中考数学一轮复习满分突破(全国通用)专题29点、直线、圆的位置关系(原卷版+解析)

这是一份中考数学一轮复习满分突破(全国通用)专题29点、直线、圆的位置关系(原卷版+解析)，共78页。

【知识要点】
第一种 点与圆的位置关系（设⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d）
三点定圆的画法：
1）连接线段AB,BC。
2）分别作线段AB,BC的垂直平分线。两条垂直平分线交点为O，此时OA=OB=OC。
于是以点O为圆心，以OA为半径，便可作出经过A、B、C的圆，这样的圆只能是
一个。
定理：不在同一直线上的三点确定一个圆。
第二种 直线与圆的位置关系
设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则直线和圆的位置关系如下表：
切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。
切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
切线长定义：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
第三种 圆与圆的位置关系
设⊙O1、⊙O2的半径分别为r、R（其中R>r），两圆圆心距为d，则两圆位置关系如下表：
两圆相切、相交的重要性质：如果两圆相切，那么切点一定在连心线上，它们是轴对称图形，对称轴是两圆的连心线；相交的两个圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。
三角形外接圆的概念：经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形。
外接圆圆心和三角形位置关系：
1）锐角三角形外接圆的圆心在它的内部（如图1）；
2）直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处（即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半，如图2）；
3）钝角三角形外接圆的圆心在它的外部（如图3）。
三角形内切圆的概念：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。
【扩展】三角形内心、外心、重心、垂心、旁心
考查题型一 点与圆的位置关系
典例1．(2023·上海·统考中考真题）如图，已知长方形中，，圆B的半径为1，圆A与圆B内切，则点与圆A的位置关系是（ ）
A．点C在圆A外，点D在圆A内B．点C在圆A外，点D在圆A外
C．点C在圆A上，点D在圆A内D．点C在圆A内，点D在圆A外
变式1-1．(2023·吉林·统考中考真题）如图，在中，，，．以点为圆心，为半径作圆，当点在内且点在外时，的值可能是（ ）
A．2B．3C．4D．5
变式1-2．(2023·青海·统考中考真题）点是非圆上一点，若点到上的点的最小距离是，最大距离是，则的半径是______．
考查题型二 直线与圆的位置关系
典例2．(2023·贵州六盘水·统考中考真题）如图是“光盘行动”的宣传海报，图中餐盘与筷子可看成直线和圆的位置关系是（ ）
A．相切B．相交C．相离D．平行
变式2-1．(2023·浙江嘉兴·统考中考真题）已知平面内有和点，，若半径为，线段，，则直线与的位置关系为（ ）
A．相离B．相交C．相切D．相交或相切
变式2-2．(2023·广东广州·统考中考真题）如图，中，，，，以点为圆心，为半径作，当时，与的位置关系是（ ）
A．相离B．相切C．相交D．无法确定
变式2-3．(2023·湖北黄石·统考中考真题）如图，在正方形中，点、分别在边、上，且，交于点，交于点．
（1）若正方形的边长为2，则的周长是______．
（2）下列结论：①；②若是的中点，则；③连接，则为等腰直角三角形．其中正确结论的序号是______（把你认为所有正确的都填上）．
变式2-4．(2023·上海·统考中考真题）在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点O在对角线AC上，圆O的半径为2，如果圆O与矩形ABCD的各边都没有公共点，那么线段AO长的取值范围是____．
考查题型三 切线的判定定理
典例3．(2023·湖南衡阳·统考中考真题）如图，为⊙的直径，过圆上一点作⊙的切线交的延长线与点，过点作交于点，连接．
(1)直线与⊙相切吗？并说明理由；
(2)若，，求的长．
变式3-1．(2023·江苏宿迁·统考中考真题）如图，在中，∠ =45°，，以为直径的⊙与边交于点．
(1)判断直线与⊙的位置关系，并说明理由；
(2)若，求图中阴影部分的面积．
变式3-2．(2023·江苏徐州·统考中考真题）如图，如图，点A、B、C在圆O上，，直线，，点O在BD上．
(1)判断直线AD与圆O的位置关系，并说明理由；
(2)若圆的半径为6，求图中阴影部分的面积．
变式3-3．(2023·湖南株洲·统考中考真题）如图所示，的顶点、在⊙上，顶点在⊙外，边与⊙相交于点，，连接、，已知．
(1)求证：直线是⊙的切线；
(2)若线段与线段相交于点，连接．
①求证：；
②若，求⊙的半径的长度．
变式3-4．(2023·四川南充·中考真题）如图，为的直径，点C是上一点，点D是外一点，，连接交于点E．
(1)求证：是的切线．
(2)若，求的值．
