人教A版普通高中数学一轮复习40课时练习含答案

这是一份人教A版普通高中数学一轮复习40课时练习含答案，共7页。
1．数列{an}为12，3，112，8，212，…，则此数列的通项公式可能是( )
A．an＝5n−42B．an＝3n−22
C．an＝6n−52D．an＝10n−92
A 解析：(方法一)数列{an}为12，62，112，162，212，…，其通项分母为2，分子是首项为1，公差为5的等差数列，故其通项公式为an＝5n−42．
(方法二)当n＝2时，a2＝3，选项B，C，D均不符合题意．
2．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1，则a1＋a3＝( )
A．6B．7
C．8 D．9
B 解析：因为Sn＝n2＋1，所以a1＝S1＝12＋1＝2，a3＝S3－S2＝(32＋1)－(22＋1)＝5，所以a1＋a3＝2＋5＝7.
3．在数列{an}中，a1＝1，anan－1＝an－1＋(－1)n(n≥2，n∈N*)，则a3a5的值是( )
A．1516B．158
C．34D．38
C 解析：由已知得a2＝1＋(－1)2＝2，所以2a3＝2＋(－1)3，a3＝12，所以12a4＝12＋(－1)4，a4＝3，所以3a5＝3＋(－1)5，a5＝23，所以a3a5＝12×32＝34．
4．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝1+an1−an(n∈N*)，则a1·a2·a3·…·a2 024＝( )
A．1B．－1
C．－3D．3
A 解析：因为a1＝2，an＋1＝1+an1−an，所以a2＝1+21−2＝－3，a3＝－12，a4＝13，a5＝2，…，所以数列{an}是周期为4的周期数列，即an＋4＝an.又a1a2a3a4＝1，所以a1·a2·a3·…·a2 024＝(a1a2a3a4)506＝1.
5．(多选题)设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则下列结论正确的是( )
A．an＝1nn−1
B．an＝−1，n=1，1nn−1，n≥2
C．Sn＝－1n
D．数列1Sn是等差数列
BCD 解析：因为an＋1＝SnSn＋1，又an＋1＝Sn＋1－Sn，所以Sn＋1－Sn＝SnSn＋1.又由题易知Sn≠0，所以1Sn+1－1Sn＝－1，所以1Sn是首项为1S1＝1a1＝－1，公差为－1的等差数列，所以1Sn＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n，即Sn＝－1n．又当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－1n＋1n−1＝1nn−1，显然a1＝－1不满足上式，故an＝−1，n=1，1nn−1，n≥2.综上可知，BCD正确．
6．已知数列{an}满足an＝nn+12，则S3＝ ．
10 解析：因为an＝nn+12，所以a1＝1，a2＝3，a3＝6，所以S3＝a1＋a2＋a3＝1＋3＋6＝10.
7．(数学与文化)大衍数列，来源于我国的《乾坤谱》，是世界数学史上第一道数列题，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．其前11项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，60，则大衍数列的第41项为 ．
840 解析：由题意，得大衍数列的奇数项依次为12−12，32−12，52−12，…，易知大衍数列的第41项为412−12＝840.
8．若数列{an}的前n项和Sn＝n2－10n，则数列{an}的通项公式an＝ ，数列{nan}中数值最小的项是第 项．
2n－11 3 解析：因为Sn＝n2－10n，所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－11；
当n＝1时，a1＝S1＝－9也适合上式，
所以an＝2n－11(n∈N*)．
因为nan＝n(2n－11)＝2n2－11n，记f(x)＝2x2－11x，此二次函数图象的对称轴为直线x＝114，
所以当n＝3时，nan取得最小值，即数列{nan}中数值最小的项是第3项．
9．已知各项都为正数的数列{an}满足a1＝1，an2－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0.
(1)求a2，a3；
(2)求{an}的通项公式．
解：(1)因为an2－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0，
所以当n＝1时，a12－(2a2－1)a1－2a2＝0.
因为a1＝1，所以a2＝12．
当n＝2时，a22－(2a3－1)a2－2a3＝0，
解得a3＝14．
(2)因为an2－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0，
所以2an＋1(an＋1)＝an(an＋1)．
因为{an}的各项均为正数，所以2an＋1＝an，
即an+1an＝12．而a1＝1，
所以{an}是以1为首项，12为公比的等比数列．
故an＝12n−1．
10．把1，3，6，10，15，…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的圆点可以排成一个正三角形(如图所示)．
则第7个三角形数是( )
A．27B．28
C．29D．30
B 解析：观察三角形数的增长规律，可以发现每一项比它的前一项多的点数正好是该项的序号，即an＝an－1＋n(n≥2)，所以第7个三角形数是a7＝a6＋7＝a5＋6＋7＝15＋6＋7＝28.
