人教A版普通高中数学一轮复习52课时练习含答案

这是一份人教A版普通高中数学一轮复习52课时练习含答案，共9页。试卷主要包含了动圆与定圆A，设抛物线C，已知抛物线C，已知F是抛物线C等内容，欢迎下载使用。
1．动圆与定圆A：(x＋2)2＋y2＝1外切，且和直线x＝1相切，则动圆圆心的轨迹是( )
A．直线B．椭圆
C．双曲线D．抛物线
D 解析：设动圆的圆心为C，半径为r，则C到定圆A：(x＋2)2＋y2＝1的圆心的距离等于r＋1，而C到直线x＝1的距离等于r，所以C到直线x＝2的距离为r＋1，根据抛物线的定义知，动圆圆心的轨迹为抛物线．
2．(2021·新高考全国Ⅱ卷)抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点到直线y＝x＋1的距离为2，则p＝( )
A．1B．2
C．22D．4
B 解析：抛物线的焦点坐标为p2，0，其到直线x－y＋1＝0的距离为d＝p2-0+11+1＝2，解得p＝2(p＝－6舍去)．
3．(2024·榆林模拟)已知抛物线x2＝2py(p＞0)上的一点M(x0，1)到其焦点的距离为2，则该抛物线的焦点到其准线的距离为( )
A．6B．4
C．3D．2
D 解析：由题可知，抛物线的准线为y＝－p2，可得1＋p2＝2，解得p＝2，所以该抛物线的焦点到其准线的距离为p＝2.
4．设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，准线为l，M(5，y0)为抛物线C上一点，以M为圆心的圆M与准线l相切，且过点E(9，0)，则抛物线的方程为( )
A．y2＝4x
B．y2＝2x
C．y2＝36x
D．y2＝4x或y2＝36x
D 解析：由抛物线的定义知，圆M经过焦点Fp2，0，点M的横坐标为5，由题意，当E，F不重合时，M是线段EF垂直平分线上的点，所以5＝p2+92，所以p＝2，所以抛物线C的方程为y2＝4x；当E，F重合时，p2＝9，所以p＝18，所以抛物线C的方程为y2＝36x.
5．(多选题)(2023·新高考全国Ⅱ卷)设O为坐标原点，直线y＝－3(x－1)过抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则( )
A．p＝2
B．|MN|＝83
C．以MN为直径的圆与l相切
D．△OMN为等腰三角形
AC 解析：直线y＝－3(x－1)过抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点，可得p2＝1，所以p＝2，所以A正确；
抛物线方程为y2＝4x，联立直线方程可得3x2－10x＋3＝0，xM＋xN＝103，所以|MN|＝xM＋xN＋p＝163，所以B不正确；
M，N的中点的横坐标为53，中点到抛物线的准线l的距离为1＋53＝83＝12|MN|，所以以MN为直径的圆与l相切，所以C正确；
因为3x2－10x＋3＝0，所以不妨取xM＝3，xN＝13，则yM＝－23，yN＝233，
|OM|＝9+12＝21，|ON|＝19+129＝133，|MN|＝163，
所以△OMN不是等腰三角形，所以D不正确．
6．已知A(2，0)，B为抛物线y2＝x上一点，则|AB|的最小值为 ．
72 解析：设B(x，y)，则x＝y2≥0，
所以|AB|＝x-22+y2＝x-22+x
＝x2-3x+4＝x-322+74 .
所以当x＝32时，|AB|取得最小值，且|AB|min＝72．
7．已知抛物线C：y2＝4x，焦点为F，点M为抛物线C上的一点，且|FM|＝6，则M的横坐标是 ，作MN⊥x轴于点N，则S△FMN＝ ．
5 45 解析：因为抛物线的方程为y2＝4x，故p＝2且F(1，0)．
因为|FM|＝6，所以xM＋p2＝6，解得xM＝5，
故yM＝±25，
所以S△FMN＝12×(5－1)×25＝45.
8．如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1，2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上．
(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；
(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1＋y2的值及直线AB的斜率．
解：(1)由已知条件，可设抛物线的方程为
y2＝2px(p＞0)．
因为点P(1，2)在抛物线上，
所以22＝2p×1，解得p＝2.
故所求抛物线的方程是y2＝4x，
准线方程是x＝－1.
(2)由题意可知kPA＝y1-2x1-1(x1≠1)，kPB＝y2-2x2-1(x2≠1)，
因为PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，
所以kPA＝－kPB.
由A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上，
得y12=4x1①，y22=4x2②，所以y1-214y12-1＝－y2-214y22-1，
整理得y1＋2＝－(y2＋2)，所以y1＋y2＝－4.
由①－②，得y12-y22＝4(x1－x2)，
所以kAB＝y1-y2x1-x2＝4y1+y2＝－1(x1≠x2)．
9．已知抛物线y2＝2px的焦点F与双曲线x27－y29＝1的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的交点为K，点A在抛物线上，且|AK|＝2|AF|，则△AFK的面积为( )
A．4B．8
C．16D．32
D 解析：由题可知抛物线的焦点坐标为(4，0)，所以p＝8.过点A作直线AA′垂直于抛物线的准线，垂足为A′(图略)，根据抛物线定义知，|AA′|＝|AF|.在△AA′K中，|AK|＝2|AA′|，故∠KAA′＝45°，所以直线AK的倾斜角为45°，直线AK的方程为y＝x＋4，代入抛物线方程y2＝16x得y2＝16(y－4)，即y2－16y＋64＝0，解得y＝8，x＝4，即A(4，8)，所以△AFK为直角三角形，故△AFK的面积为12×8×8＝32.
