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苏科版八年级数学上册必考重难点突破【单元测试】第3章勾股定理(综合能力拔高卷)(原卷版+解析)
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这是一份苏科版八年级数学上册必考重难点突破【单元测试】第3章勾股定理(综合能力拔高卷)(原卷版+解析)，共37页。
（考试时间：100分钟 试卷满分：120分）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．如果3，4，是直角三角形三边长，则x的值是（ ）
A．5B．C．5或D．5或7
2．下面四组数，其中是勾股数组的是（ ）
A．，，B．，，C．，，D．，，
3．已知中，，，的对边分别是，，．下列条件不能判断是直角三角形的是（ ）
A．B．
C．D．
4．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，其中摆放方法正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，在中，，则边上的高的长为（ ）
A．4B．C．D．5
6．如图，每个小正方形的边长都是1，，，分别在格点上，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，一棵大树在一次强台风中于离地面10m处折断倒下，倒下部分的树梢到树的距离为24m，则这棵大树折断处到树顶的长度是（ ）
A．10mB．15mC．26mD．30m
8．如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为米，顶端距离地面米．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面米，则小巷的宽度为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共有10小题，每题3分，共30分）
9．的三边分别是a、b、c，且满足，则当__________时是直角三角形．
10．如图，每个小正方形的边长为1，在中，点D为AB的中点，则线段CD的长为________
11．如图所示，在中，，，，线段的垂直平分线交于交于，则的周长为______．
12．如图，△ABC为一张纸片，AB=3，AC=9，BC=，现将△ABC折叠，使点C与点B重合，折痕为DE．则DC长为_____________
13．如图所示为一种“羊头”形图案，其作法是：从正方形①开始，以它的一边为斜，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②，…，依此类推，若正方形①的面积为64，则正方形⑤的面积为__________．
14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，点P是边AC上一动点，把△ABP沿直线BP折叠，使得点A落在图中点A′处，当△AA′C是直角三角形时，则线段CP的长是_________．
15．如图，∠ABC＝90°，，以B为圆心，BC长为半径画弧，与射线AD相交于点E，连接BE，过点C作CF⊥ BE，垂足为F．若AB＝6，AE＝8，BE＝10，则EF的长为_______．
16．如图所示，甲渔船以8海里时的速度离开港口向东北方向航行，乙渔船以6海里时的速度离开港口向西北方向航行，他们同时出发，一个小时后，甲、乙两渔船相距_______海里．
17．A、B、C、D四个小城镇，它们之间（除B、C外）都有笔直的公路相连接（如图），公共汽车行驶于城镇之间，其票价与路程成正比．已知各城镇间的公共汽车票价如下：A﹣B：10元，A﹣C：12.5元，A﹣D：8元，B﹣D：6元，C﹣D：4.5元，为了B、C之间交通方便，在B、C之间建成笔直的公路，请按上述标准计算出B、C之间公共汽车的票价为_____元．
18．爱动脑筋的小明某天在家玩遥控游戏时遇到下面的问题：已知，如图一个棱长为8cm无盖的正方体铁盒，小明通过遥控器操控一只带有磁性的甲虫玩具，他先把甲虫放在正方体盒子外壁A处，然后遥控甲虫从A处出发沿外壁面正方形ABCD爬行，爬到边CD上后再在边CD上爬行3cm，最后在沿内壁面正方形ABCD上爬行，最终到达内壁BC的中点M，甲虫所走的最短路程是 ______cm
三、解答题（本大题共有10小题，共66分；第19-24每小题5分，第25-26每小题6分，第27小题10分，第28小题14分）
19．如图，在长方形中，，E为上一点，把沿折叠，使点C落在边上的F处．
(1)求的长；
(2)求的长．
20．如图，甲乙两船从港口A同时出发，甲船以16海里/时速度向北偏东航行，乙船以12海里/时向南偏东方向航行，3小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛．若C、B两岛相距60海里，问乙船出发后的航向是南偏东多少度？
21．在中，AB，BC，AC三边的长分别，，，求这个三角形的面积．
小明同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积．
(1)请你将的面积直接填写在横线上______；
(2)我们把上述求面积的方法叫做构图法，若三边AB，BC，AC的长分别为，，，请利用图2的正方形网格（每个小正方形的边长为1）画出相应的，并求出它的面积．
22．如图，P是等边三角形ABC内一点，将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ，连接BQ．若PA=6，PB=8，PC=10．
(1)CP与BQ的大小关系，并说明理由；
(2)连接PQ，判断△BPQ的形状；
(3)求四边形APBQ的面积．
23．如图，为纪念中国共产党建党100周年，水磨沟景区拟对园中的一块空地进行美化施工，已知米，米，，米，米，欲在此空地上种植盆景造型．已知盆景每平方米500元，试问用该盆景铺满这块空地共需花费多少元？
24．如图，斜靠墙上的一根竹竿AB长为13m，端点B离墙角的水平距离BC长为5m．
(1)若A端下移的距离等于B端沿CB方向移动的距离，求下移的距离．
(2)在竹竿滑动的过程中，△ABC面积有最 值（填“大”或“小”）为 （两个空直接写出答案不需要解答过程）．
25．如图，中，，，，若动点P从点C开始，按的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．
(1)当秒时，的周长=________________；
(2)当_____________秒时，平分；
(3)问t为何值时，为等腰三角形？
(4)另有一点Q，从点C开始，按的路径运动，且速度为每秒2cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线把的周长分成相等的两部分？
26．如图，一个牧童在小河正南方向4km的处牧马，若牧童从点向南继续前行7km到达点．则此时牧童的家位于点正东方向8km的处．牧童打算先把在点吃草的马牵到小河边饮水后再回家，请问他应该如何选择行走路径才能使所走的路程最短？最短路程是多少？请先在图上作出最短路径，再进行计算．
27．如图，直线AB与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，－4），若点E在线段AB上，OE⊥OF，且OE＝OF，连接AF.
（1）猜想线段AF与BE之间的关系，并证明；
（2）过点O作OM⊥EF垂足为D,OM分别交AF、BA的延长线于点C、M若BE=，求CF的长.
28．台风是一种自然灾害，它在以台风中心为圆心，一定长度为半径的圆形区域内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，监测中心监测到一台风中心沿监测点B与监测点A所在的直线由东向西移动，已知点C为一海港，且点C与A， B两点的距离分别为300km、 400km，且∠ACB=90°，过点C作CE⊥AB于点E，以台风中心为圆心，半径为260km的圆形区域内为受影响区域．
（1）求监测点A与监测点B之间的距离；
（2）请判断海港C是否会受此次台风的影响，并说明理由；
（3）若台风的速度为25km/h，则台风影响该海港多长时间？
【高效培优】2022—2023学年八年级数学上册必考重难点突破必刷卷（苏科版）
【单元测试】第3章 勾股定理（综合能力拔高卷）
（考试时间：100分钟 试卷满分：120分）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．如果3，4，是直角三角形三边长，则x的值是（ ）
A．5B．C．5或D．5或7
【答案】C
【分析】分4为直角边和4为斜边时两种情况，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：当4为直角边时，
由勾股定理得，
解得x=5，
当4为斜边时，
由勾股定理得，
解得x=，
综上，x=5或x=，
故选：C．
【点睛】本题考查勾股定理，解答本题的关键是明确题意，求出x的值，注意存在两种情况．
2．下面四组数，其中是勾股数组的是（ ）
A．，，B．，，C．，，D．，，
【答案】A
【分析】根据勾股数的定义：有a、b、c三个正整数，满足的三个数，称为勾股数．由此判定即可．
【详解】解：A、，能构成勾股数，故正确；B、0.3，0.4，0.5，不是正整数，所以不是勾股数，故错误；C、，不能构成勾股数，故错误；D、，不能构成勾股数，故错误．
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股数，解答此题要深刻理解勾股数的定义，熟记常用的勾股数．
3．已知中，，，的对边分别是，，．下列条件不能判断是直角三角形的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用三角形的内角和定理、直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐项判断即可．
【详解】解：、，
，故是直角三角形；
、，，
，故是直角三角形；
、，
，故不是直角三角形；
、，
，故是直角三角形．
故选：．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的逆定理及三角形的内角和定理，当三角形的三边长a、b、c满足或三内角中有一个是直角的情况下，能判定三角形是直角三角形，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
4．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，其中摆放方法正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据图中所给出的数，找出组成三角形的三边，并判断较小两边的平方和是否等于最大边的平方，每一个图判断两次即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴A错误，B错误，C错误，D正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是注意是判断较小两边的平方和是否等于最大边的平方．
5．如图，在中，，则边上的高的长为（ ）
A．4B．C．D．5
【答案】C
【分析】过A作AE⊥BC于点E，根据勾股定理计算出底边上的高AE的长，然后利用三角形面积的不同求法列式求出BD即可．
【详解】解：过点A作AE⊥BC于点E，
∵AB＝AC＝5，
∴△ABC是等腰三角形，
∵AE⊥BC，
∴EB＝EC＝BC＝3，
在Rt△ABE中，AE＝，
∴＝AC·BD＝BC·AE，
∴BD，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用以及等腰三角形的性质，关键是掌握等腰三角形底边上的高线和中线重合．
6．如图，每个小正方形的边长都是1，，，分别在格点上，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用勾股定理的逆定理证明△ACB为等腰直角三角形即可得到∠ABC的度数．
【详解】解：连接AC，
由勾股定理得：AC=BC=，AB=，
∵AC2+BC2=AB2=10，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ABC=45°，
故选B．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，解答本题的关键是根据正方形的性质求出边长，由勾股定理的逆定理判断出等腰直角三角形．
7．如图，一棵大树在一次强台风中于离地面10m处折断倒下，倒下部分的树梢到树的距离为24m，则这棵大树折断处到树顶的长度是（ ）
A．10mB．15mC．26mD．30m
【答案】C
【分析】根据勾股定理求出大树折断部分的高度即可求解．
【详解】】解：如图所示：
∵△ABC是直角三角形，AB=10m，AC=24m，
故选C
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，解答此题的关键是先根据勾股定理求出BC的长度．
8．如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为米，顶端距离地面米．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面米，则小巷的宽度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先根据勾股定理求出梯子的长，进而根据勾股定理可得出小巷的宽度．
【详解】解：如图，由题意可得：
AD2=0.72+2.42=6.25，
在Rt△ABC中，
∵∠ABC=90°，BC=1.5米，BC2+AB2=AC2，AD=AC，
∴AB2+1.52=6.25，
∴AB=±2，
∵AB＞0，
∴AB=2米，
∴小巷的宽度为：0.7+2=2.7（米）．
故选：D.
