2023-2024学年广东省惠州市惠城区八年级（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省惠州市惠城区八年级（下）期末数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.要使二次根式 x−3有意义，则x的取值范围是( )
A. x≠3B. x>3C. x≤3D. x≥3
2.若点A(1,a)在一次函数y=2x−1图象上，则a的值是( )
A. 1B. 3C. −1D. 12
3.已知直角三角形的两条直角边分别为6，8，则斜边的长为( )
A. 5B. 6C. 8D. 10
4.下列计算正确的是( )
A. 2 5− 5=1B. 3+ 2= 5C. 8÷ 2=4D. 5× 2= 10
5.为庆祝神舟十六号载人飞船发射成功，学校计划开展航天知识竞赛活动.八年(1)班进行了几轮班内筛选，其中甲、乙、丙、丁四名同学的成绩统计如表所示：
如果要从中选择一名成绩较好且发挥相对稳定的同学代表班级参赛，那么最适合参赛的选手是( )
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
6.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件，能使菱形ABCD成为正方形的是( )
A. AC=BDB. AC⊥BD
C. AD=ABD. AC平分∠DAB
7.如图，若直线m/​/n，则下列哪条线段的长可以表示平行线m与n之间的距离( )
A. AB
B. AC
C. AD
D. DE
8.将一张平行四边形纸片ABCD折叠成如图所示的图形，DE为折痕，点C的对应点为C′.若∠1=20°，∠2=60°，则∠C的度数为( )
A. 60° B. 50° C. 40° D. 45°
9.已知正比例函数y=kx(k≠0)的图象中，y随x的增大而减小，则一次函数y=kx−k的图象大致是( )
A. B. C. D.
10.宽与长的比是 5−12(约为0.618)的矩形叫黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感.世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，如希腊的巴特神庙等.若黄金矩形的长为 5，则该黄金矩形的宽是( )
A. 5−1B. 5+12C. 5+ 52D. 5− 52
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.化简：2 2=______．
12.将函数y=3x−4的图象向上平移5个单位长度，所得图象对应的函数表达式为______．
13.勾股定理在《九章算术》中的表述是：“勾股术曰：勾股各自乘，并而开方除之，即弦”.即c= a2+b2(a为勾，b为股，c为弦)，若“勾”为2，“股”为3，则“弦”是______．
14.如图，在平行四边形ABCD中，DE平分∠ADC，AD=6，BE=2，则平行四边形ABCD的周长是______．
15.在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(3,4)，(−3,2)，在x轴上找一点P，使得△ABP的周长最小，则点P的坐标为______．
三、解答题：本题共10小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题4分)
计算：2 2−6 12+ 6× 3．
17.(本小题4分)
某校八(1)班一次数学测验(卷面满分100分)成绩统计，有30%的优生，他们的人均分为90分，20%的不及格，他们的人均分为50分，其它同学的人均分为70分，求全班这次测试成绩的平均分．
18.(本小题5分)
如图，在▱ABCD中，点N、M分别在边AB、CD上，
若∠BCN=∠DAM.求证：BN=DM．
19.(本小题6分)
一个矩形的长为a= 6+ 5，宽为b= 6− 5．
(1)该矩形的面积= ______，周长= ______；
(2)求a2+b2的值．
20.(本小题8分)
如图，在4×4的正方形网格中每个小方格都是边长为1的正方形，小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点A、B都在格点上．
(1)在所给的4×4的正方形网格中，不限方法画出一个以AB为直角边的直角△ABC；
(2)试计算所画的△ABC的面积．
21.(本小题8分)
某地区在一次八年级数学检测中，有一道满分8分的解答题，按评分标准，所有学生的得分只有四种：0分、3分、5分、8分，老师为了了解学生的得分情况，从全区5000名考生的试卷中随机抽取一部分，通过分析与整理，绘制出如下两幅不完整的统计图：图1和图2.请根据相关信息，解答下列问题：

