考点05一次方程（组）（精讲）-2024年中考数学一轮复习之核心考点精讲精练（全国通用）原卷版+解析版

这是一份考点05一次方程（组）（精讲）-2024年中考数学一轮复习之核心考点精讲精练（全国通用）原卷版+解析版，文件包含考点05一次方程组精讲原卷版docx、考点05一次方程组精讲解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共36页， 欢迎下载使用。
一次方程（组）在中考数学中较为简单，每年考查2-3题左右，分值为10分左右。各地中考中，对于两个方程的解法以及注意事项是必须掌握的，而在其应用上也是中考代数部分结合型较强的一类考点，也有在一次函数、二次函数的应用中解一元一次方程、二元一次方程组的工具性的考查。预计2024年各地中考还将继续考查一次方程的解法和应用题，为避免丢分，学生应扎实掌握。
【知识清单】
1：等式的基本性质（☆☆）
1）等式两边都加上（或减去） 同一个数或同一个整式 ，所得的结果仍是等式；
2）等式两边都乘以（或除以） 同一个不等于零的数 ，所得的结果仍是等式；
3）若a=b，b=c，则 a=c （传递性）。
2：一元一次方程（☆☆）
1）方程：含有 未知数 的 等式 叫做方程．
2）方程的解：使方程左右两边 相等 的 未知数 的值叫做方程的解；求方程的解的过程叫做 解方程 。
3）一元一次方程：只含有 一个 未知数，并且未知数的次数为 1 ，这样的 整式 方程叫做一元一次方程。它的一般形式为。 注意：x前面的系数不为0。
4）一元一次方程的解：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做 一元一次方程的解 。
5）一元一次方程的求解步骤
3：二元一次方程（组）（☆☆）
1）二元一次方程：含有 2个 未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的 整式方程 叫做二元一次方程。
2）二元一次方程的解：使二元一次方程左右两边相等的 未知数的值 叫做二元一次方程的解。
3）二元一次方程组：由两个二元一次方程组成的方程组叫二元一次方程组。
方程组中同一个字母代表同一个量，其一般形式为。
4）解二元一次方程组的基本思想
解二元一次方程组的基本思想是 消元 ，即将二元一次方程组转化为一元一次方程。
5）二元一次方程组的解法
（1）代入消元法：将方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程。
（2）加减消元法：将方程组中两个方程通过适当变形后相加（或相减）消去其中一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程。
4：一次方程（组）的实际应用（☆☆☆）
1）列方程（组）解应用题的一般步骤：（1）审题；（2）设出未知数；（3）列出含未知数的等式——方程；（4）解方程（组）；（5）检验结果；（6）作答（不要忽略未知数的单位名称）．
2）一次方程（组）常见的应用题型
（1）销售打折问题：利润售价-成本价；利润率=×100％；售价=标价×折扣；销售额=售价×数量．
（2）储蓄利息问题：
利息=本金×利率×期数；本息和=本金+利息=本金×(1+利率×期数)；贷款利息=贷款额×利率×期数．
（3）工程问题：工作量=工作效率×工作时间．
（4）行程问题：路程=速度×时间．
（5）相遇问题：全路程=甲走的路程+乙走的路程．
（6）追及问题（同地不同时出发）：前者走的路程=追者走的路程．
（7）追及问题（同时不同地出发）：前者走的路程+两地间距离=追者走的路程．
（8）水中航行问题：顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度．
【易错点归纳】
1. 运用等式的性质2时，等式两边不能同时除以0，因为0不能作除数或分母。
2. 一元一次方程中未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数。
