南省昆明市“三诊一模”二模)如图所示，两根足够长的平行直导轨AB、CD与水平面成θ角放置，两导轨间距为L，A、C两点间接有阻值为R的定值电阻．一根质量均匀分布的直金属杆放在两导轨上，并与导轨垂直．整套装置处于磁感应强度大小为B0的匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨平面向上，导轨和金属杆接触良好，金属杆的阻值为r，其余部分电阻不计，金属杆与导轨之间的动摩擦因数为μ.现将外力F沿与导轨平行的方向作用在金属杆上，让其由静止开始沿导轨向上做匀加速直线运动，则下列外力F与作用时间t的图象中正确的是( )
答案:B
解析：分析金属杆在运动过程中的受力情况可知，金属杆受重力mg、导轨的支持力FN、外力F、摩擦力Ff和安培力F安的共同作用，金属杆沿导轨方向向上运动，由牛顿第二定律有F－mgsinθ－F安－Ff＝ma，又F安＝B0IL，I＝eq \f(E,R＋r)＝eq \f(B0Lv,R＋r)，所以F安＝B0IL＝eq \f(B\\al(2,0)L2v,R＋r)，Ff＝μmgcsθ，所以有F－mgsinθ－eq \f(B\\al(2,0)L2v,R＋r)－μmgcsθ＝ma，又因v＝at，将其代入上式可得F＝eq \f(B\\al(2,0)L2a,R＋r)t＋mgsinθ＋μmgcsθ＋ma，由此表达式可知，选项B正确．
9.(2023·安徽省合肥市高三上开学考试) 如图所示，在倾角为α＝30°的光滑斜面上，存在着两个匀强磁场区域Ⅰ、Ⅱ，两个区域的磁场方向相反且都垂直于斜面，MN、PQ、EF为两磁场区域的理想边界，区域Ⅰ的磁感应强度大小为B1＝2 T，区域Ⅱ的磁感应强度大小为B2＝1 T，两个区域的宽度MP和PE均为L＝1 m．一个质量为m＝0.9 kg、电阻为R＝1 Ω、边长也为L＝1 m的正方形导线框，从磁场区域上方某处由静止开始沿斜面下滑，当ab边刚进入磁场区域Ⅰ时，线框恰好做匀速运动；当ab边下滑到磁场区域Ⅱ的中间位置时，线框又恰好做匀速运动，重力加速度取g＝10 m/s2.求：
(1)ab边刚进入磁场区域Ⅰ时的速度v1；
(2)当ab边刚进入磁场区域Ⅱ时，线框加速度的大小与方向；
(3)线框ab边刚要离开磁场区域Ⅱ时的速度v2.
答案:见解析
解析： (1)当ab边刚进入磁场Ⅰ时，由法拉第电磁感应定律E1＝B1Lv1
由欧姆定律有I1＝eq \f(E1,R)
又F1＝B1I1L
因线框做匀速动，由物体平衡条件有F1＝mgsin α
联立解得v1＝eq \f(9,8) m/s
(2)导线框ab边刚进入磁场区域Ⅱ时，ab和cd边都切割磁感线，由法拉第电磁感应定律E2＝B1Lv1＋B2Lv1
又I2＝eq \f(E2,R)
解得I2＝eq \f(B1Lv1＋B2Lv1,R)
线框所受安培力F2＝B1I2L＋B2I2L
由牛顿第二定律有F2－mgsin α＝ma
联立解得a＝eq \f(25,4) m/s2，方向沿斜面向上
(3)设线框ab边下落到区域Ⅱ的中间位置时的速度为v2，有I3＝eq \f(B1Lv2＋B2Lv2,R)
线框所受安培力F3＝B1I3L＋B2I3L
因线框做匀速动，由物体平衡条件有F3＝mgsin α
解得v2＝0.5 m/s
1.(2023·天津理综·3)如图所示，两根平行金属导轨置于水平面内，导轨之间接有电阻R.金属棒ab与两导轨垂直并保持良好接触，整个装置放在匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨平面向下.现使磁感应强度随时间均匀减小，ab始终保持静止，下列说法正确的是( )
A.ab中的感应电流方向由b到a
B.ab中的感应电流逐渐减小
C.ab所受的安培力保持不变
D.ab所受的静摩擦力逐渐减小
答案:D
解析：金属棒ab、电阻R、导轨构成闭合回路，磁感应强度均匀减小(eq \f(ΔB,Δt)＝k为一定值)，则闭合回路中的磁通量减小，根据楞次定律，可知回路中产生顺时针方向的感应电流，ab中的电流方向由a到b，故A错误；根据法拉第电磁感应定律，感应电动势E＝eq \f(ΔΦ,Δt)＝eq \f(ΔB·S,Δt)＝kS，回路面积S不变，即感应电动势为定值，设ab的电阻为r，根据闭合电路欧姆定律I＝eq \f(E,R＋r)，所以ab中的电流大小不变，故B错误；安培力F＝BIL，电流大小和金属棒长度不变，磁感应强度减小，则安培力减小，故C错误；导体棒处于静止状态，所受合力为零，对其受力分析，水平方向静摩擦力Ff与安培力F等大反向，安培力减小，则静摩擦力减小，故D正确.