(1)图2中a的值为______，b的值为______；
(2)此样本数据的平均数是______，中位数是______；
(3)请估计该地区此题得满分的学生人数．
22.(本小题8分)
如图，已知一次函数y=x−2的图象与y轴交于点A，一次函数y=kx+b的图象与y轴交于点B，且与x轴以及一次函数y=x−2的图象分别交于点C(−1,0)、D(−2,m)．
(1)求D点坐标；
(2)求一次函数y=kx+b的函数解析式；
(3)根据上面结果直接写出不等式kx+b>x−2的解集．
23.(本小题8分)
要证明一个几何命题，一般要经历以下步骤：

试按照以上步骤证明：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．
已知：如图，在△ABC中，
______，
求证：______．
证明：
24.(本小题12分)
项目化学习
项目主题：确定不同运动效果的心率范围．
项目背景：最大心率指人体在进行运动时心脏每分钟跳动的最大次数.某校综合与实践小组的同学以“探究不同运动效果的心率范围”为主题展开项目学习．
驱动任务：探究最大心率与年龄的关系．
收集数据：综合与实践小组的同学通过某医学杂志收集到不同年龄最大心率数据如下：
问题解决：
(1)根据表中的信息，可以推断最大心率y(次/分)是年龄x(周岁)的______函数关系(填“一次”“二次”或“反比例”)；求y关于x的函数表达式．
(2)已知不同运动效果时的心率如下：
20周岁的小李想要达到提升耐力的效果，他的运动心率应该控制在______次/分至______次/分；30周岁的小美想要达到燃烧脂肪的效果，她的运动心率应该控制在______次/分至______次/分．
25.(本小题12分)
综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动，请根据操作过程回答后面问题：
操作一：如图1，对折正方形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；
在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在正方形内部点M处，当点M在EF上时，把纸片展平，连接PM、BM，延长PM交CD于点Q，连接BQ.问题1：在图中找一个30度的角，并说明理由；
操作二：如图2，在操作一的启发之下，另取一张正方形纸片，按如下步骤折纸，(1)对折正方形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕GH(虚线表示)，并展开；(2)将点A折叠到折痕GH上点A′，并展开；(3)将边CD折叠至与A′D重合，折痕为DE，并展开；(4)将边CE折叠至与DE重合，折痕为ME，并展开．
问题2：写出DM与CM的数量关系，并说明理由．
答案解析
1.【答案】D
【解析】解：依题意得：x−3≥0，
解得x≥3．
故选：D．
二次根式有意义时，被开方数是非负数．
考查了二次根式的有意义的条件．二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
2.【答案】A
【解析】解：∵点A(1,a)在一次函数y=2x−1图象上，
∴a=2×1−1=1．
故选：A．
直接利用代入法求解．
本题考查点与函数的关系，理解函数图象的意义是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：根据勾股定理可以得出：斜边长= 62+82=10．
故选：D．
根据勾股定理直接解答即可．
本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：A选项，2 5− 5= 5，所以A选项错误．
B选项， 3+ 2= 3+ 2，所以B选项错误．
C选项， 8÷ 2=2，所以B选项错误．
D选项， 5× 2= 10，所以D选项正确．
故选：D．
根据二次根式的性质依次计算验证即可．
本题主要考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的性质是解决本题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：∵丙和丁的平均数比甲和乙的平均数小，
∴从甲和乙中选择一人参加比赛，
∵甲的方差最小，即成绩比较稳定，
∴选择甲参赛．
故选：A．
首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的运动员参加．
此题考查了平均数和方差，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
6.【答案】A
【解析】解：要使菱形成为正方形，只要菱形满足以下条件之一即可：