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．
二、填空题（本大题共有10小题，每题3分，共30分）
9．的三边分别是a、b、c，且满足，则当__________时是直角三角形．
【答案】100或28##28或100
【分析】根据绝对值和偶次方的非负性得出a=8， b=6，再根据勾股定理解答即可．
【详解】解∶∵，
∴a-8=0， b-6=0，
解得∶ a=8， b=6，
∴当△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形时，，
当△ABC是以∠CAB为直角的直角三角形时，，
故答案为∶ 100或28．
【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长a，b，c满足 ，那么这个三角形就是直角三角形，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
10．如图，每个小正方形的边长为1，在中，点D为AB的中点，则线段CD的长为________
【答案】##
【分析】根据勾股定理列式求出AB、BC、AC，再利用勾股定理逆定理判断出△ABC是直角三角形，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．
【详解】解：根据勾股定理，，
，
，
∵，
∴△ABC是直角三角形，
∵点D为AB的中点，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理，勾股定理逆定理的应用，判断出△ABC是直角三角形是解题的关键．
11．如图所示，在中，，，，线段的垂直平分线交于交于，则的周长为______．
【答案】7
【分析】根据线段垂直平分线的性质定理：垂直平分线上的任意一点到线段两端点的距离相等，可得AE=EC，再根据勾股定理求出BC的长度，即可得的周长．
【详解】DE垂直平分线段AC，
AE=CE，
在中，，，，
==4，
的周长=AB+BE+AE=AB+BE+EC=AB+BC=3+4=7．
故答案为：7．
【点睛】此题考查了垂直平分线的性质定理、勾股定理等知识．熟练运用垂直平分线性质定理和勾股定理是解此题的关键．
12．如图，△ABC为一张纸片，AB=3，AC=9，BC=，现将△ABC折叠，使点C与点B重合，折痕为DE．则DC长为_____________
【答案】5
【分析】根据勾股定理逆定理可得∠A=90°，再根据折叠的性质可得BD=CD，设CD=x，则BD=x，AD=9-x，再由勾股定理，即可求解．
【详解】解：∵AB=3，AC=9，BC=，
∴，
∴∠A=90°，
∵将△ABC折叠，使点C与点B重合，
∴BD=CD，
设CD=x，则BD=x，AD=9-x，
∵，
∴，
解得：，
即CD=5．
故答案为：5
【点睛】本题主要考查了勾股定理勾股定理及其逆定理，图形的折叠，熟练掌握勾股定理勾股定理及其逆定理是解题的关键．
13．如图所示为一种“羊头”形图案，其作法是：从正方形①开始，以它的一边为斜，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②，…，依此类推，若正方形①的面积为64，则正方形⑤的面积为__________．
【答案】4
【分析】根据题意可知第一个正方形的面积是64，则第二个正方形的面积是32，…，进而可找出规律得出第n个正方形的面积，即可得出结果．
【详解】解：第一个正方形的面积是64；
设第一个等腰直角三角形的直角边长为 由勾股定理可得：
∴
解得：
∴第二个正方形的面积是；
同理：第三个正方形的面积是；
…
第n个正方形的面积是，
当时，正方形的面积为
∴正方形⑤的面积是4．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理．解题的关键是找出第n个正方形的面积．
14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，点P是边AC上一动点，把△ABP沿直线BP折叠，使得点A落在图中点A′处，当△AA′C是直角三角形时，则线段CP的长是_________．
【答案】4或3
【分析】分类讨论分别当∠AA′C=90°时，当∠ACA′=90°时，根据折叠的性质函数直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：如图1，当∠AA′C=90°时，
∵以直线BP为轴把△ABP折叠，使得点A落在图中点A′处，
∴AP=A′P，
∴∠PAA′=∠AA′P，
∵∠ACA′+∠PAA′=∠CA′P+∠AA′P=90°，
∴∠PCA′=∠PA′C，
∴PC=PA′，
∴PC=AC=4，
如图2，当∠ACA′=90°时，
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，且AC=8，BC=6．
∴AB=10，
∵以直线BP为轴把△ABP折叠，使得点A落在图中点A′处，
∴A′B=AB=10，PA=PA′，
∴A′C=4，
设PC=x，
∴AP=8-x，
∵A′C2+PC2=PA′2，
∴42+x2=（8-x）2，
解得：x=3，
∴PC=3，
综上所述：当△AA′C是直角三角形时，则线段CP的长是4或3，
故答案为：4或3．
【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题）直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键．
15．如图，∠ABC＝90°，，以B为圆心，BC长为半径画弧，与射线AD相交于点E，连接BE，过点C作CF⊥ BE，垂足为F．若AB＝6，AE＝8，BE＝10，则EF的长为_______．
【答案】2
【分析】先判断为直角三角形，再证明,由全等性质求得BF=8，再相减可得
【详解】，
，
为直角三角形，
，
∵ CF⊥ BE，
，
又，
，
是以B为圆心，BC长为半径的圆弧的半径，
，
在和中，
，
（AAS），
，
，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形全等的判定和性质，找对应边和找对应角是解题关键．
16．如图所示，甲渔船以8海里时的速度离开港口向东北方向航行，乙渔船以6海里时的速度离开港口向西北方向航行，他们同时出发，一个小时后，甲、乙两渔船相距_______海里．
【答案】10
【分析】根据方位角分析可得，根据路程等于速度乘以时间求得，继而根据勾股定理即可求解．
【详解】解：甲渔船离开港口向东北方向航行，乙渔船离开港口向西北方向航行，
，
出发一个小时后，（海里），（海里），
（海里），
故答案为：10．
【点睛】本题考查了勾股定理，方位角，掌握勾股定理是解题的关键．
17．A、B、C、D四个小城镇，它们之间（除B、C外）都有笔直的公路相连接（如图），公共汽车行驶于城镇之间，其票价与路程成正比．已知各城镇间的公共汽车票价如下：A﹣B：10元，A﹣C：12.5元，A﹣D：8元，B﹣D：6元，C﹣D：4.5元，为了B、C之间交通方便，在B、C之间建成笔直的公路，请按上述标准计算出B、C之间公共汽车的票价为_____元．
【答案】7.5
【分析】先根据勾股定理的逆定理判定△ABD为直角三角形，则△BDC也为直角三角形，再根据勾股定理计算BC的长，从而算出B、C之间的票价．
【详解】根据题意，公共汽车行驶于城镇之间，其票价与路程成正比，
设其比例系数为（k≠0），即票价＝×路程，则路程＝k票价；
在△ABD中，AB＝10k，AD＝8k，BD＝6k，
∵AD2 + BD2 = (8k)2+(6k)2=100k2=AB2
∴△ABD为直角三角形
∴∠ ADB＝90°，
则∠ BDC＝90°；
则在Rt△BDC中，BD＝6k，CD＝4.5k；
由勾股定理可得BC2=BD2+DC2==56.25k2
∴BC＝7.5k，
则B、C之间公共汽车的票价为7.5元．
故答案为7.5
