浙教版八年级数学下册基础知识专项讲练 专题6.9 反比例函数的应用（知识讲解）

这是一份浙教版八年级数学下册基础知识专项讲练 专题6.9 反比例函数的应用（知识讲解），共14页。
1. 能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式，并能结合图象加深对问题的理解.
2．根据条件求出函数解析式，运用学过的函数知识解决反比例函数的应用问题，体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识.
【要点梳理】
要点一、利用反比例函数解决实际问题
基本思路：建立函数模型，即在实际问题中求得函数解析式，然后应用函数的图象和性质等知识解决问题.
一般步骤如下：
（1）审清题意，根据常量、变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示。
（2）由题目中的已知条件，列出方程，求出待定系数.
（3）写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围.
（4）利用函数解析式、函数的图象和性质等去解决问题.
要点二、反比例函数在其他学科中的应用
当圆柱体的体积一定时，圆柱的底面积是高的反比例函数；
当工程总量一定时，做工时间是做工速度的反比例函数；
在使用杠杆时，如果阻力和阻力臂不变，则动力是动力臂的反比例函数；
【典型例题】
类型一、反比例函数与实际问题
1、教师办公室有一种可以自动加热的饮水机，该饮水机的工作程序是：放满水后接通电源，则自动开始加热，每分钟水温上升10℃，待加热到100℃，饮水机自动停止加热，水温开始下降．水温y（℃）和通电时间x（min）成反比例函数关系，直至水温降至室温，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为20℃，接通电源后，水温y（℃）和通电时间x（min）之间的关系如图所示，回答下列问题：
分别求出当0≤x≤8和8＜x≤a时，y和x之间的函数关系式；
求出图中a的值；
李老师这天早上7：30将饮水机电源打开，若他想在8：10上课前喝到不低于40℃的开水，则他需要在什么时间段内接水？

答案:(1)当0≤x≤8时，y＝10x+20；当8＜x≤a时，y＝；(2)a＝40；(3)李老师要在7：38到7：50之间接水
分析：（1）直接利用反比例函数解析式和一次函数解析式求法得出答案；
（2）利用（1）中所求解析式，当y＝20时，得出答案；
（3）当y＝40时，代入反比例函数解析式，结合水温的变化得出答案．
解：（1）当0≤x≤8时，设y＝k1x+b，
将（0，20），（8，100）的坐标分别代入y＝k1x+b得，
解得k1＝10，b＝20．
∴当0≤x≤8时，y＝10x+20．
当8＜x≤a时，设y＝，
将（8，100）的坐标代入y＝，
得k2＝800
∴当8＜x≤a时，y＝．
综上，当0≤x≤8时，y＝10x+20；当8＜x≤a时，y＝．
（2）将y＝20代入y＝，
解得x＝40，
即a＝40；
（3）当y＝40时，x＝＝20．
∴要想喝到不低于40℃的开水，x需满足8≤x≤20，
即李老师要在7：38到7：50之间接水．
【点拨】此题主要考查了反比例函数的应用，正确求出函数解析式是解题关键．
举一反三：
【变式1】 通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标随时间（分钟）变化的函数图象如图所示，当和时，图象是线段；当时，图象是反比例函数的一部分．
（1）求点对应的指标值；
（2）张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要17分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由．

答案:（1）20；（2）能，见解析
分析：（1）先利用待定系数法求出反比例函数的解析式，再将x=45代入，即可得出A对应的指标值
（2）先用待定系数法写出一次函数的解析式，再根据注意力指标都不低于36得出，得出自变量的取值范围，即可得出结论
解：（1）令反比例函数为，由图可知点在的图象上，
∴，
∴．将x=45代入
将x=45代入得：
点对应的指标值为．
（2）设直线的解析式为，将、代入中，
得，解得．
∴直线的解析式为．
由题得，解得．
∵，
∴张老师经过适当的安排，能使学生在听综合题的讲解时，注意力指标都不低于36.
【点拨】本题考查一次函数的解析式、反比例函数的解析式、不等式组的解集、利用函数图像解决实际问题是中考的常考题型。
【变式2】为了预防疾病，某单位对办公室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成为正比例，药物燃烧后，y与x成反比例（如图），现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量6毫克，请根据题中所提供的信息，解答下列问题：
药物燃烧时，y关于x的函数关系式为 ，自变量x的取值范围为 ；药物燃烧后，y关于x的函数关系式为 ．
研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时员工方可进办公室，那么从消毒开始，至少需要经过 分钟后，员工才能回到办公室；
研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？