(1)有一个内角是直角，(2)对角线相等，
即∠ABC=90°或AC=BD，
故选：A．
根据菱形的性质及正方形的判定来添加合适的条件．
本题考查正方形的判定，掌握正方形的性质和判定是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：∵m/​/n，AC⊥n，
∴AC⊥m，
∴AC可以表示平行线m与n之间的距离，
故选：B．
平行线的距离：从平行线中的一条直线上任取一点，该点到另一条直线的距离，即为两平行线间的距离．
本题考查了平行线的距离的定义，熟练掌握平行线的距离的定义是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：设∠ADE=α，
∵∠1=20°，
∴∠EDC′=α+20°，
∵将一张平行四边形纸片ABCD折叠成如图所示的图形，DE为折痕，
∴∠C′=∠C，∠EDC′=∠EDC=α+20°，
∴∠ADC=∠ADE+∠EDC=α+(α+20°)=2α+20°，
∵AD/​/BC，
∴∠C=180°−∠ADC=180°−(2α+20°)=160°−2α，
∴∠C′=160°−2α，
∵∠2=60°，∠C′+∠2+∠EDC′=180°，
∴160°−2α+60°+α+20°=180°，
解得α=60°，
∴∠C=160°−2α=40°，
故选：C．
设∠ADE=α，可得∠EDC′=α+20°，根据将一张平行四边形纸片ABCD折叠成如图所示的图形，DE为折痕，有∠C′=∠C，∠EDC′=∠EDC=α+20°，故∠ADC=∠ADE+∠EDC=2α+20°，即可得∠C=180°−∠ADC=160°−2α=∠C′，再用三角形内角和定理列方程可解得α，从而可得答案．
本题考查平行四边形中的翻折问题，解题的关键是掌握平行四边形的性质和翻折的性质．
9.【答案】B
【解析】解：∵正比例函数y=kx(k≠0)中，y随x的增大而减小，
∴k0，
∴一次函数y=kx−k的图象经过第一、二、四象限．
故选：B．
由正比例函数的单调性即可得出kBC)，且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割．
11.【答案】 2
【解析】解：2 2= 2，
故答案为： 2．
根据题意即可进行分母有理化即可得到结论．
本题考查分母有理化，解题的关键是正确理解题．
12.【答案】y=3x+1
【解析】解：将函数y=3x−4的图象向上平移5个单位长度，所得图象对应的函数表达式为：y=3x−4+5=3x+1．
故答案为：y=3x+1．
直接利用一次函数平移规律，“上加下减”进而得出即可．
此题主要考查了一次函数图象与几何变换，熟练记忆函数平移规律是解题关键．
13.【答案】 13
【解析】解：由题意得“弦”是 22+32= 13，
故答案为： 13．
根据勾股定理计算可求解．
本题主要考查勾股定理，理解题意是解题的关键．
14.【答案】20
【解析】解：∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE，
∵▱ABCD中，AD//BC，
∴∠ADE=∠CED，
∴∠CDE=∠CED，
∴CE=CD，
∵在▱ABCD中，AD=6，BE=2，
∴AD=BC=6，
∴CE=BC−BE=6−2=4，
∴CD=AB=4，
∴▱ABCD的周长=6+6+4+4=20．
故答案为：20．
根据角平分线的定义以及两直线平行，内错角相等求出∠CDE=∠CED，再根据等角对等边的性质可得CE=CD，然后利用平行四边形对边相等求出CD、BC的长度，再求出▱ABCD的周长．
本题考查了平行四边形对边平行，对边相等的性质，角平分线的定义，等角对等边的性质，是基础题，准确识图并熟练掌握性质是解题的关键．
15.【答案】(−1,0)
【解析】解：∵△ABP的周长为AB+BP+AP，
∴当BP+AP最小时，△ABP的周长最小，
设点B关于x轴的对称点B′，根据对称性质，
∴B′(−3,−2)，
∴BP+AP=B′P+AP，
又∵B′P+AP>AB′，
∴当B′，A，P三点在同一直线上时最小，此时AB′与x轴的交点即为点P．
设AB′的解析式为y=kx+b，
将A(3,4)，B′(−3,−2)代入得：
3k+b=4−3k+b=−2，
解得：k=1b=1，
∴yAB′=x+1，
当y=0时，x=−1，
∴P(−1,0)．
故答案为：(−1,0)．
△ABP的周长为AB+BP+AP，求周长最小即BP+AP最小．作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′，求出AB′的解析式，再计算解析式与x轴的交点坐标即为点P的坐标．
本题考查了轴对称−最短路线问题，待定系数法求函数解析式；解题关键是找到对称点B′．