【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．
18．爱动脑筋的小明某天在家玩遥控游戏时遇到下面的问题：已知，如图一个棱长为8cm无盖的正方体铁盒，小明通过遥控器操控一只带有磁性的甲虫玩具，他先把甲虫放在正方体盒子外壁A处，然后遥控甲虫从A处出发沿外壁面正方形ABCD爬行，爬到边CD上后再在边CD上爬行3cm，最后在沿内壁面正方形ABCD上爬行，最终到达内壁BC的中点M，甲虫所走的最短路程是 ______cm
【答案】16
【分析】将正方形沿着翻折得到正方形 ，过点在正方形内部作，使，连接，过作于点，此时最小，运用勾股定理求解即可．
【详解】
如图，将正方形沿着翻折得到正方形 ，过点在正方形内部作，使，连接，过作于点，则四边形是矩形，四边形是平行四边形，
∴，，，，
此时最小，
∵点是中点，
∴cm，
∴cm，cm，
在中，cm，
∴cm，
故答案为：16．
【点睛】本题考查最短路径问题，考查了正方形的性质，矩形的性质，平行四边形的性质和判定，勾股定理，轴对称性质等，解题的关键是将立体图形中的最短距离转换为平面图形的两点之间线段长度进行计算．
三、解答题（本大题共有10小题，共66分；第19-24每小题5分，第25-26每小题6分，第27小题10分，第28小题14分）
19．如图，在长方形中，，E为上一点，把沿折叠，使点C落在边上的F处．
(1)求的长；
(2)求的长．
【答案】(1)8
(2)
【分析】（1）由长方形和折叠的性质得到DF=CD=10，在Rt△ADF中，由勾股定理求解即可；
（2）设CE=EF=x，则BE=6-x，BF=AB-AF=2，在Rt△BEF中，由勾股定理建立方程求解即可．
【详解】（1）解：∵四边形ABCD是长方形，
∴∠A=90°，AB=CD=10，
由折叠的性质可知DF=CD=10，
∴在Rt△ADF中，由勾股定理得；
（2）解：由折叠的性质可得CE=EF，
由长方形的性质可得∠B=90°，BC=AD=6，
设CE=EF=x，则BE=6-x，BF=AB-AF=2，
在Rt△BEF中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴．
【点睛】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，熟知勾股定理和折叠的性质是解题的关键．
20．如图，甲乙两船从港口A同时出发，甲船以16海里/时速度向北偏东航行，乙船以12海里/时向南偏东方向航行，3小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛．若C、B两岛相距60海里，问乙船出发后的航向是南偏东多少度？
【答案】
【分析】首先理解方位角的概念，根据所给的方位角得到∠CAB=90°．根据勾股定理求得乙船所走的路程，再根据速度=路程÷时间，计算即可．
【详解】由题意可得，，，，
∵，
∴，
∴是直角三角形，，
∵，
∴，
∴乙船出发后的航向是南偏东40°．
【点睛】本题考查了方位角的概念及勾股定理，解决本题的关键是能熟练使用勾股定理解决问题．
21．在中，AB，BC，AC三边的长分别，，，求这个三角形的面积．
小明同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积．
(1)请你将的面积直接填写在横线上______；
(2)我们把上述求面积的方法叫做构图法，若三边AB，BC，AC的长分别为，，，请利用图2的正方形网格（每个小正方形的边长为1）画出相应的，并求出它的面积．
【答案】(1)2.5
(2)图见解析，4
【分析】（1）利用长方形的面积减去边角的三角形面积即可；
（2）是边长为2和2的直角三角形的斜边，是边长为1和3的直角三角形的斜边，是边长为1和5的直角三角形的斜边，再利用长方形面积减去多余的三角形即可．
【详解】（1）解：；
故答案为：2.5；
（2）如图2，
，，，
∴．
【点睛】此题考查了在网格中画图，勾股定理计算边长，构建长方形求三角形的面积，根据三角形三边的长度在网格中画出三角形是解题的关键，需要掌握直角三角形的勾股数才能正确画图．
22．如图，P是等边三角形ABC内一点，将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ，连接BQ．若PA=6，PB=8，PC=10．
(1)CP与BQ的大小关系，并说明理由；
(2)连接PQ，判断△BPQ的形状；
(3)求四边形APBQ的面积．
【答案】(1)CP=BQ，理由见解析
(2)直角三角形
(3)
【分析】（1）结论：CP=BQ．证明△CAP≌△BAQ（SAS），可得结论；
（2）结论：△PBQ是直角三角形．利用勾股定理的逆定理证明即可；
（3）根据，求解即可．
【详解】（1）解：结论：CP=BQ．
理由：如图1中，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=AB，∠CAB=60°，
∵AP=AQ，∠PAQ=60°，
∴∠CAB=∠PAQ，
∴∠CAP=∠BAQ，
在△CAP和△BAQ中，
，
∴△CAP≌△BAQ（SAS），
∴CP=BQ；
（2）
解：结论：△PBQ是直角三角形．
理由：如图2中，
∴AP=AQ，∠PAQ=60°，
∴△APQ是等边三角形，
∴PQ=AP=6，
∵BQ=PC=10，PB=8，
∴，
∴∠BPQ=90°，
∴△PBQ是直角三角形；
（3）
解：过点A作AG⊥PQ于点G，
∵△APQ是等边三角形，且PQ=AP=6，
∴PG=QG=3，
∴AG==3，
．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
23．如图，为纪念中国共产党建党100周年，水磨沟景区拟对园中的一块空地进行美化施工，已知米，米，，米，米，欲在此空地上种植盆景造型．已知盆景每平方米500元，试问用该盆景铺满这块空地共需花费多少元？
【答案】用盆景铺满这块空地共需花费12000元
【分析】首先利用勾股定理得出AC的长度，然后利用勾股定理得逆定理得到是直角三角形，进而求出和的面积，两个面积之差即为空地面积．
【详解】解：如图连接AC，
在中，米，米，∠B=90°，
由勾股定理得（米），
在中，
由勾股定理得逆定理得是直角三角形，且，
∴
=
平方米
∴用盆景铺满空地需要（元）．
答：用盆景铺满这块空地共需花费12000元．
【点睛】本题主要考查勾股定理和勾股定理得逆定理得应用，关键在于求出．
24．如图，斜靠墙上的一根竹竿AB长为13m，端点B离墙角的水平距离BC长为5m．
(1)若A端下移的距离等于B端沿CB方向移动的距离，求下移的距离．
(2)在竹竿滑动的过程中，△ABC面积有最 值（填“大”或“小”）为 （两个空直接写出答案不需要解答过程）．
【答案】(1)下移的距离为7m
(2)大，
【分析】（1）设=x，根据勾股定理列出关于x的方程，解方程即可；
（2）以为底，以C到直线的距离为高，在竹竿下滑过程中，高为的中线时，的面积最大，由三角形的面积公式求出最大值．
【详解】（1）解：设＝＝xm，
由题意得：m，
则＝（12﹣x）m，＝（5＋x）m，
由勾股定理得：，
即，
解得：x＝7，即＝7m．
答：下移的距离为7m；
（2）解：如图，以为底，过C作的垂线CD，D为垂足，
设Rt△斜边上的中线为CP，则CP＝m，CD≤CP，
在竹竿下滑过程中，当CD为的中线时，的面积最大，
最大值＝×13×＝（）．
故答案为：大，．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，直角三角形斜边上的中线以及垂线段最短的性质，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理．
25．如图，中，，，，若动点P从点C开始，按的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．
(1)当秒时，的周长=________________；
(2)当_____________秒时，平分；
(3)问t为何值时，为等腰三角形？