答案:(1)yx，0≤x≤8；y（x＞8）；(2)30；(3)有效，理由见解析
分析：（1）药物燃烧时，设出y与x之间的解析式y＝k1x，把点（8，6）代入即可，从图上读出x的取值范围；药物燃烧后，设出y与x之间的解析式y，把点（8，6）代入即可；
（2）把y＝1.6代入反比例函数解析式，求出相应的x；
（3）把y＝3代入正比例函数解析式和反比例函数解析式，求出相应的x，两数之差与10进行比较，大于等于10就有效．
（1）解：（1）设药物燃烧时y关于x的函数关系式为y＝k1x（k1＞0）代入（8，6）为6＝8k1，
∴k1设药物燃烧后y关于x的函数关系式为y（k2＞0）代入（8，6）为6，
∴k2＝48，
∴药物燃烧时y关于x的函数关系式为yx（0≤x≤8）药物燃烧后y关于x的函数关系式为y（x＞8）；
（2）结合实际，令y中y≤1.6得x≥30，
即从消毒开始，至少需要30分钟后学生才能进入教室．
（3）把y＝3代入yx，得：x＝4，
把y＝3代入y，得：x＝16，
∵16﹣4＝12，
所以这次消毒是有效的．
【点拨】本题考查了一次函数和反比例函数的综合应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
类型二、利用反比例函数解决学科上的问题
2、已知某蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．
求这个反比例函数的解析式；
如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过3A，那么用电器可变电阻应控制在什么范围？

答案:(1)函数的解析式为I=；(2)用电器可变电阻应控制在12Ω以上的范围内．
分析：（1）先由电流I是电阻R的反比例函数，可设I=，将点（20，1.8），利用待定系数法即可求出这个反比例函数的解析式；
（2）将I≤3代入（1）中所求的函数解析式即可确定电阻的取值范围．
（1）解：（1）电流I是电阻R的反比例函数，设I=，
∵图象经过（20，1.8），
∴1.8=，
解得k=1.8×20=36，
∴I=；
（2）解：∵I≤3，I=，
∴≤3，
∴R≥12，
即用电器可变电阻应控制在12Ω以上的范围内．
【点拨】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是正确地从中整理出函数模型，并利用函数的知识解决实际问题．
举一反三：
【变式1】 如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高（单位：）是物距（小孔到蜡烛的距离）（单位：）的反比例函数，当时，．
(1)求关于的函数解析式；
(2)若火焰的像高为，求小孔到蜡烛的距离．
答案:(1)；(2)
分析：（1）运用待定系数法求解即可；
（2）把代入反比例函数解析式，求出y的值即可．
解：（1）由题意设，
把，代入，得．
∴关于的函数解析式为．
（2）把代入，得．
∴小孔到蜡烛的距离为．
【点拨】本题主要考查了运用待定系数法求函数关系式以及求函数值，能正确掌握待定系数法是解答本题的关键．
【变式2】为检测某品牌一次性注射器的质量，将注射器里充满一定量的气体，当温度不变时，注射器里的气体的压强是气体体积的反比例函数，其图象如图所示．
求这个函数的表达式；
当气体体积为时，求气体压强的值；
若注射器内气体的压强不能超过，则其体积V要控制在什么范围?

答案:(1)；(2)气体压强为；(3)体积V应不少于
分析：（1）利用待定系数法进行求解即可；
（2）把代入反比例函数解析式求解即可；
（3）把代入反比例函数解析式求解即可．
（1）解：设，
由图可得，反比例函数图象过，
，
解得，
∴反比例函数的解析式为；
（2）当时，
，
∴气体压强为；
（3）当时，
，
解得，
∴体积V应不少于．
【点拨】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握知识点是解题的关键．
【变式3】电子体重科读数直观又便于携带，为人们带来了方便．某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻R1， R1与踏板上人的质量m之间的函数关系式为R1＝km＋b（其中k，b为常数，0≤m≤120），其图象如图1所示；图2的电路中，电源电压恒为8伏，定值电阻R0的阻值为30欧，接通开关，人站上踏板，电压表显示的读数为U0 ，该读数可以换算为人的质量m，
①导体两端的电压U，导体的电阻R，通过导体的电流I，满足关系式I＝；
②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压．
（1）求k，b的值；
（2）求R1关于U0的函数解析式；
（3）用含U0的代数式表示m；
（4）若电压表量程为0~6伏，为保护电压表，请确定该电子体重秤可称的最大质量．
答案:（1）；（2）；I（3）；（4）该电子体重秤可称的最大质量为115千克．
分析：（1）根据待定系数法，即可求解；
（2）根据“串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压”，列出等式，进而即可求解；
（3）由R1＝m＋240，，即可得到答案；
（4）把时，代入，进而即可得到答案．
解：（1）把（0，240），（120，0）代入R1＝km＋b，得，解得：；
（2）∵，
∴；
（3）由（1）可知：，
∴R1＝m＋240，
又∵，
∴=m＋240，即：；
（4）∵电压表量程为0~6伏，
∴当时，
答：该电子体重秤可称的最大质量为115千克．
【点拨】本题主要考查一次函数与反比例函数的实际应用，熟练掌握待定系数法，是解题的关键．
类型三、反比例函数解决实际问题的综合应用
3、 某综合实践活动小组设计了一个简易电子体重秤，已知装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻与踏板上人的质量之间满足一次函数关系，共图象如图1所示；图2的电路中，电源电压恒为3伏，定值电阻的阻值为40欧，接通开关，人站上踏板，电压表显示的读数为，然后把代入相应的关系式，该读数就可以换算为人的质量，
知识小链接：①导体两端的电压，导体的电阻，通过导体的电流，满足关系式；②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压．
求可变电阻与人的质量之间的函数关系；
用含的代数式表示；
当电压表显示的读数为0.75伏时，求人的质量．