2.(多选)如图所示，平行的金属导轨与电路处在垂直纸面向里的匀强磁场B中，一金属杆放在金属导轨上，在恒定外力F作用下做匀速运动，则在开关S( )
A．闭合瞬间通过金属杆的电流增大
B．闭合瞬间通过金属杆的电流减小
C．闭合后金属杆先减速后匀速
D．闭合后金属杆先加速后匀速
答案:AC
解析：金属杆做切割磁感线运动，相当于电源，在开关S闭合瞬间，外电阻变小，根据闭合电路欧姆定律，干路电流增加，即通过金属杆的电流增加，故A正确，B错误；开关S闭合前，拉力和安培力平衡，开关S闭合后，电流增加，根据安培力公式F＝BIL，安培力增加，故拉力小于安培力，金属杆做减速运动，感应电动势减小，电流减小，安培力减小，加速度减小，当加速度减为零时，速度减小到最小值，最后做匀速运动，故C正确，D错误。
3. (多选)(2023·全国甲卷·21)由相同材料的导线绕成边长相同的甲、乙两个正方形闭合线圈，两线圈的质量相等，但所用导线的横截面积不同，甲线圈的匝数是乙的2倍．现两线圈在竖直平面内从同一高度同时由静止开始下落，一段时间后进入一方向垂直于纸面的匀强磁场区域，磁场的上边界水平，如图所示．不计空气阻力，已知下落过程中线圈始终平行于纸面，上、下边保持水平．在线圈下边进入磁场后且上边进入磁场前，可能出现的是( )
A．甲和乙都加速运动
B．甲和乙都减速运动
C．甲加速运动，乙减速运动
D．甲减速运动，乙加速运动
答案: AB
解析：设线圈下边到磁场的高度为h，线圈的边长为l，则线圈下边刚进入磁场时，有v＝eq \r(2gh)，
感应电动势为E＝nBlv，
两线圈材料相同(设密度为ρ0)，质量相同(设为m)，
则m＝ρ0×4nl×S，
设材料的电阻率为ρ，则线圈电阻
R＝ρeq \f(4nl,S)＝eq \f(16n2l2ρρ0,m)
感应电流为I＝eq \f(E,R)＝eq \f(mBv,16nlρρ0)
所受安培力大小为F＝nBIl＝eq \f(mB2v,16ρρ0)
由牛顿第二定律有mg－F＝ma
联立解得a＝g－eq \f(F,m)＝g－eq \f(B2v,16ρρ0)
加速度和线圈的匝数、横截面积无关，则甲和乙进入磁场时，具有相同的加速度．
当g>eq \f(B2v,16ρρ0)时，甲和乙都加速运动，
当g
故选A、B.