(4)另有一点Q，从点C开始，按的路径运动，且速度为每秒2cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线把的周长分成相等的两部分？
【答案】(1)
(2)3
(3)当t为6s或12s或10.8s或13s时，为等腰三角形
(4)当t为4或12秒时，直线把的周长分成相等的两部
【分析】（1）由勾股定理求出AC=8cm，动点P从点C开始，出发2秒后，则CP=2cm，AP=6cm，由勾股定理求出PB，即可得出结果；
（2）过点P作PD⊥AB于点D，由HL证明Rt△BPD≌Rt△BPC，得出BD=BC=6cm，则AD=10-6=4cm，设PC=x cm，则PA=（8-x）cm，由勾股定理得出方程，解方程即可；
（3）分两种情况：①若P在边AC上时，BC=CP=6cm，此时用的时间为6秒；
②若P在AB边上时，有三种情况：
i若使BP=CB=6cm，此时AP=4cm，P运动的路程为4+8=12cm，用的时间为12秒；
ii）若CP=BC=6cm，过C作CD⊥AB于点D，根据面积法求得高CD=4.8cm，求出BP=2PD=7.2cm，得出P运动的路程为18-7.2=10.8cm，即可得出结果；
ⅲ）若BP=CP，则∠PCB=∠B，证出PA=PC得出PA=PB=5cm，得出P的路程为13cm，即可得出结果；
（4）分两种情况：①当P、Q没相遇前：如图6，P点走过的路程为t cm，Q走过的路程为2t cm，根据题意得出方程，解方程即可；
②当P、Q相遇后：当P点在AB上，Q在AC上，则AP=（t-8）cm，AQ=（2t-16）cm，根据题意得出方程，解方程即可；即可得出结果．
【详解】（1）解：如图1，
由∠C=90°，AB=10cm，BC=6cm，
∴AC=8cm，
∵动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，
∴出发2秒后，则CP=2cm，AP=6cm，
∵∠C=90°，
∴由勾股定理得cm，
∴△ABP的周长为：AP+PB+AB=cm．
故答案为：cm．
（2）解：如图2所示，
过点P作PD⊥AB于点D，
∵PB平分∠ABC，
∴PD=PC．
在Rt△BPD与Rt△BPC中，
，
∴Rt△BPD≌Rt△BPC（HL），
∴BD=BC=6cm，
∴AD=10-6=4cm．
设PC=x cm，则PA=（8-x）cm．
在Rt△APD中，，
即，
解得：x=3，
故答案为：3．
（3）解：①如图3，
若P在边AC上时，BC=CP=6cm，
此时用的时间为6s，△BCP为等腰三角形．
②若P在AB边上时，有三种情况：
i）如图4，
若使BP=CB=6cm，此时AP=4cm，P运动的路程为4+8=12cm，
所以用的时间为12s，△BCP为等腰三角形；
ii）如图5，
若CP=BC=6cm，
过C作CD⊥AB于点D，根据面积法得：高CD=4.8cm，
在Rt△PCD中，PD=3.6cm，
∴BP=2PD=7.2cm，
∴P运动的路程为18-7.2=10.8cm，
∴用的时间为10.8s时，△BCP为等腰三角形；
ⅲ）如图6，
若BP=CP，则∠PCB=∠B，
∵∠ACP+∠BCP=90°，∠B+∠A=90°，
∴∠ACP=∠A，
∴PA=PC，
∴PA=PB=5，
∴P的路程为13cm，所以时间为13s时，△BCP为等腰三角形．
综上所述，当t为6s或12s或10.8s或13s时，△BCP为等腰三角形．
（4）解：分两种情况：
①当P、Q没相遇前：如图7，
P点走过的路程为t cm，Q走过的路程为2t cm，
∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分，
∴t+2t=12，
∴t=4；
②当P、Q相遇后：如图8，
当P点在AB上，Q在AC上，则AP=（t-8）cm，AQ=（2t-16）cm，
∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分，
∴t-8+2t-16=12，
∴t=12，
∴当t为4或12秒时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积的计算，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，进行分类讨论是解决问题的关键．
26．如图，一个牧童在小河正南方向4km的处牧马，若牧童从点向南继续前行7km到达点．则此时牧童的家位于点正东方向8km的处．牧童打算先把在点吃草的马牵到小河边饮水后再回家，请问他应该如何选择行走路径才能使所走的路程最短？最短路程是多少？请先在图上作出最短路径，再进行计算．
【答案】画图见详解，牧童选择如图所示的AF+FB的回家路线时，所走的路程最短，最短路程为17km．
【分析】作图：先取A点关于河岸l的对称点D，连接BD交直线l于点F，连接AF，即最短路径为：BD．根据题意可知：牧童的行走路线为AF+BF，根据A点关于河岸l的对称点为D，可得AF+BF=DF+BF，即根据两点之间线段最短，可知当点D、F、B三点共线时，路径最短，且最短路径为BD，根据题意可得AD=4×2=8（km），DC=AD+AC=8+7=15（km），利用勾股定理即可求出BD．
【详解】作图：先取A点关于河岸l的对称点D，连接BD交直线l于点F，连接AF，即最短路径为：BD，如图：
∵牧童先由A点去河边，再从河边直接返回家中，
∴牧童的行走路线为AF+BF，
∵A点关于河岸l的对称点为D，
∴AF=DF，
∴AF+BF=DF+BF，
即根据两点之间线段最短，可知当点D、F、B三点共线时，路径最短，且最短路径为BD，
∵A点距离河岸l为4km，
∴AD=4×2=8（km），
∵AC=7km，
∴DC=AD+AC=8+7=15（km），
根据题意可知∠C=90°，BC=8km，
∴△BCD是直角三角形，
∴，
答：牧童选择如图所示的AF+FB的回家路线时，所走的路程最短，最短路程为17km．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，正确作出图形，找到最短回家路线是解答本题的关键．
27．如图，直线AB与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，－4），若点E在线段AB上，OE⊥OF，且OE＝OF，连接AF.
（1）猜想线段AF与BE之间的关系，并证明；
（2）过点O作OM⊥EF垂足为D,OM分别交AF、BA的延长线于点C、M若BE=，求CF的长.
【答案】(1) AF=BE，证明见解析 （2）CF=
【分析】(1)由已知可得：∠FOE=∠AOB=90°，减去公共角∠AOE可得：∠FOA=∠EOB，又因为OE=OF,OA=OB,可证∆FOA≅∆EOB,即可得AF与BE相等.
（2）由(1)可得∠FAO=∠OBA=∠OAB=45°,可得∠FAE=90°，由A,B坐标可求得AB=4，又AF=BE=，得AE的长.连接EC，根据等腰三角形的“三线合一”可得OM垂直平分EF，则FC=EC，设FC=EC=x，则AC=，在直角三角形AEC中，根据勾股定理列出方程，代入数值即可求得CF的长.
【详解】(1) AF=BE，证明：
∵直线AB与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，－4）
∴OA=OB=4
∵OE⊥OF
∴∠FOE=∠AOB=90°
∴∠FOE-∠AOE=∠AOB-∠AOE
即∠FOA=∠EOB
在∆FOA和∆EOB中
∴∆FOA≅∆EOB（SAS）
∴AF=BE
（2）连接EC.
∵OA=OB=4，∠AOB=90°
∴∠OBA=∠OAB=45°，AB=4
由（1）得：∆FOA≅∆EOB
∴∠FAO=∠OBA=∠OAB=45°，AF=BE=
∴∠FAE=90°，AE=
∵OE=OF， OM⊥EF
∴OM垂直平分EF
∴FC=EC
设FC=EC=x，则AC=
根据勾股定理得：
解得
∴CF=
【点睛】本题考查了三角形全等的性质及判定、等腰三角形的性质、勾股定理等内容，解答本题的关键在于能灵活运用知识，并学会分析问题的方法，对各知识的掌握要熟练.
