黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学、大庆铁人中学2023-2024学年高二下学期期末联考数学试卷

这是一份黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学、大庆铁人中学2023-2024学年高二下学期期末联考数学试卷，共9页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

考试时间：120分钟，满分：150分
一、选择题：本题共8小题，每个小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．命题“对，”为真命题的一个充分不必要条件可以是（ ）
A．B．C．D．
3．若实数a，b，c满足，，则（ ）
A．B．C．D．
4．某校安排甲、乙、丙三个班级同时到学校礼堂参加联欢晚会，已知甲班艺术生占比8%，乙班艺术生占比6%，丙班艺术生占比5%，学生自由选择座位，先到者先选．甲、乙、丙三个班人数分别占总人数的，，，若主持人随机从场下学生中选一人参与互动，选到的学生是艺术生的概率为（ ）
A．B．C．D．
5．为了强化学生安全意识，落实“12530”安全教育，某学校让学生用这5个数字再加一个0来设定自己教室储物柜密码，若两个0之间至少有一个数字，且两0不都在首末两位，可以设置的密码共有（ ）种
A．72B．120C．216D．240
6．已知函数，若，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
7．已知，，，则的最小值为（ ）
A．B．0C．1D．
8．已知，，，则m，n，p的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．部分选对部分得分，有选错的得0分．
9．已知，则下列说法中正确的有（ ）
A．的展开式中的常数项为84
B．的展开式中不含的项
C．的展开式中的各项系数之和与二项式系数之和相等
D．的展开式中的二项式系数最大的项是第四项和第五项
10．已知函数（）在上有最大值，则a的可能取值为（ ）
A．B．C．D．
11．某校为了解学生对2024欧洲杯的关注度（关注或不关注），对本校学生随机做了一次调查，结果显示被调查的男、女生人数相同，其中有的男生“关注”，有的女生“关注”，若依据小率值的独立性检验，认为学生对世界杯的关注度与性别有关联，则调查的总人数可能为（ ）
参考公式：，．
A．276B．288C．300D．312
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．函数在点处的切线与两个坐标轴围成的三角形面积为________．
13．某省计划在高考中对政治、地理、化学、生物四门选考科目进行赋分制度计分，即将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A、B、C、D、E共5个等级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为10%，35%，35%，18%，2%，选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换原则，分别转换到，，、、五个分数区间，得到考生的赋分等级成绩，如果该省某次高考模拟考试政治科目的原始成绩，若一名学生想取得A等的赋分等级，则他的原始分数最低为________分．（分数保留整数）
附：①若，，则；②当时，．
14．已知是方程的一个根，则的值为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题13分）已知函数．
（1）求函数的极值；
（2）若曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，求a的值．
16．（本小题15分）某歌手选秀节目，要求参赛歌手先参加初赛．由A、B、C三名导师负责评审．首先由A、B两位导师对歌手表现进行初评，若两位老师均表示通过，则歌手晋级；若均表示不通过，则歌手淘汰；若只有一名导师表示通过，则由老师C进行复合审查，复合合格才能通过，并晋级．已知每个歌手通过A、B、C三位导师审核的概率分别为，，，且各老师的审核互不影响．
（1）在某歌手通过晋级的条件下，求他（她）经过了复合审查的概率；
（2）从参赛歌手中选出3人，设其中通过晋级的人数为X，求X的分布列和数学期望．
17．（本小题15分）已知函数．
（1）讨论的单调区间；
