广东省惠州市第一中学2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试卷(含解析)

这是一份广东省惠州市第一中学2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试卷(含解析)，共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．
1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
详解：A. ，不符合题意；
B. ，不符合题意；
C. ，符合题意；
D. ，不符合题意；
故选Ｃ．
2. 下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A. 1，，2B. 7，24，25C. 3，4，5D. 6，8，12
答案：D
解析：
详解：解：A、∵，
∴三角形是直角三角形，
故A不符合题意；
B、∵，
∴三角形是直角三角形，
故B不符合题意；
C、∵，
∴三角形是直角三角形，
故C不符合题意；
D、
∴三角形不是直角三角形，
故D符合题意；
故选：D．
3. 如图，在平行四边形中，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
详解：∵平行四边形,
∴,
∵
∴,
故选A．
4. 下列计算中正确的是（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
详解：解：A、与不是同类二次根式，不能合并，计算错误，不符合题意；
B、计算正确，符合题意；
C、计算错误，不符合题意；
D、计算错误，不符合题意；
故选B．
5. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
详解：根据题意，得，且，
解得，且，
故，
故选B．
6. 如图，矩形的边的长为3，边的长为1，在数轴上，以原点O为圆心，对角线的长为半径画弧，交数轴正半轴于点D，则点D表示的实数是（ ）
A. 4B. C. D.
答案：C
解析：
详解：根据题意，得，
故，
故点D表示的是数为，
故选C．
7. 下列说法正确的是（ ）
A. 对角线互相垂直平分的四边形的正方形
B. 对角线相等的四边形是矩形
C. 对角线互相垂直的四边形是菱形
D. 对角线互相平分的四边形是平行四边形
答案：D
解析：
详解：解：对角线互相垂直平分的四边形的菱形，故A错误；
对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故B错误；
对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，故C错误；
对角线互相平分的四边形是平行四边形，故D正确．
故选：D．
8. 如图，菱形中，点E、F分别是的中点，若，则菱形的周长为（ ）
A. 10B. 20C. 30D. 40
答案：D
解析：
详解：∵菱形中，点E、F分别是的中点，，
∴，
∴，
∴菱形的周长为，
故选D．
9. 如图，一根竹竿斜靠在竖直的墙上，P是的中点，在竹竿的顶端沿墙面下滑的过程中，长度的变化情况是（ ）
A. 不断增大B. 不断减小
C 先减小后增大D. 不变
答案：D
解析：
详解：解：，为的中点，
，
即的长在竹竿滑动过程中始终保持不变，
故选：D．
10. 如图，正方形中，，点E、F分别在边上，，连接，下列结论：①；②平分；③的周长为2；④，其中正确的是（ ）
A. ①②B. ①②③C. ①③④D. ②③④
答案：B
解析：
详解：延长到T，使得，连接
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴（），
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴（），
∴，，
∴平分,
∵，，
∴．
∴．
故①②正确；
∵的周长为,
故③正确；
根据题意，
∴，
无法确定，
故④错误，
故选B．
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．
11. 如图，矩形的对角线与相交于O，，，则的长是______．
答案：6
解析：
详解：解：∵四边形是矩形，矩形的对角线相等且互相平分，
∴，，
∵，
∴，
在中，，，
∴．
故答案为：6．
12. 如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“勾股方圆图”（又称赵爽弦图），它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．若图中的直角三角形的两条直角边的长分别为1和3，则中间小正方形的面积为______．

答案：4
解析：
详解：解：图中的直角三角形的两条直角边的长分别为1和3，则中间小正方形的边长是，
∴中间小正方形的面积为．
故答案为：4．
13. 座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公式为，其中T表示周期（单位：s），l表示摆长（单位：m）．假若一台座钟的摆长为，则它摆动的周期为______（参考数据：取3，）．
答案：
解析：
详解：解：
．
故答案为：．
14. 若实数a在数轴上对应点的位置如图所示，则化简的结果是______．
答案：1
解析：
详解：根据题意，得，
∴
．
故答案为：．
15. 如图，长方体的长为，宽为，高为，一只蚂蚁沿着长方体的表面从点A爬到点B，则它需要爬行的最短路程为______．
答案：
解析：
详解：根据题意，长方体的长为，宽为，高为，
故有两种展开图．
第一种展开图中，；
第一种展开图中，；
∵，
∴它需要爬行的最短路程为，
，
故答案为：．
16. 如图，顺次连接矩形四边的中点得到四边形，再顺次连接四边形四边的中点得四边形，…，按此规律得到四边形，若矩形的面积为15，那么四边形的面积为______．

答案：
解析：
详解：设四边形的面积为，矩形的长为x，宽为y，根据题意，得，，
，
故，
故答案为：．
三、解答题：本大题共9小题，共72分．
17. 计算：．
答案：4
解析：
详解：解：
．
18. 已知，，求代数式的值．
答案：14
解析：
详解：∵，，
∴，
∴．
19. 如图，在平行四边形ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BE＝DF．求证：