4. (多选)如图所示，空间存在着与圆台母线垂直向外的磁场，各处的磁感应强度大小均为B，圆台母线与竖直方向的夹角为θ，一个质量为m、半径为r的匀质金属环位于圆台底部．当给环通以恒定的电流I，圆环由静止向上运动，经过时间t后撤去该恒定电流并保持圆环闭合，圆环全程上升的最大高度为H.已知重力加速度为g，不计空气阻力，磁场的范围足够大．在圆环向上运动的过程中，下列说法正确的是( )
A．圆环先做加速运动后做减速运动
B．在时间t内安培力对圆环做功为mgH
C．圆环运动的最大速度为eq \f(2πBIrtcsθ,m)－gt
D．圆环先有扩张后有收缩的趋势
答案:AC
解析：在时间t内，圆环中通有电流I，圆环在磁场中受向上的安培力作用，安培力大于重力，所以合力向上，圆环由静止开始向上加速运动，t时刻撤去电流，圆环继续向上运动，并切割磁感线产生感应电流，则同时又受向下的安培力和重力，合力方向与运动方向相反，所以圆环开始减速运动直至到达最高位置，故A正确；因安培力在t时间内对其做正功，t时刻以后对其做负功，有W安t前－W安t后＝mgH，则知在t时间内安培力做功大于mgH，故B错误；在t时间内安培力F＝BIL＝BI·2πr，合外力F合＝Fcsθ－mg＝2πBIrcsθ－mg＝ma，v＝at＝eq \f(2πBIrtcsθ,m)－gt，故C正确；圆环加速上升过程中有收缩趋势，减速上升过程中有扩张趋势，故D错误．
5. (多选)如图甲所示，两间距为L的平行光滑金属导轨固定在水平面内，左端用导线连接，导轨处在竖直向上的匀强磁场中，一根长度也为L、电阻为R的金属棒放在导轨上，在平行于导轨向右、大小为F的恒力作用下向右运动，金属棒运动过程中，始终与导轨垂直并接触良好，金属棒运动的加速度与速度关系如图乙所示，不计金属导轨及左边导线电阻，金属导轨足够长，若图乙中的a0、v0均为已知量，则下列说法正确的是( )
A．金属棒的质量为eq \f(F,a0)
B．匀强磁场的磁感应强度大小为eq \f(1,L)eq \r(\f(FR,v0))
C．当拉力F做功为W时，通过金属棒横截面的电荷量为eq \f(W,\r(FR))
D．某时刻撤去拉力，此后金属棒运动过程中加速度大小与速度大小成正比
答案:ABD
解析：由题意可知F－eq \f(B2L2v,R)＝ma，得a＝eq \f(F,m)－eq \f(B2L2,mR)v，结合图像可知eq \f(F,m)＝a0，eq \f(B2L2v0,mR)＝a0，解得m＝eq \f(F,a0)，B＝eq \r(\f(ma0R,L2v0))＝eq \f(1,L)eq \r(\f(FR,v0))，A、B正确；当拉力F做功为W时，金属棒运动的距离为s＝eq \f(W,F)，则通过金属棒横截面的电荷量q＝eq \x\t(I)t＝eq \f(\x\t(E),R)t＝eq \f(BLs,R)＝eq \f(W,\r(FRv0))，C错误；某时刻撤去拉力，此后eq \f(B2L2v,R)＝ma，则a＝eq \f(B2L2,mR)v，D正确．
6. 如图所示，有两根和水平方向成α角的光滑平行的金属轨道，间距为l，上端接有可变电阻R，下端足够长，空间有垂直于轨道平面的匀强磁场，磁感应强度为B.一根质量为m的金属杆从轨道上由静止滑下，经过足够长的时间后，金属杆的速度会趋于一个最大速度vm，除R外其余电阻不计，则 ( )
A．如果B变大，vm将变大 B．如果α变大，vm将变大
C．如果R变大，vm将变大 D．如果m变小，vm将变大
答案:BC
解析：金属杆从轨道上滑下切割磁感线产生感应电动势E＝Blv，在闭合电路中形成电流I＝eq \f(Blv,R)，因此金属杆从轨道上滑下的过程中除受重力、轨道的弹力外还受安培力F作用，F＝BIl＝eq \f(B2l2v,R)，先用右手定则判定感应电流方向，再用左手定则判定出安培力方向，如图所示．
根据牛顿第二定律，得mgsin α－eq \f(B2l2v,R)＝ma，当a＝0时，v＝vm，
解得vm＝eq \f(mgRsin α,B2l2)，故选项B、C正确．