16.【答案】解：原式=2 2−3 2+3 2=2 2．
【解析】根据二次根式的化简和乘法以及二次根式的合并解答即可．
此题考查二次根式的混合计算，关键是根据二次根式的运算顺序解答．
17.【答案】解：x−=90×30%+50×20%+70×50%，
=72．
【解析】根据加权平均数的计算方法可计算出这次测验全班成绩的平均数．
本题考查了加权平均数的计算方法，正确的计算加权平均数是解题的关键．
18.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D，BC=DA，
在△BCN和△DAM中，∠B=∠DBC=DA∠BCN=∠DAM，
∴△BCN≌△DAM(ASA)，
∴BN=DM．
【解析】由平行四边形的性质得出∠B=∠D，BC=DA，证△BCN≌△DAM(ASA)，即可得出BN=DM．
本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
19.【答案】1 4 6
【解析】解：(1)该矩形的面积=( 6+ 5)×( 6− 5)=6−5=1，
周长=2( 6+ 5+ 6− 5)=4 6．
故答案为：1，4 6；
(2)由(1)得：a+b=2 6，ab=1，
则原式=(a+b)2−2ab=(2 6)2−2×1=24−2=22．
故a2+b2的值是22．
(1)根据矩形面积公式和周长公式列式计算即可；
(2)先求出a+b和ab的值，再利用完全平方公式将原式变形为：(a+b)2−2ab，最后将a+b和ab的值代入计算即可．
此题主要考查了二次根式的应用，正确掌握二次根式的混合运算法则和完全平方公式是解题关键．
20.【答案】解：(1)如图，△ABC即为所求(答案不唯一)；

(2)△ABC的面积=4×4−12×1×2−12×3×4−12×2×4=5．
【解析】(1)根据题目要求作出三角形ABC(利用勾股定理求得三角形三边长度；然后由勾股定理逆定理判定该三角形是直角三角形)(答案不唯一)；
(2)把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可．
本题考查作图−应用与设计作图，勾股定理，勾股定理的逆定理以及三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题．
21.【答案】(1)25，20 ;
(2)4.6分，5分;
(3)由(1)可得，得满分的占20%，
∴该地区此题得满分(即8分)的学生人数是：5000×20%=1000(人)，
即该地区此题得满分(即8分)的学生数大约有1000人．
【解析】解：(1)由条形统计图可知0分的同学有24人，由扇形统计图可知，0分的同学占10%，
∴抽取的总人数是：24÷10%=240，
故得3分的学生数是：240−24−108−48=60，
∴a%=60240=25%，b%=48240=20%，
故答案为：25，20；
(2)此样本数据的平均数为0×10%+3×25%+8×20%+5×45%=4.6(分)，
240个数据按从小到大的顺序排列后，第120、121个数都是5，所以中位数是5分；
故答案为：4.6分，5分；
(3)见答案．
(1)根据0分的同学有24人，占10%，求出抽取的总人数，进而得到a和b的值；
(2)根据平均数、中位数的定义求解即可；
(3)用5000乘以样本中此题得满分(即8分)的学生所占的百分比即可．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．也考查了加权平均数、众数、中位数以及用样本估计总体．
22.【答案】解：(1)∵点D(−2,m)在一次函数y=x−2上，
∴m=−2−2=−4，
∴点D的坐标为(−2,−4)；
(2)将C(−1,0)，D(−2,−4)代入y=kx+b得−k+b=0−2k+b=−4，
解得k=4b=4，
∴y=4x+4；
(3)由题意得4x+4>x−2，
x>−2．
【解析】(1)将D(−2,m)代入y=x−2可以求得点D的坐标；
(2)根据待定系数法即可求得一次函数y=kx+b的函数解析式；
(3)解不等式即可．
本题考查了两条直线相交或平行问题，待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积，求得交点坐标是解题的关键．
23.【答案】点D，E分别是AB，AC边的中点 DE/​/BC，且DE=12BC
【解析】已知：如图，在△ABC中，
点D，E分别是AB，AC边的中点，
求证：DE/​/BC，且DE=12BC．
如图，延长DE到点F，使DE=EF，连接FC，DC，AF．
在△AED和△CEF中，
AE=EC∠AED=∠CEFDE=EF，
∴△AED≌△CEF(SAS)，
∴CF=AD，∠DAE=∠FCE，
∴CF//AB，
∵AD=DB，
∴CF=DB，
∴四边形DBCF为平行四边形，
