新高考数学模拟测试卷01（原卷版+解析版）

这是一份新高考数学模拟测试卷01（原卷版+解析版），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知集合 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．2019年湖南等8省公布了高考改革综合方案，将采取“ SKIPIF 1 < 0 ”模式，即语文､数学､英语必考，考生首先在物理､历史中选择1门，然后在政治､地理､化学､生物中选择2门.则某同学选到物理､地理两门功课的概率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3．已知函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值个数最多为（ ）
A．1B．2C．3D．4
4．中国高速铁路技术世界领先，高速列车运行时比普通列车不仅速度更快而且噪声更小.声强 SKIPIF 1 < 0 （单位： SKIPIF 1 < 0 ）表示声音在传播途径上每1平方米面积上的声能流密度，声强级 SKIPIF 1 < 0 （单位： SKIPIF 1 < 0 ）与声强 SKIPIF 1 < 0 的函数关系式为 SKIPIF 1 < 0 .若普通列车的声强级是 SKIPIF 1 < 0 ，高速列车的声强级是 SKIPIF 1 < 0 ，则普通列车的声强是高速列车声强的（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 倍B．6倍C． SKIPIF 1 < 0 倍D．5倍
5．已知在 SKIPIF 1 < 0 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 SKIPIF 1 < 0 ，点O为其外接圆的圆心．已知 SKIPIF 1 < 0 ，则角A的最大值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
6．已知点 SKIPIF 1 < 0 在球O的表面上， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值为 SKIPIF 1 < 0 ，则球O表面上的动点P到平面 SKIPIF 1 < 0 距离的最大值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
7．设 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别是椭圆C： SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点，直线 SKIPIF 1 < 0 过 SKIPIF 1 < 0 交椭圆C于A，B两点，交y轴于C点，若满足 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，则椭圆的离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
8．设函数 SKIPIF 1 < 0 在定义域 SKIPIF 1 < 0 上是单调函数，且 SKIPIF 1 < 0 ，若不等式 SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．设 SKIPIF 1 < 0 为复数， SKIPIF 1 < 0 ．下列命题中正确的是（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 B．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
C．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 D．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
10．为了普及环保知识，增强环保意识，某学校分别从两个班各抽取 SKIPIF 1 < 0 位同学分成甲、乙两组参加环保知识测试，得分（十分组）如图所示，则下列描述正确的有（ ）
A．甲、乙两组成绩的平均分相等B．甲、乙两组成绩的中位数相等
C．甲、乙两组成绩的极差相等D．甲组成绩的方差小于乙组成绩的方差
11．对于实数a，b，c，下列命题是真命题的为（ ）
A．若a＞b，则 SKIPIF 1 < 0
B．若a＞b，则ac2≥bc2
C．若a＞0＞b，则a2＜﹣ab
D．若c＞a＞b＞0，则 SKIPIF 1 < 0
12．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 且渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0
C．曲线 SKIPIF 1 < 0 经过 SKIPIF 1 < 0 的一个焦点D．直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 有两个公共点
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．一种药在病人血液中的量保持 SKIPIF 1 < 0 以上才有疗效；而低于 SKIPIF 1 < 0 病人就有危险.现给某病人静脉注射了这种药 SKIPIF 1 < 0 ，如果药在血液中以每小时20％的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过______小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效.（附： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，精确到 SKIPIF 1 < 0 ）
14．2020年新冠肺炎肆虐，全国各地千千万万的医护者成为“最美逆行者”，医药科研工作者积极研制有效抗疫药物，中医药通过临床筛选出的有效方剂“三药三方”(“三药”是指金花清感颗粒､连花清瘟颗粒(胶囊)和血必净注射液；“三方”是指清肺排毒汤､化湿败毒方和宜肺败毒方)发挥了重要的作用.甲因个人原因不能选用血必净注射液，甲､乙两名患者各自独立自主的选择一药一方进行治疗，则两人选取药方完全不同的概率是___________.
