2023-2024学年广东省惠州市博罗中学八年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省惠州市博罗中学八年级（上）期中数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知三角形的两边长分别是4cm和10cm，则下列长度的线段中能作为第三边的是( )
A. 4cmB. 6cmC. 8cmD. 14cm
2.下面四个图形是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.下列图形中具有稳定性的是( )
A. 正三角形B. 正方形C. 正五边形D. 正六边形
4.等腰三角形两边长分别为5和8，则这个等腰三角形的周长为( )
A. 18B. 21C. 20D. 18或21
5.如图，用尺规作图作已知角平分线，根据是构造两个三角形全等，它所用到的判别方法是( )
A. SSS
B. SAS
C. ASA
D. AAS
6.已知直角三角形中30°角所对的直角边为2cm，则斜边的长为( )
A. 2cmB. 4cmC. 6cmD. 8cm
7.张老师让同学们作三角形BC边上的高，你认为正确的是( )
A. B.
C. D.
8.如图，△ABC≌△ADE，∠B=80°，∠C=30°，∠DAC=35°，则∠EAC的度数为( )
A. 40°B. 30°C. 35°D. 25°
9.如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA，点D是OB上的动点，若PC=5cm，则PD的长可以是( )
A. 2cm
B. 3cm
C. 4cm
D. 6cm
10.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，分别以A，B两点为圆心，大于12AB为半径画弧，两弧交于M，N两点，直线MN交AC于点D，交AB于点E，若CD=3，则AC的长度为( )
A. 9B. 8C. 7D. 6
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.点A(−1,2)关于x轴对称点的坐标是______ ．
12.十边形的内角和是 度．
13.如图，已知AC与BD交于点E，且AB=CD，请你再添加一个边或角的条件使△ABC≌△DCB，添加的条件是：______.(添加一个即可)
14.如图，AD是△ABC的中线，CE是△ACD的中线，若△ABC的面积为12cm2，则△CDE的面积为______ cm2．
15.如图，在等腰△ABC中，AB=AC=5，AD是△ABC的高，AD=4，BD=3，E、F分别是AB、AD上一动点，则BF+EF的最小值为______．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
已知一个正多边形的内角和比外角和的3倍多180°，求这个正多边形的边数和每个内角的度数．
17.(本小题8分)
如图，AD⊥BC，垂足为D，点E在AC上，∠A=32°，∠B=40°.求∠AEF的度数．
18.(本小题8分)
已知：如图，AB=AC，AD=AE，∠BAE=∠CAD.求证：∠D=∠E．
19.(本小题9分)
如图，Rt△ABC中，∠A=90°．
(1)用尺规作图法作∠ABD=∠C，与边AC交于点D(保留作图痕迹，不用写作法)．
(2)在(1)的条件下，当∠C=30°时，求∠BDC的度数．
20.(本小题9分)
如图，等腰△ABC中，AB=AC，.线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE．
(1)当∠A=40°时，求∠CBE的度数；
(2)若△ABC周长为18，底边BC=4，则△BEC周长为多少？
21.(本小题9分)
如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，点F在AC上，且BD=DF．
(1)求证：CF=EB；
(2)请你判断AE、AF与BE之间的数量关系，并说明理由．
22.(本小题12分)
如图，已知点A在y轴正半轴上，以OA为边作等边△OAB，点P在x轴正半轴上，以AP为边在第一象限内作等边△APQ，连QB并延长交x轴于点C．
(1)证明：OP=BQ；
(2)求∠QCP的度数；
(3)连接AC，求证：AC垂直平分OB．
23.(本小题12分)
如图，在△ABC中，BC=5，AD是BC边上的高，BE是AC边上的高，AD、BE相交于点O，BD=23CD，且AE=BE．

(1)线段CD的长度等于______ ．
(2)求证：△AOE≌△BCE．
(3)动点P从点O出发，沿线段OA以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，动点Q从点B出发沿射线BC以每秒4个单位长度的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达A点时，P、Q两点同时停止运动.设点P的运动时间为t秒，点F是直线AC上的一点且CF=BO.是否存在t值，使以点B、O、P为顶点的三角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等？若存在，请求出符合条件的t值；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：设三角形第三边的长为x cm，