7. (2023·湖南重点中学联考)如图所示，竖直平面内有足够长、不计电阻的两组平行光滑金属导轨，宽度均为L，上方连接一阻值为R的定值电阻，虚线下方的区域内存在磁感应强度为B的匀强磁场。两根完全相同的金属杆1和2靠在导轨上，金属杆长度与导轨宽度相等且与导轨接触良好，电阻均为r、质量均为m；将金属杆1固定在磁场的上边缘，且仍在磁场内，金属杆2从磁场边界上方h0处由静止释放，进入磁场后恰好做匀速运动。现将金属杆2从磁场边界上方h(h
B．回路中感应电动势的最大值为eq \f(mg2r＋R,BL)
C．磁场中金属杆1与金属杆2所受的安培力大小、方向均不相同
D．任何时刻金属杆1与2的速度之差均为2eq \r(gh)
答案:B
答案:根据右手定则判断知两金属杆产生的感应电流方向向右，则流过电阻R的电流方向为b→a，故选项A错误；当金属杆2在磁场中匀速下降时，速度最大，产生的感应电动势最大，由平衡条件得BIL＝mg，又I＝eq \f(Em,2r＋R)，联立得感应电动势的最大值为Em＝eq \f(mg2r＋R,BL)，故选项B正确；根据左手定则判断知两金属杆所受安培力的方向均向上，方向相同，由公式F＝BIL可知安培力的大小也相同，故选项C错误；金属杆2刚进入磁场时的速度为v＝eq \r(2gh)；在金属杆2进入磁场后，由于两金属杆任何时刻受力情况相同，因此任何时刻两者的加速度也都相同，在相同时间内速度的增量也必相同，即v1－0＝v2－v，则v2－v1＝v＝eq \r(2gh)，故选项D错误。
8. 如图所示，相距为L的两条足够长的平行金属导轨，与水平面的夹角为θ，导轨上固定有质量为m、电阻为R的两根相同的导体棒，导体棒MN上方轨道粗糙、下方轨道光滑，整个空间存在垂直于导轨平面的匀强磁场，磁感应强度为B.将两根导体棒同时释放后，观察到导体棒MN下滑而EF保持静止，当MN下滑速度最大时，EF与轨道间的摩擦力刚好达到最大静摩擦力，下列叙述正确的是( )
A．导体棒MN的最大速度为eq \f(2mgRsin θ,B2L2)
B．导体棒EF与轨道之间的最大静摩擦力为mgsin θ
C．导体棒MN受到的最大安培力为mgsin θ
D．导体棒MN所受重力的最大功率为eq \f(m2g2Rsin2 θ,B2L2)
答案:AC
解析：由题意可知，导体棒MN切割磁感线，产生的感应电动势为E＝BLv，回路中的电流I＝eq \f(E,2R)，MN受到的安培力F＝BIL＝eq \f(B2L2v,2R)，随着速度的增长，MN受到的安培力逐渐增大，加速度逐渐减小，故MN沿斜面做加速度减小的加速运动，当MN受到的安培力大小等于其重力沿轨道方向的分力时，速度达到最大值，此后MN做匀速运动．故导体棒MN受到的最大安培力为mgsin θ，导体棒MN的最大速度为eq \f(2mgRsin θ,B2L2)，选项A、C正确．由于当MN下滑速度最大时，EF与轨道间的摩擦力刚好达到最大静摩擦力，由力的平衡知识可知EF与轨道之间的最大静摩擦力为2mgsin θ，选项B错误．由P＝mgvsin θ可知导体棒MN所受重力的最大功率为eq \f(2m2g2Rsin2 θ,B2L2)，D错误．
9. 如图，由某种粗细均匀的总电阻为3R的金属条制成的矩形线框abcd，固定在水平面内且处于方向竖直向下的匀强磁场中．一接入电路电阻为R的导体棒PQ，在水平拉力作用下沿ab、dc以速度v匀速滑动，滑动过程PQ始终与ab垂直，且与线框接触良好，不计摩擦．在PQ从靠近ad处向bc滑动的过程中( )
A．PQ中电流先增大后减小
B．PQ两端电压先减小后增大
C．PQ上拉力的功率先减小后增大
D．线框消耗的电功率先减小后增大
答案:C