3. 二元一次方程有无数个解，满足二元一次方程使得方程左右相等都是这个方程的解，但并不是说任意一对数值就是它的解。
【核心考点】
核心考点1.等式的基本性质
例1：（2023·浙江杭州·统考二模）设a，b，m均为实数，（ ）
A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则
变式1.（2023·安徽宿州·统考三模）若a，b，c为互不相等的实数，且，则下列结论正确的是( )
A． B． C． D．
例2：（2022·山东滨州·统考中考真题）在物理学中，导体中的电流Ⅰ跟导体两端的电压U，导体的电阻R之间有以下关系：去分母得，那么其变形的依据是（ ）
A．等式的性质1B．等式的性质2C．分式的基本性质D．不等式的性质2
变式1.（2023·福建福州·校考三模）在除法运算中，被除数余数商除数，小明在研究这个算法时，进行了以下操作：
①．
②由①得到19后，再做余数为4；
③由①②得，被除数为38，余数为4，被除数余数，
④由①②得，商为3，除数为，商除数；
⑤根据除法逆运算公式：被除数余数商除数，可得：；
⑥根据等式性质：，即
显然小明研究的步骤有误，他第一次错误的步骤是 ．（仅填写每一步骤前的序号）
变式2.（2023·福建·统考模拟预测）推理是数学的基本思维方式、若推理过程不严谨，则推理结果可能产生错误．
例如，有人声称可以证明“任意一个实数都等于0”，并证明如下：
设任意一个实数为x，令，
等式两边都乘以x，得．①
等式两边都减，得．②
等式两边分别分解因式，得．③
等式两边都除以，得．④
等式两边都减m，得x＝0.⑤
所以任意一个实数都等于0.
以上推理过程中，开始出现错误的那一步对应的序号是 ．
例3：（2023·河北保定·校考一模）如左图的天平架是平衡的，其中同一种物体的质量都相等，如右图，现将不同质量的一“○”和一个“”从通道的顶端同时放下，两个物体等可能的向左或向右落在下面的托盘中，此时两个托盘上物体的质量分别为和，则下列关系可能出现的是（ ）
A．B．C．D．
变式1.（2023·河北承德·校联考模拟预测）能运用等式的性质说明如图事实的是（ ）
A．如果，那么（a，b，c均不为0）
B．如果，那么（a，b，c均不为0）
C．如果，那么（a，b，c均不为0）
D．如果，那么（a，b，c均不为0）
核心考点2.一元一次方程
例4：（2023·湖南永州·统考中考真题）关于x的一元一次方程的解为，则m的值为（ ）
A．3B．C．7D．
变式1. （2023·广东清远·统考二模）下列方程中，解是的方程是（ ）
A．B．C．D．
变式2.（2023·山东德州·九年级校考期中）已知方程是关于x的一元一次方程，则 ．
例5：（2023·浙江·统考二模）以下是圆圆解方程的解答过程．
解：去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
两边同除以，得．
圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程．
变式1．（2023·浙江温州·统考一模）解方程，以下去分母正确的是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2023·浙江·统考一模）解方程：
核心考点3.二元一次方程（组）
例6：（2023·浙江衢州·统考中考真题）下列各组数满足方程的是（ ）
A．B．C．D．
变式1．（2023·河北秦皇岛·模拟预测）若是关于x、y的二元一次方程的解，则a的值是（ ）
A．B．C．D．
变式2．（2023·四川凉山·校考一模）下列方程中，是二元一次方程组的是（ ）
A．B．C．D．
例7：（2022·浙江台州·中考真题）解方程组：．
变式1. （2023·浙江衢州·校考一模）解二元一次方程组最好的做法首先采用（ ）
A．代入法B．加减法C．都可以D．无法确定
变式2．（2022·湖南株洲·中考真题）对于二元一次方程组，将①式代入②式，消去可以得到（ ）
A． B． C． D．
变式3．（2022·广西桂林·中考真题）解二元一次方程组：．