∵三角形的两边长分别是4cm和10cm，
∴10−4∴四个选项中只有C符合．
故选：C．
设三角形第三边的长为x cm，再根据三角形的三边关系求出x的取值范围，找出不符合条件的x的值即可．
本题考查的是三角形三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边是解答此题的关键．
2.【答案】B
【解析】【分析】
此题考查轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可完全重合．根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】
解：A、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、是轴对称图形，故本选项符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选：B．
3.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查的是三角形的稳定性，熟知三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性，这是解答此题的关键．直接根据三角形具有稳定性进行解答即可．
【解答】解：∵三角形具有稳定性，
∴A正确，B、C、D错误．
故选：A．
4.【答案】D
【解析】解：当8的边长为腰时，三角形的三边长为：8、8、5，满足三角形的三边关系，其周长为8+8+5=21，
当5的边长为腰时，三角形的三边长为：5、8、5，满足三角形的三边关系，其周长为8+5+5=18，
故选：D．
分8长的边为腰和底两种情况进行讨论，并利用三角形的三边关系进行判断，再计算其周长即可．
本题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系，分两种情况并利用三角形的三边关系进行判定是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：由作图痕迹得到OA=OB，AC=BC，
∵OC=OC，
∴△OAC≌△OBC(SSS)，
∴∠AOC=∠BOC，
即OC平分∠AOB．
故选：A．
利用作图痕迹得到OA=OB，AC=BC，加上OC为公共边，则根据“SSS”可判断△OAC≌△OBC，从而得到∠AOC=∠BOC．
本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的判定与性质．
6.【答案】B
【解析】解：∵直角三角形中30°角所对的直角边为2cm，
∴斜边的长为2×2=4(cm)．
故选：B．
根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解答．
本题主要考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查的是三角形的高的概念，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．根据三角形高的定义解答即可．
【解答】
解：A、AD是△ABC中BC边上的高，符合题意；
B、DB不是△ABC中BC边上的高，不符合题意；
C、DB是△ABC中AC边上的高，不符合题意；
D、AD⊥CD，CD是AB边上的高，不符合题意；
8.【答案】C
【解析】解：∵△ABC≌△ADE，
∴∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD=∠EAC，
∵∠B=80°，∠C=30°，∠DAC=35°，
∴∠BAD=180°−80°−30°−35°=35°，
∴∠EAC=35°，
故选：C．
根据全等三角形的性质可得∠BAC=∠DAE，进一步可得∠BAD=∠EAC，再根据三角形内角和定理可得∠BAD的度数，即可确定∠EAC的度数．
本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：过P作PD⊥OB于D，则此时PD长最小，
∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，
∴PD=PC，
∵PC=5cm，
∴PD=5(cm)，
即PD的最小值是5cm，
∴选项A、选项B、选项C都不符合题意，只有选项D符合题意，
故选：D．
过P作PD⊥OB于D，则此时PD长最小，根据角平分线的性质求出此时PD的长度，再逐个判断即可．
本题考查了角平分线的性质和垂线段最短，注意：垂线段最短，角平分线上的点到角两边的距离相等．
10.【答案】A
【解析】解：由作法得MN垂直平分AB，
∴DA=DB，
∴∠DBA=∠A=30°，
∵∠C=90°，
∴∠ABC=60°，
∴∠DBC=30°，
∴BD=2CD=6，
∴AD=6，
∴AC=AD+CD=6+3=9．
故选：A．
由作法得MN垂直平分AB，根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB，则∠DBA=∠A=30°，再计算出∠DBC=30°，则BD=2CD=6，从而得到AD=6，然后计算AD+CD即可．
本题考查了作图−基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质．
11.【答案】(−1,−2)
【解析】解：∵点(−1,2)关于x轴对称，