（2）若对任意的，且，总有成立，求a的取值范围．
18．（本小题17分）某校高一新生共1000人，男女比例为1：1，经统计身高大于170cm的学生共600人，其中女生200人．该校为了解高一新生身高和体重的关系，在新生中随机抽测了10人的身高（单位：cm）和体重（单位：kg）作为一个样本，所得样本数据如下表所示：
（1）在对这10个学生组成的样本的检测过程中，采用不放回的方式，每次随机抽取1人检测
（ⅰ）若已进行了三次抽取，求抽取的这三人中至少有两人体重大于74kg的概率；
（ⅱ）求第一次抽取的学生体重大于79kg且第二次抽取的学生身高大于175cm的概率；
（2）由表中数据的散点图和残差分析，编号为5的数据残差过大，确定其为离群点，所以应去掉该数据后再求经验回归方程．已知未去掉离群点的样本相关系数约为0.802，请用样本相关系数说明去掉离群点的合理性（相关系数r保留三位小数）．
参考公式及数据：样本相关系数
，，，，．
19．（本小题17分）帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法，给定两个正整数m，n，函数在处的阶帕德近似定义为：
，且满足：，，…，
（注：，，，，…，为的导数）
已知在处的阶帕德近似为．
（1）求实数a，b的值，并估计的近似值（保留三位小数）；
（2）求证：；
（3）求不等式的解集，其中．
高二下学期期末联合考试数学参考答案
一、单选题
1．A 2．C 3．C 4．B 5．C 6．D 7．A 8．A
二、多项选择题
9．AC 10．ABC 11．CD
三、填空题
12．13．7114．3
四、解答题
15．（1）易知定义域为R，，（1分）
所以，，，．
在上单调递增，在上单调递减（3分）
故在处取得极大值且极大值，无极小值．（5分）
（2）因为，．
所以曲线在点处的切线为，（7分）
把切线方程代入曲线方程，得有唯一解，
1．当成立；（9分）
2．且，即，解得或
所以或或0．（13分）
16．（1）设事件，事件，事件，事件，事件，（2分）
则，，，
（4分）
，（6分）
因此，
所以在某歌手通过晋级的条件下，求他（她）经过了复合审查的概率为．（8分）
（2）依题意，X的可能取值为0，1，2，3．显然，．（10分）
则，
，（13分）
所以X的分布列如下：
数学期望为．（15分）
17．（1）的定义域为，（1分）
当时，在上恒成立，此时在上单调递减（3分）
当时，令得，单调递增，令得，单调递减 （5分）
综上，当时，的单调递减区间为
当时，的单调递减区间为，递增区间为（7分）
（2）不妨设，则，即（8分）
令，只需在上单调递减．
得在恒成立（9分）
再，（），则
令得（舍）（11分）
当时，，在上递减；
当时，，在上递增（13分）
∴
故a的取值范围为．（15分）
18．（1）（ⅰ）记抽取的这三人中至少有两人体重大于74kg为事件M，则，解得．（3分）
（ⅱ）记第一次抽取的学生体重大于79kg为事件A，第二次抽取的学生身高大于175cm为事件B．
因为样本中学生身高大于175cm的有4人，身高大于175cm且体重大于79kg的有2人，身高小于175cm且体重大于79kg的有1人，
所以．（6分）
（2）设未去离群点的样本相关系数为，去掉离群点后的样本相关系数为，则．
去掉离群点后，，，
，，（8分）
（10分）
，，（13分）
由
得（16分）
因为，且相比更接近1，所以y与x的线性相关性更强，所以去掉离群点是合理的．（17分）
19．（1）因为，所以，；
因为，所以，
由题意知，，
所以解得，．（4分）
（5分）
（2）由（1）知，即证，令，且．
即证时，有
设，，则（5分）
所以在上单调递增，在上单调递增
当时，，
可得，即成立，（7分）
当时，，
可得，即成立，（9分）
综上可得当时，
所以成立，即成立；（10分）
（3）由题意知，欲使得不等式成立，
则至少有，即或．（11分）
首先考虑，该不等式等价于，
即．
由（2）知成立，
所以使成立的x的取值范围为或（13分）
再考虑，
该不等式等价于，
不妨令，函数定义域为．
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以，
即当时，，
则当时，有（15分）
当时，由可得成立；
当时，由可得不成立，
所以使成立的x的取值范围为，
综上可得不等式的解集为．（17分）
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
身高
164
165
170
172
173
174
176
177
179
180
体重
57
58
65
65
90
70
75
76
80
84
X
0
1
2
3
P