15．对于函数 SKIPIF 1 < 0 ，若在定义域内存在实数 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ，称 SKIPIF 1 < 0 为“局部奇函数”，若 SKIPIF 1 < 0 为定义域 SKIPIF 1 < 0 上的“局部奇函数”，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是______
16．如图，四棱锥 SKIPIF 1 < 0 的底面是边长为1的正方形，点 SKIPIF 1 < 0 是棱 SKIPIF 1 < 0 上一点， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 且满足 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 若 SKIPIF 1 < 0 为等差数列， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的表达式；
SKIPIF 1 < 0 若数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 ．
18．在① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ；③ SKIPIF 1 < 0 三边成等比数列.这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求解此三角形的边长和角的大小；若问题中的三角形不存在，请说明理由.
问题：是否存在 SKIPIF 1 < 0 ，它的内角 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的对边分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，______________.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
19．网购是当前民众购物的新方式，某公司为改进营销方式，随机调查了100名市民，统计其周平均网购的次数，并整理得到如下的频数分布直方图.这100名市民中，年龄不超过40岁的有65人，将所抽样本中周平均网购次数不小于4次的市民称为网购迷，且已知其中有5名市民的年龄超过40岁.
（1）根据已知条件完成下面的 SKIPIF 1 < 0 列联表，能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为网购迷与年龄不超过40岁有关？
（2）若从网购迷中任意选取2名，求其中年龄超过40岁的市民人数 SKIPIF 1 < 0 的分布列.
(附： SKIPIF 1 < 0 )
20．如图，四棱锥 SKIPIF 1 < 0 的底面 SKIPIF 1 < 0 内接于半径为2的圆 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为圆 SKIPIF 1 < 0 的直径， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上一点，且 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
（1）求证： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）若直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角为 SKIPIF 1 < 0 ，求二面角 SKIPIF 1 < 0 的余弦值.
21．已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的焦点是 SKIPIF 1 < 0 ，若过焦点的直线与 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，所得弦长 SKIPIF 1 < 0 的最小值为4.
（1）求抛物线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是抛物线 SKIPIF 1 < 0 上两个不同的动点， SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为垂足，证明：存在定点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 为定值.
22．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 .
（1）讨论函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的单调性；
（2）若函数 SKIPIF 1 < 0 ，则是否存在实数 SKIPIF 1 < 0 ，使得函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处取得极小值？若存在，求出 SKIPIF 1 < 0 值；若不存在，说明理由.
新高考数学模拟测试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】解不等式 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ；
解不等式 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
2．2019年湖南等8省公布了高考改革综合方案，将采取“ SKIPIF 1 < 0 ”模式，即语文､数学､英语必考，考生首先在物理､历史中选择1门，然后在政治､地理､化学､生物中选择2门.则某同学选到物理､地理两门功课的概率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】由题可知：所有基本事件的个数为： SKIPIF 1 < 0
某同学选到物理､地理两门功课的基本事件个数为： SKIPIF 1 < 0
所以所求概率为： SKIPIF 1 < 0
故选：C
3．已知函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值个数最多为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】因为函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，在同一坐标系中作出图象：
令 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以存在唯一 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以实数 SKIPIF 1 < 0 的取值个数最多为2.
故选：B
4．中国高速铁路技术世界领先，高速列车运行时比普通列车不仅速度更快而且噪声更小.声强 SKIPIF 1 < 0 （单位： SKIPIF 1 < 0 ）表示声音在传播途径上每1平方米面积上的声能流密度，声强级 SKIPIF 1 < 0 （单位： SKIPIF 1 < 0 ）与声强 SKIPIF 1 < 0 的函数关系式为 SKIPIF 1 < 0 .若普通列车的声强级是 SKIPIF 1 < 0 ，高速列车的声强级是 SKIPIF 1 < 0 ，则普通列车的声强是高速列车声强的（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 倍B．6倍C． SKIPIF 1 < 0 倍D．5倍
【答案】C
【解析】设普通列车的声强为 SKIPIF 1 < 0 ，高速列车的声强为 SKIPIF 1 < 0 ，则由题意得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以普通列车的声强是高速列车声强的 SKIPIF 1 < 0 倍.
故选：C.