解析：设PQ左侧金属线框的电阻为r，则右侧电阻为3R－r；PQ相当于电源，其电阻为R，则电路的外电阻为R外＝eq \f(r（3R－r）,r＋（3R－r）)＝eq \f(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(r－\f(3R,2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3R,2)))\s\up12(2),3R)，当r＝eq \f(3R,2)时，R外max＝eq \f(3,4)R，此时PQ处于矩形线框的中心位置，即PQ从靠近ad处向bc滑动的过程中外电阻先增大后减小．PQ中的电流为干路电流I＝eq \f(E,R外＋R内)，可知干路电流先减小后增大，选项A错误；PQ两端的电压为路端电压U＝E－U内，因E＝Blv不变，U内＝IR先减小后增大，所以路端电压先增大后减小，选项B错误；拉力的功率大小等于安培力的功率大小，P＝F安v＝BIlv，可知因干路电流先减小后增大，PQ上拉力的功率也先减小后增大，选项C正确；线框消耗的电功率即为外电阻消耗的功率，因外电阻最大值为eq \f(3,4)R，小于内阻R；根据电源的输出功率与外电阻大小的变化关系，外电阻越接近内阻时，输出功率越大，可知线框消耗的电功率先增大后减小，选项D错误．
10.(2023陕西汉中重点中学联考)(多选)如图所示，平行且足够长的两条光滑金属导轨，相距L＝0.4 m，导轨所在平面与水平面的夹角为30°，其电阻不计。把完全相同的两金属棒(长度均为0.4 m)ab、cd分别垂直于导轨放置，并使金属棒的两端都与导轨良好接触。已知两金属棒的质量均为m＝0.1 kg、电阻均为R＝0.2 Ω，整个装置处在垂直于导轨平面向上的匀强磁场中，磁感应强度为B＝0.5 T。当金属棒ab在平行于导轨向上的力F作用下沿导轨向上匀速运动时，金属棒cd恰好能保持静止(g＝10 m/s2)，则( )
A．F的大小为0.5 N
B．金属棒ab产生的感应电动势为1.0 V
C．金属棒ab两端的电压为1.0 V
D．金属棒ab的速度为5.0 m/s
答案:BD
解析：对于金属棒cd有mgsin θ＝BIL，解得回路中的电流I＝2.5 A，所以回路中的感应电动势E＝2IR＝1.0 V，选项B正确；Uab＝IR＝0.5 V，选项C错误；对于金属棒ab有F＝BIL＋mgsin θ，解得F＝1.0 N，选项A错误；根据法拉第电磁感应定律有E＝BLv，解得金属棒ab的速度为v＝5.0 m/s，选项D正确。
11. (2023·山东威海市模拟考试)如图甲所示，两根足够长的光滑平行直导轨固定在水平面上，导轨左侧连接一电容器，一金属棒垂直放在导轨上，且与导轨接触良好。在整个装置中加上垂直于导轨平面的磁场，磁感应强度按图乙所示规律变化。0～t0内在导体棒上施加外力使导体棒静止不动，t0时刻撤去外力。已知电容器的电容为C，两导轨间距为L，导体棒到导轨左侧的距离为d，导体棒的质量为m。求：
(1)电容器带电荷量的最大值；
(2)导体棒能够达到的最大速度vm。
答案:(1)eq \f(CB0Ld,t0) (2)eq \f(CBeq \\al(2,0)L2d,t0（m＋CBeq \\al(2,0)L2）)
解析：(1)电容器两极板的电压U＝eq \f(B0,t0)Ld
电容器的带电荷量Q＝CU＝eq \f(CB0Ld,t0)。
(2)电容器放电后剩余的电荷量Q′＝CU′
U′＝B0Lvm
由动量定理得B0eq \(I,\s\up6(－))L·Δt＝mvm
Q－Q′＝eq \(I,\s\up6(－))Δt
解得vm＝eq \f(CBeq \\al(2,0)L2d,t0（m＋CBeq \\al(2,0)L2）)。
12. (2023·高考全国卷乙，T24)如图，一倾角为α的光滑固定斜面的顶端放有质量M＝0.06 kg的U形导体框，导体框的电阻忽略不计；一电阻R＝3 Ω的金属棒CD的两端置于导体框上，与导体框构成矩形回路CDEF；EF与斜面底边平行，长度L＝0.6 m。初始时CD与EF相距s0＝0.4 m，金属棒与导体框同时由静止开始下滑，金属棒下滑距离s1＝eq \f(3,16) m后进入一方向垂直于斜面的匀强磁场区域，磁场边界(图中虚线)与斜面底边平行；金属棒在磁场中做匀速运动，直至离开磁场区域。当金属棒离开磁场的瞬间，导体框的EF边正好进入磁场，并在匀速运动一段距离后开始加速。已知金属棒与导体框之间始终接触良好，磁场的磁感应强度大小B＝1 T，重力加速度大小取g＝10 m/s2，sin α＝0.6。求：