答案:(1)；(2)；(3)70
分析：（1）设可变电阻与人的质量之间的函数关系为，直接用待定系数法求解即可；
（2）由题意可得，，再结合（1）的解析式，求解即可；
（3）将代入，计算即可．
（1）解：设可变电阻与人的质量之间的函数关系为，
把（0，260），（130，0）代入得，
，
解得，
可变电阻与人的质量之间的函数关系为；
（2）由题意得，可变电阻两端的电压之和=电源电压-电表电压，
即可变电阻两端的电压之和，
，串联电路中电流处处相等，
，
定值电阻的阻值为40欧，，
，
整理得 ；
（3）当时，
.
【点拨】本题以物理中的电路问题为背景，考查了待定系数法求一次函数解析式、反比例函数解析式即代入求值，准确理解题意并熟练掌握知识点是解题的关键．
举一反三：
【变式1】 为了预防新冠病毒的传播，某校对教室采取喷洒药物消毒，在对某教室进行消毒的过程中，先经过5分钟的集中药物喷洒，再封闭教室10分钟，然后打开门窗进行通风，室内每立方米空气中含药量y（mg/m3）与药物在空气中的持续时间x（分钟）之间的函数关系，在打开门窗通风前分别满足两一次函数，在通风后又成反比例，如图所示．
（1）问：室内空气中的含药量不低于8mg/m3的持续时间可达到几分钟？
（2）当室内空气中的含药量不低于5mg/m3且持续时间不低于30分钟时，才能完全有效杀灭传染病毒．试通过分析判断此次消毒是否完全有效？
答案:（1）11分钟；（2）此次消毒不完全有效，分析见解析．
分析：（1）由题意得，由可求得直线的解析式，将代入即可求出时间，从而得出答案；
（2）利用求出反比例函数的解析式再分别计算出时的的值，进而可得答案．
（1）解：由题意得：，，
设直线的解析式为：，
把代入得：，
解得：，
，
把代入得：，
解得：，
（分钟），
答：室内空气中的含药量不低于的持续时间可达到11分钟．
（2）解：设反比例函数的解析式为，
把代入得：，
解得：，
，
把代入得：，
解得：，
把代入得：，
解得：
，
此次消毒是不完全有效．
答：此次消毒不完全有效．
【点拨】本题主要考查了正比例函数和反比例函数的应用，掌握正比例函数和反比例函数图象的形状，掌握两个函数的解析式的形式是解题的关键．
【变式2】某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度（）与时间（）之间的函数关系，其中线段，表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段．请根据图中信息解答下列问题：
求与（）的函数表达式；
大棚里栽培的一种蔬菜在温度为到的条件下最适合生长，若某天恒温系统开启前的温度是，那么这种蔬菜一天内最适合生长的时间有多长？
若大棚内的温度低于时，蔬菜会受到伤害．问这天内，恒温系统最多可以关闭多长时间，才能使蔬菜避免受到伤害？
答案:(1)；(2)这种蔬菜一天内最适合生长的时间为；(3)恒温系统最多可以关闭，才能使蔬菜避免受到伤害
分析：（1）当时，设双曲线的解析式为，把的坐标代入，得出，解出即可得出答案；
（2）根据待定系数法求出线段解析式，再根据题意：大棚里栽培的一种蔬菜在温度为到的条件下最适合生长，结合图象，把代入线段的解析式，得出时间，再把代入（1）中双曲线，得出时间，两时间相减，即可得出答案；
（3）先求解时，对应的双曲线函数图象上点的横坐标，再利用坐标含义可得答案．
（1）解：当时，设双曲线的解析式为，
∵过双曲线，
∴把的坐标代入，
可得：，
解得：，
∴函数表达式为：；
（2）解：设线段解析式为，
∵线段过点，，
代入得，
解得：，
∴解析式为：，
∵大棚里栽培的一种蔬菜在温度为到的条件下最适合生长，
当时，代入，
可得：，
解得：，
当，代入，
可得：，
解得：，
经检验：是原方程的解，且符合题意，
∵（），
∴这种蔬菜一天内最适合生长的时间为；
（3）解：当时，可得：，
解得：，
经检验：是原方程的解，且符合题意，
∴（），
∴恒温系统最多可以关闭，才能使蔬菜避免受到伤害．
【点拨】本题考查了反比例函数的应用，利用待定系数法求解反比例函数的解析式和一次函数解析式，反比例函数的性质，理解反比例函数图象上的点的坐标含义是解本题的关键．