∴对称的点的坐标是(−1,−2)．
故答案为：(−1,−2)．
根据平面直角坐标系中任意一点(x,y)，关于x轴的对称点的坐标是(x,−y)，据此即可求得点A(−1,2)关于x轴对称的点的坐标．
此题主要考查了关于y、x轴对称点的坐标特点，关键是掌握坐标点的变化规律．
12.【答案】1440
【解析】解：十边形的内角和是(10−2)⋅180°=1440°．
n边形的内角和是(n−2)⋅180°，代入公式就可以求出十边形的内角和．
正确记忆多边形的内角和公式是解决本题的关键．
13.【答案】(∠ABC=∠DCB)答案不唯一
【解析】【分析】
本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理的内容是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．
此题是一道开放型的题目，答案不唯一，只要符合全等三角形的判定定理即可．
【解答】
解：添加的条件是∠ABC=∠DCB，
理由是：∵在△ABC和△DCB中
AB=DC∠ABC=∠DCBBC=CB
∴△ABC≌△DCB(SAS)，
故答案为：(∠ABC=∠DCB)答案不唯一．
14.【答案】3
【解析】解：∵AD是△ABC的边BC上的中线，△ABC的面积为12cm2，
∴△ADC的面积为：12×12=6(cm2)，
∵CE是△ADC的边AD上的中线，
∴△CDE的面积为：12×6=3(cm2)，
故答案为：3．
根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分，进而解答即可．
本题主要考查了三角形面积的求法和三角形的中线，掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，是解答本题的关键．
15.【答案】4.8
【解析】解：过C作CE⊥AB于E，交AD于F′，连接CF，则当点F在F′时，BF+EF最小，由于C和B关于AD对称，则BF+EF的最小值为CE，
∵等腰△ABC中，AD是△ABC的高
∴AD⊥BC，BD=CD=3，
∴AD是BC的垂直平分线(三线合一)，BC=6，
∴C和B关于直线AD对称，
∴CF=BF，
即BF+EF=CF+EF=CE，
∵12AB⋅CE=12BC⋅AD，即12×5CE=12×6×4
∴CE=4.8，
即BF+EF的最小值为4.8．
故答案为：4.8．
本题考查的是轴对称−最短路线问题，涉及到等腰三角形的性质，轴对称的性质，三角形的面积等知识点的综合运用．
16.【答案】解：设正多边形的边数是n，
由题意得：(n−2)×180°=360°×3+180°，
∴n=9，
∴正多边形的每个内角的度数是180°−360°÷9=140°，
答：这个正多边形的边数是9，每个内角的度数是140°．
【解析】由多边形的内角和定理，外角和是360°，即可计算．
本题考查多边形的有关知识，关键是掌握多边形内角和定理：(n−2)⋅180° (n≥3且n为整数)，外角和是360°．
17.【答案】解：∵AD⊥BC，
∴∠ADC=∠ADB=90°，
∴∠C=90°−∠A=90°−32°=58°，∠BFD=90°−∠B=50°，
在△BCE中，∠BEC=180°−∠EBC−∠C=180°−40°−58°=82°，
∴∠AEF=180°−∠BEC=98°．
【解析】根据直角三角形两锐角互余求出∠C，根据三角形的外角的性质和三角形的内角和即可得到结论．
本题考查了三角形的内角和定理，垂直的定义，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键．
18.【答案】证明：∵∠BAE=∠CAD，
∴∠BAE+∠DAE=∠CAD+∠DAE，
即∠BAD=∠CAE，
在△BAD与△CAE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△BAD≌△CAE(SAS)，
∴∠D=∠E．
【解析】先证∠BAD=∠CAE，再证△BAD≌△CAE(SAS)，即可得出结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
19.【答案】解：(1)如图，∠ABD为所作；

(2)∵∠ABC+∠C+∠A=180°，∠A=90°，∠C=30°，
∴∠ABC=180°−90°−30°=60°，
∵∠ABD=∠C=30°，
∴∠DBC=∠ABC−∠ABD=60°−30°=30°，
∴∠BDC=180°−30°−30°=120°．
【解析】(1)利用基本作图作∠ABD=∠C；
(2)先根据三角形内角和得到∠ABC=60°，再利用(1)的结论得到∠ABD=∠C=30°，接着计算∠BDC的度数，然后∠BDC的度数．
本题考查了基本作图，三角形内角和定理，熟练掌握基本作图−作一个角等于已知角和三角形内角和定理是解题的关键．
20.【答案】解：(1)∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA=EB，
∴∠EBA=∠A=40°．
∵AB=AC，∠A=40°，
∴∠ABC=∠C=70°．
∴∠CBE=∠ABC−∠EBA=30°；
(2)∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∵△ABC周长为18，底边BC=4，
∴AC=(18−4)÷2=7，
∴△EBC的周长=BC+CE+BE=BC+CE+AE=BC+AC=11．