28．台风是一种自然灾害，它在以台风中心为圆心，一定长度为半径的圆形区域内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，监测中心监测到一台风中心沿监测点B与监测点A所在的直线由东向西移动，已知点C为一海港，且点C与A， B两点的距离分别为300km、 400km，且∠ACB=90°，过点C作CE⊥AB于点E，以台风中心为圆心，半径为260km的圆形区域内为受影响区域．
（1）求监测点A与监测点B之间的距离；
（2）请判断海港C是否会受此次台风的影响，并说明理由；
（3）若台风的速度为25km/h，则台风影响该海港多长时间？
【答案】（1）监测点A与监测点B之间的距离是500 km；（2）海港会受到此次台风的影响，见解析；（3）台风影响该海港8小时
【分析】（1）利用勾股定理直接求解；
（2）利用等面积法得出CE的长，进而得出海港C是否受台风影响；
（3）利用勾股定理得出受影响的界点P与Q离点E的距离，进而得出台风影响该海港持续的时间．
【详解】解：在中，，
由勾股定理得
答：监测点A与监测点B之间的距离是500 km．
（2）海港C会受到此次台风的影响，理由如下：
∵，
∴
解得：．
∵
∴海港会受到此次台风的影响．
（3）如图，海港C在台风中心从Q点移动到P点这段时间内受影响．
∵
∴在中，，即
解得：PE=100
同理得：
∵台风的速度为25km/h
∴台风影响该海港的时长为：
答：台风影响该海港8小时．
【点睛】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是将实际问题中的各个条件转化为几何语言．
（考试时间：100分钟 试卷满分：120分）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．如果3，4，是直角三角形三边长，则x的值是（ ）
A．5B．C．5或D．5或7
2．下面四组数，其中是勾股数组的是（ ）
A．，，B．，，C．，，D．，，
3．已知中，，，的对边分别是，，．下列条件不能判断是直角三角形的是（ ）
A．B．
C．D．
4．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，其中摆放方法正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，在中，，则边上的高的长为（ ）
A．4B．C．D．5
6．如图，每个小正方形的边长都是1，，，分别在格点上，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，一棵大树在一次强台风中于离地面10m处折断倒下，倒下部分的树梢到树的距离为24m，则这棵大树折断处到树顶的长度是（ ）
A．10mB．15mC．26mD．30m
8．如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为米，顶端距离地面米．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面米，则小巷的宽度为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共有10小题，每题3分，共30分）
9．的三边分别是a、b、c，且满足，则当__________时是直角三角形．
10．如图，每个小正方形的边长为1，在中，点D为AB的中点，则线段CD的长为________
11．如图所示，在中，，，，线段的垂直平分线交于交于，则的周长为______．
12．如图，△ABC为一张纸片，AB=3，AC=9，BC=，现将△ABC折叠，使点C与点B重合，折痕为DE．则DC长为_____________
13．如图所示为一种“羊头”形图案，其作法是：从正方形①开始，以它的一边为斜，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②，…，依此类推，若正方形①的面积为64，则正方形⑤的面积为__________．
14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，点P是边AC上一动点，把△ABP沿直线BP折叠，使得点A落在图中点A′处，当△AA′C是直角三角形时，则线段CP的长是_________．
15．如图，∠ABC＝90°，，以B为圆心，BC长为半径画弧，与射线AD相交于点E，连接BE，过点C作CF⊥ BE，垂足为F．若AB＝6，AE＝8，BE＝10，则EF的长为_______．
16．如图所示，甲渔船以8海里时的速度离开港口向东北方向航行，乙渔船以6海里时的速度离开港口向西北方向航行，他们同时出发，一个小时后，甲、乙两渔船相距_______海里．
17．A、B、C、D四个小城镇，它们之间（除B、C外）都有笔直的公路相连接（如图），公共汽车行驶于城镇之间，其票价与路程成正比．已知各城镇间的公共汽车票价如下：A﹣B：10元，A﹣C：12.5元，A﹣D：8元，B﹣D：6元，C﹣D：4.5元，为了B、C之间交通方便，在B、C之间建成笔直的公路，请按上述标准计算出B、C之间公共汽车的票价为_____元．
18．爱动脑筋的小明某天在家玩遥控游戏时遇到下面的问题：已知，如图一个棱长为8cm无盖的正方体铁盒，小明通过遥控器操控一只带有磁性的甲虫玩具，他先把甲虫放在正方体盒子外壁A处，然后遥控甲虫从A处出发沿外壁面正方形ABCD爬行，爬到边CD上后再在边CD上爬行3cm，最后在沿内壁面正方形ABCD上爬行，最终到达内壁BC的中点M，甲虫所走的最短路程是 ______cm
三、解答题（本大题共有10小题，共66分；第19-24每小题5分，第25-26每小题6分，第27小题10分，第28小题14分）
19．如图，在长方形中，，E为上一点，把沿折叠，使点C落在边上的F处．
(1)求的长；
(2)求的长．
20．如图，甲乙两船从港口A同时出发，甲船以16海里/时速度向北偏东航行，乙船以12海里/时向南偏东方向航行，3小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛．若C、B两岛相距60海里，问乙船出发后的航向是南偏东多少度？
21．在中，AB，BC，AC三边的长分别，，，求这个三角形的面积．
小明同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积．
(1)请你将的面积直接填写在横线上______；
(2)我们把上述求面积的方法叫做构图法，若三边AB，BC，AC的长分别为，，，请利用图2的正方形网格（每个小正方形的边长为1）画出相应的，并求出它的面积．
22．如图，P是等边三角形ABC内一点，将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ，连接BQ．若PA=6，PB=8，PC=10．
(1)CP与BQ的大小关系，并说明理由；
(2)连接PQ，判断△BPQ的形状；
(3)求四边形APBQ的面积．
23．如图，为纪念中国共产党建党100周年，水磨沟景区拟对园中的一块空地进行美化施工，已知米，米，，米，米，欲在此空地上种植盆景造型．已知盆景每平方米500元，试问用该盆景铺满这块空地共需花费多少元？
24．如图，斜靠墙上的一根竹竿AB长为13m，端点B离墙角的水平距离BC长为5m．
(1)若A端下移的距离等于B端沿CB方向移动的距离，求下移的距离．
(2)在竹竿滑动的过程中，△ABC面积有最 值（填“大”或“小”）为 （两个空直接写出答案不需要解答过程）．
25．如图，中，，，，若动点P从点C开始，按的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．
(1)当秒时，的周长=________________；
(2)当_____________秒时，平分；
(3)问t为何值时，为等腰三角形？
(4)另有一点Q，从点C开始，按的路径运动，且速度为每秒2cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线把的周长分成相等的两部分？
26．如图，一个牧童在小河正南方向4km的处牧马，若牧童从点向南继续前行7km到达点．则此时牧童的家位于点正东方向8km的处．牧童打算先把在点吃草的马牵到小河边饮水后再回家，请问他应该如何选择行走路径才能使所走的路程最短？最短路程是多少？请先在图上作出最短路径，再进行计算．
27．如图，直线AB与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，－4），若点E在线段AB上，OE⊥OF，且OE＝OF，连接AF.
（1）猜想线段AF与BE之间的关系，并证明；
（2）过点O作OM⊥EF垂足为D,OM分别交AF、BA的延长线于点C、M若BE=，求CF的长.
28．台风是一种自然灾害，它在以台风中心为圆心，一定长度为半径的圆形区域内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，监测中心监测到一台风中心沿监测点B与监测点A所在的直线由东向西移动，已知点C为一海港，且点C与A， B两点的距离分别为300km、 400km，且∠ACB=90°，过点C作CE⊥AB于点E，以台风中心为圆心，半径为260km的圆形区域内为受影响区域．
（1）求监测点A与监测点B之间的距离；
（2）请判断海港C是否会受此次台风的影响，并说明理由；
（3）若台风的速度为25km/h，则台风影响该海港多长时间？
【高效培优】2022—2023学年八年级数学上册必考重难点突破必刷卷（苏科版）
【单元测试】第3章 勾股定理（综合能力拔高卷）
（考试时间：100分钟 试卷满分：120分）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．如果3，4，是直角三角形三边长，则x的值是（ ）
A．5B．C．5或D．5或7
【答案】C
【分析】分4为直角边和4为斜边时两种情况，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：当4为直角边时，
由勾股定理得，
解得x=5，
当4为斜边时，
由勾股定理得，
解得x=，
综上，x=5或x=，
故选：C．
【点睛】本题考查勾股定理，解答本题的关键是明确题意，求出x的值，注意存在两种情况．
2．下面四组数，其中是勾股数组的是（ ）
A．，，B．，，C．，，D．，，
【答案】A
【分析】根据勾股数的定义：有a、b、c三个正整数，满足的三个数，称为勾股数．由此判定即可．
【详解】解：A、，能构成勾股数，故正确；B、0.3，0.4，0.5，不是正整数，所以不是勾股数，故错误；C、，不能构成勾股数，故错误；D、，不能构成勾股数，故错误．
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股数，解答此题要深刻理解勾股数的定义，熟记常用的勾股数．
3．已知中，，，的对边分别是，，．下列条件不能判断是直角三角形的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用三角形的内角和定理、直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐项判断即可．
【详解】解：、，
，故是直角三角形；
、，，
，故是直角三角形；
、，
，故不是直角三角形；
、，
，故是直角三角形．
故选：．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的逆定理及三角形的内角和定理，当三角形的三边长a、b、c满足或三内角中有一个是直角的情况下，能判定三角形是直角三角形，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
4．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，其中摆放方法正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据图中所给出的数，找出组成三角形的三边，并判断较小两边的平方和是否等于最大边的平方，每一个图判断两次即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴A错误，B错误，C错误，D正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是注意是判断较小两边的平方和是否等于最大边的平方．
5．如图，在中，，则边上的高的长为（ ）
A．4B．C．D．5
【答案】C
【分析】过A作AE⊥BC于点E，根据勾股定理计算出底边上的高AE的长，然后利用三角形面积的不同求法列式求出BD即可．
【详解】解：过点A作AE⊥BC于点E，
∵AB＝AC＝5，
∴△ABC是等腰三角形，
∵AE⊥BC，
∴EB＝EC＝BC＝3，
在Rt△ABE中，AE＝，
∴＝AC·BD＝BC·AE，
∴BD，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用以及等腰三角形的性质，关键是掌握等腰三角形底边上的高线和中线重合．
6．如图，每个小正方形的边长都是1，，，分别在格点上，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用勾股定理的逆定理证明△ACB为等腰直角三角形即可得到∠ABC的度数．
【详解】解：连接AC，
由勾股定理得：AC=BC=，AB=，
∵AC2+BC2=AB2=10，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ABC=45°，
故选B．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，解答本题的关键是根据正方形的性质求出边长，由勾股定理的逆定理判断出等腰直角三角形．
7．如图，一棵大树在一次强台风中于离地面10m处折断倒下，倒下部分的树梢到树的距离为24m，则这棵大树折断处到树顶的长度是（ ）
A．10mB．15mC．26mD．30m
【答案】C
【分析】根据勾股定理求出大树折断部分的高度即可求解．
【详解】】解：如图所示：
∵△ABC是直角三角形，AB=10m，AC=24m，
故选C
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，解答此题的关键是先根据勾股定理求出BC的长度．
8．如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为米，顶端距离地面米．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面米，则小巷的宽度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先根据勾股定理求出梯子的长，进而根据勾股定理可得出小巷的宽度．
【详解】解：如图，由题意可得：
AD2=0.72+2.42=6.25，
在Rt△ABC中，
∵∠ABC=90°，BC=1.5米，BC2+AB2=AC2，AD=AC，
∴AB2+1.52=6.25，
∴AB=±2，
∵AB＞0，
∴AB=2米，
∴小巷的宽度为：0.7+2=2.7（米）．
故选：D.