(1)金属棒在磁场中运动时所受安培力的大小；
(2)金属棒的质量以及金属棒与导体框之间的动摩擦因数；
(3)导体框匀速运动的距离。
答案: (1)0.18 N (2)0.02 kg eq \f(3,8) (3)eq \f(5,18) m
解析：(1)根据题意可得金属棒和导体框在没有进入磁场时一起做匀加速直线运动，由动能定理可得
(M＋m)gs1sin α＝eq \f(1,2)(M＋m)veq \\al(2,0)
代入数据解得v0＝eq \f(3,2) m/s
金属棒在磁场中切割磁感线产生感应电动势，由法拉第电磁感应定律可得E＝BLv0
由闭合回路的欧姆定律可得I＝eq \f(E,R)
则导体棒刚进入磁场时受到的安培力为
F安＝BIL＝0.18 N。
(2)金属棒进入磁场以后瞬间受到安培力的作用，根据楞次定律可知金属棒所受的安培力沿斜面向上，之后金属棒相对导体框向上运动，因此金属棒受到导体框给的沿斜面向下的滑动摩擦力，因匀速运动，则有mgsin α＋μmgcs α＝F安
此时导体框向下做匀加速运动，根据牛顿第二定律可得Mgsin α－μmgcs α＝Ma
设磁场区域的宽度为x，则金属棒在磁场中运动的时间为t＝eq \f(x,v0)
则此时导体框的速度为v1＝v0＋at
则导体框的位移x1＝v0t＋eq \f(1,2)at2
因此导体框和金属棒的相对位移为
Δx＝x1－x＝eq \f(1,2)at2
由题意当金属棒离开磁场时导体框的上端EF刚好进入磁场，则有位移关系
s0－Δx＝x
导体框进入磁场时匀速运动，此时的电动势为E1＝BLv1，I1＝eq \f(BLv1,R)
导体框受到向上的安培力和滑动摩擦力，因此可得
Mgsin α＝μmgcs α＋BI1L
联立以上可得x＝0.3 m，a＝5 m/s2
m＝0.02 kg，μ＝eq \f(3,8)。
(3)金属棒出磁场以后，速度小于导体框的速度，因此受到向下的摩擦力，做加速运动，则有mgsin α＋μmgcs α＝ma1
金属棒向下加速，导体框匀速，当共速时导体框不再匀速，则有v0＋a1t1＝v1
导体框匀速运动的距离为x2＝v1t1
代入数据解得x2＝eq \f(2.5,9) m＝eq \f(5,18) m。
13. (2023·江西吉水中学、崇仁一中、南城一中三校联考)如图所示，金属杆ab、cd置于平行轨道MN、PQ上，可沿轨道滑动，两轨道间距l＝0.5 m，轨道所在空间有垂直于轨道平面的匀强磁场，磁感应强度B＝0.5 T，用力F＝0.25 N向右水平拉杆ab，若ab、cd与轨道间的滑动摩擦力分别为Ff1＝0.15 N、Ff2＝0.1 N，两杆的有效电阻R1＝R2＝0.1 Ω，设导轨电阻不计，ab、cd的质量关系为2m1＝3m2，且ab、cd与轨道间的最大静摩擦力与滑动摩擦力相等．求：
(1)此两杆之间的稳定速度差；
(2)若F＝0.3 N，两杆间稳定速度差又是多少？
答案:(1)0.32 m/s (2)0.384 m/s
解析：因F＞Ff1，故ab由静止开始做加速运动，ab中将出现不断变大的感应电流，致使cd受到安培力F2作用，当F2＞Ff2时，cd也开始运动，故cd开始运动的条件是：F－Ff1－Ff2＞0.
(1)当F＝0.25 N时，F－Ff1－Ff2＝0，故cd保持静止，两杆的稳定速度差等于ab的最终稳定速度vmax，故此种情况有：电流Im＝eq \f(Em,R1＋R2)＝eq \f(Blvmax,R1＋R2)，安培力Fm＝BIml，则有F－Fm－Ff1＝0，由此得vmax＝0.32 m/s.
(2)当F＝0.3 N＞Ff1＋Ff2，对ab、cd组成的系统，ab、cd所受安培力大小相等，方向相反，合力为零，则系统受的合外力为F合＝F－Ff1－Ff2＝0.05 N．对系统有F合＝(m1＋m2)a，因为2m1＝3m2，则F合＝eq \f(5,2)m2a.取cd为研究对象，F安－Ff2＝m2a，F安＝BIl，I＝eq \f(BlΔv,R1＋R2)，联立各式解得Δv＝eq \f(R1＋R2,B2l2)(eq \f(2,5)F合＋Ff2)＝0.384 m/s.
