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    湖南省浏阳市2023-2024学年高一下学期期末质量监测数学试卷(Word版附答案)

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    湖南省浏阳市2023-2024学年高一下学期期末质量监测数学试卷(Word版附答案)

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    这是一份湖南省浏阳市2023-2024学年高一下学期期末质量监测数学试卷(Word版附答案),共9页。试卷主要包含了已知向量,若,则的值为,复数在复平面内对应的点在,下列说法正确的是,给定一组数,则等内容,欢迎下载使用。
    一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.
    1.已知向量,若,则的值为( )
    A.-6 B.-4 C.4 D.6
    2.复数在复平面内对应的点在( )
    A.第一象限 B.第二象限
    C.第三象限 D.第四象限
    3.边长为2的正三角形的直观图的面积是( )
    A. B. C. D.
    4.已知圆锥的底面圆周在球的球面上,顶点为球心,圆锥的高为3,且圆锥的侧面展开图是一个半圆,则球的表面积为( )
    A. B. C. D.
    5.下列说法正确的是( )
    ①已知为三条直线,若异面,异面,则异面;
    ②若不平行于平面,且,则内的所有直线与异面;
    ③两两相交且不公点的三条直线确定一个平面;
    ④若在平面外,它的三条边所在的直线分别交于,则,三点共线.
    A.①② B.③④ C.①③ D.②④
    6.已知某样本的容量为50,平均数为70,方差为75.现发现在收集这些数据时,其中的两个数据记录有误,一个错将80记录为60,另一个错将70记录为90.在对错误的数据进行更正后,重新求得样本的平均数为,方差为,则( )
    A. B.
    C. D.
    7.如图所示,已知点是的重心,过点作直线分别交两边于两点,且,则的最小值为( )
    A.2 B.4 C. D.
    8.某工业园区有共3个厂区,其中,现计划在工业园区内选择处建一仓库,若,则的最小值为( )
    A. B. C. D.
    二、多选题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对得部分分,有选错的得0分.
    9.给定一组数,则( )
    A.平均数为3 B.标准差为
    C.众数为2 D.分位数为5
    10.有6个相同的小球,分别标有数字,从中有放回地随机取两次,每次取1个球.用表示第一次取到的小球的标号,用表示第二次取到的小球的标号,记事件A:为偶数,为偶数,,则( )
    A. B.与相互独立
    C.与相互独立 D.与相互独立
    11.正多面体也称柏拉图立体(被誉为最有规律的立体结构),是所有面都只由一种正多边形构成的多面体(各面都是全等的正多边形).数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体,即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体.已知一个正八面体的棱长都是2(如图),则( )
    A.平面
    B.直线与平面所成的角为
    C.若点为棱上的动点,则的最小值为
    D.若点为棱上的动点,则三棱锥的体积为定值
    三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
    12.如图,某学校共有教师200人,按老年教师、中年教师、青年教师的比例用分层随机抽样的方法从中抽取一个60人的样本,则被抽到的青年教师的人数为__________.
    13.拋两枚质地均匀的骰子,向上的点数分别为,则能够构成三角形三边长的概率为__________.
    14.在中,点分别在边和边上,且交于点,设.用表示为__________;若为上一动点且__________.
    四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
    15.(本小题13分)一条东西方向的河流两岸平行,河宽,河水的速度为向东.一艘小货船准备从河的这一边的码头处出发,航行到位于河对岸(与河的方向垂直)的正西方向并且与相距的码头处卸货.若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为,则当小货船的航程最短时,求合速度的方向,并求此时小货船航行速度的大小.
    16.(本小题15分)在某电视节目中,有5位歌手(1到5号)依次登台演唱,由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手.各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手,其中观众甲是1号歌手的歌迷,他必选1号,不选2号,另在3至5号中随机选2名.观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱,因此在1至5号中选3名歌手.
    (1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率;
    (2)表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和,求“”的事件概率.
    17.(本小题15分)为了落实习主席提出“绿水青山就是金山银山”的环境治理要求,某市政府积极鼓励居民节约用水.计划调整居民生活用水收费方案,拟确定一个合理的月用水量标准(吨),一位居民的月用水量不超过的部分按平价收费,超出的部分按议价收费.为了了解居民用水情况,通过抽样,获得了某年200位居民每人的月均用水量(单位:吨),将数据按照分成9组,制成了如图所示的频率分布直方图,其中.
    (1)求直方图中的值,并由频率分布直方图估计该市居民用水的平均数(每组数据用该组区间中点值作为代表);
    (2)设该市有40万居民,估计全市居民中月均用水量不低于2吨的人数,并说明理由;
    (3)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准(吨),估计的值,并说明理由.
    18.(本小题17分)如图,在四棱锥中,底面是矩形,,平面,且是的中点.
    (1)求证:平面;
    (2)求异面直线与所成角的正切值;
    (3)求直线与平面所成角的正弦值.
    19.(本小题17分)任意一个复数的代数形式都可写成复数三角形式,即
    ,其中为虚数单位,.棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗(1667~1754)创立.设两个复数用三角函数形式表示为:
    ,则:.
    如果令,则能导出复数乘方公式:.请用以上知识解决以下问题.
    (1)试将写成三角形式;
    (2)试应用复数乘方公式推导三倍角公式:;
    (3)计算:的值.
    2024年上学期期末质量监测参考答案(高一数学)
    一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.
    1.B 2.D 3.A 4.C
    5.B 6.A 7.C 8.B
    二、多选题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对得部分分,有选错的得0分.
    9.AD 10.ACD 11.AC
    三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
    12.18 13. 14.;
    四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
    15.解:如图,


    合速度的方向与水流的方向成的角
    设小货船的速度为,水流速度为,合速度为,则,
    小船航行速度的大小为.
    16.解:(1)设表示事件“观众甲选中3号歌手”,表示事件“观众乙选中3号歌手”,则.
    事件与相互独立,与相互独立,
    则表示事件“甲选中3号歌手,且乙没选中3号歌手”.
    .
    即观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率是.
    (2)设表示事件“观众丙选中3号歌手”,则,
    依题意,相互独立,相互独立,且彼此互斥.
    又.,

    .
    17.解:(1)由频率分布直方图可得

    又,则,
    该市居民用水的平均数估计为:

    (2)由频率分布直方图可得,
    月均用水量不超过2吨的频率为:,
    则月均用水量不低于2吨的频率为:,
    所以全市40万居民中月均用水量不低于2吨的人数为:(万);
    (3)由频率分布直方图知月均用水量不超过6吨的频率为:0.88,月均用水量不超过5吨的频率为0.73,
    则85%的居民每月的用水量不超过的标准(吨),,
    ,解得,
    即标准为5.8吨.
    18.解:平面平面,
    又四边形是矩形,,
    平面,
    平面,
    又是的中点,,
    ,所以平面
    (2)解:底面是矩形,异面直线与所成角即为直线与直线所成的角,
    由(1)得平面平面,
    平面为直角三角形,
    又是的中点,,
    在中,即为异面直线与所成角,故,
    异面直线与所成角的正切值为.
    (3)解:取中点为,连接,
    在中,分别为线段的中点,故,
    平面平面,

    由(1)得平面平面,
    ,又,

    设点到平面的距离为,直线与平面所成角为,
    则,解得:,
    故,
    所以直线与平面所成角的正弦值为
    19.解:(1)由于,故,
    则;
    (2)设模为1的复数为,

    由复数乘方公式可得
    故;
    (3)首先证明:
    由于,则,则
    ,故,
    则可得


    所以

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