5．已知在 SKIPIF 1 < 0 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 SKIPIF 1 < 0 ，点O为其外接圆的圆心．已知 SKIPIF 1 < 0 ，则角A的最大值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】取 SKIPIF 1 < 0 的中点D，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，∴ SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
6．已知点 SKIPIF 1 < 0 在球O的表面上， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值为 SKIPIF 1 < 0 ，则球O表面上的动点P到平面 SKIPIF 1 < 0 距离的最大值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【解析】
如图，因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 为球的直径
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0
作 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 即为 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角
所以 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0
设 SKIPIF 1 < 0 由等面积法得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
又平面 SKIPIF 1 < 0 过球心，所以P到平面 SKIPIF 1 < 0 距离即为半径的长
所以P到平面 SKIPIF 1 < 0 距离的最大值为3.
故选：B.
7．设 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别是椭圆C： SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点，直线 SKIPIF 1 < 0 过 SKIPIF 1 < 0 交椭圆C于A，B两点，交y轴于C点，若满足 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，则椭圆的离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】设点 SKIPIF 1 < 0 坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以有 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以有点 SKIPIF 1 < 0 坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：A.
8．设函数 SKIPIF 1 < 0 在定义域 SKIPIF 1 < 0 上是单调函数，且 SKIPIF 1 < 0 ，若不等式 SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】由题意易知 SKIPIF 1 < 0 为定值，不妨设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
即函数的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由题意可知： SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
即 SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
据此可知函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
函数 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，
结合恒成立的结论可知： SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
本题选择D选项.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．设 SKIPIF 1 < 0 为复数， SKIPIF 1 < 0 ．下列命题中正确的是（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 B．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
C．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 D．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
【答案】BC
【解析】由复数模的概念可知， SKIPIF 1 < 0 不能得到 SKIPIF 1 < 0 ，例如 SKIPIF 1 < 0 ，A错误；
由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，B正确；
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，C正确；
取 SKIPIF 1 < 0 ，显然满足 SKIPIF 1 < 0 ，但 SKIPIF 1 < 0 ，D错误.
故选：BC
10．为了普及环保知识，增强环保意识，某学校分别从两个班各抽取 SKIPIF 1 < 0 位同学分成甲、乙两组参加环保知识测试，得分（十分组）如图所示，则下列描述正确的有（ ）
A．甲、乙两组成绩的平均分相等B．甲、乙两组成绩的中位数相等
C．甲、乙两组成绩的极差相等D．甲组成绩的方差小于乙组成绩的方差
【答案】BCD
【解析】对于A选项，甲组成绩的平均数为 SKIPIF 1 < 0 ，
乙组成绩的平均分为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以甲组成绩的平均分小于乙组成绩的平均分，A选项错误；
对于B选项，甲、乙两组成绩的中位数都为 SKIPIF 1 < 0 ，B选项正确；
对于C选项，甲、乙两组成绩的极差都为 SKIPIF 1 < 0 ，C选项正确；
对于D选项，甲组成绩的方差为 SKIPIF 1 < 0 ，
乙组成绩的方差为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以甲组成绩的方差小于乙组成绩的方差，D选项正确.
故选：BCD.