∴DF=BC，DF/​/BC，
∵DE=12DF，
∴DE=12BC，DE/​/BC．
故答案为：点D，E分别是AB，AC边的中点；DE/​/BC，且DE=12BC．
证明△AED≌△CEF，根据全等三角形的性质得到CF=AD，∠DAE=∠FCE，再证明四边形DBCF为平行四边形，根据平行四边形的性质证明即可．
本题考查的是三角形中位线定理、平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
24.【答案】一次 140 160 114 133
【解析】解：(1)根据表中的信息可知，年龄增加5周岁，最大心率减少5次/分，
∴可以推断最大心率y(次/分)是年龄x(周岁)的一次函数关系．
故答案为：一次．
设y关于x的函数关系式为y=kx+b(k、b为常数，且k≠0)．
将x=12，y=208和x=17，y=203分别代入y=kx+b，
得12k+b=20817k+b=203，
解得k=−1b=220，
∴y关于x的函数关系式为y=−x+220．
(2)当x=20时，y=−20+220=200，
200×70%=140(次/分)，200×80%=160(次/分)，
∴小李的运动心率应该控制在140次/分至160次/分；
当x=30时，y=−30+220=190，
190×60%=114(次/分)，190×70%=133(次/分)，
∴小美的运动心率应该控制在114次/分至133次/分．
故答案为：140，160；114，133．
(1)根据“年龄增加5周岁，最大心率减少5次/分”判断即可；
(2)分别将x=20和x=30代入(1)中求得的函数关系式，再根据运动效果对应的运动心率占最大心率的百分比计算即可．
本题考查一次函数的应用，掌握一次函数的判断及待定系数法求函数关系式是解题的关键．
25.【答案】解：问题1：30°的角有∠EMB，∠CBM，∠ABP，∠PBM，∠POD，
理由如下：
∵对折正方形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，
∴AB=BC=CD=AD=2BE，∠ABC=∠BEF=90°，EF/​/AB，
∵在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在正方形内部点M处，点M在EF上时，
∴BM=AB=2BE，∠ABP=∠PBM，
在Rt△BEN中，sin∠EMB=BEBM=BE2BE=12，
∴∠ЕМВ=30°；
∵EF//AB，
∴∠СВМ=∠ЕМВ=30°，
∴∠ABM=90°−∠MBC=60°，
∴∠ABP=∠PBM=12∠ABM=30°，
∴∠A=∠BMP=90°，
∴∠APB=B∠PM=60°，
即∠QPD=60°，
∴∠PQD=90°−∠QPD=30°，
∴30°的角有∠EMB，∠CBM，∠ABP，∠PBM，∠POD；
问题2：结论：DM=2CM，
理由如下：由问题1知图2中∠GA′D=∠A′DA=30°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC=∠C=90°，
∴∠A′DC=∠ADC−∠ADA′=90°−30°=60°，
由折叠可得：∠A′DE=∠EDC=12×60°=30°，
在Rt△DCE中，
∠DEC=∠C−∠EDC=90°−30°=60°，
又∵边CE折叠至与DE重合，折痕为ME，
∴∠DEM=∠MEC=12∠DEC=12×60°=30°，
在Rt△CEM中，∠C=90°，∠MEC=30°，
∴ME=2MC，
又∠EDM=∠DEM=30°，
∴DМ=МЕ=2СM，
∴DM=2CM．
【解析】(1)由正方形的性质结合折叠的性质可得AB=BC=CD=AD=2BE，∠BEF=90°，BM=AB=2BE，再说明sin∠EMB=12，最后根据特殊角的三角形函数值即可解答；
(2)由正方形的性结合折叠的性质可得∠ADE=∠EDC=30°，再根据直角三角形的性质可得∠DEC=60°，再根据折叠的性质可得∠DEM=∠MEC=30°，再根据直角三角形的性质可得ME=2MC，最后根据等腰三角形的性质即可解答．
本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质、折叠的性质、特殊角的三角函数值、直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，解题的关键是灵活运用相关性质和判定定理．甲
乙
丙
丁
平均数
98
98
95
95
方差
0.8
1.5
0.8
1.5
年龄x/周岁
12
17
22
27
32
37
42
47
最大心率y/(次/分)
208
203
198
193
188
183
178
173
运动效果
运动心率占最大心率的百分比
燃烧脂肪
60%～70%
提升耐力
70%～80%