11．(多选题)(新定义)若数列{an}满足对任意的n∈N*且n≥3，总存在i，j∈N*(i≠j，i＜n，j＜n)，使得an＝ai＋aj，则称数列{an}是“T数列”．则下列数列是“T数列”的为( )
A．{2n}B．{n2}
C．{3n}D．1−52n−1
AD 解析：令an＝2n，则an＝a1＋an－1(n≥3)，所以数列{2n}是“T数列”；令an＝n2，则a1＝1，a2＝4，a3＝9，因为a3≠a1＋a2，所以数列{n2}不是“T数列”；令an＝3n，则a1＝3，a2＝9，a3＝27，因为a3≠a1＋a2，所以数列{3n}不是“T数列”；令an＝1−52n-1，则an＝1−52n-2＋1−52n-3＝an－1＋an－2(n≥3)，所以数列1−52n−1是“T数列”．
12．已知数列{an}满足a1＝1，2n-1·an＝an－1，则通项公式an＝ ．
12n−1n2 解析：(方法一)由题易知an≠0，且anan−1＝12n-1(n≥2)，
所以an＝anan−1·an−1an−2·an−2an−3·…·a3a2·a2a1·a1
＝12n-1·12n-2·…·122·121·1
＝121+2+…＋(n-1)＝12n−1n2．
又a1＝1也符合上式，所以an＝12n−1n2．
(方法二)由题意得an＝12n-1·an－1，
所以an＝12n-1·an－1＝12n-1·12n-2·an－2＝…＝12n-1·12n-2·…·121·a1＝12(n-1)＋(n-2)＋…+2+1＝12n−1n2．
又a1＝1也符合上式，所以an＝12n−1n2．
13．若a1＝1，an＋1＝2an＋3·2n，n∈N*，则an＝ ．
(3n－2)·2n-1 解析：因为an＋1＝2an＋3·2n，
所以an+12n－an2n−1＝3.又a1＝1，则a121−1＝1，
所以an2n−1是首项为1，公差为3的等差数列，
所以an2n−1＝1＋3(n－1)，
所以an＝(3n－2)·2n-1.
14．在①nan＋1－(n＋1)an＝n(n＋1)，②Sn＝2n2－1这两个条件中任选一个补充在下面的横线上，并解答．
若数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且数列{an}满足 ．
(1)求a2，a3；
(2)求数列{an}的通项公式．
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
解：选择①.
(1)由题意得a1＝1，
a2－2a1＝1×2，则a2＝4；
2a3－3a2＝2×3，则a3＝9.
(2)由nan＋1－(n＋1)an＝n(n＋1)，
得an+1n+1－ann＝1.又a11＝1，
所以ann是首项和公差均为1的等差数列，
所以ann＝1＋(n－1)×1＝n，
所以an＝n2.
选择②.
(1)由题意得a2＝S2－S1＝2×22－1－1＝6；
a3＝S3－S2＝2×32－1－2×22＋1＝10.
(2)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－1－[2(n－1)2－1]＝4n－2；
当n＝1时，a1＝S1＝1，不符合上式．
故数列{an}的通项公式为
an＝1，n=1， 4n−2，n≥2，n∈N∗.
15．已知数列{an}中，an＝1＋1a+2n−1(n∈N*，a∈R，且a≠0)．
(1)若a＝－7，求数列{an}中的最大项和最小项的值；
(2)若对任意的n∈N*，都有an≤a6成立，求a的取值范围．
解：(1)因为an＝1＋1a+2n−1(n∈N*，a∈R，且a≠0)，
又a＝－7，所以an＝1＋12n−9．
结合函数f(x)＝1＋12x−9的单调性，
可知1>a1>a2>a3>a4，a5>a6>a7>…>an>1(n∈N*)，
所以数列{an}中的最大项为a5＝2，最小项为a4＝0.
(2)由题意知an＝1＋1a+2n−1＝1＋12n−2−a2．
因为对任意的n∈N*，都有an≤a6成立，
结合函数f(x)＝1＋12x−2−a2的单调性，
得5