1.（多选）(2023年全国高考甲卷物理试题）7. 如图，两根相互平行的光滑长直金属导轨固定在水平绝缘桌面上，在导轨的左端接入电容为C的电容器和阻值为R的电阻。质量为m、阻值也为R的导体棒MN静止于导轨上，与导轨垂直，且接触良好，导轨电阻忽略不计，整个系统处于方向竖直向下的匀强磁场中。开始时，电容器所带的电荷量为Q，合上开关S后，（ ）
A. 通过导体棒电流的最大值为
B. 导体棒MN向右先加速、后匀速运动
C. 导体棒速度最大时所受的安培力也最大
D. 电阻R上产生的焦耳热大于导体棒上产生的焦耳热
答案:AD
解析：MN在运动过程中为非纯电阻，MN上的电流瞬时值为
A．当闭合的瞬间，，此时MN可视为纯电阻R，此时反电动势最小，故电流最大故A正确；
B．当时，导体棒加速运动，当速度达到最大值之后，电容器与MN及R构成回路，由于一直处于通路的形式，由能量守恒可知，最后MN终极速度为零， 故B错误；
C．MN在运动过程中为非纯电阻电路，MN上的电流瞬时值为
当时，MN上电流瞬时为零，安培力为零此时，MN速度最大，故C错误；
D． 在MN加速度阶段，由于MN反电动势存在，故MN上电流小于电阻R 上的电流，电阻R消耗电能大于MN上消耗的电能（即），故加速过程中，；当MN减速为零的过程中，电容器的电流和导体棒的电流都流经电阻R形成各自的回路，因此可知此时也是电阻R的电流大，综上分析可知全过程中电阻R上的热量大于导体棒上的热量，故D正确。
故选AD。
2.（多选）(2023年辽宁省普通高中学业水平选择性考试）9.如图（a）所示，两根间距为L、足够长的光滑平行金属导轨竖直放置并固定，顶端接有阻值为R的电阻。垂直导轨平面存在变化规律如图（b）所示的匀强磁场，t=0时磁场方向垂直纸面向里。在t=0到t=2t0的时间内，金属棒水平固定在距导轨顶端L处；在t=2t0时，释放金属棒。整个过程中金属棒与导轨接触良好，导轨与金属棒的电阻不计，则
A. 在t=t0/2时，金属棒受到的安培力的大小F=BIL=
B．在t=t0时，金属棒中电流的大小为
C．在t=3t0/2时，金属棒受到安培力的方向竖直向上
D．在t=3t0时，金属棒中电流的方向向右
答案:BCD
解析：在t=t0/2时，回路内磁感应强度变化率大小为=，由法拉第电磁感应定律可得回路内产生的感应电动势E=L2=，由闭合电路欧姆定律，可得金属棒中电流I=E/R=，在t=t0/2时，B=，金属棒受到的安培力的大小F=BIL=，选项A错误；在t=t0时，回路内磁感应强度变化率大小为=，由法拉第电磁感应定律可得回路内产生的感应电动势E=L2=，由闭合电路欧姆定律，可得金属棒中电流I=E/R=，选项B正确；在t=3t0/2时，磁场方向垂直纸面向外，由楞次定律可判断出产生的感应电流方向为顺时针方向，金属棒中电流 从右向左，由左手定则可判断出金属棒受到安培力的方向竖直向上，选项C正确；在t=3t0时，磁场方向垂直纸面向外，磁场不变化，在t=2t0时，释放金属棒，金属棒向下做加速运动，由右手定则可判断出金属棒中电流的方向向右，选项D正确。
3.(2023年1月浙江省普通高等学校招生考试）21．（10分）如图甲所示，在xOy水平面内，固定放置着间距为l的两平行金属直导轨，其间连接有阻值为R的电阻，电阻两端连接示波器(内阻可视为无穷大)，可动态显示电阻R两端的电压。两导轨间存在大小为B、方向垂直导轨平面的匀强磁场。t=0时一质量为m、长为l的导体棒在外力F作用下从x=x0位置开始做简谐运动，观察到示波器显示的电压随时间变化的波形是如图乙所示的正弦曲线。取，则简谐运动的平衡位置在坐标原点O。 不计摩擦阻力和其它电阻，导体棒始终垂直导轨运动。（提示：可以用F—x图象下的“面积”代表力F所做的功）
（1）求导体棒所受到的安培力FA随时间t的变化规律；
（2）求在0至0．25T时间内外力F的冲量；
（3）若t=0时外力F0=1N，l=1m，T=2πs，m=1kg，R=1Ω，Um=0．5V，B=0．5T，求外力与安培力大小相等时棒的位置坐标和速度。
第21题图甲 第21题图乙
答案:见解析
解析：（1）根据题意，题目中显示的电压与时间关系可知
，导体棒所受安培力
（2）根据题意，导体棒的简谐振动是位移与时间关系为
因此导体棒的速度与时间关系为 ，即
安培力的冲量
根据动量定理可知
（3）根据简谐振动知识可知 ，
当t=0时， ，外力
此时的位移大小
所以比例系数
以向右为正，则
= 1 \* GB3 ①如果是外力与安培力等大，反向，则只有在平衡位置x=0，金属棒合外力为零，即外力大小等于安培力，此时速度代入数据可知，
