人教A版普通高中数学一轮复习第四章学科特色微专题三角函数模型中“ω”的求法学案

这是一份人教A版普通高中数学一轮复习第四章学科特色微专题三角函数模型中“ω”的求法学案，共4页。
类型一 利用三角函数的单调性求“ω”
【例1】已知函数f (x)＝sin ωx+π6(ω＞0)在区间-π4，2π3上单调递增，则ω的取值范围为( )
A．0，83B．0，12
C．12，83D．38，2
B 解析：(方法一)由题意得-πω4+π6≥-π2+2kπ，k∈Z，2πω3+π6≤π2+2kπ，k∈Z，
则ω≤83-8k，k∈Z，ω≤12+3k，k∈Z.
又ω＞0，所以83-8k＞0，k∈Z，12+3k＞0，k∈Z，
所以k＝0，则0＜ω≤12．
(方法二)取ω＝1，则f (x)＝sin x+π6，令π2＋2kπ≤x＋π6≤3π2＋2kπ，k∈Z，得π3＋2kπ≤x≤4π3＋2kπ，k∈Z.当k＝0时，函数f (x)在区间π3，4π3上单调递减，与函数f (x)在区间-π4，2π3上单调递增矛盾，故ω≠1，结合四个选项可知选B.
已知三角函数的单调性求参数的方法
类型二 利用三角函数的对称性求“ω”
【例2】已知函数 f (x)＝cs ωx+π3(ω＞0)的图象的一条对称轴为直线x＝π3，一个对称中心为点π12，0，则ω有( )
A．最小值2B．最大值2
C．最小值1D．最大值1
A 解析：因为函数f (x)的对称中心到对称轴的最短距离是T4，两条对称轴间的最短距离是T2，所以对称中心π12，0到对称轴x＝π3间的距离用周期可表示为π3－π12≥T4．又因为T＝2πω，所以2πω4≤π4，所以ω≥2，所以ω有最小值2.故选A．
三角函数图象两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为T2，相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为T4，因此，我们可根据三角函数的对称性来研究其周期性，进而可以研究“ω”的取值范围．
类型三 利用三角函数的最值求“ω”
【例3】已知函数f (x)＝2sin ωx在区间-π3，π4上的最小值为－2，则ω的取值范围是 ．
(－∞，－2]∪32，+∞ 解析：显然ω≠0.若ω＞0，当x∈-π3，π4时，－π3ω≤ωx≤π4ω.
因为函数f (x)＝2sin ωx在区间-π3，π4上的最小值为－2，所以－π3ω≤－π2，解得ω≥32．
若ω＜0，当x∈-π3，π4时，π4ω≤ωx≤－π3ω.
因为函数f (x)＝2sin ωx在区间-π3，π4上的最小值为－2，所以π4ω≤－π2，解得ω≤－2.
综上所述，符合条件的实数ω的取值范围是(－∞，－2]∪32，+∞．
利用三角函数的最值与对称轴或周期的关系，可以列出关于ω的不等式(组)，进而求出ω的值或取值范围．
类型四 利用三角函数的零点求“ω”
【例4】将函数f (x)＝cs x的图象先向右平移5π6个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的1ω(ω＞0)倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象．若函数g(x)在区间π2，3π2上没有零点，则ω的取值范围是( )
A．0，29∪23，89
B．0，89
C．0，29∪89，1
D．(0，1]
A 解析：将函数f (x)＝cs x的图象先向右平移5π6个单位长度，得到y＝cs x-5π6的图象，再把所得函数图象的横坐标变为原来的1ω(ω＞0)倍，纵坐标不变，得到函数g(x)＝cs ωx-5π6(ω＞0)，周期T＝2πω．因为函数g(x)在区间π2，3π2上没有零点，所以3π2－π2≤T2，得T≥2π，即2πω≥2π，得0＜ω≤1.
假设函数g(x)在区间π2，3π3上有零点，
令g(x)＝0，得ωx－5π6＝kπ＋π2，k∈Z，
得x＝kπω＋4π3ω，k∈Z，
则π2＜kπω＋4π3ω＜3π2，得2k3＋89＜ω＜2k＋83，k∈Z.
又0＜ω≤1，所以29＜ω＜23或89＜ω≤1.
又函数g(x)在π2，3π2上没有零点，且0＜ω≤1，所以0＜ω≤29或23≤ω≤89．
三角函数两个零点之间的“水平间隔”为T2，根据三角函数的零点个数，可以研究零点之间的“水平间隔”从而求出“ω”的取值(或范围)．
子集法
求出原函数相应的单调区间，由已知区间是该区间的子集，列不等式(组)求解
反子
集法
由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解
周期法
由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过T4，列不等式(组)求解