变式3-5．(2023·山东枣庄·统考中考真题）如图，在半径为10cm的⊙O中，AB是⊙O的直径，CD是过⊙O上一点C的直线，且AD⊥DC于点D，AC平分∠BAD，点E是BC的中点，OE＝6cm．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)求AD的长．
变式3-6．(2023·山东潍坊·中考真题）筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，车轮缚以竹简，旋转时低则舀水，高则泻水．如图，水力驱动筒车按逆时针方向转动，竹筒把水引至A处，水沿射线方向泻至水渠，水渠所在直线与水面平行；设筒车为，与直线交于P，Q两点，与直线交于B，C两点，恰有，连接．
(1)求证：为的切线；
(2)筒车的半径为，．当水面上升，A，O，Q三点恰好共线时，求筒车在水面下的最大深度（精确到，参考值：）．
考查题型四 切线的性质定理
典例4．(2023·广西河池·统考中考真题）如图，AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，∠ABC＝25°，OC的延长线交PA于点P，则∠P的度数是( )
A．25°B．35°C．40°D．50°
变式4-1．(2023·江苏无锡·统考中考真题）如图，AB是圆O的直径，弦AD平分∠BAC，过点D的切线交AC于点E，∠EAD＝25°，则下列结论错误的是（ ）
A． AE⊥DE B． AE//OD C． DE=OD D．∠BOD=50°
变式4-2．(2023·广东深圳·统考中考真题）如图所示，已知三角形为直角三角形，，BC为切线，为切点，则和面积之比为（ ）
A．B．C．D．
变式4-3．(2023·重庆·统考中考真题）如图，是的切线，B为切点，连接交于点，延长交于点，连接．若，且，则的长度是（ ）
A．3B．4C．D．
变式4-4．(2023·四川眉山·中考真题）如图是不倒翁的主视图，不倒翁的圆形脸恰好与帽子边沿，分别相切于点，，不倒翁的鼻尖正好是圆心，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
变式4-5．(2023·四川自贡·统考中考真题）为⊙外一点，与⊙相切于点，，，则的长为（ ）
A．B．C．D．
变式4-6．(2023·宁夏·中考真题）把量角器和含角的三角板按如图方式摆放：零刻度线与长直角边重合，移动量角器使外圆弧与斜边相切时，发现中心恰好在刻度处，短直角边过量角器外沿刻度处（即，）．则阴影部分的面积为（ ）
A．B．
C．D．
变式4-7．(2023·江苏盐城·统考中考真题）如图，、是的弦，过点A的切线交的延长线于点，若，则___________°．
变式4-8．(2023·浙江宁波·统考中考真题）如图，在△ABC中，AC=2，BC=4，点O在BC上，以OB为半径的圆与AC相切于点A，D是BC边上的动点，当△ACD为直角三角形时，AD的长为___________．
变式4-9．(2023·四川泸州·统考中考真题）如图，在中，，，，半径为1的在内平移（可以与该三角形的边相切），则点到上的点的距离的最大值为________．
变式4-10．(2023·浙江金华·统考中考真题）如图，木工用角尺的短边紧靠⊙于点A，长边与⊙相切于点B，角尺的直角顶点为C，已知，则⊙的半径为_____．
考查题型五 利用切线长定理求解与证明
典例5．(2023·青海西宁·统考中考真题）如图，的内切圆与分别相切于点D，E，F，连接，，，，，则阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
变式5-1．(2023·湖南永州·中考真题）如图，已知是的两条切线，A，B为切点，线段交于点M．给出下列四种说法：①；②；③四边形有外接圆；④M是外接圆的圆心，其中正确说法的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
变式5-2．(2023·湖北恩施·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，⊙O为Rt△ABC的内切圆，则图中阴影部分的面积为（结果保留π）________．
变式5-3．(2023·四川眉山·统考中考真题）如图，点为⊙外一点，过点作的切线、，点、为切点．连接并延长交的延长线于点，过点作，交的延长线于点．已知，，则的长为________．
变式5-4．(2023·江西·统考中考真题）（1）课本再现：在中，是所对的圆心角，是所对的圆周角，我们在数学课上探索两者之间的关系时，要根据圆心O与的位置关系进行分类．图1是其中一种情况，请你在图2和图3中画出其它两种情况的图形，并从三种位置关系中任选一种情况证明；
（2）知识应用：如图4，若的半径为2，分别与相切于点A，B，，求的长．
变式5-5．(2023·广东·统考中考真题）如图1，在四边形中，，，是的直径，平分．
（1）求证：直线与相切；
（2）如图2，记（1）中的切点为，为优弧上一点，，.求的值．
考查题型六 三角形外接圆的相关计算
典例6．(2023·湖南邵阳·统考中考真题）如图，⊙O是等边△ABC的外接圆，若AB=3，则⊙O的半径是（ ）
A．B．C．D．
变式6-1．(2023·湖北十堰·统考中考真题）如图，是等边的外接圆，点是弧上一动点（不与，重合），下列结论：①；②；③当最长时，；④，其中一定正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
变式6-2．(2023·山东滨州·统考中考真题）如图，是的外接圆，CD是的直径．若，弦，则的值为（ ）