11．对于实数a，b，c，下列命题是真命题的为（ ）
A．若a＞b，则 SKIPIF 1 < 0
B．若a＞b，则ac2≥bc2
C．若a＞0＞b，则a2＜﹣ab
D．若c＞a＞b＞0，则 SKIPIF 1 < 0
【答案】BD
【解析】A．根据a＞b，取a＝1，b＝﹣1，则 SKIPIF 1 < 0 不成立，故A错误；
B．∵a＞b，∴由不等式的基本性质知ac2≥bc2成立，故B正确；
C．由a＞0＞b，取a＝1，b＝﹣1，则a2＜﹣ab不成立，故C错误；
D．∵c＞a＞b＞0，∴（a﹣b）c＞0，∴ac﹣ab＞bc﹣ab，即a（c﹣b）＞b（c﹣a），
∵c﹣a＞0，c﹣b＞0，∴ SKIPIF 1 < 0 ，故D正确．
故选：BD．
12．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 且渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0
C．曲线 SKIPIF 1 < 0 经过 SKIPIF 1 < 0 的一个焦点D．直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 有两个公共点
【答案】AC
【解析】对于A：由双曲线的渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，可设双曲线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
把点 SKIPIF 1 < 0 代入，得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 双曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 正确；
对于B：由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 错误；
对于C：取 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，曲线 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 正确；
对于D：双曲线的渐近线 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线的渐近线平行，直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 有1个公共点，故 SKIPIF 1 < 0 不正确．
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．一种药在病人血液中的量保持 SKIPIF 1 < 0 以上才有疗效；而低于 SKIPIF 1 < 0 病人就有危险.现给某病人静脉注射了这种药 SKIPIF 1 < 0 ，如果药在血液中以每小时20％的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过______小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效.（附： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，精确到 SKIPIF 1 < 0 ）
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】设应在病人注射这种药经过 SKIPIF 1 < 0 小时后再向病人的血液补充这种药，
则血液中的含药量 SKIPIF 1 < 0 与注射后的时间 SKIPIF 1 < 0 的关系式为： SKIPIF 1 < 0 ，
依题意，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
整理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故在起经过 SKIPIF 1 < 0 小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效.
故答案为： SKIPIF 1 < 0
14．2020年新冠肺炎肆虐，全国各地千千万万的医护者成为“最美逆行者”，医药科研工作者积极研制有效抗疫药物，中医药通过临床筛选出的有效方剂“三药三方”(“三药”是指金花清感颗粒､连花清瘟颗粒(胶囊)和血必净注射液；“三方”是指清肺排毒汤､化湿败毒方和宜肺败毒方)发挥了重要的作用.甲因个人原因不能选用血必净注射液，甲､乙两名患者各自独立自主的选择一药一方进行治疗，则两人选取药方完全不同的概率是___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】将三药分别记为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，三方分别记为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，选择一药一方的基本事件如表所示，共有9个组合，则两名患者选择药方完全不同的情况有 SKIPIF 1 < 0 (种)，两名患者可选择的药方共有 SKIPIF 1 < 0 (种)，所以 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
15．对于函数 SKIPIF 1 < 0 ，若在定义域内存在实数 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ，称 SKIPIF 1 < 0 为“局部奇函数”，若 SKIPIF 1 < 0 为定义域 SKIPIF 1 < 0 上的“局部奇函数”，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是______
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
∵ SKIPIF 1 < 0 “局部奇函数”，∴存在实数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有解，
再令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有解，
函数的对称轴为 SKIPIF 1 < 0 ，分类讨论：
①当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ；
②当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
综合①②，可知 SKIPIF 1 < 0 .
16．如图，四棱锥 SKIPIF 1 < 0 的底面是边长为1的正方形，点 SKIPIF 1 < 0 是棱 SKIPIF 1 < 0 上一点， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 且满足 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】如图，连接 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
在线段 SKIPIF 1 < 0 取一点 SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
连接 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 且满足 SKIPIF 1 < 0 ，故平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
因为平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 为所求.
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 若 SKIPIF 1 < 0 为等差数列， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的表达式；
SKIPIF 1 < 0 若数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
【解析】解： SKIPIF 1 < 0 设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的通项为 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为等差数列的公差），
则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，①
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，②
由① SKIPIF 1 < 0 ②得， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
18．在① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ；③ SKIPIF 1 < 0 三边成等比数列.这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求解此三角形的边长和角的大小；若问题中的三角形不存在，请说明理由.
问题：是否存在 SKIPIF 1 < 0 ，它的内角 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的对边分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，______________.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】答案见解析．
【解析】选①，
∵在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴由正弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
选②，
∵在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴由正弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
选③，三边成等比数列，
∵在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴由正弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，这与三边成等比数列矛盾．无解．
19．网购是当前民众购物的新方式，某公司为改进营销方式，随机调查了100名市民，统计其周平均网购的次数，并整理得到如下的频数分布直方图.这100名市民中，年龄不超过40岁的有65人，将所抽样本中周平均网购次数不小于4次的市民称为网购迷，且已知其中有5名市民的年龄超过40岁.