（1）△ABE≌△CDF；
（2）四边形AECF是平行四边形．
答案：（1）见解析 （2）见解析
解析：
小问1详解：
证明：解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
又，
∴（SAS）；
小问2详解：
证明：∵，
∴
∴，
∴四边形AECF是平行四边形
20. 为了测量学校旗杆的高度，八（1）班的两个数学研究小组设计了不同的方案，请结合下面表格的信息，完成任务问题．
答案：任务一：，理由见解析；（2）任务二：13米
解析：
详解：解：（1），理由如下：
在中， ，
，
，
故要测旗杆的高度，只需要测量的长度为线段即可；
故答案为：；
（2）设旗杆的长度为x米，则绳子的长度为米，
在中，米，米，米，
∴ ，
解得 ，
∴旗杆的高度为13米．
21. 在春天来临之际，八（1）班和八（2）班的同学计划在学校劳动实践基地种植蔬菜；如图，点是自来水管的位置，点和点分别表示八（1）班和八（2）班实践基地的位置，、两处相距6米，两处相距8米，两处相距10米；为了更好的使用自来水灌溉，八（1）班和八（2）班在图纸上设计了两种水管铺设方案：
八（1）班方案：沿线段铺设2段水管；
八（2）班方案：过点作于点，沿线段铺设3段水管；
（1）求证：；
（2）从节约水管的角度考虑，你会选择哪个班的铺设方案？为什么？
答案：（1）证明见解析
（2）从节约水管的角度考虑，应选择八（1）班铺设方案，理由见解析
解析：
小问1详解：
证明：由题意得，，
∵，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴；
小问2详解：
解：从节约水管的角度考虑，应选择八（1）班铺设方案，理由如下：
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，且，
∴八（1）班方案中水管的长度小于八（2）班方案中水管的长度，
∴从节约水管的角度考虑，应选择八（1）班铺设方案．
22. 如图，菱形的对角线相交于点，过点作，且，连接．
（1）求证：四边形为矩形：
（2）连接．若，求菱形的面积．
答案：（1）见解析；
（2）．
解析：
小问1详解：
证明：∵四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴四边形为矩形；
小问2详解：
由（1）可知，，，
，
菱形的面积．
23. 如图，在正方形中，F为的中点，连接，将沿对折得到，延长交的延长线于点Q．
（1）求证：是等腰三角形；
（2）若正方形的边长为2，求的长．
答案：（1）见解析 （2）
解析：
小问1详解：
∵正方形，
∴，
∴，
根据折叠的性质，得，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
小问2详解：
设，
∵正方形的边长为2，，F为的中点，沿对折得到，
∴，，,
∴，，，
∴,
解得，
故的长为．
24. 阅读理解：
[材料一]两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式，例如：，，我们称的一个有理化因式是，的一个有理化因式是．如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化．例如：，．
[材料二]小明在学习了上述材料后，结合所学知识，灵活解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的：
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
请你根据材料中的方法，探索并解决下列问题：
（1）的一个有理化因式是______，分母有理化：______；
（2）计算：；
（3）若，求的值．
答案：（1），
（2）
（3）11
解析：
小问1详解：
∵，
∴的一个有理化因式是，
∵，
故答案为：，．
小问2详解：
．
小问3详解：
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
25. 如图，O为坐标原点，四边形是矩形，，，点D是的中点，动点P在线段上以每秒2个单位长度的速度由点C向点B运动，设运动时间为t秒．
（1）点B的坐标为______，当______时，四边形是平行四边形；
（2）在直线上是否存在一点Q，使得以O、D、Q、P四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求t的值，并写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点M在线段上且，试求四边形周长的最小值．
答案：（1），
（2）时，；时，；时，
（3）22
解析：
小问1详解：
∵四边形是矩形，，，点D是的中点，
∴，，,
∴点B的坐标，
根据题意，得，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
解得，
故答案为：；．
小问2详解：
解：①当点Q在点P的右边时，如图，
∵四边形为菱形，，，,
∴，
∴，
∴，，
∴；
②当点Q在点P的左边且在线段上时，如图，
∵四边形为菱形，，，,
∴，
∴，
∴，，
∴；
③当点Q在点P的左边且在线段的延长线上时，如图，
∵四边形为菱形，，，,
∴，
∴，
∴，，
∴；
综上所述，存在符合题意的点Q，且时，；时，；时，．
小问3详解：
过点M作交于点M，
则四边形是平行四边形，
∴，
∵，，
∴四边形周长为，
要使四边形的周长最小，只需最小，
作点A关于直线的对称点N，连接，交于点E，
故当G，M，E，N，共线时，最小，
根据题意，得，
∴，
故四边形周长的最小值为22．
测量旗杆的高度
测量工具
测量角度的仪器、皮尺等
测量小组
第一小组
第二小组
测量方案示意图

设计方案及测量数据
在地面确定点C，并测得旗杆顶端A的仰角，即．
如图1，绳子垂直挂下来时，相比旗杆，测量多出的绳子长度为2米．
如图2，绳子斜拉直后至末端点P位置，测量点P到地面的距离为1米，以及点P到旗杆的距离为9米．
任务一
判断分析
第一小组要测旗杆的高度，只需要测量的长度为线段______，并说明理由．
任务二
推理计算
利用第二小组获得的数据，求旗杆的高度．