A．B．C．D．
变式6-3．(2023·西藏·统考中考真题）如图，△BCD内接于⊙O，∠D＝70°，OA⊥BC交⨀O于点A，连接AC，则∠OAC的度数为（ ）
A．40°B．55°C．70°D．110°
变式6-4．(2023·江苏常州·统考中考真题）如图，是的内接三角形．若，，则的半径是______．
变式6-5．(2023·广西玉林·统考中考真题）如图，在网格中，各小正方形边长均为1，点O，A，B，C，D，E均在格点上，点O是的外心，在不添加其他字母的情况下，则除外把你认为外心也是O的三角形都写出来__________________________．
变式6-6．(2023·河南·统考中考真题）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为，点，，均在小正方形的顶点上，且点，在上，，则的长为__________．
考查题型七 三角形内切圆的相关计算
典例7．(2023·山东淄博·统考中考真题）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上，过△ABD的内心I作IE⊥BD于点E．若BD＝10，CD＝4，则BE的长为（ ）
A．6B．7C．8D．9
变式7-1．(2023·湖北武汉·统考中考真题）如图，在四边形材料中， ，，，，．现用此材料截出一个面积最大的圆形模板，则此圆的半径是（ ）
A．B．C．D．
变式7-2．(2023·湖南娄底·统考中考真题）如图，等边内切的图形来自我国古代的太极图，等边三角形内切圆中的黑色部分和白色部分关于等边的内心成中心对称，则圆中的黑色部分的面积与的面积之比是（ ）
A．B．C．D．
变式7-3．(2023·四川德阳·统考中考真题）如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点，与相交于点，则下列结论：①；②若，则；③若点为的中点，则；④．其中一定正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
变式7-4．(2023·浙江金华·统考中考真题）如图，⊙O是等边△ABC的内切圆，分别切AB，BC，AC于点E，F，D，P是上一点，则∠EPF的度数是（ ）
A．65°B．60°C．58°D．50°
变式7-5．(2023·山东济宁·中考真题）如图，在△ABC中点D为△ABC的内心,∠A=60°,CD=2,BD=4．则△DBC的面积是（ ）
A．4B．2C．2D．4
变式7-6．(2023·四川宜宾·统考中考真题）我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．若直角三角形的内切圆半径为3，小正方形的面积为49，则大正方形的面积为______．
变式7-7．(2023·江苏泰州·统考中考真题）如图所示的网格由边长为个单位长度的小正方形组成，点、、、在直角坐标系中的坐标分别为，，，则内心的坐标为______．
变式7-8．(2023·四川达州·中考真题）已知的三边a、b、c满足，则的内切圆半径=____．
变式7-9．(2023·青海·统考中考真题）在中，，，，则的内切圆的半径为__________．
变式7-10．(2023·黑龙江绥化·统考中考真题）已知：．
(1)尺规作图：用直尺和圆规作出内切圆的圆心O；（只保留作图痕迹，不写作法和证明）
(2)如果的周长为14，内切圆的半径为1.3，求的面积．
考查题型八 圆与圆的位置关系
典例8．(2023·内蒙古鄂尔多斯·统考中考真题）实验学校的花坛形状如图所示，其中，等圆⊙O1与⊙O2的半径为3米，且⊙O1经过⊙O2的圆心O2．已知实线部分为此花坛的周长，则花坛的周长为（ ）
A．4π米B．6π米C．8π米D．12π米
变式8-1．(2023·湖北武汉·统考一模）如图，在平面内，，两两外切，其中的半径为8，，的半径都为5．用一张半径为R的圆形纸片把这三个圆完全覆盖，则R的最小值为（ ）
A．B．10C．13D．15
变式8-2．(2023·上海黄浦·统考二模）已知⊙O的半径OA长为3，点B在线段OA上，且OB＝2，如果⊙B与⊙O有公共点，那么⊙B的半径r的取值范围是（ ）
A．r≥1B．r≤5C．1＜r＜5D．1≤r≤5
变式8-3．(2023·上海杨浦·校考一模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=3，DE∥BC，且AD=2CD，那么以点C为圆心、DC长为半径的圆C和以点E为圆心、EB长为半径的圆E的位置关系是（）
A．外离B．外切C．相交D．不能确定
变式8-4．(2023·上海崇明·统考二模）中，已知，以点A、B、C为圆心的圆分别记作圆A、圆B、圆C，这三个圆的半径长都是2，那么下列结论中，正确的是（ ）
A．圆A与圆C相交B．圆B与圆C外切
C．圆A与圆B外切D．圆A与圆B外离．
位置关系
图形
定义
性质及判定
点在圆外

点在圆的外部
d>r⇔点P在圆外
点在圆上
点在圆周上
d=r⇔点P在圆上
点在圆内

点在圆的内部
dr⇔直线l与⊙O相离
相切
直线与圆有唯一公共点，直线叫做圆的切线，公共点叫做切点
d=r⇔直线l与⊙O相切
相交
直线与圆有两个公共点，直线叫做圆的割线
dR+r⇔两圆外离
外切
图2
两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点之外，每个圆上的点都在另一个圆的外部．
d=R+r⇔两圆外切
相交
图3
两个圆有两个公共点．
R−r