（1）根据已知条件完成下面的 SKIPIF 1 < 0 列联表，能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为网购迷与年龄不超过40岁有关？
（2）若从网购迷中任意选取2名，求其中年龄超过40岁的市民人数 SKIPIF 1 < 0 的分布列.
(附： SKIPIF 1 < 0 )
【答案】（1）列联表答案见解析，可以在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为网购迷与年龄不超过40岁有关；（2）分布列答案见解析.
【解析】解：（1）由题意可得列联表如下：
根据列联表中的数据可得， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
所以可以在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为网购迷与年龄不超过40岁有关；
（2）由频率分布直方图可知，网购迷共有25名，由题意得年龄超过40岁的市民人数 SKIPIF 1 < 0 的所有值为0，1，2，则
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 的分布列为
20．如图，四棱锥 SKIPIF 1 < 0 的底面 SKIPIF 1 < 0 内接于半径为2的圆 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为圆 SKIPIF 1 < 0 的直径， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上一点，且 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
（1）求证： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）若直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角为 SKIPIF 1 < 0 ，求二面角 SKIPIF 1 < 0 的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2） SKIPIF 1 < 0 .
【解析】解：（1）连接 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
∴四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形.
连接 SKIPIF 1 < 0 ，
∵圆 SKIPIF 1 < 0 的半径为2，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 为等边三角形，
∴在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 边上的高为 SKIPIF 1 < 0 .
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 边上高，
∴ SKIPIF 1 < 0 .
∵ SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
∵ SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 .
（2）由 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 可知，
SKIPIF 1 < 0 为直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 .
又由（1）知， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两两垂直，
如图，可以以 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 所在直线分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 轴建立空间直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 .
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 .
设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 .
∴ SKIPIF 1 < 0 .
易知二面角 SKIPIF 1 < 0 为锐二面角，
∴二面角 SKIPIF 1 < 0 的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 .
21．已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的焦点是 SKIPIF 1 < 0 ，若过焦点的直线与 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，所得弦长 SKIPIF 1 < 0 的最小值为4.
（1）求抛物线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是抛物线 SKIPIF 1 < 0 上两个不同的动点， SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为垂足，证明：存在定点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 为定值.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2）证明见解析.
【解析】（1）显然直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率不为0，故可设置 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 最小，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
故所求抛物线的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率不为0，
故可设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
若 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，不符合题意.
则有 SKIPIF 1 < 0 ，此时直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以点 SKIPIF 1 < 0 在以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆上，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
此时 SKIPIF 1 < 0 .
22．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 .
（1）讨论函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的单调性；
（2）若函数 SKIPIF 1 < 0 ，则是否存在实数 SKIPIF 1 < 0 ，使得函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处取得极小值？若存在，求出 SKIPIF 1 < 0 值；若不存在，说明理由.
【答案】（1）答案见详解；（2）存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处取得极小值
【解析】（1）由 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，函数在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增；
当 SKIPIF 1 < 0 时，令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
即函数在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，函数在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减；
（2） SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
显然 SKIPIF 1 < 0 是函数 SKIPIF 1 < 0 的极小值点的必要条件为
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
此时 SKIPIF 1 < 0 ，
显然当 SKIPIF 1 < 0 时，
SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 是减函数，
故当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
故当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
故当 SKIPIF 1 < 0 时，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
因此，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的极小值点，即充分性也成立，
综上，存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处取得极小值.
网购迷
非网购迷
合计
年龄不超过40岁
年龄超过40岁
合计
SKIPIF 1 < 0
0.15
0.10
0.05
0.01
SKIPIF 1 < 0
2.072
2.706
3.841
6.635
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
网购迷
非网购迷
合计
年龄不超过40岁
年龄超过40岁
合计
SKIPIF 1 < 0
0.15
0.10
0.05
0.01
SKIPIF 1 < 0
2.072
2.706
3.841
6.635
网购迷
非网购迷
合计
年龄不超过40岁
20
45
65
年龄超过40岁
5
30
35
合计
25
75
100
SKIPIF 1 < 0
0
1
2
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0