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．
二、填空题（本大题共有10小题，每题3分，共30分）
9．的三边分别是a、b、c，且满足，则当__________时是直角三角形．
【答案】100或28##28或100
【分析】根据绝对值和偶次方的非负性得出a=8， b=6，再根据勾股定理解答即可．
【详解】解∶∵，
∴a-8=0， b-6=0，
解得∶ a=8， b=6，
∴当△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形时，，
当△ABC是以∠CAB为直角的直角三角形时，，
故答案为∶ 100或28．
【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长a，b，c满足 ，那么这个三角形就是直角三角形，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
10．如图，每个小正方形的边长为1，在中，点D为AB的中点，则线段CD的长为________
【答案】##
【分析】根据勾股定理列式求出AB、BC、AC，再利用勾股定理逆定理判断出△ABC是直角三角形，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．
【详解】解：根据勾股定理，，
，
，
∵，
∴△ABC是直角三角形，
∵点D为AB的中点，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理，勾股定理逆定理的应用，判断出△ABC是直角三角形是解题的关键．
11．如图所示，在中，，，，线段的垂直平分线交于交于，则的周长为______．
【答案】7
【分析】根据线段垂直平分线的性质定理：垂直平分线上的任意一点到线段两端点的距离相等，可得AE=EC，再根据勾股定理求出BC的长度，即可得的周长．
【详解】DE垂直平分线段AC，
AE=CE，
在中，，，，
==4，
的周长=AB+BE+AE=AB+BE+EC=AB+BC=3+4=7．
故答案为：7．
【点睛】此题考查了垂直平分线的性质定理、勾股定理等知识．熟练运用垂直平分线性质定理和勾股定理是解此题的关键．
12．如图，△ABC为一张纸片，AB=3，AC=9，BC=，现将△ABC折叠，使点C与点B重合，折痕为DE．则DC长为_____________
【答案】5
【分析】根据勾股定理逆定理可得∠A=90°，再根据折叠的性质可得BD=CD，设CD=x，则BD=x，AD=9-x，再由勾股定理，即可求解．
【详解】解：∵AB=3，AC=9，BC=，
∴，
∴∠A=90°，
∵将△ABC折叠，使点C与点B重合，
∴BD=CD，
设CD=x，则BD=x，AD=9-x，
∵，
∴，
解得：，
即CD=5．
故答案为：5
【点睛】本题主要考查了勾股定理勾股定理及其逆定理，图形的折叠，熟练掌握勾股定理勾股定理及其逆定理是解题的关键．
13．如图所示为一种“羊头”形图案，其作法是：从正方形①开始，以它的一边为斜，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②，…，依此类推，若正方形①的面积为64，则正方形⑤的面积为__________．
【答案】4
【分析】根据题意可知第一个正方形的面积是64，则第二个正方形的面积是32，…，进而可找出规律得出第n个正方形的面积，即可得出结果．
【详解】解：第一个正方形的面积是64；
设第一个等腰直角三角形的直角边长为 由勾股定理可得：
∴
解得：
∴第二个正方形的面积是；
同理：第三个正方形的面积是；
…
第n个正方形的面积是，
当时，正方形的面积为
∴正方形⑤的面积是4．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理．解题的关键是找出第n个正方形的面积．
14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，点P是边AC上一动点，把△ABP沿直线BP折叠，使得点A落在图中点A′处，当△AA′C是直角三角形时，则线段CP的长是_________．
【答案】4或3
【分析】分类讨论分别当∠AA′C=90°时，当∠ACA′=90°时，根据折叠的性质函数直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：如图1，当∠AA′C=90°时，
∵以直线BP为轴把△ABP折叠，使得点A落在图中点A′处，
∴AP=A′P，
∴∠PAA′=∠AA′P，
∵∠ACA′+∠PAA′=∠CA′P+∠AA′P=90°，
∴∠PCA′=∠PA′C，
∴PC=PA′，
∴PC=AC=4，
如图2，当∠ACA′=90°时，
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，且AC=8，BC=6．
∴AB=10，
∵以直线BP为轴把△ABP折叠，使得点A落在图中点A′处，
∴A′B=AB=10，PA=PA′，
∴A′C=4，
设PC=x，
∴AP=8-x，
∵A′C2+PC2=PA′2，
∴42+x2=（8-x）2，
解得：x=3，
∴PC=3，
综上所述：当△AA′C是直角三角形时，则线段CP的长是4或3，
故答案为：4或3．
【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题）直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键．
15．如图，∠ABC＝90°，，以B为圆心，BC长为半径画弧，与射线AD相交于点E，连接BE，过点C作CF⊥ BE，垂足为F．若AB＝6，AE＝8，BE＝10，则EF的长为_______．
【答案】2
【分析】先判断为直角三角形，再证明,由全等性质求得BF=8，再相减可得
【详解】，
，
为直角三角形，
，
∵ CF⊥ BE，
，
又，
，
是以B为圆心，BC长为半径的圆弧的半径，
，
在和中，
，
（AAS），
，
，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形全等的判定和性质，找对应边和找对应角是解题关键．
16．如图所示，甲渔船以8海里时的速度离开港口向东北方向航行，乙渔船以6海里时的速度离开港口向西北方向航行，他们同时出发，一个小时后，甲、乙两渔船相距_______海里．
【答案】10
【分析】根据方位角分析可得，根据路程等于速度乘以时间求得，继而根据勾股定理即可求解．
【详解】解：甲渔船离开港口向东北方向航行，乙渔船离开港口向西北方向航行，
，
出发一个小时后，（海里），（海里），
（海里），
故答案为：10．
【点睛】本题考查了勾股定理，方位角，掌握勾股定理是解题的关键．
17．A、B、C、D四个小城镇，它们之间（除B、C外）都有笔直的公路相连接（如图），公共汽车行驶于城镇之间，其票价与路程成正比．已知各城镇间的公共汽车票价如下：A﹣B：10元，A﹣C：12.5元，A﹣D：8元，B﹣D：6元，C﹣D：4.5元，为了B、C之间交通方便，在B、C之间建成笔直的公路，请按上述标准计算出B、C之间公共汽车的票价为_____元．
【答案】7.5
【分析】先根据勾股定理的逆定理判定△ABD为直角三角形，则△BDC也为直角三角形，再根据勾股定理计算BC的长，从而算出B、C之间的票价．
【详解】根据题意，公共汽车行驶于城镇之间，其票价与路程成正比，
设其比例系数为（k≠0），即票价＝×路程，则路程＝k票价；
在△ABD中，AB＝10k，AD＝8k，BD＝6k，
∵AD2 + BD2 = (8k)2+(6k)2=100k2=AB2
∴△ABD为直角三角形
∴∠ ADB＝90°，
则∠ BDC＝90°；
则在Rt△BDC中，BD＝6k，CD＝4.5k；
由勾股定理可得BC2=BD2+DC2==56.25k2
∴BC＝7.5k，
则B、C之间公共汽车的票价为7.5元．
故答案为7.5
【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．
18．爱动脑筋的小明某天在家玩遥控游戏时遇到下面的问题：已知，如图一个棱长为8cm无盖的正方体铁盒，小明通过遥控器操控一只带有磁性的甲虫玩具，他先把甲虫放在正方体盒子外壁A处，然后遥控甲虫从A处出发沿外壁面正方形ABCD爬行，爬到边CD上后再在边CD上爬行3cm，最后在沿内壁面正方形ABCD上爬行，最终到达内壁BC的中点M，甲虫所走的最短路程是 ______cm
【答案】16
【分析】将正方形沿着翻折得到正方形 ，过点在正方形内部作，使，连接，过作于点，此时最小，运用勾股定理求解即可．
