9+1 2024届 数学模拟卷01

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考生注意：
本试卷满分150分，考试时间120分钟；
答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上；
答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试卷上的作答一律无效；
非选择题的答案必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题纸上相应区域内，作图时可先使用2B铅笔，确定后必须使用黑色字迹签字笔或钢笔描黑。
【未经“9+1”高中联盟授权，任何单位和个人均不准翻印或销售此试卷，也不准以任何形式（包括网络）转载，本卷复印无效】
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合A＝{x|x＝3k1，k∈Z}，B＝{x|x26x7＜0}，则A∩B＝（ ▲ ）
A．{4，1} B．{1，2} C．{1，4} D．{2，5}
2．设复数z满足(1i)(2i EQ \(\s\up4(-),z))＝2(i为虚数单位)，则z＝（ ▲ ）
A．1＋3i B．13i C．1i D．1i
3．若双曲线（）的一条渐近线方程为y＝2 EQ \r( ,2)x，则双曲线的离心率e＝（ ▲ ）
A． EQ \r( ,2) B． EQ \r( ,3) C．2 EQ \r( ,2) D．3
4．下列函数中最小值为10的是（ ▲ ）
A．y＝x EQ \F(25,x) B．y＝sin2x EQ \F(25,sin2x) C．y＝5x52-x D．y＝ EQ \F(x2＋27,\r(x2＋2))
5．(12x)n展开式中系数最大的项的系数为32，则n＝（ ▲ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．“α＝kπ＋(1)k EQ \F(π,4)，k∈Z”是|sinx|＝|csx|的（ ▲ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件
7．设等差数列{an}满足2a5=3a8a10且a1＜0，Sn为其前项之和，则Sn最小时，n的值是（ ▲ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
8．若f(x)定义在R上的函数，f ′(x)为其导函数，且f ′(x)＞f(x)＞0恒成立，则（ ▲ ）
A．2f(x)＜f(x1) B．3f(x)＜f(x1)
C．2f(x)＜f(x1) D．3f(x)＜f(x1)
二、选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．甲、乙、丙、丁四名志愿者分配到A，B，C三各小区参加志愿服务，每人分配到一个小区且每个小区至少分配一人．设事件M：“甲分配到A小区”； 事件N：“乙分配到B小区”，则（ ▲ ）
A．事件M 与N互斥 B．
C．事件M 与N相互独立 D．
10．在平面直角坐标系xOy中，点A(0，0)，B(3，4)，点C在直线x＝2上，若△ABC为直角三角形，则 eq \(AC,\s\up7(→))可能为（ ▲ ）
A． (2，eq \f(3,2)) B．(2，eq \f(19,4)) C． (2，5) D．(2，eq \f(2±\R(6),4))
11．已知函数，则（ ▲ ）
A．定义域为R B．在R上单调递增
C．的图象关于点对称 D．x轴是曲线的切线
12．已知圆锥的轴截面PAB是正三角形，AB为底面圆的直径，，C是圆锥侧面上一点，点C在底面圆O的射影为D，若，则（ ▲ ）
A．若面POC，则 B．若，则
C．三棱锥PABC的体积的最大值为 D．AC与底面所成角的正切值的最小值为
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知一组数据，，…，的平均数为，方差为，若在这组数据中添加一个数据，得到一组新数据，，，…，，方差为，则 ▲ ．
14．在四边形ABCD中，cs∠BAD= EQ \F(3,4)，∠BAC=∠DAC，AD＜AB ，且AB=5，AC=BD= EQ \r( ,14)，若 eq \(AC,\s\up7(→))=λ eq \(AB,\s\up7(→))+ μ eq \(AD,\s\up7(→)) ，则λμ＝ ▲ ．
15．若函数与的图象存在公切线，则实数a的最大值为 ▲ ．
16．若过点存在两条直线与函数相切，则实数a的取值范围是 ▲ ．
四、解答题（本题共6小题，共70分。请在答题卡指定区域内作答。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．(10分)设数列{eq a\s\d1(n)}是等比数列，eq a\s\d1(n)＋eq a\s\d1(n＋1)＝eq 2\s\up1(n)．
（1）求数列{eq a\s\d1(n)}的通项公式；
（2）若数列{eq b\s\d1(n)}满足eq b\s\d1(n)＝eq \f(cs nπ,a\s\d1(n))，其前n项的和eq S\s\d1(n)，关于n的不等式eq S\s\d1(n)＞λ有唯一解，求实数λ的取值范围．
18．（12分）如图，四棱锥PABCD的体积为，底面ABCD是矩形，△PAC的面积为．
（1）求B到平面PAC的距离；
（2）若BC＝BP，AP⊥平面PBC，求平面PAB与平面PCD所成二面角的正弦值．
C
B
A
P
D
19．在△ABC中，AC＝2，∠BAC＝ eq \s\d1(\f(π,3))，P为ΔABC内的一点，满足AP⊥CP，∠APB＝ eq \s\d1(\f(2π,3))．
（1）若AP＝PC，求△ABC的面积；
（2）若BC＝ eq \r(,7)，求AP．
20．已知A，B分别为双曲线（）的左、右顶点，点A到C的渐近线的距离为，点在C上．
（1）求双曲线C的方程；
（2）已知斜率为的直线l与C相交于不同的两点P，Q（异于A，B），以PQ为直径的圆经过
点A，△APQ与△BPQ的面积分别为S1，S2，试问：是否为定值，若是，求出此定值；若不
是，说明理由．
21．某超市开展购物抽奖送积分活动，每位顾客参加5次抽奖，每次中奖概率为eq \f(1,3)，且各次抽奖相互独立．积分规则如下：
第1次抽奖时，若中奖则积10分，否则积5分．
第m(2≤m≤5，eq m∈N\s\up1(*))次抽奖时，从下面两个方案中任选一个，获得积分．
方案①：若中奖则积30分，否则积0分；
方案②：若中奖则获得上一次抽奖积分的两倍，否则积5分．
（1）顾客甲全部选择方案①，求甲第5次抽奖后才获积95分的概率；
（2）顾客乙全部选择方案①或全部选择方案②，试以累计积分的期望为依据，帮助乙进行决策．
22．已知函数．
（1）若恰有一个零点，求的值；
（2）设是的零点，是的极小值点，且，证明：．