10．(多选题)已知F是抛物线C：y2＝16x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则( )
A．C的准线方程为x＝－4
B．点F的坐标为(0，4)
C．|FN|＝12
D．△ONF的面积为162(O为坐标原点)
ACD 解析：如图，不妨设点M位于第一象限，设抛物线的准线l与x轴交于点F′，作MB⊥l于点B，NA⊥l于点A．由抛物线的解析式可得准线方程为x＝－4，点F的坐标为(4，0)，则|AN|＝4，|FF′|＝8.在直角梯形ANFF′中，中位线|MB|＝AN+FF'2＝6.由抛物线的定义知|MF|＝|MB|＝6，结合题意，有|MN|＝|MF|＝6，故|FN|＝|MF|＋|MN|＝6＋6＝12，|ON|＝122-42＝82，S△ONF＝12×82×4＝162.
11．已知F1，F2分别是双曲线3x2－y2＝3a2(a＞0)的左、右焦点，P是抛物线y2＝8ax与双曲线的一个交点．若|PF1|＋|PF2|＝12，则抛物线的准线方程为 ．
x＝－2 解析：将双曲线方程化为标准方程得x2a2－y23a2＝1，则F1(－2a，0)，F2(2a，0)．
抛物线的准线为x＝－2a，联立x2a2-y23a2=1，y2=8ax，解得x＝3ax=-a3舍去，
即点P的横坐标为3a.
而由PF1+PF2=12，PF1-PF2=2a，得|PF2|＝6－a，
所以|PF2|＝3a＋2a＝6－a，得a＝1，
所以抛物线的准线方程为x＝－2.
12．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，准线为l，M是抛物线C上一点，MH⊥l于点H.若|MH|＝4，∠HFM＝60°，则抛物线C的方程为 ．
y2＝4x 解析：如图，因为抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，
所以|MF|＝|MH|＝4.又∠HFM＝60°，
所以△MHF为正三角形，所以|HF|＝4.
记准线l与x轴交于点Q，则∠QHF＝30°，
所以p＝|QF|＝|HF|sin ∠QHF＝4sin 30°＝2，
所以该抛物线的方程为y2＝4x.
13．已知在抛物线C：x2＝2py(p＞0)的第一象限的点P(x，1)到其焦点的距离为2.
(1)求抛物线C的方程和点P的坐标；
(2)过点-1，12的直线l交抛物线C于A，B两点，若∠APB的角平分线与y轴垂直，求弦AB的长．
解：(1)由1＋p2＝2，可得p＝2，
故抛物线C的方程为x2＝4y.
当y＝1时，x2＝4，又点P(x，1)在第一象限，所以x＝2，
所以点P的坐标为(2，1)．
(2)由题意可知直线l的斜率存在，
设直线l的方程为y＝k(x＋1)＋12，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立y=kx+k+12，x2=4y， 得x2－4kx－4k－2＝0，
所以Δ＝16k2＋4(4k＋2)＞0，
x1＋x2＝4k，x1x2＝－4k－2.
因为∠APB的角平分线与y轴垂直，
所以kPA＋kPB＝0，
即y1-1x1-2＋y2-1x2-2＝0，
即x124-1x1-2＋x224-1x2-2＝0，整理得x1＋x2＋4＝0，
所以x1＋x2＝－4，即k＝－1，x1x2＝2，
所以|AB|＝1+k2|x1－x2|＝1+k2·x1+x22-4x1x2＝4.
14．(2024·郑州模拟)已知抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点为F，直线x＝4与x轴的交点为M，与抛物线C的交点为N，且|NF|＝54|MN|.
(1)求抛物线C的方程；
(2)设过定点(0，6)的直线l与抛物线C交于P，Q两点，连接QF并延长交抛物线的准线于点R，当直线PR恰与抛物线相切时，求直线l的方程．
解：(1)设N(4，y1)，代入x2＝2py，得y1＝8p，
所以|MN|＝8p，|NF|＝p2＋y1＝p2＋8p．
由题设得p2＋8p＝54×8p，
解得p＝2或p＝－2(舍去)，
所以抛物线C的方程为x2＝4y.
(2)由题知直线l的斜率存在，设其方程为y＝kx＋6，
由y=kx+6，x2=4y， 消去y，整理得x2－4kx－24＝0，
显然Δ＝16k2＋96＞0.
如图，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1+x2=4k，x1x2=-24，
抛物线C在点Px1，x124处的切线方程为y－x124＝x12(x－x1)，
令y＝－1，得x＝x12-42x1，可得Rx12-42x1，-1．
由Q，F，R三点共线得kQF＝kFR，
所以x224-1x2＝-1-1x12-42x1，
即(x12-4)(x22－4)＋16x1x2＝0，
整理得(x1x2)2－4[(x1＋x2)2－2x1x2]＋16＋16x1x2＝0，
所以(－24)2－4[(4k)2－2×(－24)]＋16＋16×(－24)＝0，
解得k2＝14，即k＝±12，
故所求直线l的方程为y＝12x＋6或y＝－12x＋6.