【详解】
如图，将正方形沿着翻折得到正方形 ，过点在正方形内部作，使，连接，过作于点，则四边形是矩形，四边形是平行四边形，
∴，，，，
此时最小，
∵点是中点，
∴cm，
∴cm，cm，
在中，cm，
∴cm，
故答案为：16．
【点睛】本题考查最短路径问题，考查了正方形的性质，矩形的性质，平行四边形的性质和判定，勾股定理，轴对称性质等，解题的关键是将立体图形中的最短距离转换为平面图形的两点之间线段长度进行计算．
三、解答题（本大题共有10小题，共66分；第19-24每小题5分，第25-26每小题6分，第27小题10分，第28小题14分）
19．如图，在长方形中，，E为上一点，把沿折叠，使点C落在边上的F处．
(1)求的长；
(2)求的长．
【答案】(1)8
(2)
【分析】（1）由长方形和折叠的性质得到DF=CD=10，在Rt△ADF中，由勾股定理求解即可；
（2）设CE=EF=x，则BE=6-x，BF=AB-AF=2，在Rt△BEF中，由勾股定理建立方程求解即可．
【详解】（1）解：∵四边形ABCD是长方形，
∴∠A=90°，AB=CD=10，
由折叠的性质可知DF=CD=10，
∴在Rt△ADF中，由勾股定理得；
（2）解：由折叠的性质可得CE=EF，
由长方形的性质可得∠B=90°，BC=AD=6，
设CE=EF=x，则BE=6-x，BF=AB-AF=2，
在Rt△BEF中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴．
【点睛】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，熟知勾股定理和折叠的性质是解题的关键．
20．如图，甲乙两船从港口A同时出发，甲船以16海里/时速度向北偏东航行，乙船以12海里/时向南偏东方向航行，3小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛．若C、B两岛相距60海里，问乙船出发后的航向是南偏东多少度？
【答案】
【分析】首先理解方位角的概念，根据所给的方位角得到∠CAB=90°．根据勾股定理求得乙船所走的路程，再根据速度=路程÷时间，计算即可．
【详解】由题意可得，，，，
∵，
∴，
∴是直角三角形，，
∵，
∴，
∴乙船出发后的航向是南偏东40°．
【点睛】本题考查了方位角的概念及勾股定理，解决本题的关键是能熟练使用勾股定理解决问题．
21．在中，AB，BC，AC三边的长分别，，，求这个三角形的面积．
小明同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积．
(1)请你将的面积直接填写在横线上______；
(2)我们把上述求面积的方法叫做构图法，若三边AB，BC，AC的长分别为，，，请利用图2的正方形网格（每个小正方形的边长为1）画出相应的，并求出它的面积．
【答案】(1)2.5
(2)图见解析，4
【分析】（1）利用长方形的面积减去边角的三角形面积即可；
（2）是边长为2和2的直角三角形的斜边，是边长为1和3的直角三角形的斜边，是边长为1和5的直角三角形的斜边，再利用长方形面积减去多余的三角形即可．
【详解】（1）解：；
故答案为：2.5；
（2）如图2，
，，，
∴．
【点睛】此题考查了在网格中画图，勾股定理计算边长，构建长方形求三角形的面积，根据三角形三边的长度在网格中画出三角形是解题的关键，需要掌握直角三角形的勾股数才能正确画图．
22．如图，P是等边三角形ABC内一点，将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ，连接BQ．若PA=6，PB=8，PC=10．
(1)CP与BQ的大小关系，并说明理由；
(2)连接PQ，判断△BPQ的形状；
(3)求四边形APBQ的面积．
【答案】(1)CP=BQ，理由见解析
(2)直角三角形
(3)
【分析】（1）结论：CP=BQ．证明△CAP≌△BAQ（SAS），可得结论；
（2）结论：△PBQ是直角三角形．利用勾股定理的逆定理证明即可；
（3）根据，求解即可．
【详解】（1）解：结论：CP=BQ．
理由：如图1中，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=AB，∠CAB=60°，
∵AP=AQ，∠PAQ=60°，
∴∠CAB=∠PAQ，
∴∠CAP=∠BAQ，
在△CAP和△BAQ中，
，
∴△CAP≌△BAQ（SAS），
∴CP=BQ；
（2）
解：结论：△PBQ是直角三角形．
理由：如图2中，
∴AP=AQ，∠PAQ=60°，
∴△APQ是等边三角形，
∴PQ=AP=6，
∵BQ=PC=10，PB=8，
∴，
∴∠BPQ=90°，
∴△PBQ是直角三角形；
（3）
解：过点A作AG⊥PQ于点G，
∵△APQ是等边三角形，且PQ=AP=6，
∴PG=QG=3，
∴AG==3，
．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
23．如图，为纪念中国共产党建党100周年，水磨沟景区拟对园中的一块空地进行美化施工，已知米，米，，米，米，欲在此空地上种植盆景造型．已知盆景每平方米500元，试问用该盆景铺满这块空地共需花费多少元？
【答案】用盆景铺满这块空地共需花费12000元
【分析】首先利用勾股定理得出AC的长度，然后利用勾股定理得逆定理得到是直角三角形，进而求出和的面积，两个面积之差即为空地面积．
【详解】解：如图连接AC，
在中，米，米，∠B=90°，
由勾股定理得（米），
在中，
由勾股定理得逆定理得是直角三角形，且，
∴
=
平方米
∴用盆景铺满空地需要（元）．
答：用盆景铺满这块空地共需花费12000元．
【点睛】本题主要考查勾股定理和勾股定理得逆定理得应用，关键在于求出．
24．如图，斜靠墙上的一根竹竿AB长为13m，端点B离墙角的水平距离BC长为5m．
(1)若A端下移的距离等于B端沿CB方向移动的距离，求下移的距离．
(2)在竹竿滑动的过程中，△ABC面积有最 值（填“大”或“小”）为 （两个空直接写出答案不需要解答过程）．
【答案】(1)下移的距离为7m
(2)大，
【分析】（1）设=x，根据勾股定理列出关于x的方程，解方程即可；
（2）以为底，以C到直线的距离为高，在竹竿下滑过程中，高为的中线时，的面积最大，由三角形的面积公式求出最大值．
【详解】（1）解：设＝＝xm，
由题意得：m，
则＝（12﹣x）m，＝（5＋x）m，
由勾股定理得：，
即，
解得：x＝7，即＝7m．
答：下移的距离为7m；
（2）解：如图，以为底，过C作的垂线CD，D为垂足，
设Rt△斜边上的中线为CP，则CP＝m，CD≤CP，
在竹竿下滑过程中，当CD为的中线时，的面积最大，
最大值＝×13×＝（）．
故答案为：大，．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，直角三角形斜边上的中线以及垂线段最短的性质，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理．
25．如图，中，，，，若动点P从点C开始，按的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．
(1)当秒时，的周长=________________；
(2)当_____________秒时，平分；
(3)问t为何值时，为等腰三角形？
(4)另有一点Q，从点C开始，按的路径运动，且速度为每秒2cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线把的周长分成相等的两部分？
【答案】(1)
(2)3
(3)当t为6s或12s或10.8s或13s时，为等腰三角形
(4)当t为4或12秒时，直线把的周长分成相等的两部
【分析】（1）由勾股定理求出AC=8cm，动点P从点C开始，出发2秒后，则CP=2cm，AP=6cm，由勾股定理求出PB，即可得出结果；
（2）过点P作PD⊥AB于点D，由HL证明Rt△BPD≌Rt△BPC，得出BD=BC=6cm，则AD=10-6=4cm，设PC=x cm，则PA=（8-x）cm，由勾股定理得出方程，解方程即可；
（3）分两种情况：①若P在边AC上时，BC=CP=6cm，此时用的时间为6秒；
②若P在AB边上时，有三种情况：
i若使BP=CB=6cm，此时AP=4cm，P运动的路程为4+8=12cm，用的时间为12秒；
ii）若CP=BC=6cm，过C作CD⊥AB于点D，根据面积法求得高CD=4.8cm，求出BP=2PD=7.2cm，得出P运动的路程为18-7.2=10.8cm，即可得出结果；