= 2 \* GB3 ② 如果外力与安培力方向相同，大小相等，则 ，即
即 或者
金属棒的位置关系，所以金属棒的位置
此时根据可知，对应速度为
4. (2023·浙江1月选考)嫦娥五号成功实现月球着陆和返回，鼓舞人心。小明知道月球上没有空气，无法靠降落伞减速降落，于是设计了一种新型着陆装置。如图所示，该装置由船舱、间距为l的平行导轨、产生垂直导轨平面的磁感应强度大小为B的匀强磁场的磁体和“∧”型刚性线框组成，“∧”型线框ab边可沿导轨滑动并接触良好。船舱、导轨和磁体固定在一起，总质量为m1。整个装置竖直着陆到月球表面前瞬间的速度大小为v0，接触月球表面后线框速度立即变为零。经过减速，在导轨下方缓冲弹簧接触月球表面前船舱已可视为匀速。已知船舱电阻为3r；“∧”型线框的质量为m2，其7条边的边长均为l，电阻均为r；月球表面的重力加速度为eq \f(g,6)。整个运动过程中只有ab边在磁场中，线框与月球表面绝缘，不计导轨电阻和摩擦阻力。
(1)求着陆装置接触到月球表面后瞬间线框ab边产生的电动势E0；
(2)通过画等效电路图，求着陆装置接触到月球表面后瞬间流过ab的电流I0；
(3)求船舱匀速运动时的速度大小v；
(4)同桌小张认为在磁场上方、两导轨之间连接一个电容为C的电容器，在着陆减速过程中还可以回收部分能量，在其他条件均不变的情况下，求船舱匀速运动时的速度大小v′和此时电容器所带电荷量q。
答案:(1)Blv0 (2)eq \f(Blv0,2r) (3)eq \f(m1gr,3B2l2)
(4)eq \f(m1gr,3B2l2) eq \f(m1grC,6Bl)
解析：(1)电动势E0＝Blv0。
(2)总电阻R＝2r
电流I0＝eq \f(E0,R)＝eq \f(Blv0,2r)。
(3)匀速运动时线框受到安培力
FA＝eq \f(B2l2v,2r)
根据牛顿第三定律，质量为m1的部分受力F＝FA，方向竖直向上，匀速条件F＝eq \f(m1g,6)，得v＝eq \f(m1gr,3B2l2)。
(4)匀速运动时电容器不充放电，v′＝v＝eq \f(m1gr,3B2l2)
I＝eq \f(Blv′,2r)＝eq \f(m1g,6Bl)，UC＝eq \f(1,3)I×3r＝eq \f(m1gr,6Bl)
电容器带电荷量q＝CUC＝eq \f(m1grC,6Bl)。
新课程标准
1.知道电磁感应现象的应用及其对现代社会的影响。
2．理解楞次定律。
3．通过实验，理解法拉第电磁感应定律。
命题趋势
考查的内容主要体现对物理规律的理解，例如楞次定律、法拉第电磁感应定律；有些题目的综合性较强，主要体现在电磁感应中的综合应用上。题目多涉及动生电动势和感生电动势。
试题情境
生活
实践类
电磁炉、电子秤、电磁卡、电磁焊接技术、磁电式速度传感器、真空管道超高速列车、磁悬浮列车、电磁轨道炮等各种实际应用模型
学习
探究类
杆轨模型问题，电磁感应与动力学结合问题
状态
特征
处理方法
平衡态
加速度为零
根据平衡条件列式分析
非平衡态
加速度不为零
根据牛顿第二定律进行动态分析或结合功能关系进行分析
v
↓
E＝Blv
↓
I＝eq \f(E,R＋r)
↓
F安＝BIl
↓
F合
若F合＝0
匀速直线运动
若F合≠0
↓
F合＝ma
a、v同向
v增大，若a恒定，拉力F增大
v增大，F安增大，F合减小，a减小，做加速度减小的加速运动，减小到a＝0，匀速直线运动
a、v反向
v减小，F安减小，a减小，当a＝0，静止或匀速直线运动
基本模型
运动特点
最终特征
阻尼式
[来源:Z*xx*k.Cm]
a逐渐减小的减速运动
电动式
a逐渐减小的加速运动
发电式
a逐渐减小的加速运动
基本模型
运动特点
最终特征
放电式
a逐渐减小的加速运动
无外力充电式
a逐渐减小的减速运动
匀速运动
I＝0
有外力充电式
匀加速运动
光滑的平行导轨
不光滑平行导轨
示意图
质量m1＝m2
电阻r1＝r2
长度L1＝L2
摩擦力Ff1＝Ff2
质量m1＝m2
电阻r1＝r2
长度L1＝L2
规律
分析
开始时，两杆做变加速运动；稳定时，两杆以相同的加速度做匀加速运动
开始时，若F≤2Ff，则PQ杆先变加速后匀速运动；MN杆静止.若F>2Ff，PQ杆先变加速后匀加速运动，MN杆先静止后变加速最后和PQ杆同时做匀加速运动，且加速度相同
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