变式4．（2023·山西大同·大同一中校考模拟预测）（1）计算：；
（2）下面是小辉和小莹两位同学解方程组的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解：令
任务一：请你从中选择一位同学的解题过程并解答下列问题．
①我选择___________同学的解题过程，该同学第一步变形的依据是___________；
②该同学从第___________开始出现错误，这一步错误的原因是___________；
任务二：直接写出该方程组的正确解；任务三：除以上两位同学的方法，请你再写出一种方法（不用求解）．
例9：（2023·浙江杭州·校考三模）若方程组的解也是方程的解，则的值是（ ）
A．6B．10C．9D．
变式1. （2023·江苏苏州·统考二模）如果实数x，y满足方程组，那么 ．
变式2．（2023·江苏镇江·统考二模）已知二元一次方程组，则代数式
变式3．（2023·江苏无锡·校联考一模）若二元一次方程组的解为，则 ．
例8：（2023下·四川遂宁·七年级校联考阶段练习）解方程组：(1)(2)(3)
变式1. （2023下·河南周口·七年级校考阶段练习）方程组的解是（ ）
A．B．C．D．
变式2．（2023下·四川成都·七年级校考期中）已知方程组，则的值是（ ）
A．3B．4C．5D．6
核心考点4.一次方程（组）的实际应用
例9：（2023·新疆·校联考一模）商场按标价打八折销售某品牌电器一件，可获利500元，利润率为．现如果按同一标价打九折销售该电器一件，那么获得的纯利润为（ ）
A．875元B．750元C．562.5元D．550元
变式1．（2023·四川成都·统考中考真题）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，是《算经十书》之一．书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺．问木长多少尺？设木长尺，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2023·山西大同·校联考模拟预测）由于王亮在实验室做实验时，没有找到天平称取实验所需药品的质量，于是利用杠杆原理制作天平称取药品的质量（杠杆原理：动力动力臂阻力阻力臂）．如图1，当天平左盘放置质量为60克的物品时，右盘中放置20克砝码天平平衡；如图2，将待称量药品放在右盘后，左盘放置12克砝码，才可使天平再次平衡，则该药品质量是（ ）

A．6克B．4克C．3.5克D．3克
变式3．（2023·广西南宁·统考一模）学习《设计制作长方体形状的包装纸盒》后，小宁从长方形硬纸片上截去两个矩形（图中阴影部分），再沿虚线折成一个无盖的长方体纸盒．纸片长为，宽为，，则该纸盒的容积为（ ）
A．B．C．D．
例10：（2021·四川资阳·统考中考真题）我市某中学计划举行以“奋斗百年路，启航新征程”为主题的知识竞赛，并对获奖的同学给予奖励．现要购买甲、乙两种奖品，已知1件甲种奖品和2件乙种奖品共需40元，2件甲种奖品和3件乙种奖品共需70元．（1）求甲、乙两种奖品的单价；（2）根据颁奖计划，该中学需甲、乙两种奖品共60件，且甲种奖品的数量不少于乙种奖品数量的，应如何购买才能使总费用最少？并求出最少费用．
变式1．（2023·浙江杭州·校考一模）“六一”前夕，市关工委准备为希望小学购进图书和文具若干套，已知1套文具和3套图书需104元，3套文具和2套图书需116元，则1套文具和1套图书需 元．
变式2．（2023·安徽宿州·统考模拟预测）“绿水青山就是金山银山”，年月日是我国第个植树节，某班组织学生在某园林基地进行植树活动，活动开始前对若干棵树苗进行分配，若人合作种植一棵树苗，则还剩棵，若人合作种植一棵树苗，则还有人未分到树苗，问共有多少棵树苗，多少学生？