ⅲ）若BP=CP，则∠PCB=∠B，证出PA=PC得出PA=PB=5cm，得出P的路程为13cm，即可得出结果；
（4）分两种情况：①当P、Q没相遇前：如图6，P点走过的路程为t cm，Q走过的路程为2t cm，根据题意得出方程，解方程即可；
②当P、Q相遇后：当P点在AB上，Q在AC上，则AP=（t-8）cm，AQ=（2t-16）cm，根据题意得出方程，解方程即可；即可得出结果．
【详解】（1）解：如图1，
由∠C=90°，AB=10cm，BC=6cm，
∴AC=8cm，
∵动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，
∴出发2秒后，则CP=2cm，AP=6cm，
∵∠C=90°，
∴由勾股定理得cm，
∴△ABP的周长为：AP+PB+AB=cm．
故答案为：cm．
（2）解：如图2所示，
过点P作PD⊥AB于点D，
∵PB平分∠ABC，
∴PD=PC．
在Rt△BPD与Rt△BPC中，
，
∴Rt△BPD≌Rt△BPC（HL），
∴BD=BC=6cm，
∴AD=10-6=4cm．
设PC=x cm，则PA=（8-x）cm．
在Rt△APD中，，
即，
解得：x=3，
故答案为：3．
（3）解：①如图3，
若P在边AC上时，BC=CP=6cm，
此时用的时间为6s，△BCP为等腰三角形．
②若P在AB边上时，有三种情况：
i）如图4，
若使BP=CB=6cm，此时AP=4cm，P运动的路程为4+8=12cm，
所以用的时间为12s，△BCP为等腰三角形；
ii）如图5，
若CP=BC=6cm，
过C作CD⊥AB于点D，根据面积法得：高CD=4.8cm，
在Rt△PCD中，PD=3.6cm，
∴BP=2PD=7.2cm，
∴P运动的路程为18-7.2=10.8cm，
∴用的时间为10.8s时，△BCP为等腰三角形；
ⅲ）如图6，
若BP=CP，则∠PCB=∠B，
∵∠ACP+∠BCP=90°，∠B+∠A=90°，
∴∠ACP=∠A，
∴PA=PC，
∴PA=PB=5，
∴P的路程为13cm，所以时间为13s时，△BCP为等腰三角形．
综上所述，当t为6s或12s或10.8s或13s时，△BCP为等腰三角形．
（4）解：分两种情况：
①当P、Q没相遇前：如图7，
P点走过的路程为t cm，Q走过的路程为2t cm，
∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分，
∴t+2t=12，
∴t=4；
②当P、Q相遇后：如图8，
当P点在AB上，Q在AC上，则AP=（t-8）cm，AQ=（2t-16）cm，
∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分，
∴t-8+2t-16=12，
∴t=12，
∴当t为4或12秒时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积的计算，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，进行分类讨论是解决问题的关键．
26．如图，一个牧童在小河正南方向4km的处牧马，若牧童从点向南继续前行7km到达点．则此时牧童的家位于点正东方向8km的处．牧童打算先把在点吃草的马牵到小河边饮水后再回家，请问他应该如何选择行走路径才能使所走的路程最短？最短路程是多少？请先在图上作出最短路径，再进行计算．
【答案】画图见详解，牧童选择如图所示的AF+FB的回家路线时，所走的路程最短，最短路程为17km．
【分析】作图：先取A点关于河岸l的对称点D，连接BD交直线l于点F，连接AF，即最短路径为：BD．根据题意可知：牧童的行走路线为AF+BF，根据A点关于河岸l的对称点为D，可得AF+BF=DF+BF，即根据两点之间线段最短，可知当点D、F、B三点共线时，路径最短，且最短路径为BD，根据题意可得AD=4×2=8（km），DC=AD+AC=8+7=15（km），利用勾股定理即可求出BD．
【详解】作图：先取A点关于河岸l的对称点D，连接BD交直线l于点F，连接AF，即最短路径为：BD，如图：
∵牧童先由A点去河边，再从河边直接返回家中，
∴牧童的行走路线为AF+BF，
∵A点关于河岸l的对称点为D，
∴AF=DF，
∴AF+BF=DF+BF，
即根据两点之间线段最短，可知当点D、F、B三点共线时，路径最短，且最短路径为BD，
∵A点距离河岸l为4km，
∴AD=4×2=8（km），
∵AC=7km，
∴DC=AD+AC=8+7=15（km），
根据题意可知∠C=90°，BC=8km，
∴△BCD是直角三角形，
∴，
答：牧童选择如图所示的AF+FB的回家路线时，所走的路程最短，最短路程为17km．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，正确作出图形，找到最短回家路线是解答本题的关键．
27．如图，直线AB与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，－4），若点E在线段AB上，OE⊥OF，且OE＝OF，连接AF.
（1）猜想线段AF与BE之间的关系，并证明；
（2）过点O作OM⊥EF垂足为D,OM分别交AF、BA的延长线于点C、M若BE=，求CF的长.
【答案】(1) AF=BE，证明见解析 （2）CF=
【分析】(1)由已知可得：∠FOE=∠AOB=90°，减去公共角∠AOE可得：∠FOA=∠EOB，又因为OE=OF,OA=OB,可证∆FOA≅∆EOB,即可得AF与BE相等.
（2）由(1)可得∠FAO=∠OBA=∠OAB=45°,可得∠FAE=90°，由A,B坐标可求得AB=4，又AF=BE=，得AE的长.连接EC，根据等腰三角形的“三线合一”可得OM垂直平分EF，则FC=EC，设FC=EC=x，则AC=，在直角三角形AEC中，根据勾股定理列出方程，代入数值即可求得CF的长.
【详解】(1) AF=BE，证明：
∵直线AB与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，－4）
∴OA=OB=4
∵OE⊥OF
∴∠FOE=∠AOB=90°
∴∠FOE-∠AOE=∠AOB-∠AOE
即∠FOA=∠EOB
在∆FOA和∆EOB中
∴∆FOA≅∆EOB（SAS）
∴AF=BE
（2）连接EC.
∵OA=OB=4，∠AOB=90°
∴∠OBA=∠OAB=45°，AB=4
由（1）得：∆FOA≅∆EOB
∴∠FAO=∠OBA=∠OAB=45°，AF=BE=
∴∠FAE=90°，AE=
∵OE=OF， OM⊥EF
∴OM垂直平分EF
∴FC=EC
设FC=EC=x，则AC=
根据勾股定理得：
解得
∴CF=
【点睛】本题考查了三角形全等的性质及判定、等腰三角形的性质、勾股定理等内容，解答本题的关键在于能灵活运用知识，并学会分析问题的方法，对各知识的掌握要熟练.
28．台风是一种自然灾害，它在以台风中心为圆心，一定长度为半径的圆形区域内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，监测中心监测到一台风中心沿监测点B与监测点A所在的直线由东向西移动，已知点C为一海港，且点C与A， B两点的距离分别为300km、 400km，且∠ACB=90°，过点C作CE⊥AB于点E，以台风中心为圆心，半径为260km的圆形区域内为受影响区域．
（1）求监测点A与监测点B之间的距离；
（2）请判断海港C是否会受此次台风的影响，并说明理由；
（3）若台风的速度为25km/h，则台风影响该海港多长时间？
【答案】（1）监测点A与监测点B之间的距离是500 km；（2）海港会受到此次台风的影响，见解析；（3）台风影响该海港8小时
【分析】（1）利用勾股定理直接求解；
（2）利用等面积法得出CE的长，进而得出海港C是否受台风影响；
（3）利用勾股定理得出受影响的界点P与Q离点E的距离，进而得出台风影响该海港持续的时间．
【详解】解：在中，，
由勾股定理得
答：监测点A与监测点B之间的距离是500 km．
（2）海港C会受到此次台风的影响，理由如下：
∵，
∴
解得：．
∵
∴海港会受到此次台风的影响．
（3）如图，海港C在台风中心从Q点移动到P点这段时间内受影响．
∵
∴在中，，即
解得：PE=100
同理得：
∵台风的速度为25km/h
∴台风影响该海港的时长为：
答：台风影响该海港8小时．
【点睛】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是将实际问题中的各个条件转化为几何语言．
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