【解析】(1)由线段垂直平分线的性质可得EA=EB，进而可求出∠ABC=∠C，易求解．
(2)根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质可得AE=BE，然后推出△EBC的周长等于△ABC的周长减去AB的长，代入数据进行计算即可求解．
本题主要考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，推出△EBC的周长等于AC+BC是解题的关键．
21.【答案】(1)证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C=90°
∴DC=DE
在Rt△DCF和Rt△DEB中，
DF=DBDC=DE
∴Rt△DCF≌Rt△DEB(HL)
∴CF=EB
(2)解：AE=AF+BE；
理由：∵DE⊥AB，∠C=90°
∴∠DEA=∠DCA=90°，
在Rt△ADC和Rt△ADE中，
AD=ADDC=DE
∴Rt△ADC≌Rt△ADE(HL)
∴AC=AE
∵AC=AF+FC
∴AE=AF+FC
∵由(1)知FC=BE
∴AE=AF+BE
【解析】本题考查的是角平分线的性质和三角形全等的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键，注意直角三角形全等的判定方法．
(1)根据角平分线的性质得到DC=DE，根据直角三角形全等的判定定理得到Rt△DCF≌Rt△DEB，最后根据全等三角形的性质定理得到答案；
(2)利用HL证Rt△ADC≌Rt△ADE，根据全等三角形的性质定理得到AC=AE，然后根据(1)的结论得到答案．
22.【答案】(1)证明：△OAP与△APQ都是等边三角形，
∴OA=BA，PA=AQ，∠OAB=∠PAQ=60°，
∴∠OAB−∠PAB=∠PAQ−∠PAB，
∴∠OAP=∠BAQ，
∴△OAP≌△BAQ(SAS)，
∴OP=BQ；
(2)解：∵△OAP≌△BAQ，
∴∠ABQ=∠AOP=90°，
∴∠ABC=180−∠ABQ=90，
∵∠OAB=60，
∴在四边形OABC中，∠OCB=360−∠AOC−∠OAB−∠ABC=120，
∴∠QCP=180−∠OCB=180−120=60；
(3)证明：连接AC，如图所示：

∵∠AOC=∠ABC=90，
∴△AOC与△ABC为直角三角形，
∵AC=AC，AO=AB，
∴Rt△AOC≌Rt△ABC(HL)，
∴OC=BC，
又∵AO=AB，
∴A、C两点在线段OB的垂直平分线上，
∴AC垂直平分OB．
【解析】(1)根据SAS证明△OAP≌△BAQ，即可得出答案；
(2)根据全等三角形的性质，得出∠ABQ=∠AOP=90°，根据四边形内角和即可得出答案；
(3)根据HL证明Rt△AOC≌Rt△ABC，得出OC=BC，根据垂直平分线的判定即可得出答案．
本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等边三角形的性质，四边形内角和，垂直平分线的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法．
23.【答案】3
【解析】(1)解：∵BC=5，BD=23CD，
∴BD+CD=BC=5，即23CD+CD=5，
∴CD=3，
故答案为：3；
(2)证明：∵AD是BC边上的高，BE是AC边上的高，
∴∠BEC=∠AEO=∠ODB=90°，
∵∠OAE+∠AOE=90°，∠OBD+∠BOD=90°，∠BOD=∠AOE，
∴∠CBE=∠OAE，
在△AOE和△BCE中，
∠CBE=∠OAEAE=BE∠BEC=∠AEO，
∴△AOE≌△BCE(ASA)；
(3)解：存在，
如图2，当OP=CQ时，
，
∵AD是BC边上的高，BE是AC边上的高，
∴∠BEC=∠ODB=90°
∵∠EOD+∠ODC+∠OEC+∠ECD=360°，
∴∠DOE+∠DCE=180°，
∵∠DCE+∠QCF=180°，
∴∠QCF=∠DOE，
∵∠DOE=∠BOP，
∴∠BOP=∠QCF，
在△BOP和△FCQ中，
BO=FC∠BOP=∠FCQOP=CQ，
∴△BOP≌△FCQ(SAS)，
∵CQ=5−4t，OP=t，
∴5−4t=t，
∴t=1；
如图3，当OP=CQ时，
，
∵AD是BC边上的高，BE是AC边上的高，
∴∠BEC=∠ODB=90°
∵∠EOD+∠ODC+∠OEC+∠ECD=360°，
∴∠DOE+∠DCE=180°，
∵∠DCE+∠QCF=180°，
∴∠QCF=∠DOE，
∵∠DOE=∠BOP，
∴∠BOP=∠QCF，
在△BOP和△FCQ中，
BO=FC∠BOP=∠FCQOP=CQ，
∴△BOP≌△FCQ(SAS)，
∵CQ=4t−5，OP=t，
∴4t−5=t，
∴t=53，
综上所述：t=53或t=1时，使以点B、O、P为顶点的三角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等．
(1)由BD=23CD，BD+CD=BC=5，进行计算即可得到答案；
(2)由∠OAE+∠AOE=90°，∠OBD+∠BOD=90°，∠BOD=∠AOE，可得∠CBE=∠OAE，通过ASA即可证明△AOE≌△BCE；
(3)分两种情形：如图2，当OP=CQ时；如图3，当OP=CQ时，分别进行求解即可得到答案．
本题主要考查了三角形全等的判定与性质，线段的和差，熟练掌握三角形全等的判定与性质，采用分类讨论的思想解题，是解题的关键．