变式3．（2023·山西朔州·校联考模拟预测）太原古县城，位于山西省太原市晋源区，是2500年晋阳古城文脉的延续．春节期间，在太原古县城内举办的“锦绣太原中国年·凤舞龙城花灯会”以及清明上河图数字体验馆吸引了众多游客．网上购买一张体验馆的门票比一张花灯会的门票多20元．一张体验馆的门票比现场购买少10元，一张花灯会的门票比现场购买少2元．现场购买，一张体验馆的门票比一张花灯会门票的2倍少22元．(1)请求出网上购买体验馆与花灯会的门票价格；(2)春节期间，某一购票网站搞活动，游客可以购买满300送30元的优惠券，若一个五口之家，通过网上购买体验馆门票和花灯会门票各5张，比现场购买便宜多少元？

例11：（2023·浙江嘉兴·统考一模）小明在超市购物时发现：顾客甲购买2瓶牛奶3个面包和5盒饼干花了32元，顾客乙购买3瓶牛奶2个面包和4盒饼干花了29元，则小明想购买4瓶牛奶1个面包和3盒饼干需要 元．
变式1.（2023·河北保定·统考二模）A，B两个容器分别盛有部分液体，容器的底部分别有一个出水口，若从A中取出20升倒入B中，再打开两容器的出水口，放完液体，B需要的时间是A的2倍．若将A中液体全部倒入B容器，并打开B容器的出水口，10分钟可以放完．若将B中液体全部倒入A容器，并打开A容器的出水口，15分钟可以放完．设开始时，A，B两容器中液体体积分别为升、y升．下面是甲、乙、丙三位同学的分析：甲：从A中取出20升倒入B中后，B中液体是A中液体的2倍；
乙：A出水口的液体流速是B出水口液体流速的；丙：，y之间满足关系式：．
其中分析正确的是（ ）
A．只有甲和乙B．只有甲和丙C．只有乙和丙D．甲、乙丙
变式2.（2023·北京平谷·统考二模）如图所示，某工厂生产镂空的铝板雕花造型，造型由A（绣球花）、B（祥云）两种图案组合而成，因制作工艺不同，A、B两种图案成本不同，厂家提供了如下几种设计造型，造型1的成本64元，造型2的成本42元，则造型3的成本为 元；若王先生选定了一个造型1作为中心图形，6个造型2分别位于中心图形的四周，其余部分用个造型3填补空缺，若整个画面中，图案B个数不多于图案A数的2倍，且王先生的整体设计费用不超过500元，写出一个满足条件的值 ．
例12：（2021·四川泸州·统考中考真题）某运输公司有A、B两种货车，3辆A货车与2辆B货车一次可以运货90吨，5辆A货车与4辆B货车一次可以运货160吨．
（1）请问1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货多少吨？
（2）目前有190吨货物需要运输，该运输公司计划安排A、B两种货车将全部货物一次运完(A、B两种货车均满载)，其中每辆A货车一次运货花费500元，每辆B货车一次运货花费400元．请你列出所有的运输方案，并指出哪种运输方案费用最少．
变式1.（2023·河北石家庄·校考二模）小明为全班六一儿童节的活动准备奖品，A奖品每个2元，B奖品每个7元，购买A奖品个，B奖品个，共76元．
（1）若，则 ；（2）若同时购买两种奖品，则小明共有 种不同的选购方案．
变式2.（2023·北京昌平·统考二模）某旅店的客房有两人间和三人间两种，两人间每间200元，三人间每间250元，某学校50人的研学团到该旅店住宿，租住了若干客房.其中男生27人，女生23人.若要求男女不能混住，且所有租住房间必须住满.（1）要想使花费最少，需要 间两人间；
现旅店对两人间打八折优惠，且仅剩15间两人间，此时要想花费最少，需要 间三人
变形名称
具体做法
去分母
在方程两边都乘以各分母的 最小公倍数 。
去括号
先去小括号，再去中括号，最后去大括号。
移项
把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边
合并同类项
把方程化成的形式
系数化成1
在方程两边都除以未知数的系数，得到方程的解为
小辉：由②得，．③…………第一步
将③代入①得，．……第二步
整理得，．………………第三步
解得．…………………………第四步
将代入③，解得．………第五步
∴原方程组的解为……………第六步
小莹：得，．………………第一步
解得，…………………………第二步
将代入①得，．…………第三步
整理得，．………………第四步
解得…………………………第五步
∴原方程组的解为…………第六步